cs代写|复杂网络代写complex network代考|Consensus tracking of CNSs with higher-order dynamics

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在网络理论的背景下,复杂网络是具有非微观拓扑特征的图(网络)这些特征在格子或随机图等简单网络中不出现,但在代表真实系统的网络中经常出现。

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cs代写|复杂网络代写complex network代考|Consensus tracking of CNSs with higher-order dynamics

cs代写|复杂网络代写complex network代考|directed switching topologies

This chapter studies the consensus tracking of CNSs with higher-order dynamics and directed switching topologies. This chapter begins by overviewing some previous works and by indicating our motivations. Section $6.2$ firstly studies the case with Lipschitz nonlinear dynamics and directed fixed topology. Then we extend the results to directed switching topologies with each topology contains a directed spanning tree. This section finally studies the case with directed switching topologies that frequently contain a directed spanning tree. Section $6.3$ studies the case with general linear dynamics and occasionally missing control inputs. This section presents some sufficient criteria for achieving consensus tracking. Moreover, the convergence rate is discussed. Finally, some simulations are given to validate the theoretical results.

In contrast to CNSs with first-order nonlinear dynamics, CNSs with second-order nonlinear dynamics are more interesting as it can describe a large class of real networked systems, including coupled pendulums [5] and coupled point-mass systems with or without nonlinear disturbances [165]. Leaderless consensus problem for CNSs with second-order nonlinear dynamics and a fixed weakly connected topology was investigated in [217]. In [137], the consensus tracking problem for CNSs with second-order nonlinear dynamics in the presence of a leader under an arbitrarily given directed topology was studied from pinning control approach. Furthermore, consensus tracking problem for CNSs with higher-order Lipschitz type agent dynamics and a fixed topology was studied in [79].

In the existing literature on the consensus tracking problem for CNSs with nonlinear dynamics, it is commonly assumed that the communication topology is fixed.

cs代写|复杂网络代写complex network代考|CONSENSUS TRACKING OF CNSS WITH HIGHER-ORDER NONLINEAR DYNAMICS

Consider a CNS consisting of a leader and $N$ followers, where the leader is labelled as agent 0 and the followers are labelled as agents $1, \ldots, N$. The dynamics of agent $i, i=0,1, \ldots, N$, are given by
$$
\dot{x}{i}(t)=A x{i}(t)+C f\left(x_{i}(t), t\right)+B u_{i}(t),
$$
where $x_{i}(t) \in \mathbb{R}^{n}$ represent the states of agent $i, f(\cdot, \cdot): \mathbb{R}^{n} \times[0,+\infty) \mapsto \mathbb{R}^{p}$ is a continuously differentiable vector-valued function representing the intrinsic nonlinear dynamics, $u_{i}(t) \in \mathbb{R}^{m}$ is the control input to be designed, $A \in \mathbb{R}^{n \times n}, B \in \mathbb{R}^{n \times m}$, and $C \in \mathbb{R}^{n \times p}$ are constant real matrices. It is assumed that the matrix pair $(A, B)$ is stabilizable. In this section, it is assumed that the leader will not being affected by any followers, i.e. $u_{0}(t) \equiv \mathbf{0}{m}$ in CNS (6.1). Before moving on, the following assumption is made. Assumption 6.1 There exists a nonnegative constant $\varrho$, such that $$ |f(y, t)-f(z, t)| \leq \varrho|y-z|, \forall y, z \in \mathbb{R}^{n}, t \geq 0 $$ To achieve consensus tracking, the following distributed consensus tracking protocol is proposed for each follower $i$ : $$ u{i}(t)=\alpha F \sum_{j=0}^{N} a_{i j}(t)\left(x_{j}(t)-x_{i}(t)\right), \quad i=1, \ldots, N,
$$
where $\alpha>0$ represents the coupling strength, $F \in \mathbb{R}^{m \times n}$ is the feedback gain matrix to be designed, and $\mathcal{A}(t)=\left[a_{i j}(t)\right]_{(N+1) \times(N+1)}$ is the adjacency matrix of graph $\mathcal{G}(t)$. Here, $\mathcal{G}(t)$ describes the underlying communication topology among the $N+1$ agents at time $t$.

cs代写|复杂网络代写complex network代考|Main results for fixed topology containing a directed spanning tree

In this section, distributed consensus tracking is addressed for CNS (6.1) with a fixed communication topology containing a directed spanning tree.

Without loss of generality, let $\mathcal{G}(t)=\mathcal{G}$ for all $t \geq 0$ since the communication topology is assumed to be fixed in this subsection. To derive the main results, the following assumption is needed.

Assumption 6.2 The communication topology $\mathcal{G}$ contains a directed spanning tree with agent 0 (i.e. the leader) as the root.

Under Assumption 6.2, , the Laplacian matrix of directed graph $\mathcal{G}$ can be written as
$$
\mathcal{L}=\left[\begin{array}{cc}
0 & \mathbf{0}{N}^{T} \ \mathbf{P} & \overline{\mathcal{L}} \end{array}\right], \quad \overline{\mathcal{L}}=\left[\begin{array}{cccc} \sum{j \in N_{1}} a_{1 j} & -a_{12} & \cdots & -a_{1 N} \
-a_{21} & \sum_{j \in \mathcal{N}{2}} a{2 j} & \cdots & -a_{2 N} \
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \
-a_{N 1} & -a_{N 2} & \cdots & \sum_{j \in \mathcal{N}{N}} a{N j}
\end{array}\right]
$$
where $\mathbf{P}=-\left[a_{10}, \ldots, a_{N 0}\right]^{T}$. It can be thus obtained from Lemma $2.15$ that there exists a positive definite diagonal matrix $\Phi=\operatorname{diag}\left{\phi_{1}, \ldots, \phi_{N}\right}$ such that $\overline{\mathcal{L}}^{T} \Phi+$ $\Phi \overline{\mathcal{L}}>0$. One such $\phi=\left[\phi_{1}, \ldots, \phi_{N}\right]^{T}$ can be obtained by solving the matrix equation $\overline{\mathcal{L}}^{T} \phi=\mathbf{1}{N}$. Since $u{0}(t) \equiv \mathbf{0}{m}$, one has $$ \dot{x}{0}(t)=A x_{0}(t)+C f\left(x_{0}(t), t\right) .
$$
Furthermore, substituting (6.2) into (6.1) gives a closed-loop system:
$$
\dot{x}{i}(t)=A x{i}(t)+C f\left(x_{i}(t), t\right)+\alpha B F \sum_{j=0}^{N} a_{i j}\left(x_{j}(t)-x_{i}(t)\right), i=1, \ldots, N,
$$
where $\mathcal{A}=\left[a_{i j}\right]{(N+1) \times(N+1)}$ is the adjacency matrix of graph $\mathcal{G}$. Define $e{i}(t)=x_{i}(t)-x_{0}(t), i=1, \ldots, N$, and $e(t)=\left[e_{1}^{T}(t), \ldots, e_{N}^{T}(t)\right]^{T}$. Based on the above analysis, one has the following error dynamical system:
$$
\dot{e}{i}(t)=A e{i}(t)+C\left(f\left(x_{i}(t), t\right)-f\left(x_{0}(t), t\right)\right)-\alpha B F \sum_{j=1}^{N} \bar{l}{i j}(t) e{j}(t)
$$
Rewriting (6.5) into a compact form, one has
$$
\dot{e}(t)=\left(I_{N} \otimes A\right) e(t)+\left(I_{N} \otimes C\right) \tilde{f}(x(t), t)-\alpha(\overline{\mathcal{L}} \otimes B F) e(t)
$$

where $\tilde{f}(x(t), t)=\left[\left(f\left(x_{1}(t), t\right)-f\left(x_{0}(t), t\right)\right)^{T}, \ldots,\left(f\left(x_{N}(t), t\right)-f\left(x_{0}(t), t\right)\right)^{T}\right]^{T}$ and $x(t)=\left[x_{0}^{T}(t), x_{1}^{T}(t), \ldots, x_{N}^{T}(t)\right]^{T} .$

Before moving on, a multi-step design procedure is given for selecting the control parameters in protocol (6.2) under a fixed topology $\mathcal{G}$.

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复杂网络代写

cs代写|复杂网络代写complex network代考|directed switching topologies

本章研究具有高阶动态和定向切换拓扑的 CNS 的一致性跟踪。本章首先概述了一些以前的工作并指出了我们的动机。部分6.2首先研究了Lipschitz非线性动力学和有向固定拓扑的情况。然后我们将结果扩展到有向交换拓扑,每个拓扑都包含一个有向生成树。本节最后研究了经常包含有向生成树的有向交换拓扑的情况。部分6.3研究一般线性动力学和偶尔缺少控制输入的情况。本节介绍了实现共识跟踪的一些充分标准。此外,还讨论了收敛速度。最后,给出了一些模拟来验证理论结果。

与具有一阶非线性动力学的 CNS 相比,具有二阶非线性动力学的 CNS 更有趣,因为它可以描述一大类真实的网络系统,包括耦合摆 [5] 和有或没有非线性扰动的耦合点质量系统[165]。在 [217] 中研究了具有二阶非线性动力学和固定弱连接拓扑的 CNS 的无领导共识问题。在 [137] 中,从 pinning 控制方法研究了在任意给定的有向拓扑下存在领导者的情况下具有二阶非线性动力学的 CNS 的一致性跟踪问题。此外,在 [79] 中研究了具有高阶 Lipschitz 类型代理动力学和固定拓扑的 CNS 的共识跟踪问题。

在现有的关于具有非线性动力学的 CNS 的一致性跟踪问题的文献中,通常假设通信拓扑是固定的。

cs代写|复杂网络代写complex network代考|CONSENSUS TRACKING OF CNSS WITH HIGHER-ORDER NONLINEAR DYNAMICS

考虑一个由领导者和ñ追随者,其中领导者被标记为代理 0,追随者被标记为代理1,…,ñ. 代理的动态一世,一世=0,1,…,ñ, 由

X˙一世(吨)=一个X一世(吨)+CF(X一世(吨),吨)+乙在一世(吨),
在哪里X一世(吨)∈Rn代表代理的状态一世,F(⋅,⋅):Rn×[0,+∞)↦Rp是表示内在非线性动力学的连续可微向量值函数,在一世(吨)∈R米是要设计的控制输入,一个∈Rn×n,乙∈Rn×米, 和C∈Rn×p是常数实矩阵。假设矩阵对(一个,乙)是稳定的。在本节中,假设领导者不会受到任何追随者的影响,即在0(吨)≡0米在中枢神经系统(6.1)中。在继续之前,做出以下假设。假设 6.1 存在一个非负常数ϱ, 这样

|F(是,吨)−F(和,吨)|≤ϱ|是−和|,∀是,和∈Rn,吨≥0为了实现共识跟踪,为每个追随者提出了以下分布式共识跟踪协议一世 :

在一世(吨)=一个F∑j=0ñ一个一世j(吨)(Xj(吨)−X一世(吨)),一世=1,…,ñ,
在哪里一个>0表示耦合强度,F∈R米×n是要设计的反馈增益矩阵,并且一个(吨)=[一个一世j(吨)](ñ+1)×(ñ+1)是图的邻接矩阵G(吨). 这里,G(吨)描述了底层通信拓扑ñ+1当时的代理人吨.

cs代写|复杂网络代写complex network代考|Main results for fixed topology containing a directed spanning tree

在本节中,针对具有包含有向生成树的固定通信拓扑的 CNS(6.1)解决分布式共识跟踪问题。

不失一般性,让G(吨)=G对所有人吨≥0因为在本小节中假设通信拓扑是固定的。为了得出主要结果,需要以下假设。

假设 6.2 通信拓扑G包含一个以代理 0(即领导者)为根的有向生成树。

在假设 6.2 下,有向图的拉普拉斯矩阵G可以写成

大号=[00ñ吨 磷大号¯],大号¯=[∑j∈ñ1一个1j−一个12⋯−一个1ñ −一个21∑j∈ñ2一个2j⋯−一个2ñ ⋮⋮⋱⋮ −一个ñ1−一个ñ2⋯∑j∈ññ一个ñj]
在哪里磷=−[一个10,…,一个ñ0]吨. 因此可以从引理得到2.15存在一个正定对角矩阵\Phi=\operatorname{diag}\left{\phi_{1}, \ldots, \phi_{N}\right}\Phi=\operatorname{diag}\left{\phi_{1}, \ldots, \phi_{N}\right}这样大号¯吨披+ 披大号¯>0. 一个这样的φ=[φ1,…,φñ]吨可以通过求解矩阵方程得到大号¯吨φ=1ñ. 自从在0(吨)≡0米, 一个有

X˙0(吨)=一个X0(吨)+CF(X0(吨),吨).
此外,将 (6.2) 代入 (6.1) 得到一个闭环系统:

X˙一世(吨)=一个X一世(吨)+CF(X一世(吨),吨)+一个乙F∑j=0ñ一个一世j(Xj(吨)−X一世(吨)),一世=1,…,ñ,
在哪里一个=[一个一世j](ñ+1)×(ñ+1)是图的邻接矩阵G. 定义和一世(吨)=X一世(吨)−X0(吨),一世=1,…,ñ, 和和(吨)=[和1吨(吨),…,和ñ吨(吨)]吨. 综合以上分析,有如下误差动态系统:

和˙一世(吨)=一个和一世(吨)+C(F(X一世(吨),吨)−F(X0(吨),吨))−一个乙F∑j=1ñl¯一世j(吨)和j(吨)
将(6.5) 改写成紧凑形式,有

和˙(吨)=(我ñ⊗一个)和(吨)+(我ñ⊗C)F~(X(吨),吨)−一个(大号¯⊗乙F)和(吨)

在哪里F~(X(吨),吨)=[(F(X1(吨),吨)−F(X0(吨),吨))吨,…,(F(Xñ(吨),吨)−F(X0(吨),吨))吨]吨和X(吨)=[X0吨(吨),X1吨(吨),…,Xñ吨(吨)]吨.

在继续之前,给出了一个多步设计程序,用于在固定拓扑下选择协议(6.2)中的控制参数G.

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金融工程代写

金融工程是使用数学技术来解决金融问题。金融工程使用计算机科学、统计学、经济学和应用数学领域的工具和知识来解决当前的金融问题,以及设计新的和创新的金融产品。

非参数统计代写

非参数统计指的是一种统计方法,其中不假设数据来自于由少数参数决定的规定模型;这种模型的例子包括正态分布模型和线性回归模型。

广义线性模型代考

广义线性模型(GLM)归属统计学领域,是一种应用灵活的线性回归模型。该模型允许因变量的偏差分布有除了正态分布之外的其它分布。

术语 广义线性模型(GLM)通常是指给定连续和/或分类预测因素的连续响应变量的常规线性回归模型。它包括多元线性回归,以及方差分析和方差分析(仅含固定效应)。

有限元方法代写

有限元方法(FEM)是一种流行的方法,用于数值解决工程和数学建模中出现的微分方程。典型的问题领域包括结构分析、传热、流体流动、质量运输和电磁势等传统领域。

有限元是一种通用的数值方法,用于解决两个或三个空间变量的偏微分方程(即一些边界值问题)。为了解决一个问题,有限元将一个大系统细分为更小、更简单的部分,称为有限元。这是通过在空间维度上的特定空间离散化来实现的,它是通过构建对象的网格来实现的:用于求解的数值域,它有有限数量的点。边界值问题的有限元方法表述最终导致一个代数方程组。该方法在域上对未知函数进行逼近。[1] 然后将模拟这些有限元的简单方程组合成一个更大的方程系统,以模拟整个问题。然后,有限元通过变化微积分使相关的误差函数最小化来逼近一个解决方案。

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随机微积分是数学的一个分支,对随机过程进行操作。它允许为随机过程的积分定义一个关于随机过程的一致的积分理论。这个领域是由日本数学家伊藤清在第二次世界大战期间创建并开始的。

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随机过程,是依赖于参数的一组随机变量的全体,参数通常是时间。 随机变量是随机现象的数量表现,其时间序列是一组按照时间发生先后顺序进行排列的数据点序列。通常一组时间序列的时间间隔为一恒定值(如1秒,5分钟,12小时,7天,1年),因此时间序列可以作为离散时间数据进行分析处理。研究时间序列数据的意义在于现实中,往往需要研究某个事物其随时间发展变化的规律。这就需要通过研究该事物过去发展的历史记录,以得到其自身发展的规律。

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多元回归分析渐进(Multiple Regression Analysis Asymptotics)属于计量经济学领域,主要是一种数学上的统计分析方法,可以分析复杂情况下各影响因素的数学关系,在自然科学、社会和经济学等多个领域内应用广泛。

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