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经济代写|计量经济学代写Econometrics代考|Testing Linear and Loglinear Regression Models
In many applications, the dependent variable is always positive. Applied econometricians must therefore decide whether a regression model should attempt to explain the conditional mean of the original variable or of its logarithm. Both types of model are often plausible a priori. In this section, we discuss techniques for choosing between, and testing the specification of, models in which the regressand is the level or the logarithm of the dependent variable. Tests based on the DLR turn out to be very useful for this purpose.
Suppose initially that both models are linear in the parameters. Thus the two competing models are
$$
\begin{aligned}
y_t &=\sum_{i=1}^k \beta_i X_{t i}+\sum_{j=1}^l \gamma_j Z_{t j}+u_t, u_t \sim \operatorname{NID}\left(0, \sigma^2\right), \text { and } \
\log y_t &=\sum_{i=1}^k \beta_i \log X_{t i}+\sum_{j=1}^l \gamma_j Z_{t j}+u_t, u_t \sim \operatorname{NID}\left(0, \sigma^2\right),
\end{aligned}
$$
where the notation, not coincidentally, is the same as for the conventional Box-Cox model. After both models have been estimated, it may be possible to conclude that one of them should be rejected simply by comparing the values of their loglikelihood functions, as discussed in Section 14.3. However, such a procedure can tell us nothing about the validity of whichever of the two models fits best. If both these models are reasonable ones, it is important to test both of them before tentatively accepting either one.
There are numerous ways to test the specification of linear and loglinear regression models like (14.39) and (14.40). The most commonly used tests are based on the fact that these are both special cases of the conventional Box-Cox model,
$$
B\left(y_t, \lambda\right)=\sum_{i=1}^k \beta_i B\left(X_{t i}, \lambda\right)+\sum_{j=1}^l \gamma_j Z_{t j}+u_t, u_t \sim \operatorname{NID}\left(0, \sigma^2\right) .
$$
Conceptually the simplest way to test (14.39) and (14.40) against (14.41) is to estimate all three models and use an LR test, as originally suggested by Box and Cox (1964) in the context of the simple Box-Cox model. However, because estimating (14.41) can require a certain amount of effort, it may be more attractive to use an LM test instead.
经济代写|计量经济学代写Econometrics代考|Testing Linear and Loglinear Regression Models
However, the Andrews test is not really testing against the same alternative as the LM tests. Implicitly, it is testing in a regression direction, that is, against an alternative that is also a regression model. But the Box-Cox model (14.41) is not a regression model. The Andrews test must therefore have less power than classical tests of linear and loglinear models against (14.41) when the latter actually generated the data. Using techniques similar to those discussed in Chapter 12, it was shown in Davidson and MacKinnon (1985c) that, as $\sigma \rightarrow 0$, the noncentrality parameter for the Andrews test approaches that of the classical tests, while as $\sigma \rightarrow \infty$, it approaches zero. Thus, except when $\sigma$ is small, one would expect the Andrews test to be seriously lacking in power, and Monte Carlo results confirm this. One possible advantage of the Andrews test should be noted, however. Unlike the LM tests we have discussed, it is not sensitive, asymptotically, to failures of the normality assumption, because it is simply testing in a regression direction.
Although tests based on the Box-Cox transformation are more popular, a second approach to testing linear and loglinear models also deserves mention. It treats the two models as nonnested hypotheses, in much the same way as did the tests discussed in Section 11.3. This nonnested approach allows one to handle more general types of model than the approach based on the Box-Cox transformation, because the two models need not have the same number of parameters, or indeed resemble each other in any way, and neither of them needs to be linear in either variables or parameters. We can write the two competing models as
$$
\begin{array}{ll}
H_1: & y_t=x_t(\boldsymbol{\beta})+u_{1 t}, \quad u_{1 t} \sim \mathrm{NID}\left(0, \sigma_1^2\right), \text { and } \
H_2: & \log y_t=z_t(\gamma)+u_{2 t}, \quad u_{2 t} \sim \operatorname{NID}\left(0, \sigma_2^2\right) .
\end{array}
$$
The notation here is similar to that used in the discussion of nonnested hypothesis testing in Section $11.3$ and should be self-explanatory. Notice that the assumption of normally distributed error terms, which was not needed in our previous discussion of nonnested tests, is needed here.
计量经济学代考
经济代写|计量经济学代写Econometrics代考|Testing Linear and Loglinear Regression Models
在许多应用中，因变量总是正的。因此，应用计量经济学家必须决定回归模型是否应该尝试解释原始变量或其对 数的条件均值。这两种类型的模型通常都是先验的。在本节中，我们将讨论在模型之间进行选择和测试规范的技 术，其中回归变量是因变量的水平或对数。基于 DLR 的测试结果证明对这个目的非常有用。 假设最初两个模型的参数都是线性的。因此，两个竞争模型是
$$
y_t=\sum_{i=1}^k \beta_i X_{t i}+\sum_{j=1}^l \gamma_j Z_{t j}+u_t, u_t \sim \operatorname{NID}\left(0, \sigma^2\right), \text { and } \log y_t=\sum_{i=1}^k \beta_i \log X_{t i}+\sum_{j=1}^l \gamma_j Z_{t j}
$$
其中符号与传统的 Box-Cox 模型相同，并非巧合。在对两个模型进行估计后，可以简单地通过比较它们的对数 似然函数的值来得出应该拒绝其中一个模型的结论，如第 $14.3$ 节所述。然而，这样的程序无法告诉我们两个模 型中哪个模型最适合的有效性。如果这两个模型都是合理的，那么在暂时接受任何一个之前测试它们是很重要 的。
有许多方法可以测试线性和对数线性回归模型的规范，例如 (14.39) 和 (14.40)。最常用的测试是基于这样一个事 实，即这些都是传统 Box-CoX 模型的特例，
$$
B\left(y_t, \lambda\right)=\sum_{i=1}^k \beta_i B\left(X_{t i}, \lambda\right)+\sum_{j=1}^l \gamma_j Z_{t j}+u_t, u_t \sim \operatorname{NID}\left(0, \sigma^2\right) .
$$
从概念上讲，针对 (14.41) 检验 (14.39) 和 (14.40) 的最简单方法是估计所有三个模型并使用 LR 检验，正如 Box 和 Cox (1964) 最初在简单 Box-Cox 模型的背景下建议的那样。但是，由于估计 (14.41) 可能需要一定的努力， 因此使用 LM 检验可能更有吸引力。
经济代写|计量经济学代写Econometrics代考|Testing Linear and Loglinear Regression Models
然而，安德鲁斯测试并没有真正针对与 LM 测试相同的替代方案进行测试。隐含地，它在回归方向上进行测试， 即针对也是回归模型的替代方案进行测试。但是 Box-Cox 模型 (14.41) 不是回归模型。因此，当后者实际生成数 据时，Andrews 检验必须比针对 (14.41) 的线性和对数线性模型的经典检验具有更小的功效。使用与第 12 章中 讨论的技术类似的技术，Davidson 和 MacKinnon (1985c) 表明，作为 $\sigma \rightarrow 0$ ，安德鲁斯检验的非中心参数接 近经典检验的非中心参数，而作为 $\sigma \rightarrow \infty$ ，它趋近于零。因此，除了当 $\sigma$ 很小，人们会认为安德鲁斯检验严重 缺乏效力，蒙特卡洛结果证实了这一点。然而，应该注意安德鲁斯测试的一个可能优势。与我们讨论过的 LM 测 试不同，它对正态性假设的失败渐进地不敏感，因为它只是在回归方向上进行测试。
虽然基于 Box-Cox 变换的测试更受欢迎，但也值得一提的是第二种测试线性和对数线性模型的方法。它将这两 个模型视为非嵌套假设，其方式与第 $11.3$ 节中讨论的检验大致相同。与基于 Box-Cox 变换的方法相比，这种非 嵌套方法允许处理更一般类型的模型，因为这两个模型不需要具有相同数量的参数，或者实际上在任何方面都彼 此相似，并且它们都不需要在变量或参数中是线性的。我们可以将两个竞争模型写成
$H_1: \quad y_t=x_t(\boldsymbol{\beta})+u_{1 t}, \quad u_{1 t} \sim \mathrm{NID}\left(0, \sigma_1^2\right)$, and $H_2: \quad \log y_t=z_t(\gamma)+u_{2 t}, \quad u_{2 t} \sim \operatorname{NID}\left(0, \sigma_2^2\right)$
这里的符号类似于第 $11.3$ 并且应该是不言自明的。请注意，这里需要我们之前讨论非嵌套测试时不需要的正态 分布误差项假设。
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金融工程代写
金融工程是使用数学技术来解决金融问题。金融工程使用计算机科学、统计学、经济学和应用数学领域的工具和知识来解决当前的金融问题，以及设计新的和创新的金融产品。
非参数统计代写
非参数统计指的是一种统计方法，其中不假设数据来自于由少数参数决定的规定模型；这种模型的例子包括正态分布模型和线性回归模型。
广义线性模型代考
广义线性模型（GLM）归属统计学领域，是一种应用灵活的线性回归模型。该模型允许因变量的偏差分布有除了正态分布之外的其它分布。
术语 广义线性模型（GLM）通常是指给定连续和/或分类预测因素的连续响应变量的常规线性回归模型。它包括多元线性回归，以及方差分析和方差分析（仅含固定效应）。
有限元方法代写
有限元方法（FEM）是一种流行的方法，用于数值解决工程和数学建模中出现的微分方程。典型的问题领域包括结构分析、传热、流体流动、质量运输和电磁势等传统领域。
有限元是一种通用的数值方法，用于解决两个或三个空间变量的偏微分方程（即一些边界值问题）。为了解决一个问题，有限元将一个大系统细分为更小、更简单的部分，称为有限元。这是通过在空间维度上的特定空间离散化来实现的，它是通过构建对象的网格来实现的：用于求解的数值域，它有有限数量的点。边界值问题的有限元方法表述最终导致一个代数方程组。该方法在域上对未知函数进行逼近。[1] 然后将模拟这些有限元的简单方程组合成一个更大的方程系统，以模拟整个问题。然后，有限元通过变化微积分使相关的误差函数最小化来逼近一个解决方案。
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随机分析代写
随机微积分是数学的一个分支，对随机过程进行操作。它允许为随机过程的积分定义一个关于随机过程的一致的积分理论。这个领域是由日本数学家伊藤清在第二次世界大战期间创建并开始的。
时间序列分析代写
随机过程，是依赖于参数的一组随机变量的全体，参数通常是时间。 随机变量是随机现象的数量表现，其时间序列是一组按照时间发生先后顺序进行排列的数据点序列。通常一组时间序列的时间间隔为一恒定值（如1秒，5分钟，12小时，7天，1年），因此时间序列可以作为离散时间数据进行分析处理。研究时间序列数据的意义在于现实中，往往需要研究某个事物其随时间发展变化的规律。这就需要通过研究该事物过去发展的历史记录，以得到其自身发展的规律。
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多元回归分析渐进（Multiple Regression Analysis Asymptotics）属于计量经济学领域，主要是一种数学上的统计分析方法，可以分析复杂情况下各影响因素的数学关系，在自然科学、社会和经济学等多个领域内应用广泛。
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