数学代写|离散数学作业代写discrete mathematics代考|MATH300

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离散数学是研究可以被认为是 “离散”(类似于离散变量,与自然数集有偏射)而不是 “连续”(类似于连续函数)的数学结构。离散数学研究的对象包括整数、图形和逻辑中的语句。相比之下,离散数学不包括 “连续数学 “中的课题,如实数、微积分或欧几里得几何。离散对象通常可以用整数来列举;更正式地说,离散数学被定性为处理可数集的数学分支(有限集或与自然数具有相同心数的集)。然而,”离散数学 “这一术语并没有确切的定义。

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  • Foundations of Data Science 数据科学基础
数学代写|离散数学作业代写discrete mathematics代考|MATH300

数学代写|离散数学作业代写discrete mathematics代考|Random variables

Let us now recall the definition of a generic random variable, and then the specific case of discrete random variables.

DEFINITION 1.9.-Let $(\Omega, \mathcal{F}, \mathbb{P})$ be a probabilizable space and $(E, \mathcal{E})$ be a measurable space. A random variable on the probability space $(\Omega, \mathcal{F}, \mathbb{P})$ taking values in the measurable space $(E, \mathcal{E})$, is any mapping $X: \Omega \longrightarrow E$ such that, for any $B$ in $\mathcal{E}, X^{-1}(B) \in \mathcal{F}$; in other words, $X: \Omega \longrightarrow E$ is a random variable if it is an $(\mathcal{F}, \mathcal{E})$-measurable mapping. We then write the event ” $\mathrm{X}$ belongs to $\mathrm{B}$ ” by
$$
X^{-1}(B)={\omega \in \Omega ; X(\omega) \in B}=(X \in B) .
$$
In the specific case where $E=\mathbb{R}$ and $\mathcal{E}=\mathcal{B}(\mathbb{R})$, the mapping $X$ is called a real random variable. If $E=\mathbb{R}^d$ with $d \geq 2$, and $\mathcal{E}=\mathcal{B}\left(\mathbb{R}^d\right)$, the mapping $X$ is said to be a real random vector.

EXAMPLE 1.12.- Let us return to the experiment where a six-sided die is rolled, where the set of possible outcomes is $\Omega={1,2,3,4,5,6}$, which is endowed with the uniform probability. Consider the following game:

  • if the result is even, you win $10 €$;
  • if the result is odd, you win $20 €$.
    This game can be modeled using the random variable $X: \Omega \longmapsto{10,20}$, defined by:
    $$
    X(\omega)=\left{\begin{array}{l}
    10 \text { if } \omega \in{2,4,6} \
    20 \text { if } \omega \in{1,3,5} .
    \end{array}\right.
    $$
    This mapping is a random variable, since for any $B \in \mathcal{P}({10,20})$, we have
    $$
    (X \in B)=X^{-1}(B)=\left{\begin{aligned}
    {2,4,6} & \text { if } B={10} \
    {1,3,5} & \text { if } B={20} \
    \Omega \text { if } B={10,20} \
    \emptyset \text { if } B=\emptyset .
    \end{aligned}\right.
    $$
    and all these events are in $\mathcal{P}(\Omega)$.

数学代写|离散数学作业代写discrete mathematics代考|σ-algebra generated by a random variable

We now define the $\sigma$-algebra generated by a random variable. This concept is important for several reasons. For instance, it can make it possible to define the independence of random variables. It is also at the heart of the definition of conditional expectations; see Chapter 2.

PROPOSITION 1.6.- Let $X$ be a real random variable, defined on $(\Omega, \mathcal{F}, \mathbb{P})$ taking values in $(E, \mathcal{E})$. Then, $\mathcal{F}_X=X^{-1}(\mathcal{E})=\left{X^{-1}(A) ; A \in \mathcal{E}\right}$ is a sub- $\sigma$-algebra of $\mathcal{F}$ on $\Omega$. This is called the $\sigma$-algebra generated by the random variable $X$. It is written as $\sigma(X)$. It is the smallest $\sigma$-algebra on $\Omega$ that makes $X$ measurable:
$$
\sigma(X)=X^{-1}(\mathcal{B}(\mathbb{R}))=\left{X^{-1}(B) ; B \in \mathcal{B}(\mathbb{R})\right}={(X \in B) ; B \in \mathcal{B}(\mathbb{R})} .
$$
EXAMPLE 1.19.- Let $\mathcal{F}_0={\emptyset, \Omega}$ and $X=c \in \mathbb{R}$ be a constant. Then, for any Borel set $B$ in $\mathbb{R},(X \in B)$ has the value $\emptyset$ if $c \notin B$ and $\Omega$ if $c \in B$. Thus, the $\sigma$-algebra generated by $X$ is $\mathcal{F}_0$. Reciprocally, it can be demonstrated that the only $\mathcal{F}_0$-measurable random variables are the constants. Indeed, let $X$ be a $\mathcal{F}_0$-measurable random variable. Assume that it takes at least two different values, $x$ and $y$. It may be assumed that $y \geq x$ without loss of generality. Therefore, let $B=\left[x, \frac{x+y}{2}\right]$. We have that $(X \in B)$ is non-empty because $x \in B$ but is not $\Omega$ since $y \notin B$. Therefore, $X$ is not $\mathcal{F}_0$-measurable.

Proposition 1.7.- Let $X$ be a random variable on $(\Omega, \mathcal{F}, \mathbb{P})$ taking values in $(E, \mathcal{E})$ and let $\sigma(X)$ be the $\sigma$-algebra generated by $X$. Thus, a random variable $Y$ is $\sigma(X)$-measurable if and only if there exists a measurable function $f$ such that $Y=f(X)$.

This technical result will be useful in certain demonstrations further on in the text. In general, if it is known that $Y$ is $\sigma(X)$-measurable, we cannot (and do not need to) make explicit the function $f$. Reciprocally, if $Y$ can be written as a measurable function of $X$, it automatically follows that $Y$ is $\sigma(X)$-measurable.

EXAMPLE 1.20.- A die is rolled 2 times. This experiment is modeled by $\Omega={1,2,3,4,5,6}^2$ endowed with the $\sigma$-algebra of its subsets and the uniform distribution. Consider the mappings $X_1, X_2$ and $Y$ from $\Omega$ onto $\mathbb{R}$ defined by
$$
\begin{aligned}
&X_1\left(\omega_1, \omega_2\right)=\omega_1, \
&X_2\left(\omega_1, \omega_2\right)=\omega_2, \
&Y\left(\omega_1, \omega_2\right)=1_{{2,4,6}}\left(\omega_1\right),
\end{aligned}
$$
thus, $X_i$ is the result of the ith roll and $Y$ is the parity indicator of the first roll. Therefore, $Y=1_{{2,4,6}}\left(X_1\right)$; thus, $Y$ is $\sigma\left(X_1\right)$-measurable. On the other hand, $Y$ cannot be written as a function of $X_2$.

数学代写|离散数学作业代写discrete mathematics代考|MATH300

离散数学代写

数学代写|离散数学作业代写discrete mathematics代考|Random variables

现在让我们回顾一下一般随机变量的定义,然后是离散随机变量的具体情况。
定义 1.9.-让 $(\Omega, \mathcal{F}, \mathbb{P})$ 是一个概率空间,并且 $(E, \mathcal{E})$ 成为一个可测量的空间。概率空间上的随机变量 $(\Omega, \mathcal{F}, \mathbb{P})$ 在可测量空间中取值 $(E, \mathcal{E})$ , 是任何映射 $X: \Omega \longrightarrow E$ 这样,对于任何 $B$ 在 $\mathcal{E}, X^{-1}(B) \in \mathcal{F}$; 换句话说,
$X: \Omega \longrightarrow E$ 是一个随机变量,如果它是 $(\mathcal{F}, \mathcal{E})$-可测量的映射。然后我们编写事件”X $\mathrm{X}$ 属于 $\mathrm{B}^{\prime \prime}$ 经过
$$
X^{-1}(B)=\omega \in \Omega ; X(\omega) \in B=(X \in B) .
$$
在特定情况下 $E=\mathbb{R}$ 和 $\mathcal{E}=\mathcal{B}(\mathbb{R})$ ,映射 $X$ 称为实随机变量。如果 $E=\mathbb{R}^d$ 和 $d \geq 2$ ,和 $\mathcal{E}=\mathcal{B}\left(\mathbb{R}^d\right)$ ,映射 $X$ 称为实随机向量。
示例 1.12.- 让我们回到郑六面骰子的实验,其中可能的结果集是 $\Omega=1,2,3,4,5,6$ ,具有均匀概率。考虑以下 游戏:

  • 如果结果是偶数, 你就赢了 $10 €$;
  • 如果结果是奇数,你赢了 $20 €$. 这个游戏可以使用随机变量建模 $X: \Omega \longmapsto 10,20$, 定义为:
    $\$ \$$
    $X($ lomega $)=\backslash$ left {
    10 if $\omega \in 2,4,620$ if $\omega \in 1,3,5$.
    、正确的。
    Thismappingisarandomvariable, since forany $\$ B \in \mathcal{P}(10,20) \$$, wehave
    $(X \backslash$ in $B)=X \wedge{-1}(B)=\backslash l \operatorname{lt}{$
    $2,4,6$ if $B=101,3,5 \quad$ if $B=20 \Omega$ if $B=10,20 \emptyset$ if $B=\emptyset$.
    、正确的。
    $\$ \$$
    所有这些事件都在 $\mathcal{P}(\Omega)$.

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我们现在定义 $\sigma$-由随机变量生成的代数。这个概念很重要有几个原因。例如,它可以定义随机变量的独立性。它 也是条件期望定义的核心;见第 2 章。
命题 1.6.- 让 $X$ 是一个真正的随机变量,定义在 $(\Omega, \mathcal{F}, \mathbb{P})$ 接受价值观 $(E, \mathcal{E})$. 然后, 随机变量生成的代数 $X$. 它被写成 $\sigma(X)$. 它是最小的 $\sigma$-代数是 $\Omega$ 这使得 $X$ 可衡量的:
$\mid$ sigma $(X)=X^{\wedge}{-1}(\backslash m a t h c a \mid{B}(\backslash m a t h b b{R}))=\backslash l \mid f t{X \wedge{-1}(B) ; B \backslash$ in $\backslash$ mathcal ${B}(\backslash m a t h b b{R}) \backslash r i g h t}={(X \backslash$ in $B) ; B \backslash$ in $\backslash m a t h c$
示例 1.19.- 让 $\mathcal{F}0=\emptyset, \Omega$ 和 $X=c \in \mathbb{R}$ 是一个常数。然后,对于任何 Borel 集 $B$ 在 $\mathbb{R},(X \in B)$ 有价值 $\emptyset$ 如果 $c \notin B$ 和 $\Omega$ 如果 $c \in B$. 就这样 $\sigma$-由生成的代数 $X$ 是 $\mathcal{F}_0$. 反过来,可以证明只有 $\mathcal{F}_0$-可测量的随机变量是常量。 的确,让 $X$ 是一个 $\mathcal{F}_0$ – 可测量的随机变量。假设它至少需要两个不同的值, $x$ 和 $y$. 可以假设 $y \geq x$ 不失一般性。 因此,让 $B=\left[x, \frac{x+y}{2}\right]$. 我们有那个 $(X \in B)$ 是非空的,因为 $x \in B$ 但不是 $\Omega$ 自从 $y \notin B$. 所以, $X$ 不是 $\mathcal{F}_0$ 可衡量的。 命题 1.7.- 让 $X$ 是一个随机变量 $(\Omega, \mathcal{F}, \mathbb{P})$ 接受价值观 $(E, \mathcal{E})$ 然后让 $\sigma(X)$ 成为 $\sigma$-由生成的代数 $X$. 因此,一个随 机变量 $Y$ 是 $\sigma(X)$-可测当且仅当存在可测函数 $f$ 这样 $Y=f(X)$. 该技术结果将对本文后面的某些演示很有用。一般来说,如果已知 $Y$ 是 $\sigma(X)$-可测量的,我们不能(也不需要) 明确函数 $f$. 反过来,如果 $Y$ 可以写成的可测函数 $X$ ,它自动遵循 $Y$ 是 $\sigma(X)$-可衡量的。 示例 1.20.- 掷骰子 2 次。这个实验的模型是 $\Omega=1,2,3,4,5,6^2$ 被赋予 $\sigma$ – 其子集的代数和均匀分布。考虑映射 $X_1, X_2$ 和 $Y$ 从 $\Omega$ 到 $\mathbb{R}$ 被定义为 $$ X_1\left(\omega_1, \omega_2\right)=\omega_1, \quad X_2\left(\omega_1, \omega_2\right)=\omega_2, Y\left(\omega_1, \omega_2\right)=1{2,4,6}\left(\omega_1\right),
$$
因此, $X_i$ 是第 $\mathrm{i}$ 次郑骰的结果,并且 $Y$ 是第一卷的奇偶校验指示符。所以, $Y=1_{2,4,6}\left(X_1\right)$; 因此, $Y$ 是 $\sigma\left(X_1\right)$-可衡量的。另一方面, $Y$ 不能写成的函数 $X_2$.

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金融工程代写

金融工程是使用数学技术来解决金融问题。金融工程使用计算机科学、统计学、经济学和应用数学领域的工具和知识来解决当前的金融问题,以及设计新的和创新的金融产品。

非参数统计代写

非参数统计指的是一种统计方法,其中不假设数据来自于由少数参数决定的规定模型;这种模型的例子包括正态分布模型和线性回归模型。

广义线性模型代考

广义线性模型(GLM)归属统计学领域,是一种应用灵活的线性回归模型。该模型允许因变量的偏差分布有除了正态分布之外的其它分布。

术语 广义线性模型(GLM)通常是指给定连续和/或分类预测因素的连续响应变量的常规线性回归模型。它包括多元线性回归,以及方差分析和方差分析(仅含固定效应)。

有限元方法代写

有限元方法(FEM)是一种流行的方法,用于数值解决工程和数学建模中出现的微分方程。典型的问题领域包括结构分析、传热、流体流动、质量运输和电磁势等传统领域。

有限元是一种通用的数值方法,用于解决两个或三个空间变量的偏微分方程(即一些边界值问题)。为了解决一个问题,有限元将一个大系统细分为更小、更简单的部分,称为有限元。这是通过在空间维度上的特定空间离散化来实现的,它是通过构建对象的网格来实现的:用于求解的数值域,它有有限数量的点。边界值问题的有限元方法表述最终导致一个代数方程组。该方法在域上对未知函数进行逼近。[1] 然后将模拟这些有限元的简单方程组合成一个更大的方程系统,以模拟整个问题。然后,有限元通过变化微积分使相关的误差函数最小化来逼近一个解决方案。

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随机分析代写


随机微积分是数学的一个分支,对随机过程进行操作。它允许为随机过程的积分定义一个关于随机过程的一致的积分理论。这个领域是由日本数学家伊藤清在第二次世界大战期间创建并开始的。

时间序列分析代写

随机过程,是依赖于参数的一组随机变量的全体,参数通常是时间。 随机变量是随机现象的数量表现,其时间序列是一组按照时间发生先后顺序进行排列的数据点序列。通常一组时间序列的时间间隔为一恒定值(如1秒,5分钟,12小时,7天,1年),因此时间序列可以作为离散时间数据进行分析处理。研究时间序列数据的意义在于现实中,往往需要研究某个事物其随时间发展变化的规律。这就需要通过研究该事物过去发展的历史记录,以得到其自身发展的规律。

回归分析代写

多元回归分析渐进(Multiple Regression Analysis Asymptotics)属于计量经济学领域,主要是一种数学上的统计分析方法,可以分析复杂情况下各影响因素的数学关系,在自然科学、社会和经济学等多个领域内应用广泛。

MATLAB代写

MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中,其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括:数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发,包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统,其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题,尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题,而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问,这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展,得到了许多用户的投入。在大学环境中,它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域,MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要,工具箱允许您学习应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数(M 文件)的综合集合,可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。

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