数学代写|复杂系统与重整化代写Complex Systems and Reengineering代考|CS2401

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  • Foundations of Data Science 数据科学基础
数学代写|复杂系统与重整化代写Complex Systems and Reengineering代考|CS2401

数学代写|复杂系统与重整化代写Complex Systems and Reengineering代考|The hyperbolic metric

A Riemann surface is hyperbolic if its universal cover is isomorphic to the upper halfplane $\mathbb{H}$. The hyperbolic metric or Poincaré metric on such a Riemann surface is the unique complete conformal metric of constant curvature $-1$.
By the Schwarz lemma [Ah2, $\S 1-2]$ one knows:
Theorem 2.2 A holomorphic map $f: X \rightarrow Y$ between hyperbolic Riemann surfaces does not increase the Poincaré metric, and $f$ is a local isometry if and only if $f$ is a covering map.

The Poincaré metric is defined on any region $U \subset \widehat{\mathbb{C}}$ provided $|\widehat{\mathbb{C}}-U|>2$. If $U$ is not connected, we define its Poincaré metric component by component.
The hyperbolic metric on the upper halfplane $\mathbb{H}$ is given by:
$$
\rho=\frac{|d z|}{\operatorname{Im}(z)}
$$
on the unit disk $\Delta$, by:
$$
\rho=\frac{2|d z|^2}{1-|z|^2}
$$
on the punctured disk $\Delta^$, by: $$ \rho=\frac{|d z|}{|z| \log (1 /|z|)} $$ and on the annulus $A(R)$ by: $$ \rho=\frac{\pi / \log R}{\sin (\pi \log |z| / \log R)} \frac{|d z|}{|z|} . $$ The last two formulas can be verified using the covering maps $z \mapsto$ $\exp (i z)$ from $\mathbb{H}$ to $\Delta^$ and $z \mapsto z^{\log R / \pi i}$ from $\mathbb{H}$ to $A(R)$

数学代写|复杂系统与重整化代写Complex Systems and Reengineering代考|Metric aspects of annuli

Let $V$ be a Riemann surface which is topologically a disk, and let $E \subset V$ have compact closure. It is convenient to have a measurement of the amount of space around $E$ in $V$. For this purpose we define $\bmod (E, V)=\sup {\bmod (A): A \subset V$ is an annulus enclosing $E}$.
(This means $E$ should lie in the compact component of $V-A$.) Note that $\bmod (E, V)=\infty$ if $V$ is isomorphic to $\mathbb{C}$ or if $E$ is a single point.
Now suppose $V$ is hyperbolic, and let $\operatorname{diam}(E)$ denote diameter of $E$ in the hyperbolic metric on $V$.

Theorem 2.4 The hyperbolic diameter and modulus of $E$ are inversely related:
$$
\operatorname{diam}(E) \rightarrow 0 \Longleftrightarrow \bmod (E, V) \rightarrow \infty
$$
and
$$
\operatorname{diam}(E) \rightarrow \infty \Longleftrightarrow \bmod (E, V) \rightarrow 0 .
$$
More precisely,
$$
\operatorname{diam}(E) \asymp \exp (-2 \pi \bmod (E, V))
$$
when either side is small, while
$$
\frac{C_1}{\operatorname{diam}(E)} \geq \bmod (E, V) \geq C_2 \exp (-\operatorname{diam}(E))
$$
when the diameter is large.

Proof. The first estimate follows from existence of a round annulus as guaranteed by Theorem 2.1. The second follows using estimates for the Grötzsch modulus [LV, §II.2].

The relation of modulus to hyperbolic diameter is necessarily imprecise when the diameter is large. For example, for $r<1$ the sets $E_1=[-r, r]$ and $E_2=\Delta(r)$ have the same hyperbolic diameter $d$ in the unit disk, but for $r$ near $1, \bmod \left(E_1, \Delta\right) \asymp 1 / d$ while $\bmod \left(E_2, \Delta\right) \asymp e^{-d}$

The next result controls the Euclidean geometry of an annulus of definite modulus.

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复杂系统与重整化代写

数学代写|复杂系统与重整化代写Complex Systems and Reengineering代考|The hyperbolic metric

如果黎曼曲面的通用覆盖与上半平面同构,则黎曼曲面是双曲的 $\mathbb{H}$. 这样的黎曼曲面上的双曲度量或庞加 莱度量是唯一的常曲率完全共形度量 $-1$.
通过 Schwarz 引理 [Ah2, $1-2]$ 已知:
定理 $2.2$ 全纯映射 $f: X \rightarrow Y$ 双曲黎曼曲面之间不会增加 Poincaré 度量,并且 $f$ 是局部等距当且仅当 $f$ 是覆盖图。

Poincaré 度量定义在任何区域 $U \subset \widehat{\mathbb{C}}$ 假如 $|\widehat{\mathbb{C}}-U|>2$. 如果 $U$ 不连通,我们逐个定义它的庞加莱度量 分量。
上半平面上的双曲度量扭是 (谁) 给的:
$$
\rho=\frac{|d z|}{\operatorname{Im}(z)}
$$
在单位圆盘上 $\Delta$ , 经过:
$$
\rho=\frac{2|d z|^2}{1-|z|^2}
$$
在被刺穿的磁盘上\三角洲^,,经过:
$$
\rho=\frac{|d z|}{|z| \log (1 /|z|)}
$$
在环面上 $A(R)$ 经过:
$$
\rho=\frac{\pi / \log R}{\sin (\pi \log |z| / \log R)} \frac{|d z|}{|z|} .
$$
最后两个公式可以使用覆盖图来验证 $z \mapsto \exp (i z)$ 从止到 $\backslash$ 三角洲^ 和 $z \mapsto z^{\log R / \pi i}$ 从 $\mathbb{H}$ 到 $A(R)$

数学代写|复杂系统与重整化代写Complex Systems and Reengineering代考|Metric aspects of annuli

让 $V$ 是一个黎曼曲面,它在拓扑上是一个圆盘,并且让 $E \subset V$ 有紧凑的关闭。测量周围的空间量很方便 $E$ 在 $V$. 为此我们定义 $\bmod (E, V)=\sup \bmod (A): A \subset V$ \$isanannulusenclosing $\$ E$. (这表示 $E$ 应该位于的紧凑组件中 $V-A_{\text {。 }}$ ) 注意 $\bmod (E, V)=\infty$ 如果 $V$ 同构于 $\mathbb{C}$ 或者如果 $E$ 是一 个单点。
现在假设 $V$ 是双曲线的,让 $\operatorname{diam}(E)$ 表示直径 $E$ 在双曲度量上 $V$.
定理 $2.4$ 双曲线直径和模量 $E$ 反相关:
$$
\operatorname{diam}(E) \rightarrow 0 \Longleftrightarrow \bmod (E, V) \rightarrow \infty
$$

$$
\operatorname{diam}(E) \rightarrow \infty \Longleftrightarrow \bmod (E, V) \rightarrow 0
$$
更确切地说,
$$
\operatorname{diam}(E) \asymp \exp (-2 \pi \bmod (E, V))
$$
当任一侧都很小时,而
$$
\frac{C_1}{\operatorname{diam}(E)} \geq \bmod (E, V) \geq C_2 \exp (-\operatorname{diam}(E))
$$
当直径较大时。
证明。第一个估计来自定理 $2.1$ 保证的圆环的存在。第二个是使用 Grötzsch 模量的估计 [LV, §II.2]。
当直径很大时,模量与双曲线直径的关系必然不精确。例如,对于 $r<1$ 布景 $E_1=[-r, r]$ 和 $E_2=\Delta(r)$ 具有相同的双曲直径 $d$ 在单位圆盘中,但对于 $r$ 靠近 $1, \bmod \left(E_1, \Delta\right) \asymp 1 / d$ 尽管 $\bmod \left(E_2, \Delta\right) \asymp e^{-d}$
下一个结果控制定模环的欧几里德几何。

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金融工程是使用数学技术来解决金融问题。金融工程使用计算机科学、统计学、经济学和应用数学领域的工具和知识来解决当前的金融问题,以及设计新的和创新的金融产品。

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非参数统计指的是一种统计方法,其中不假设数据来自于由少数参数决定的规定模型;这种模型的例子包括正态分布模型和线性回归模型。

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广义线性模型(GLM)归属统计学领域,是一种应用灵活的线性回归模型。该模型允许因变量的偏差分布有除了正态分布之外的其它分布。

术语 广义线性模型(GLM)通常是指给定连续和/或分类预测因素的连续响应变量的常规线性回归模型。它包括多元线性回归,以及方差分析和方差分析(仅含固定效应)。

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有限元方法(FEM)是一种流行的方法,用于数值解决工程和数学建模中出现的微分方程。典型的问题领域包括结构分析、传热、流体流动、质量运输和电磁势等传统领域。

有限元是一种通用的数值方法,用于解决两个或三个空间变量的偏微分方程(即一些边界值问题)。为了解决一个问题,有限元将一个大系统细分为更小、更简单的部分,称为有限元。这是通过在空间维度上的特定空间离散化来实现的,它是通过构建对象的网格来实现的:用于求解的数值域,它有有限数量的点。边界值问题的有限元方法表述最终导致一个代数方程组。该方法在域上对未知函数进行逼近。[1] 然后将模拟这些有限元的简单方程组合成一个更大的方程系统,以模拟整个问题。然后,有限元通过变化微积分使相关的误差函数最小化来逼近一个解决方案。

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