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宇宙学是天文学的一个分支，涉及宇宙的起源和演变，从大爆炸到今天，再到未来。宇宙学的定义是 “对整个宇宙的大尺度特性进行科学研究”。
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物理代写|宇宙学代写cosmology代考|The geodesic equation
In order to derive the Boltzmann equation, we need to know how particles move within the perturbed spacetime. Again, this is determined by the geodesic equation which we considered in Sect. 2.1.2, and which we now extend to include the spacetime perturbations $\Phi, \Psi$. In particular, our goal is to calculate $d x^i / d t, d p / d t$, and $d \hat{p}^i / d t$ to insert into Eq. (3.33). The mass-shell constraint for a particle with mass $m$ is now given by
$$
g_{\mu \nu} P^\mu P^v=-(1+2 \Psi)\left(P^0\right)^2+p^2=-m^2,
$$
where again
$$
p^2 \equiv g_{i j} P^i P^j \text {. }
$$
We will continue to define the energy as $E(p) \equiv \sqrt{p^2+m^2}$. In the massless case, we obviously have $E=p$. We can now eliminate the time component of $P^\mu$ through
$$
P^0=\frac{E}{\sqrt{1+2 \Psi}}=E(1-\Psi) .
$$
This last equality holds since we are doing first-order perturbation theory in the small quantity $\Psi$. Similarly, we can use Eq. (3.58) to derive $P^i$. This yields the four-momentum of a massive particle in a perturbed FLRW spacetime (which includes the massless case):
$$
P^\mu=\left[E(1-\Psi), p^i \frac{1-\Phi}{a}\right] .
$$
Here, we have defined $p^i$ through
$$
p^i=p \hat{p}^i \quad \text { where } \quad \hat{p}^i=\hat{p}i $$ is a unit vector satisfying $\delta{i j} \hat{p}^i \hat{p}^j=1$ as before. Eq. (3.60) allows us to eliminate $P^0$ and $P^i$ in favor of $E(p), p$, the magnitude of the momentum, and $\hat{p}^i$ whenever they occur. Moreover, plugging these into Eq. (3.20) yields the expressions for the energy-momentum tensor in terms of the distribution function in the presence of metric perturbations (see Exercise $3.12$ ) which we will need later.
物理代写|宇宙学代写cosmology代考|The collisionless Boltzmann equation for radiation
The Boltzmann equation for radiation, i.e. ultra-relativistic particles, in the perturbed universe is a straightforward generalization of the treatment in Sect. $3.2 .2$ which led us to Eq. (3.39). Moreover, we have done the hard part already by computing the expressions for $d x^i / d t$ [Eq. (3.62)] and $d p^i / d t$ [Eq. (3.69)]. We simply specialize them to the case $m=0$, i.e. $E=p$. We can then write Eq. (3.33) as
$$
\begin{aligned}
\frac{d f}{d t}=& \frac{\partial f}{\partial t}+\frac{\partial f}{\partial x^i} \frac{\hat{p}^i}{a}(1-\Phi+\Psi)-\frac{\partial f}{\partial p}\left{[H+\dot{\Phi}] p+\frac{1}{a} p^i \Psi_{, i}\right} \
&+\frac{\partial f}{\partial \hat{p}^i} \frac{1}{a}\left[(\Phi-\Psi){, i}-\hat{p}^i \hat{p}^k(\Phi-\Psi){, k}\right]
\end{aligned}
$$
This is the complete, linear-order left-hand side of the Boltzmann equation for radiation. However, we can simplify it further by making use of our knowledge of the zeroth-order distribution function $f(\boldsymbol{x}, \boldsymbol{p}, t)$. In the homogeneous universe, this distribution is of the Bose-Einstein form Eq. (2.65). This equilibrium distribution obviously does not depend on
position $\boldsymbol{x}$, but it also does not depend on the direction of the momentum vector $\hat{\boldsymbol{p}}$ since it is isotropic. We now make the ansatz that the deviations from the equilibrium distribution of radiation in the inhomogeneous universe are of the same order as the spacetime perturbations $\Phi, \Psi$. We will see in subsequent chapters that this ansatz not only makes our life much easier, but is indeed valid.
With this working assumption, we can immediately drop the last term, $\propto \partial f / \partial \hat{p}^i$, in Eq. (3.73). Recall that $\partial f / \partial \hat{p}^i$ is nonzero only if we consider a perturbation to the zeroth order $f$; i.e., it is a first-order term. But so is the term which multiplies it. So we can neglect it.
Further, it is easy to see that the potentials in the second term $\propto \partial f / \partial x^i$ in Eq. (3.73) are higher order as well, because they multiply $\partial f / \partial x^i$ which is a first-order term (again, the zeroth-order distribution function does not depend on position). We finally obtain the Boltzmann equation for radiation consistently expanded to linear order:
$$
\frac{d f}{d t}=\frac{\partial f}{\partial t}+\frac{\hat{p}^i}{a} \frac{\partial f}{\partial x^i}-\left[H+\dot{\Phi}+\frac{1}{a} \hat{p}^i \frac{\partial \Psi}{\partial x^i}\right] p \frac{\partial f}{\partial p} .
$$
Eq. (3.74) will lead us directly to the equations governing CMB anisotropies.
宇宙学代考
物理代写|宇宙学代写cosmology代考|测地方程
为了推导玻尔兹曼方程，我们需要知道粒子如何在受摄动时空中运动。同样，这是由我们在2.1.2节中考虑过的测地线方程决定的，现在我们将其扩展到包括时空扰动$\Phi, \Psi$。特别地，我们的目标是计算$d x^i / d t, d p / d t$和$d \hat{p}^i / d t$插入到Eq.(3.33)。质量为$m$的粒子的质量-壳约束现在由
$$
g_{\mu \nu} P^\mu P^v=-(1+2 \Psi)\left(P^0\right)^2+p^2=-m^2,
$$
给出，其中再次
$$
p^2 \equiv g_{i j} P^i P^j \text {. }
$$
我们将继续定义能量为$E(p) \equiv \sqrt{p^2+m^2}$。在无质量的情况下，我们显然有$E=p$。我们现在可以通过
$$
P^0=\frac{E}{\sqrt{1+2 \Psi}}=E(1-\Psi) .
$$ 消除$P^\mu$的时间成分
最后一个等式成立，因为我们是在小量$\Psi$中研究一阶摄动理论。同样，我们可以用式(3.58)推导出$P^i$。这就得到了摄动FLRW时空中质量粒子的四动量(其中包括无质量情况):
$$
P^\mu=\left[E(1-\Psi), p^i \frac{1-\Phi}{a}\right] .
$$
在这里，我们定义$p^i$到
$$
p^i=p \hat{p}^i \quad \text { where } \quad \hat{p}^i=\hat{p}i $$是一个满足$\delta{i j} \hat{p}^i \hat{p}^j=1$的单位向量。Eq.(3.60)允许我们剔除$P^0$和$P^i$，取而代之的是$E(p), p$，动量的大小，以及它们发生时的$\hat{p}^i$。此外，将它们代入式(3.20)，得到存在度规摄动(见练习$3.12$)时能量动量张量的分布函数表达式，这是我们以后需要的
物理代写|宇宙学代写cosmology代考|辐射的无碰撞玻尔兹曼方程
摄动宇宙中辐射的玻尔兹曼方程，即超相对论粒子，是对节$3.2 .2$中处理的直接推广，该处理导致我们得到式(3.39)。此外，通过计算$d x^i / d t$ [Eq.(3.62)]和$d p^i / d t$ [Eq.(3.69)]的表达式，我们已经完成了最难的部分。我们只是将它们专门化到$m=0$的情况，即$E=p$。我们可以将式(3.33)写成
$$
\begin{aligned}
\frac{d f}{d t}=& \frac{\partial f}{\partial t}+\frac{\partial f}{\partial x^i} \frac{\hat{p}^i}{a}(1-\Phi+\Psi)-\frac{\partial f}{\partial p}\left{[H+\dot{\Phi}] p+\frac{1}{a} p^i \Psi_{, i}\right} \
&+\frac{\partial f}{\partial \hat{p}^i} \frac{1}{a}\left[(\Phi-\Psi){, i}-\hat{p}^i \hat{p}^k(\Phi-\Psi){, k}\right]
\end{aligned}
$$
这是辐射玻尔兹曼方程的完整线性阶左边。然而，我们可以利用我们对零阶分布函数$f(\boldsymbol{x}, \boldsymbol{p}, t)$的知识进一步简化它。在均匀宇宙中，这种分布符合玻色-爱因斯坦式(2.65)。这种均衡分布显然不依赖于
位置$\boldsymbol{x}$，但它也不依赖于动量矢量$\hat{\boldsymbol{p}}$的方向，因为它是各向同性的。我们现在得出一个结论:在非均匀宇宙中，偏离辐射平衡分布的偏差与时空摄动$\Phi, \Psi$是同阶的。我们将在后面的章节中看到，这个ansatz不仅使我们的生活更容易，而且确实是有效的 有了这个可行的假设，我们可以立即删除式(3.73)中的最后一项$\propto \partial f / \partial \hat{p}^i$。回想一下，只有当我们考虑一个零阶扰动$f$时，$\partial f / \partial \hat{p}^i$才是非零的;也就是说，它是一阶项。但乘以它的项也是如此。所以我们可以忽略它
此外，很容易看出，Eq.(3.73)中第二项$\propto \partial f / \partial x^i$中的势也是高阶的，因为它们乘以$\partial f / \partial x^i$, 是一阶项(再次强调，零阶分布函数不依赖于位置)。我们最终得到辐射的玻尔兹曼方程一致地展开为线性阶:
$$
\frac{d f}{d t}=\frac{\partial f}{\partial t}+\frac{\hat{p}^i}{a} \frac{\partial f}{\partial x^i}-\left[H+\dot{\Phi}+\frac{1}{a} \hat{p}^i \frac{\partial \Psi}{\partial x^i}\right] p \frac{\partial f}{\partial p} .
$$
Eq。(3.74)将直接引导我们得到控制CMB各向异性的方程
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金融工程代写
金融工程是使用数学技术来解决金融问题。金融工程使用计算机科学、统计学、经济学和应用数学领域的工具和知识来解决当前的金融问题，以及设计新的和创新的金融产品。
非参数统计代写
非参数统计指的是一种统计方法，其中不假设数据来自于由少数参数决定的规定模型；这种模型的例子包括正态分布模型和线性回归模型。
广义线性模型代考
广义线性模型（GLM）归属统计学领域，是一种应用灵活的线性回归模型。该模型允许因变量的偏差分布有除了正态分布之外的其它分布。
术语 广义线性模型（GLM）通常是指给定连续和/或分类预测因素的连续响应变量的常规线性回归模型。它包括多元线性回归，以及方差分析和方差分析（仅含固定效应）。
有限元方法代写
有限元方法（FEM）是一种流行的方法，用于数值解决工程和数学建模中出现的微分方程。典型的问题领域包括结构分析、传热、流体流动、质量运输和电磁势等传统领域。
有限元是一种通用的数值方法，用于解决两个或三个空间变量的偏微分方程（即一些边界值问题）。为了解决一个问题，有限元将一个大系统细分为更小、更简单的部分，称为有限元。这是通过在空间维度上的特定空间离散化来实现的，它是通过构建对象的网格来实现的：用于求解的数值域，它有有限数量的点。边界值问题的有限元方法表述最终导致一个代数方程组。该方法在域上对未知函数进行逼近。[1] 然后将模拟这些有限元的简单方程组合成一个更大的方程系统，以模拟整个问题。然后，有限元通过变化微积分使相关的误差函数最小化来逼近一个解决方案。
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随机分析代写
随机微积分是数学的一个分支，对随机过程进行操作。它允许为随机过程的积分定义一个关于随机过程的一致的积分理论。这个领域是由日本数学家伊藤清在第二次世界大战期间创建并开始的。
时间序列分析代写
随机过程，是依赖于参数的一组随机变量的全体，参数通常是时间。 随机变量是随机现象的数量表现，其时间序列是一组按照时间发生先后顺序进行排列的数据点序列。通常一组时间序列的时间间隔为一恒定值（如1秒，5分钟，12小时，7天，1年），因此时间序列可以作为离散时间数据进行分析处理。研究时间序列数据的意义在于现实中，往往需要研究某个事物其随时间发展变化的规律。这就需要通过研究该事物过去发展的历史记录，以得到其自身发展的规律。
回归分析代写
多元回归分析渐进（Multiple Regression Analysis Asymptotics）属于计量经济学领域，主要是一种数学上的统计分析方法，可以分析复杂情况下各影响因素的数学关系，在自然科学、社会和经济学等多个领域内应用广泛。
MATLAB代写
MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中，其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括：数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发，包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统，其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题，尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题，而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问，这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展，得到了许多用户的投入。在大学环境中，它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域，MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要，工具箱允许您学习和应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数（M 文件）的综合集合，可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。