### 数学代写|复杂系统与重整化代写Complex Systems and Reengineering代考|CS2401

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## 数学代写|复杂系统与重整化代写Complex Systems and Reengineering代考|The hyperbolic metric

A Riemann surface is hyperbolic if its universal cover is isomorphic to the upper halfplane $\mathbb{H}$. The hyperbolic metric or Poincaré metric on such a Riemann surface is the unique complete conformal metric of constant curvature $-1$.
By the Schwarz lemma [Ah2, $\S 1-2]$ one knows:
Theorem 2.2 A holomorphic map $f: X \rightarrow Y$ between hyperbolic Riemann surfaces does not increase the Poincaré metric, and $f$ is a local isometry if and only if $f$ is a covering map.

The Poincaré metric is defined on any region $U \subset \widehat{\mathbb{C}}$ provided $|\widehat{\mathbb{C}}-U|>2$. If $U$ is not connected, we define its Poincaré metric component by component.
The hyperbolic metric on the upper halfplane $\mathbb{H}$ is given by:
$$\rho=\frac{|d z|}{\operatorname{Im}(z)}$$
on the unit disk $\Delta$, by:
$$\rho=\frac{2|d z|^2}{1-|z|^2}$$
on the punctured disk $\Delta^$, by: $$\rho=\frac{|d z|}{|z| \log (1 /|z|)}$$ and on the annulus $A(R)$ by: $$\rho=\frac{\pi / \log R}{\sin (\pi \log |z| / \log R)} \frac{|d z|}{|z|} .$$ The last two formulas can be verified using the covering maps $z \mapsto$ $\exp (i z)$ from $\mathbb{H}$ to $\Delta^$ and $z \mapsto z^{\log R / \pi i}$ from $\mathbb{H}$ to $A(R)$

## 数学代写|复杂系统与重整化代写Complex Systems and Reengineering代考|Metric aspects of annuli

Let $V$ be a Riemann surface which is topologically a disk, and let $E \subset V$ have compact closure. It is convenient to have a measurement of the amount of space around $E$ in $V$. For this purpose we define $\bmod (E, V)=\sup {\bmod (A): A \subset V$ is an annulus enclosing $E}$.
(This means $E$ should lie in the compact component of $V-A$.) Note that $\bmod (E, V)=\infty$ if $V$ is isomorphic to $\mathbb{C}$ or if $E$ is a single point.
Now suppose $V$ is hyperbolic, and let $\operatorname{diam}(E)$ denote diameter of $E$ in the hyperbolic metric on $V$.

Theorem 2.4 The hyperbolic diameter and modulus of $E$ are inversely related:
$$\operatorname{diam}(E) \rightarrow 0 \Longleftrightarrow \bmod (E, V) \rightarrow \infty$$
and
$$\operatorname{diam}(E) \rightarrow \infty \Longleftrightarrow \bmod (E, V) \rightarrow 0 .$$
More precisely,
$$\operatorname{diam}(E) \asymp \exp (-2 \pi \bmod (E, V))$$
when either side is small, while
$$\frac{C_1}{\operatorname{diam}(E)} \geq \bmod (E, V) \geq C_2 \exp (-\operatorname{diam}(E))$$
when the diameter is large.

Proof. The first estimate follows from existence of a round annulus as guaranteed by Theorem 2.1. The second follows using estimates for the Grötzsch modulus [LV, §II.2].

The relation of modulus to hyperbolic diameter is necessarily imprecise when the diameter is large. For example, for $r<1$ the sets $E_1=[-r, r]$ and $E_2=\Delta(r)$ have the same hyperbolic diameter $d$ in the unit disk, but for $r$ near $1, \bmod \left(E_1, \Delta\right) \asymp 1 / d$ while $\bmod \left(E_2, \Delta\right) \asymp e^{-d}$

The next result controls the Euclidean geometry of an annulus of definite modulus.

# 复杂系统与重整化代写

## 数学代写|复杂系统与重整化代写Complex Systems and Reengineering代考|The hyperbolic metric

Poincaré 度量定义在任何区域 $U \subset \widehat{\mathbb{C}}$ 假如 $|\widehat{\mathbb{C}}-U|>2$. 如果 $U$ 不连通，我们逐个定义它的庞加莱度量 分量。

$$\rho=\frac{|d z|}{\operatorname{Im}(z)}$$

$$\rho=\frac{2|d z|^2}{1-|z|^2}$$

$$\rho=\frac{|d z|}{|z| \log (1 /|z|)}$$

$$\rho=\frac{\pi / \log R}{\sin (\pi \log |z| / \log R)} \frac{|d z|}{|z|} .$$

## 数学代写|复杂系统与重整化代写Complex Systems and Reengineering代考|Metric aspects of annuli

$$\operatorname{diam}(E) \rightarrow 0 \Longleftrightarrow \bmod (E, V) \rightarrow \infty$$

$$\operatorname{diam}(E) \rightarrow \infty \Longleftrightarrow \bmod (E, V) \rightarrow 0$$

$$\operatorname{diam}(E) \asymp \exp (-2 \pi \bmod (E, V))$$

$$\frac{C_1}{\operatorname{diam}(E)} \geq \bmod (E, V) \geq C_2 \exp (-\operatorname{diam}(E))$$

## 有限元方法代写

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## MATLAB代写

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