数学代写|凸优化作业代写Convex Optimization代考|ELEN90026

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凸优化是数学优化的一个子领域,研究的是凸集上凸函数最小化的问题。许多类凸优化问题都有多项时间算法,而数学优化一般来说是NP困难的。

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数学代写|凸优化作业代写Convex Optimization代考|ELEN90026

数学代写|凸优化作业代写Convex Optimization代考|Pointwise maximum and supremum

If $f_1$ and $f_2$ are convex functions then their pointwise maximum $f$, defined by
$$
f(x)=\max \left{f_1(x), f_2(x)\right},
$$
with $\operatorname{dom} f=\operatorname{dom} f_1 \cap \operatorname{dom} f_2$, is also convex. This property is easily verified: if $0 \leq \theta \leq 1$ and $x, y \in \operatorname{dom} f$, then
$$
\begin{aligned}
f(\theta x+(1-\theta) y) & =\max \left{f_1(\theta x+(1-\theta) y), f_2(\theta x+(1-\theta) y)\right} \
& \leq \max \left{\theta f_1(x)+(1-\theta) f_1(y), \theta f_2(x)+(1-\theta) f_2(y)\right} \
& \leq \theta \max \left{f_1(x), f_2(x)\right}+(1-\theta) \max \left{f_1(y), f_2(y)\right} \
& =\theta f(x)+(1-\theta) f(y)
\end{aligned}
$$
which establishes convexity of $f$. It is easily shown that if $f_1, \ldots, f_m$ are convex, then their pointwise maximum
$$
f(x)=\max \left{f_1(x), \ldots, f_m(x)\right}
$$
is also convex.

The pointwise maximum property extends to the pointwise supremum over an infinite set of convex functions. If for each $y \in \mathcal{A}, f(x, y)$ is convex in $x$, then the function $g$, defined as
$$
g(x)=\sup {y \in \mathcal{A}} f(x, y) $$ is convex in $x$. Here the domain of $g$ is $$ \operatorname{dom} g=\left{x \mid(x, y) \in \operatorname{dom} f \text { for all } y \in \mathcal{A}, \sup {y \in \mathcal{A}} f(x, y)<\infty\right} .
$$
Similarly, the pointwise infimum of a set of concave functions is a concave function.
In terms of epigraphs, the pointwise supremum of functions corresponds to the intersection of epigraphs: with $f, g$, and $\mathcal{A}$ as defined in (3.7), we have
$$
\text { epi } g=\bigcap_{y \in \mathcal{A}} \operatorname{epi} f(\cdot, y) \text {. }
$$
Thus, the result follows from the fact that the intersection of a family of convex sets is convex.

数学代写|凸优化作业代写Convex Optimization代考|Representation as pointwise supremum of affine functions

The examples above illustrate a good method for establishing convexity of a function: by expressing it as the pointwise supremum of a family of affine functions. Except for a technical condition, a converse holds: almost every convex function can be expressed as the pointwise supremum of a family of affine functions. For example, if $f: \mathbf{R}^n \rightarrow \mathbf{R}$ is convex, with $\operatorname{dom} f=\mathbf{R}^n$, then we have
$$
f(x)=\sup {g(x) \mid g \text { affine, } g(z) \leq f(z) \text { for all } z} .
$$
In other words, $f$ is the pointwise supremum of the set of all affine global underestimators of it. We give the proof of this result below, and leave the case where $\operatorname{dom} f \neq \mathbf{R}^n$ as an exercise (exercise $3.28$ ).
Suppose $f$ is convex with $\operatorname{dom} f=\mathbf{R}^n$. The inequality
$$
f(x) \geq \sup {g(x) \mid g \text { affine, } g(z) \leq f(z) \text { for all } z}
$$
is clear, since if $g$ is any affine underestimator of $f$, we have $g(x) \leq f(x)$. To establish equality, we will show that for each $x \in \mathbf{R}^n$, there is an affine function $g$, which is a global underestimator of $f$, and satisfies $g(x)=f(x)$.

The epigraph of $f$ is, of course, a convex set. Hence we can find a supporting hyperplane to it at $(x, f(x))$, i.e., $a \in \mathbf{R}^n$ and $b \in \mathbf{R}$ with $(a, b) \neq 0$ and
$$
\left[\begin{array}{l}
a \
b
\end{array}\right]^T\left[\begin{array}{c}
x-z \
f(x)-t
\end{array}\right] \leq 0
$$
for all $(z, t) \in$ epi $f$. This means that
$$
a^T(x-z)+b(f(x)-f(z)-s) \leq 0
$$
for all $z \in \operatorname{dom} f=\mathbf{R}^n$ and all $s \geq 0$ (since $(z, t) \in$ epi $f$ means $t=f(z)+s$ for some $s \geq 0$ ). For the inequality (3.8) to hold for all $s \geq 0$, we must have $b \geq 0$. If $b=0$, then the inequality (3.8) reduces to $a^T(x-z) \leq 0$ for all $z \in \mathbf{R}^n$, which implies $a=0$ and contradicts $(a, b) \neq 0$. We conclude that $b>0$, i.e., that the supporting hyperplane is not vertical.
Using the fact that $b>0$ we rewrite (3.8) for $s=0$ as
$$
g(z)=f(x)+(a / b)^T(x-z) \leq f(z)
$$
for all $z$. The function $g$ is an affine underestimator of $f$, and satisfies $g(x)=f(x)$.

数学代写|凸优化作业代写Convex Optimization代考|ELEN90026

凸优化代写

数学代写|凸优化作业代写Convex Optimization代考|Pointwise maximum and supremum

如果 $f_1$ 和 $f_2$ 是凸函数然后它们的逐点最大值 $f$ ,被定义为
$f(x)=\backslash \max \backslash$ left $\left{f_{-} 1(x), f_{-} 2(x) \backslash r i g h t\right}$,
和 $\operatorname{dom} f=\operatorname{dom} f_1 \cap \operatorname{dom} f_2$ ,也是凸的。这个属性很容易验证:如果 $0 \leq \theta \leq 1$ 和 $x, y \in \operatorname{dom} f ,$ 然后
它建立了凸性 $f$. 很容易证明,如果 $f_1, \ldots, f_m$ 是凸的,那么它们的逐点最大值
$\mathrm{f}(\mathrm{x})=\backslash \max \backslash$ left $\left{\mathrm{f} _1(\mathrm{x})\right.$, \Idots, $\mathrm{f} _\mathrm{m}(\mathrm{x}) \backslash$ right $}$
也是凸的。
pointwise maximum 属性扩展到无限组凸函数上的 pointwise supremum。如果对于每个 $y \in \mathcal{A}, f(x, y)$ 是凸的 $x$ ,那么函数 $g$ ,定义为
$$
g(x)=\sup y \in \mathcal{A} f(x, y)
$$
是凸的 $x$. 这里的域 $g$ 是
loperatorname{dom $} g=\backslash \operatorname{geft}{x \backslash m i d(x, y) \backslash i n$ loperatorname{dom $f \backslash t e x t{$ for all $}$ y $\backslash$ in $\backslash m a t h c a l{A}$,
类似地,一组凹函数的逐点下确界是凹函数。
就题词而言,函数的逐点上确界对应于题词的交集: 与 $f, g$ ,和 $\mathcal{A}$ 如 (3.7) 中所定义,我们有
$$
\text { epi } g=\bigcap_{y \in \mathcal{A}} \operatorname{epi} f(\cdot, y) \text {. }
$$
因此,结果是从凸集族的交集是凸的这一事实得出的。

数学代写|凸优化作业代写Convex Optimization代考|Representation as pointwise supremum of affine functions

上面的例子说明了建立函数凸性的好方法: 将其表示为仿射函数族的逐点上确界。除了技术条件外,相 反的情况成立:几乎每个凸函数都可以表示为仿射函数族的逐点上确界。例如,如果 $f: \mathbf{R}^n \rightarrow \mathbf{R}$ 是 凸的,有 $\operatorname{dom} f=\mathbf{R}^n$ ,那么我们有
$$
f(x)=\sup g(x) \mid g \text { affine, } g(z) \leq f(z) \text { for all } z .
$$
换句话说, $f$ 是它的所有仿射全局低估量的集合的逐点上确界。我们在下面给出这个结果的证明,并留 下情况dom $f \neq \mathbf{R}^n$ 作为练习 (练习 $3.28$ ).
认为 $f$ 是凸的 $\operatorname{dom} f=\mathbf{R}^n$. 不平等
$$
f(x) \geq \sup g(x) \mid g \text { affine, } g(z) \leq f(z) \text { for all } z
$$
很清楚,因为如果 $g$ 是任何仿射低估 $f$ ,我们有 $g(x) \leq f(x)$. 为了建立平等,我们将证明对于每个 $x \in \mathbf{R}^n$ ,有仿射函数 $g$ ,这是对 $f$ ,并且满足 $g(x)=f(x)$.
的题词 $f$ 当然是凸集。因此我们可以在 $(x, f(x))$ ,那是, $a \in \mathbf{R}^n$ 和 $b \in \mathbf{R}$ 和 $(a, b) \neq 0$ 和
$$
[a b]^T[x-z f(x)-t] \leq 0
$$
对全部 $(z, t) \in$ 和 $f$. 这意味着
$$
a^T(x-z)+b(f(x)-f(z)-s) \leq 0
$$
对全部 $z \in \operatorname{dom} f=\mathbf{R}^n$ 和所有 $s \geq 0$ (自从 $(z, t) \in$ 和 $f$ 方法 $t=f(z)+s$ 对于一些 $s \geq 0$ ). 不等 式 (3.8) 对所有人都成立 $s \geq 0$ ,我们必须有 $b \geq 0$. 如果 $b=0$ ,则不等式 (3.8) 简化为
$a^T(x-z) \leq 0$ 对全部 $z \in \mathbf{R}^n$ ,这意味着 $a=0$ 和矛盾 $(a, b) \neq 0$. 我们的结论是 $b>0$ ,即支持超 平面不是垂直的。
使用的事实是 $b>0$ 我们重写 (3.8) 为 $s=0$ 作为
$$
g(z)=f(x)+(a / b)^T(x-z) \leq f(z)
$$
对全部 $z$. 功能 $g$ 是仿射低估 $f$ ,并且满足 $g(x)=f(x)$.

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金融工程代写

金融工程是使用数学技术来解决金融问题。金融工程使用计算机科学、统计学、经济学和应用数学领域的工具和知识来解决当前的金融问题,以及设计新的和创新的金融产品。

非参数统计代写

非参数统计指的是一种统计方法,其中不假设数据来自于由少数参数决定的规定模型;这种模型的例子包括正态分布模型和线性回归模型。

广义线性模型代考

广义线性模型(GLM)归属统计学领域,是一种应用灵活的线性回归模型。该模型允许因变量的偏差分布有除了正态分布之外的其它分布。

术语 广义线性模型(GLM)通常是指给定连续和/或分类预测因素的连续响应变量的常规线性回归模型。它包括多元线性回归,以及方差分析和方差分析(仅含固定效应)。

有限元方法代写

有限元方法(FEM)是一种流行的方法,用于数值解决工程和数学建模中出现的微分方程。典型的问题领域包括结构分析、传热、流体流动、质量运输和电磁势等传统领域。

有限元是一种通用的数值方法,用于解决两个或三个空间变量的偏微分方程(即一些边界值问题)。为了解决一个问题,有限元将一个大系统细分为更小、更简单的部分,称为有限元。这是通过在空间维度上的特定空间离散化来实现的,它是通过构建对象的网格来实现的:用于求解的数值域,它有有限数量的点。边界值问题的有限元方法表述最终导致一个代数方程组。该方法在域上对未知函数进行逼近。[1] 然后将模拟这些有限元的简单方程组合成一个更大的方程系统,以模拟整个问题。然后,有限元通过变化微积分使相关的误差函数最小化来逼近一个解决方案。

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随机微积分是数学的一个分支,对随机过程进行操作。它允许为随机过程的积分定义一个关于随机过程的一致的积分理论。这个领域是由日本数学家伊藤清在第二次世界大战期间创建并开始的。

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