### 金融代写|金融微积分代写Finance Calculus代考|MATH294

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• Statistical Inference 统计推断
• Statistical Computing 统计计算
• (Generalized) Linear Models 广义线性模型
• Statistical Machine Learning 统计机器学习
• Longitudinal Data Analysis 纵向数据分析
• Foundations of Data Science 数据科学基础

## 金融代写|金融微积分代写Finance Calculus代考|Markov Property

1. The Markov Property of a Standard Wiener Process. Let $(\Omega, \mathscr{F}, \mathbb{P})$ be a probability space and let $\left{W_{t}: t \geq 0\right}$ be a standard Wiener process with respect to the filtration $\mathscr{F}{t}, t \geq 0$. Show that if $f$ is a continuous function then there exists another continuous function $g$ such that $$\mathbb{E}\left[f\left(W{t}\right) \mid \mathscr{F}{u}\right]=g\left(W{u}\right) 2.$$
3. for $0 \leq u \leq t$
4. Solution: For $0 \leq u \leq t$ we can write
5. $$6. \mathbb{E}\left[f\left(W_{t}\right) \mid \mathscr{F}{u}\right]=\mathbb{E}\left[f\left(W{t}-W_{u}+W_{u}\right) \mid \mathscr{F}{u}\right] .$$ Since $W{t}-W_{u} \Perp \mathscr{F}{u}$ and $W{u}$ is $\mathscr{F}{u}$ measurable, by setting $W{u}=x$ where $x$ is a constant value
7. $$8. \mathbb{E}\left[f\left(W_{t}-W_{u}+W_{u}\right) \mid \mathscr{F}{u}\right]=\mathbb{E}\left[f\left(W{t}-W_{u}+x\right)\right] . 9.$$
10. Because $W_{t}-W_{u} \sim \mathcal{N}(0, t-u)$ we can write $\mathbb{E}\left[f\left(W_{t}-W_{u}+x\right)\right]$ as
11. $$12. \mathrm{E}\left[f\left(W_{t}-W_{u}+x\right)\right]=\frac{1}{\sqrt{2 \pi(t-u)}} \int_{-\infty}^{\infty} f(w+x) e^{-\frac{u^{2}}{2(t-u)}} d w 13.$$ By setting $\tau=t-u$ and $y=w+x$, we can rewrite $\mathbb{E}\left[f\left(W_{t}-W_{u}+x\right)\right]=\mathbb{E}\left[f\left(W_{t}-W_{u}+\right.\right.$ $\left.\left.W_{u}\right)\right]$ as
14. 15. \begin{aligned} 16. \mathrm{E}\left[f\left(W_{t}-W_{u}+W_{u}\right)\right] &=\frac{1}{\sqrt{2 \pi \tau}} \int_{-\infty}^{\infty} f(y) e^{-\frac{(y-x)^{2}}{y r}} d y \ 17. &=\int_{-\infty}^{\infty} f(y) p\left(\tau, W_{u}, y\right) d y 18. \end{aligned} 19.
20. where the transition density
21. $$22. p\left(\tau, W_{u}, y\right)=\frac{1}{\sqrt{2 \pi \tau}} e^{-\frac{\left(\gamma-W_{u}\right)^{2}}{2 \mathrm{r}}} 23.$$
24. is the density of $Y \sim \mathcal{N}\left(W_{u}, \tau\right)$. Since the only information from the filtration $\mathscr{F}{u}$ is $W{u}$, therefore
25. $$26. \mathrm{E}\left[f\left(W_{t}\right) \mid \mathscr{F}{u}\right]=g\left(W{u}\right) 27.$$
28. where
29. $$30. g\left(W_{u}\right)=\int_{-\infty}^{\infty} f(y) p\left(\tau, W_{u}, y\right) d y . 31.$$

## 金融代写|金融微积分代写Finance Calculus代考|Martingale Property

1. Let $(\Omega, \mathscr{F}, \mathbb{P})$ be a probability space and let $\left{W_{t}: t \geq 0\right}$ be a standard Wiener process. Show that $W_{t}$ is a martingale.
2. Solution: Given $W_{t} \sim \mathscr{N}(0, t)$.

(a) For $s \leq t$ and since $W_{t}-W_{s} \Perp \mathscr{F}{s}$, we have $$\mathbb{E}\left(W{t} \mid \mathscr{F}{s}\right)=\mathbb{E}\left(W{t}-W_{s}+W_{s} \mid \mathscr{F}{s}\right)=\mathbb{E}\left(W{t}-W_{s} \mid \mathscr{F}{s}\right)+\mathbb{E}\left(W{s} \mid \mathscr{F}{s}\right)=W{s} .$$
(b) Since $W_{t} \sim \mathcal{N}(0, t),\left|W_{t}\right|$ follows a folded normal distribution such that $\left|W_{t}\right| \sim$ $\mathscr{N}{f}(0, t)$. From Problem 1.2.2.11 (page 22), we can deduce $\mathbb{E}\left(\left|W{t}\right|\right)=\sqrt{2 t / \pi}<\infty$. In contrast, we can also utilise Hölder’s inequality (see Problem 1.2.3.2, page 41) to deduce that $\mathbb{E}\left(\left|W_{t}\right|\right) \leq \sqrt{\mathbb{E}\left(W_{t}^{2}\right)}=\sqrt{t}<\infty$.
(c) $W_{t}$ is clearly $\mathscr{F}{t}$-adapted. From the results of (a) $-(\mathrm{c})$ we have shown that $W{t}$ is a martingale.

1. Let $(\Omega, \mathscr{F}, \mathbb{P})$ be a probability space and let $\left{W_{t}: t \geq 0\right}$ be a standard Wiener process. Show that $X_{t}=W_{t}^{2}-t$ is a martingale.
Solution: Given $W_{t} \sim \mathscr{N}(0, t)$
(a) For $s \leq t$ and since $W_{t}-W_{s} \mathbb{\Perp} \mathscr{F}{s}$. we have \begin{aligned} \mathbb{E}\left(W{t}^{2}-t \mid \mathscr{F}{s}\right) &=\mathbb{E}\left[\left(W{t}-W_{s}+W_{s}\right)^{2} \mid \mathscr{F}{s}\right]-t \ &=\mathbb{E}\left[\left(W{t}-W_{s}\right)^{2} \mid \mathscr{F}{s}\right]+2 \mathbb{E}\left[W{s}\left(W_{t}-W_{s}\right) \mid \mathscr{F}{s}\right]+\mathbb{E}\left(W{s}^{2} \mid \mathscr{F}{s}\right)-t \ &=t-s+0+W{s}^{2}-t \ &=W_{s}^{2}-s . \end{aligned}
(b) Since $\left|X_{t}\right|=\left|W_{t}^{2}-t\right| \leq W_{t}^{2}+t$ we can therefore write
$$\mathbb{E}\left(\left|W_{t}^{2}-t\right|\right) \leq \mathbb{E}\left(W_{t}^{2}+t\right)=\mathbb{E}\left(W_{t}^{2}\right)+t=2 t<\infty .$$
(c) Since $X_{t}=W_{t}^{2}-t$ is a function of $W_{t}$, hence it is $\mathscr{F}{t}$-adapted. From the results of $(\bar{a})-(c)$ we have shown that $X{t}=W_{t}^{2}-t$ is a martingale.

## 金融代写|金融微积分代写Finance Calculus代考|Markov Property

1. 标准维纳过程的马尔可夫性质。让 $(\Omega, \mathscr{F}, \mathbb{P})$ 是一个概率空间，论 lleft{W_{t}: t lgeq O\right } 是关于过滤的标 准维纳过程 $\mathscr{F} t, t \geq 0$. 证明如果 $f$ 是一个连续函数，那么存在另一个连续函数 $g$ 这样 $\$ \$$2. \ \$$
3. 为了 $0 \leq u \leq t$
4. 解决方案: 对于 $0 \leq u \leq t$ 我们可以写
5. $\$ \$$\mathrm{W}{-}{u}+\mathrm{W}{-}{u} \backslash right) \backslash Imid \backslash mathscr{F}u} \backslash right] 。 \ \$$ 因为 $W t-W_{u} \backslash$ Perp $\mathscr{F} u$ 和 $W u$ 是 $\mathscr{F} u$ 可测量的， 通过设置 $W u=x$ 在哪里 $x$ 是一个常数值
6. $\$ \$$\mathrm{W}_{-}{u}+x \backslash right)\right] 7. \ \$$
8. 因为 $W_{t}-W_{u} \sim \mathcal{N}(0, t-u)$ 我们可以写 $\mathbb{E}\left[f\left(W_{t}-W_{u}+x\right)\right]$ 作为
9. $\$ \$$\mathrm{e}^{\wedge}{-\operatorname{Ifrac}{\mathrm{u} \wedge{2}}{2(\mathrm{tu})}} \mathrm{dw} 10. \\通过设置 \tau=t-u 和 y=w+x, 我们可以重写 \mathbb{E}\left[f\left(W_{t}-W_{u}+x\right)\right]=\mathbb{E}\left[f\left(W_{t}-W_{u}+W_{u}\right)\right] 作为 11. \ \$$
12. 开始{对齐}
13. $f(y) e^{\wedge}\left{-\backslash f r a c\left{(y x)^{\wedge}{2}\right}{y r}\right} d y \backslash$
14. lend{对齐}
15. $\$ \$$16. 其中过渡密度 ## 金融代写|金融微积分代写Finance Calculus代考|Martingale Property 1. 解决方案：给定 W_{t} \sim \mathscr{N}(0, t). (a) 为 s \leq t 并且因为 W_{t}-W_{s} \backslash \operatorname{Perp} \mathscr{F} s ， 我们有$$
\mathbb{E}\left(W t \mid \mathscr{F}{s}\right)=\mathbb{E}\left(W t-W{s}+W_{s} \mid \mathscr{F}{s}\right)=\mathbb{E}\left(W t-W{s} \mid \mathscr{F}{s}\right)+\mathbb{E}\left(W s \mid \mathscr{F}{s}\right)=W s .
$$(b) 由于 W_{t} \sim \mathcal{N}(0, t),\left|W_{t}\right| 遵循折餷正态分布，使得 \left|W_{t}\right| \sim \mathscr{N} f(0, t). 从问题 1.2.2.11 (第 22 页)，我们 可以推导出 \mathbb{E}(|W t|)=\sqrt{2 t / \pi}<\infty. 相反，我们还可以利用 Hölder 不等式（参见第 41 页的问题 1.2.3.2) 来推导出 \mathbb{E}\left(\left|W_{t}\right|\right) \leq \sqrt{\mathbb{E}\left(W_{t}^{2}\right)}=\sqrt{t}<\infty. (C) W_{t} 显然是 \mathscr{F} t-适应。根据 (a) 的结果 -(\mathrm{c}) 我们已经证明 W t 是鞅。 2. 让 (\Omega, \mathscr{F}, \mathbb{P}) 是一个概率空间，论 lleft{W_{t}: t lgeq Olright } 是一个标准的维纳过程。显示 X_{t}=W_{t}^{2}-t 是 鞅。 解决方案: 给定 W_{t} \sim \mathscr{N}(0, t) (a) 为 s \leq t 并且因为 W_{t}-W_{s} \backslash \operatorname{Perp} \mathscr{F} s. 我们有$$
\mathbb{E}\left(W t^{2}-t \mid \mathscr{F}{s}\right)=\mathbb{E}\left[\left(W t-W{s}+W_{s}\right)^{2} \mid \mathscr{F}{s}\right]-t \quad=\mathbb{E}\left[\left(W t-W{s}\right)^{2} \mid \mathscr{F}{s}\right]+2 \mathbb{E}[W s $$(b) 由于 \left|X{t}\right|=\left|W_{t}^{2}-t\right| \leq W_{t}^{2}+t 因此我们可以写$$
\mathbb{E}\left(\left|W_{t}^{2}-t\right|\right) \leq \mathbb{E}\left(W_{t}^{2}+t\right)=\mathbb{E}\left(W_{t}^{2}\right)+t=2 t<\infty .

(c) 由于 $X_{t}=W_{t}^{2}-t$ 是一个函数 $W_{t}$ ，因此它是 $\mathscr{F} t$-适应。从结果来看 $(\bar{a})-(c)$ 我们已经证明 $X t=W_{t}^{2}-t$ 是鞅。

## 广义线性模型代考

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## MATLAB代写

MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中，其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括：数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发，包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统，其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题，尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题，而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问，这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展，得到了许多用户的投入。在大学环境中，它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域，MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要，工具箱允许您学习应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数（M 文件）的综合集合，可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。