cs代写|复杂网络代写complex network代考|Consensus tracking of CNSs with first-order nonlinear

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在网络理论的背景下,复杂网络是具有非微观拓扑特征的图(网络)这些特征在格子或随机图等简单网络中不出现,但在代表真实系统的网络中经常出现。

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cs代写|复杂网络代写complex network代考|Consensus tracking of CNSs with first-order nonlinear

cs代写|复杂网络代写complex network代考|dynamics and directed switching topologies

This chapter studies the consensus tracking of CNSs with first-order nonlinear dynamics and directed switching topologies. This chapter begins by overviewing some previous works and indicating our motivations. Section $5.2$ studies the case with Lipschitz type nonlinear dynamics without assuming that each possible network topology has a directed spanning tree. Specifically, this section proposes an algorithm for selecting the pinned nodes such that the graph contains a directed spanning tree. Section $5.3$ studies the case with Lorenz type nonlinear dynamics under directed fixed topology as well as directed switching topologies, where the Lorenz systems include the Chen and Lü systems. Finally, some simulations are given to validate the obtained theoretical results.

According to whether the final synchronization states depend on the initial value or not, synchronization in CNSs can be generally categorized into local synchronization [98, 102] and global synchronization [96]. Compared with the local synchronization, the global synchronization means that the network synchronization can be achieved under any given initial conditions, thus is more favorable in practical applications. In [96], a distance between the nodes’ states and the synchronization manifold was introduced, based on which a new methodology was proposed to investigate the global synchronization of coupled systems. Later, general algebraic connectivity was proposed in [218] to study the global synchronization as well as local synchronization problems in strongly connected networks. Global synchronization for coupled linear systems via state or output feedback control was studied in [224]. In $[179,204]$, global synchronization for a class of CNSs with sampling-data coupling was

addressed. For the case that the considered networks are not strongly connected or even do not contain any directed spanning tree, the pinning synchronization problem arises $[74,176,178,216]$. Pinning synchronization in scale-free and small-world complex networks were addressed in [178] and [176], respectively. Later, local and global pinning synchronization in random and scale-free networks were studied in [74]. It is worth noting that global synchronization is actually consensus tracking by regarding the target system in the network as a leader. In [216], pinning synchronization of undirected CNSs was further addressed. Without assuming the network topology is undirected or strongly connected, it was proved in [20] that a single controller can pin a coupled CNS to its homogeneous trajectory under some suitable conditions. Global pinning synchronization for a class of CNSs has been investigated in [66] under a $V$-stability framework. However, it is previously assumed in the aforementioned literature that each possible network topology contains a directed spanning tree with the leader being the root node. This indicates that each agent in the considered network can be influenced by the leader directly or indirectly. In some real cases, the aforementioned condition is hard or even impossible to verify.

Motivated by the aforementioned works on consensus tracking (i.e., global pinning synchronization) of CNSs, this chapter aims to solve the consensus tracking problem for a class of switched CNSs where some possible network topologies may not contain any directed spanning tree. By using a combined tool from $M$-matrix theory and stability analysis of switched systems, a new kind of topology-dependent MLFs for the switched networks is constructed. Theoretical analysis indicates that the consensus tracking in such a CNS can be achieved if some carefully selected nodes are pinned such that the network topology contains a directed spanning tree rooted at the target node frequently enough as the network evolves with time. Without causing any confusion, global pinning synchronization is referred as consensus tracking in the subsequent analysis in this chapter.

cs代写|复杂网络代写complex network代考|Model formulation

Suppose that the considered CNS consists of $N$ nodes, the dynamics of agent $i$ are given by
$$
\dot{x}{i}(t)=f\left(x{i}(t), t\right)+\alpha \sum_{j=1}^{N} a_{i j}(t)\left(x_{j}(t)-x_{i}(t)\right)
$$
where $x_{i}(t)=\left[x_{i 1}(t), \ldots, x_{i n}(t)\right]^{T} \in \mathbb{R}^{n}$ for $i=1, \ldots, N$ represent the states of agent $i, \alpha>0$ is the coupling strength, and $\mathcal{A}(t)=\left[a_{i j}(t)\right]{N \times N}$ is the adjacency matrix of graph $\mathcal{G}(\mathcal{A}(t))$ at time $t$. Throughout this chapter, the derivatives of all functions at switching time points should be considered as their right-hand derivatives. According to the definition of Laplacian matrix for a graph, it follows from (5.1) that $$ \dot{x}{i}(t)=f\left(x_{i}(t), t\right)-\alpha \sum_{j=1}^{N} l_{i j}(t) x_{j}(t),
$$
where $\mathcal{L}(t)=\left[l_{i j}(t)\right]_{N \times N}$ is the Laplacian matrix of graph $\mathcal{G}(\mathcal{A}(t))$.

The control goal in this section is to design pinning controllers for some appropriately selected agents in (5.2) such that the states of each agent in the considered network will approach $s(t)$ when $t$ approaches $+\infty$, i.e., $\lim {t \rightarrow \infty}\left|x{i}(t)-s(t)\right|=0$, for all $i=1, \ldots, N$ and arbitrarily given initial conditions, where
$$
\dot{s}(t)=f(s(t), t) .
$$
Here, $s(t)$ may be an equilibrium point, a periodic orbit, or even a chaotic orbit. Motivated by the works in [74], pinning network (5.2) by using linear controllers $-\alpha c_{i}(t)\left(x_{i}(t)-s(t)\right)$ to agent $i$ leads to
$$
\dot{x}{i}(t)=f\left(x{i}(t), t\right)-\alpha \sum_{j=1}^{N} l_{i j}(t) x_{j}(t)-\alpha c_{i}(t)\left(x_{i}(t)-s(t)\right)
$$
where $c_{i}(t) \in{0,1}$ and $c_{i}(t)=1$ if and only if agent $i$ of (5.2) is pinned at time $t$.
Let $e_{i}(t)=x_{i}(t)-s(t), i=1, \ldots, N$. It thus follows from (5.4) that
$$
\dot{e}{i}(t)=f\left(x{i}(t), t\right)-f(s(t), t)-\alpha \sum_{j=1}^{N} l_{i j}(t) e_{j}(t)-\alpha c_{i}(t) e_{i}(t)
$$
By taking the target system (5.3) as a virtual leader of the CNS under consideration, one may get the augmented network topology $\mathcal{G}(\widetilde{\mathcal{A}}(t))$ consisting of $N+1$ agents. Labeling the index of the virtual agent as 0 , the Laplacian matrix $\widetilde{L}(t)$ of the augmented network topology $\mathcal{G}(\widetilde{\mathcal{A}}(t))$ can be written as:
$$
\tilde{\mathcal{L}}(t)=\left[\begin{array}{cc}
0 & \mathbf{0}{N}^{T} \ \mathbf{P}(t) & \overline{\mathcal{L}}(t) \end{array}\right] \in \mathbb{R}^{(N+1) \times(N+1)} $$ $$ \overline{\mathcal{L}}(t)=\left[\begin{array}{cccc} \sum{j \in \mathcal{N}{1}} a{1 j}(t) & -a_{12}(t) & \ldots & -a_{1 N}(t) \
-a_{21}(t) & \sum_{j \in \mathcal{N}{2}} a{2 j}(t) & \ldots & -a_{2 N}(t) \
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \
-a_{N 1}(t) & -a_{N 2}(t) & \ldots & \sum_{j \in \mathcal{N}{N}} a{N j}(t)
\end{array}\right]
$$

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Based on the analysis in the last section, one has that, for each $s \in \mathcal{P}, \mathcal{G}\left(\widetilde{\mathcal{A}}^{s}\right)$ contains a directed spanning tree rooted at agent 0 . Denote the Laplacian matrix of $\mathcal{G}\left(\widetilde{\mathcal{A}}^{s}\right)$ by $\widetilde{\mathcal{L}}^{s}$. Without loss of generality, let
$$
\begin{gathered}
\tilde{\mathcal{L}}^{s}=\left[\begin{array}{cc}
0 & \mathbf{0}{N}^{T} \ \mathbf{P}^{s} & \overline{\mathcal{L}}^{s} \end{array}\right] \in \mathbb{R}^{(N+1) \times(N+1)}, \ \overline{\mathcal{L}}^{s}=\left[\begin{array}{cccc} \sum{j \in \mathcal{N}{1}} a{1 j}^{s} & -a_{12}^{s} & \cdots & -a_{1 N}^{s} \
-a_{21}^{s} & \sum_{j \in \mathcal{N}{2}} a{2 j}^{s} & \cdots & -a_{2 N}^{s} \
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \
-a_{N 1}^{s} & -a_{N 2}^{s} & \cdots & \sum_{j \in \mathcal{N}{N}} a{N j}^{s}
\end{array}\right],
\end{gathered}
$$
where $\mathbf{P}^{s}=-\left[a_{10}^{s}, \ldots, a_{N 0}^{s}\right]^{T}, a_{i 0}^{s}=c_{i}^{s}$, and $a_{i 0}^{s}=1$ if agent $i$ in graph $\mathcal{G}\left(\mathcal{A}^{s}\right)$ is pinned, $i=1, \ldots, N$. According to the condition that, for each $s \in \mathcal{P}, \mathcal{G}\left(\widetilde{\mathcal{A}}^{s}\right)$ contains a directed spanning tree, then $\overline{\mathcal{L}}^{s}$ is a nonsingular $M$-matrix. Then, by using Lemma $2.15$, we can get some positive definite matrices $\left(\bar{\Phi}^{\sigma\left(\bar{t}{\rho}\right)} \overline{\mathcal{L}}^{\sigma\left(\bar{t}{\rho}\right)}+\left(\overline{\mathcal{L}}^{\sigma\left(\bar{t}{\rho}\right)}\right)^{T} \bar{\Phi}^{\sigma\left(\bar{t}{\rho}\right)}\right)$ by letting $\bar{\Phi}^{\sigma\left(\bar{t}{\rho}\right)}=\operatorname{diag}\left{\phi{1}^{\sigma\left(\bar{t}{\rho}\right)}, \ldots, \phi{N}^{\sigma\left(\bar{t}{\rho}\right)}\right}$ with $\phi^{\sigma\left(\bar{t}{\rho}\right)}=\left[\phi_{1}^{\sigma\left(\bar{t}{\rho}\right)}, \ldots, \phi{N}^{\sigma\left(\bar{t}{\rho}\right)}\right]^{T}$ satisfies $\left(\overline{\mathcal{L}}^{\sigma\left(\bar{t}{\rho}\right)}\right)^{T} \phi^{\sigma\left(\bar{t}{\mu}\right)}=\mathbf{1}{N} .$

For notational brevity, one may let
where $\mathcal{Q}{\text {sub }}^{t{\min }^{p}}=\left{\sigma(t): t \in\left[t_{\min }^{\rho}, \bar{t}{\rho+1}\right)\right}, \tilde{\lambda}{0}^{i}$ is the smallest eigenvalue of $\overline{\mathcal{L}}^{i}+$ $\left(\bar{\Phi}^{\sigma\left(\bar{t}{\rho}\right)}\right)^{-1}\left(\overline{\mathcal{L}}^{i}\right)^{T} \bar{\Phi}^{\sigma\left(\bar{t}{\rho}\right)}$. Furthermore, let
$$
\mu=\max {i \neq j, i, j \in \mathcal{P}} \frac{\phi{\max }^{i}}{\phi_{\min }^{j}},
$$
where $\phi_{\min }^{s}=\min {r=1, \ldots, N} \phi{r}^{s}, \phi_{\max }^{s}=\max {r=1, \ldots, N} \phi{r}^{s}$, for each $s \in \mathcal{P}$.
Based on the above analysis, one may get the following theorem which summarizes the main results of this section.

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复杂网络代写

cs代写|复杂网络代写complex network代考|dynamics and directed switching topologies

本章研究了具有一阶非线性动力学和有向开关拓扑的 CNS 的一致性跟踪。本章首先概述了一些以前的工作并指出了我们的动机。部分5.2研究了 Lipschitz 型非线性动力学的情况,而不假设每个可能的网络拓扑都有一个有向生成树。具体来说,本节提出了一种用于选择固定节点的算法,以使图包含有向生成树。部分5.3研究了有向固定拓扑和有向开关拓扑下洛伦兹型非线性动力学的情况,其中洛伦兹系统包括陈和吕系统。最后,给出了一些模拟来验证所获得的理论结果。

根据最终同步状态是否依赖于初始值,CNS 中的同步一般可分为局部同步 [98, 102] 和全局同步 [96]。与局部同步相比,全局同步意味着在任何给定的初始条件下都可以实现网络同步,在实际应用中更为有利。在[96]中,引入了节点状态和同步流形之间的距离,在此基础上提出了一种新的方法来研究耦合系统的全局同步。后来,在[218]中提出了通用代数连通性来研究强连通网络中的全局同步和局部同步问题。在[224]中研究了通过状态或输出反馈控制的耦合线性系统的全局同步。在[179,204],具有采样数据耦合的一类 CNS 的全局同步是

解决。对于所考虑的网络不是强连接甚至不包含任何有向生成树的情况,就会出现锁定同步问题[74,176,178,216]. [178] 和 [176] 分别解决了无标度和小世界复杂网络中的钉扎同步问题。后来,在[74]中研究了随机和无标度网络中的局部和全局锁定同步。值得注意的是,全局同步实际上是以网络中的目标系统为领导者的共识跟踪。在 [216] 中,进一步解决了无向 CNS 的钉扎同步问题。在不假设网络拓扑是无向或强连接的情况下,[20] 证明了单个控制器可以在某些合适的条件下将耦合的 CNS 固定到其同质轨迹上。在 [66] 中研究了一类 CNS 的全局锁定同步。在-稳定性框架。然而,之前在上述文献中假设每个可能的网络拓扑都包含一个有向生成树,领导者是根节点。这表明所考虑网络中的每个代理都可以直接或间接地受到领导者的影响。在某些实际情况下,上述条件很难甚至无法验证。

受上述 CNS 共识跟踪(即全局锁定同步)工作的启发,本章旨在解决一类交换 CNS 的共识跟踪问题,其中一些可能的网络拓扑可能不包含任何有向生成树。通过使用来自的组合工具米矩阵理论和交换系统稳定性分析,构造了一种新的交换网络拓扑相关的MLF。理论分析表明,如果一些精心选择的节点被固定,使得网络拓扑包含一个以目标节点为根的有向生成树,随着网络随时间的发展而足够频繁,则可以在这种 CNS 中实现一致性跟踪。在不引起任何混淆的情况下,在本章后续分析中将全局 pinning 同步称为共识跟踪。

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假设所考虑的 CNS 包括ñ节点,代理的动态一世由

X˙一世(吨)=F(X一世(吨),吨)+一个∑j=1ñ一个一世j(吨)(Xj(吨)−X一世(吨))
在哪里X一世(吨)=[X一世1(吨),…,X一世n(吨)]吨∈Rn为了一世=1,…,ñ代表代理的状态一世,一个>0是耦合强度,并且一个(吨)=[一个一世j(吨)]ñ×ñ是图的邻接矩阵G(一个(吨))有时吨. 在本章中,所有函数在切换时间点的导数都应视为它们的右手导数。根据图的拉普拉斯矩阵的定义,由(5.1)式可得

X˙一世(吨)=F(X一世(吨),吨)−一个∑j=1ñl一世j(吨)Xj(吨),
在哪里大号(吨)=[l一世j(吨)]ñ×ñ是图的拉普拉斯矩阵G(一个(吨)).

The control goal in this section is to design pinning controllers for some appropriately selected agents in (5.2) such that the states of each agent in the considered network will approachs(吨)什么时候吨方法+∞, IE,林吨→∞|X一世(吨)−s(吨)|=0, 对全部一世=1,…,ñ并且任意给定初始条件,其中

s˙(吨)=F(s(吨),吨).
这里,s(吨)可能是一个平衡点,一个周期轨道,甚至是一个混沌轨道。受 [74] 中作品的启发,使用线性控制器固定网络(5.2)−一个C一世(吨)(X一世(吨)−s(吨))代理一世导致

X˙一世(吨)=F(X一世(吨),吨)−一个∑j=1ñl一世j(吨)Xj(吨)−一个C一世(吨)(X一世(吨)−s(吨))
在哪里C一世(吨)∈0,1和C一世(吨)=1当且仅当代理一世(5.2)的时间被固定吨.
让和一世(吨)=X一世(吨)−s(吨),一世=1,…,ñ. 因此,从 (5.4) 可以得出

和˙一世(吨)=F(X一世(吨),吨)−F(s(吨),吨)−一个∑j=1ñl一世j(吨)和j(吨)−一个C一世(吨)和一世(吨)
通过将目标系统(5.3)作为所考虑的 CNS 的虚拟领导者,可以得到增强的网络拓扑G(一个~(吨))包含由…组成ñ+1代理。将虚拟代理的索引标记为 0 ,拉普拉斯矩阵大号~(吨)增强网络拓扑G(一个~(吨))可以写成:

大号~(吨)=[00ñ吨 磷(吨)大号¯(吨)]∈R(ñ+1)×(ñ+1)

大号¯(吨)=[∑j∈ñ1一个1j(吨)−一个12(吨)…−一个1ñ(吨) −一个21(吨)∑j∈ñ2一个2j(吨)…−一个2ñ(吨) ⋮⋮⋱⋮ −一个ñ1(吨)−一个ñ2(吨)…∑j∈ññ一个ñj(吨)]

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根据上一节的分析,对于每个s∈磷,G(一个~s)包含以代理 0 为根的有向生成树。表示拉普拉斯矩阵G(一个~s)经过大号~s. 不失一般性,让

大号~s=[00ñ吨 磷s大号¯s]∈R(ñ+1)×(ñ+1), 大号¯s=[∑j∈ñ1一个1js−一个12s⋯−一个1ñs −一个21s∑j∈ñ2一个2js⋯−一个2ñs ⋮⋮⋱⋮ −一个ñ1s−一个ñ2s⋯∑j∈ññ一个ñjs],
在哪里磷s=−[一个10s,…,一个ñ0s]吨,一个一世0s=C一世s, 和一个一世0s=1如果代理一世在图中G(一个s)被固定,一世=1,…,ñ. 根据条件,对于每个s∈磷,G(一个~s)包含有向生成树,则大号¯s是一个非奇异的米-矩阵。然后,通过使用引理2.15,我们可以得到一些正定矩阵(披¯σ(吨¯ρ)大号¯σ(吨¯ρ)+(大号¯σ(吨¯ρ))吨披¯σ(吨¯ρ))通过让\bar{\Phi}^{\sigma\left(\bar{t}{\rho}\right)}=\operatorname{diag}\left{\phi{1}^{\sigma\left(\bar{ t}{\rho}\right)}, \ldots, \phi{N}^{\sigma\left(\bar{t}{\rho}\right)}\right}\bar{\Phi}^{\sigma\left(\bar{t}{\rho}\right)}=\operatorname{diag}\left{\phi{1}^{\sigma\left(\bar{ t}{\rho}\right)}, \ldots, \phi{N}^{\sigma\left(\bar{t}{\rho}\right)}\right}和φσ(吨¯ρ)=[φ1σ(吨¯ρ),…,φñσ(吨¯ρ)]吨满足(大号¯σ(吨¯ρ))吨φσ(吨¯μ)=1ñ.

为了符号简洁,可以让
where\mathcal{Q}{\text {sub }}^{t{\min }^{p}}=\left{\sigma(t): t \in\left[t_{\min }^{\rho} , \bar{t}{\rho+1}\right)\right}, \波浪号{\lambda}{0}^{i}\mathcal{Q}{\text {sub }}^{t{\min }^{p}}=\left{\sigma(t): t \in\left[t_{\min }^{\rho} , \bar{t}{\rho+1}\right)\right}, \波浪号{\lambda}{0}^{i}是的最小特征值大号¯一世+ (披¯σ(吨¯ρ))−1(大号¯一世)吨披¯σ(吨¯ρ). 此外,让

μ=最大限度一世≠j,一世,j∈磷φ最大限度一世φ分钟j,
在哪里φ分钟s=分钟r=1,…,ñφrs,φ最大限度s=最大限度r=1,…,ñφrs, 对于每个s∈磷.
基于以上分析,可以得到以下定理,概括了本节的主要结果。

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金融工程代写

金融工程是使用数学技术来解决金融问题。金融工程使用计算机科学、统计学、经济学和应用数学领域的工具和知识来解决当前的金融问题,以及设计新的和创新的金融产品。

非参数统计代写

非参数统计指的是一种统计方法,其中不假设数据来自于由少数参数决定的规定模型;这种模型的例子包括正态分布模型和线性回归模型。

广义线性模型代考

广义线性模型(GLM)归属统计学领域,是一种应用灵活的线性回归模型。该模型允许因变量的偏差分布有除了正态分布之外的其它分布。

术语 广义线性模型(GLM)通常是指给定连续和/或分类预测因素的连续响应变量的常规线性回归模型。它包括多元线性回归,以及方差分析和方差分析(仅含固定效应)。

有限元方法代写

有限元方法(FEM)是一种流行的方法,用于数值解决工程和数学建模中出现的微分方程。典型的问题领域包括结构分析、传热、流体流动、质量运输和电磁势等传统领域。

有限元是一种通用的数值方法,用于解决两个或三个空间变量的偏微分方程(即一些边界值问题)。为了解决一个问题,有限元将一个大系统细分为更小、更简单的部分,称为有限元。这是通过在空间维度上的特定空间离散化来实现的,它是通过构建对象的网格来实现的:用于求解的数值域,它有有限数量的点。边界值问题的有限元方法表述最终导致一个代数方程组。该方法在域上对未知函数进行逼近。[1] 然后将模拟这些有限元的简单方程组合成一个更大的方程系统,以模拟整个问题。然后,有限元通过变化微积分使相关的误差函数最小化来逼近一个解决方案。

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随机微积分是数学的一个分支,对随机过程进行操作。它允许为随机过程的积分定义一个关于随机过程的一致的积分理论。这个领域是由日本数学家伊藤清在第二次世界大战期间创建并开始的。

时间序列分析代写

随机过程,是依赖于参数的一组随机变量的全体,参数通常是时间。 随机变量是随机现象的数量表现,其时间序列是一组按照时间发生先后顺序进行排列的数据点序列。通常一组时间序列的时间间隔为一恒定值(如1秒,5分钟,12小时,7天,1年),因此时间序列可以作为离散时间数据进行分析处理。研究时间序列数据的意义在于现实中,往往需要研究某个事物其随时间发展变化的规律。这就需要通过研究该事物过去发展的历史记录,以得到其自身发展的规律。

回归分析代写

多元回归分析渐进(Multiple Regression Analysis Asymptotics)属于计量经济学领域,主要是一种数学上的统计分析方法,可以分析复杂情况下各影响因素的数学关系,在自然科学、社会和经济学等多个领域内应用广泛。

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MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中,其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括:数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发,包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统,其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题,尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题,而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问,这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展,得到了许多用户的投入。在大学环境中,它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域,MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要,工具箱允许您学习应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数(M 文件)的综合集合,可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。

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