金融代写|金融工程作业代写Financial Engineering代考|BE953

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  • Longitudinal Data Analysis 纵向数据分析
  • Foundations of Data Science 数据科学基础
金融代写|金融工程作业代写Financial Engineering代考|BE953

金融代写|金融工程作业代写Financial Engineering代考|Phase Diagrams for Linear Dynamical Systems

The following autonomous linear system is considered
$$
\dot{x}=A x
$$
The eigenvalues of matrix $A$ define the system dynamics. Some terminology associated with fixed points is as follows:

A fixed point for the system of Eq. (1.27) is called hyperbolic if none of the eigenvalues of matrix $A$ has zero real part. A hyperbolic fixed point is called a saddle if some of the eigenvalues of matrix $A$ have real parts greater than zero and the rest of the eigenvalues have real parts less than zero. If all of the eigenvalues have negative real parts then the hyperbolic fixed point is called a stable node or sink. If all of the eigenvalues have positive real parts then the hyperbolic fixed point is called an unstable node or source. If the eigenvalues are purely imaginary then one has an elliptic fixed point which is said to be a center.
Case 1: Both eigenvalues of matrix $A$ are real and unequal, that is $\lambda_1 \neq \lambda_1 \neq 0$. For $\lambda_1<0$ and $\lambda_2<0$ the phase diagram for $z_1$ and $z_2$ is shown in Fig. 1.4. In case that $\lambda_2$ is smaller than $\lambda_1$ the term $e^{\lambda_2 t}$ decays faster than $e^{\lambda_1 t}$. For $\lambda_1>0>\lambda_2$ the phase diagram of Fig. $1.5$ is obtained.

In the latter case there are stable trajectories along eigenvector $v_1$ and unstable trajectories along eigenvector $v_2$ of matrix $A$. The stability point $(0,0)$ is said to be a saddle point.
When $\lambda_1>\lambda_2>0$ then one has the phase diagrams of Fig. 1.6.
Case 2: Complex eigenvalues:
Typical phase diagrams in the case of stable complex eigenvalues are given in Fig. 1.7.
Typical phase diagrams in the case of unstable complex eigenvalues are given in Fig. 1.8.

Typical phase diagrams in the case of imaginary eigenvalues are given in Fig. 1.9.
Case 3: Matrix $A$ has nonzero eigenvalues which are equal to each other. The associated phase diagram is given in Fig. 1.10.

金融代写|金融工程作业代写Financial Engineering代考|Saddle-Node Bifurcations of Fixed Points

The considered dynamical system is given by $\dot{x}=\mu-x^2$. The fixed points of the system result from the condition $\dot{x}=0$ which for $\mu>0$ gives $x^*=\pm \sqrt{\mu}$. The first fixed point $x=\sqrt{\mu}$ is a stable one whereas the second fixed point $x=-\sqrt{\mu}$ is an unstable one. The phase diagram of the system is given in Fig. 1.14. Since there is one stable and one unstable fixed point the associated bifurcation (locus of the fixed points in the phase plane) will be a saddle-node one.

The bifurcations diagram is given next. The diagram shows how the fixed points of the dynamical system vary with respect to the values of parameter $\mu$. In the above case it represents a parabola in the $\mu-x$ plane as shown in Fig. 1.15.

For $\mu>0$ the dynamical system has two fixed points located at $\pm \sqrt{\mu}$. The one fixed point is stable and is associated with the upper branch of the parabola. The other fixed point is unstable and is associated with the lower branch of the parabola. The value $\mu=0$ is considered to be a bifurcation value and the point $(x, \mu)=(0,0)$ is a bifurcation point. This particular type of bifurcation where the one branch is associated with fixed points and the other branch is not associated to any fixed points is known as saddle-node bifurcation.

In pitchfork bifurcations the number of fixed points varies with respect to the values of the bifurcation parameter. The dynamical system $\dot{x}=x\left(\mu-x^2\right)$ is considered. The associated fixed points are found by the condition $\dot{x}=0$. For $\mu<0$ there is one fixed point at zero which is stable. For $\mu=0$ there is still one fixed point at zero which is still stable. For $\mu>0$ there are three fixed points, one at $x=0$, one at $x=+\sqrt{\mu}$ which is stable and one at $x=-\sqrt{\mu}$ which is also stable. The associated phase diagrams and fixed points are presented in Fig. 1.16.

The bifurcations diagram is given next. The diagram shows how the fixed points of the dynamical system vary with respect to the values of parameter $\mu$. In the above case it represents a parabola in the $\mu-x$ plane as shown in Fig. 1.17.

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金融工程代写

金融代写|金融工程作业代写Financial Engineering代考|Phase Diagrams for Linear Dynamical Systems

考虑以下自治线性系统
$$
\dot{x}=A x
$$
矩阵的特征值 $A$ 定义系统动力学。与固定点相关的一些术语如下:
方程式系统的固定点。如果没有矩阵的特征值,则 (1.27) 称为双曲线 $A$ 实部为零。如果矩阵的 某些特征值 $A$ 实部大于零,其余特征值的实部小于零。如果所有特征值都具有负实部,则双曲 不动点称为稳定节点或汇点。如果所有特征值都具有正实部,则双曲不动点称为不稳定节点或 源。如果特征值是纯虚数,则有一个椭圆不动点,称为中心。
情况 1: 矩阵的两个特征值 $A$ 是实数且不相等的,即 $\lambda_1 \neq \lambda_1 \neq 0$. 为了 $\lambda_1<0$ 和 $\lambda_2<0$ 的 相图 $z_1$ 和 $z_2$ 如图 $1.4$ 所示。万 $\lambda_2$ 小于 $\lambda_1$ 期限 $e^{\lambda_2 t}$ 衰减得比 $e^{\lambda_1 t}$. 为了 $\lambda_1>0>\lambda_2$ 图的相 图。1.5获得。
在后一种情况下,沿着特征向量有稳定的轨迹 $v_1$ 和沿特征向量的不稳定轨迹 $v_2$ 矩阵的 $A$. 稳定 点 $(0,0)$ 被称为鞍点。
什么时候 $\lambda_1>\lambda_2>0$ 然后是图 $1.6$ 的相图。
情况 2: 复特征值:
图 $1.7$ 给出了稳定复特征值情况下的典型相图。
图 $1.8$ 给出了不稳定复特征值情况下的典型相图。
图 $1.9$ 给出了虚本征值情况下的典型相图。
案例 3: 矩阵 $A$ 具有彼此相等的非零特征值。相关的相图如图 $1.10$ 所示。

金融代写|金融工程作业代写Financial Engineering代考|Saddle-Node Bifurcations of Fixed Points

所考虑的动力系统由下式给出 $\dot{x}=\mu-x^2$. 系统的固定点由条件产生 $\dot{x}=0$ 哪个 $\mu>0$ 给 $x^*=\pm \sqrt{\mu}$. 第一个固定点 $x=\sqrt{\mu}$ 是稳定的,而第二个不动点 $x=-\sqrt{\mu}$ 是一个不稳定 的。系统的相图如图 $1.14$ 所示。由于存在一个稳定不动点和一个不稳定不动点,因此相关的 分叉 (相平面中不动点的轨迹) 将是一个鞍节点分叉。
接下来给出分叉图。该图显示了动力系统的固定点如何随参数值变化 $\mu$. 在上面的例子中,它 代表了一条抛物线 $\mu-x$ 平面如图 $1.15$ 所示。
为了 $\mu>0$ 动力系统有两个固定点位于 $\pm \sqrt{\mu}$. 一个固定点是稳定的并且与抛物线的上分支相 关联。另一个不动点不稳定,与抛物线的下支有关。价值 $\mu=0$ 被认为是一个分叉值和点 $(x, \mu)=(0,0)$ 是分岔点。这种特殊类型的分叉称为鞍节点分叉,其中一个分支与固定点相 关联,而另一个分支不与任何固定点相关联。
在干草叉分叉中,固定点的数量随分叉参数的值而变化。动力系统 $\dot{x}=x\left(\mu-x^2\right)$ 被认为。 关联的固定点由条件找到 $\dot{x}=0$. 为了 $\mu<0$ 零处有一个固定点是稳定的。为了 $\mu=0$ 在零处 仍有一个固定点仍然稳定。为了 $\mu>0$ 有三个固定点,一个在 $x=0$ ,一在 $x=+\sqrt{\mu}$ 这是 稳定的,一个在 $x=-\sqrt{\mu}$ 这也是稳定的。相关的相图和固定点如图 $1.16$ 所示。
接下来给出分叉图。该图显示了动力系统的固定点如何随参数值变化 $\mu$. 在上面的例子中,它 代表了一条抛物线 $\mu-x$ 平面如图 $1.17$ 所示。

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金融工程代写

金融工程是使用数学技术来解决金融问题。金融工程使用计算机科学、统计学、经济学和应用数学领域的工具和知识来解决当前的金融问题,以及设计新的和创新的金融产品。

非参数统计代写

非参数统计指的是一种统计方法,其中不假设数据来自于由少数参数决定的规定模型;这种模型的例子包括正态分布模型和线性回归模型。

广义线性模型代考

广义线性模型(GLM)归属统计学领域,是一种应用灵活的线性回归模型。该模型允许因变量的偏差分布有除了正态分布之外的其它分布。

术语 广义线性模型(GLM)通常是指给定连续和/或分类预测因素的连续响应变量的常规线性回归模型。它包括多元线性回归,以及方差分析和方差分析(仅含固定效应)。

有限元方法代写

有限元方法(FEM)是一种流行的方法,用于数值解决工程和数学建模中出现的微分方程。典型的问题领域包括结构分析、传热、流体流动、质量运输和电磁势等传统领域。

有限元是一种通用的数值方法,用于解决两个或三个空间变量的偏微分方程(即一些边界值问题)。为了解决一个问题,有限元将一个大系统细分为更小、更简单的部分,称为有限元。这是通过在空间维度上的特定空间离散化来实现的,它是通过构建对象的网格来实现的:用于求解的数值域,它有有限数量的点。边界值问题的有限元方法表述最终导致一个代数方程组。该方法在域上对未知函数进行逼近。[1] 然后将模拟这些有限元的简单方程组合成一个更大的方程系统,以模拟整个问题。然后,有限元通过变化微积分使相关的误差函数最小化来逼近一个解决方案。

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随机分析代写


随机微积分是数学的一个分支,对随机过程进行操作。它允许为随机过程的积分定义一个关于随机过程的一致的积分理论。这个领域是由日本数学家伊藤清在第二次世界大战期间创建并开始的。

时间序列分析代写

随机过程,是依赖于参数的一组随机变量的全体,参数通常是时间。 随机变量是随机现象的数量表现,其时间序列是一组按照时间发生先后顺序进行排列的数据点序列。通常一组时间序列的时间间隔为一恒定值(如1秒,5分钟,12小时,7天,1年),因此时间序列可以作为离散时间数据进行分析处理。研究时间序列数据的意义在于现实中,往往需要研究某个事物其随时间发展变化的规律。这就需要通过研究该事物过去发展的历史记录,以得到其自身发展的规律。

回归分析代写

多元回归分析渐进(Multiple Regression Analysis Asymptotics)属于计量经济学领域,主要是一种数学上的统计分析方法,可以分析复杂情况下各影响因素的数学关系,在自然科学、社会和经济学等多个领域内应用广泛。

MATLAB代写

MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中,其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括:数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发,包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统,其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题,尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题,而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问,这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展,得到了许多用户的投入。在大学环境中,它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域,MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要,工具箱允许您学习应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数(M 文件)的综合集合,可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。

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