数学代写|傅里叶分析代写Fourier analysis代考|AMTH246

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傅里叶分析是一种用三角函数s来定义周期性波形的方法。

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数学代写|傅里叶分析代写Fourier analysis代考|AMTH246

数学代写|傅里叶分析代写Fourier analysis代考|A First Sketch of the Argument

We start by recalling, very briefly, the usual approach taken in proving Roth’s Theorem. One takes a set $A$ of density $\delta$ in $\mathbb{Z} / N \mathbb{Z}$, and compares the number of length 3 Arithmetic Progressions in $A$ with $\frac{1}{2} \delta^3 N^2$. This is roughly the number of 3-term APs in a random subset of $\mathbb{Z} / N \mathbb{Z}$. The difference $D$ between these two quantities can be expressed using the Fourier Coefficients $\hat{A}(r)$ of $A$. If $D$ is small then $A$ contains a progression of length 3 becuase it approximates a random set. Otherwise $D$ is large, and we can deduce that some $\hat{A}(r)$ is large for $r \neq 0$. This information in turn allows us to deduce that $A$ has increased density $\delta+c \delta^2$ in some reasonably large Arithmetic Progression $P$. But $P$ is affinely equivalent to ${1, \ldots, N}$, and so we can iterate the argument. However one can only increment the density $O\left(\delta^{-1}\right)$ times before it becomes greater than 1, which is clearly impossible. Hence if $A$ is large enough then it contains a 3 -term AP.
Bourgain’s point of departure seems to be the following. Suppose that
$$
\hat{A}(r)=\sum_n A(n) e^{2 \pi i n r / N}
$$
is large. To show that $A$ has increased density in some progression $P$, one has to somehow get rid of the exponential terms appearing here. In the usual proof of Roth’s Theorem this is done by splitting up $\mathbb{Z} / N \mathbb{Z}$ into small progressions on which $e^{2 \pi i n r / N}$ is roughly constant as $n$ varies. This, however, is rather inefficient – rather a lot of small progressions are required. Suppose instead that one forgets about progressions, and splits $\mathbb{Z} / N \mathbb{Z}$ up into sets on which $|n r / N|$ is roughly constant. We could easily deduce that $A$ has increased density on one of these sets. Unfortunately however this information is not equivalent to the original hypothesis, since one of the new sets is not affinely equivalent to ${1, \ldots, N}$. Hence we have to strengthen the entire hypothesis that we are trying to prove.

The “sets” that we are discussing here are of course just translates of Bohr Neighbourhoods. Hence we shall try to prove something like the following.

Conjecture 4 Let $A$ be a subset of some Bohr Neighbourhood $\Lambda$, such that $|A|=\delta|\Lambda|$. Then for fixed $\delta$ and “sufficiently large” $\Lambda, A$ contains a three-term Arithmetic Progression.

Since $\mathbb{Z} / N \mathbb{Z}$ is trivially a Bohr Neighbourhood, we might hope that this would imply Roth’s Theorem with a better bound.

There are many difficulties to overcome in order to make the above idea work, as we shall discover. These stem principally from three facts.

数学代写|傅里叶分析代写Fourier analysis代考|Definitions and Elementary Properties

We begin by defining what we mean by a Bohr Neighbourhood from now on.
Definition 5 Let $\theta=\left{\theta_1, \ldots, \theta_d\right} \in \mathbb{R}^d$, and let $\epsilon$ and $M$ be real numbers with $\epsilon<\frac{1}{2}$. Then we define the Bohr Neighbourhood $\Lambda_{\theta, \epsilon, M}$ to be the set of all $n \in \mathbb{Z}$ such that $|n| \leq M$ and $\left|n \theta_j\right| \leq \epsilon$ for $j=1, \ldots, d$.

This is clearly very similar to the “mod $N$ ” version of the same name. We take the opportunity to record here some simple facts about Bohr Neighbourhoods which will be useful later.
Lemma $6\left|\Lambda_{\theta, \epsilon, M}\right| \geq \epsilon^d M$
Proof Let $\mathbb{S}^d$ be the unit torus $\mathbb{R}^d / \mathbb{Z}^d$. Consider the set of all $P_n=\left(\left|n \theta_1\right|, \ldots,\left|n \theta_d\right|\right) \in \mathbb{S}^d$ for integers $n \in[1, M]$. This has size $M$, so some $\epsilon$-cube $\mathcal{B}$ of $\mathbb{S}^d$ contains at least $M \epsilon^d$ of the $P_i$ (this “obvious” averaging argument actually requires careful analysis its justification). Let $\mathcal{C}$ be the set of all $n \in[1, M]$ for which $P_n \in \mathcal{B}$. Then there is an injection
$$
\phi: \mathcal{C} \rightarrow \Lambda_{\theta, \epsilon, M}
$$
defined by $\phi(n)=n-n_0$, where $n_0 \in \mathcal{C}$ is arbitrary.
Lemma $7\left|\Lambda_{\theta, \epsilon, M}\right|<8^{d+1}\left|\Lambda_{\theta, \frac{\epsilon}{2}, \frac{M}{2}}\right|$
Proof Divide $\Lambda_{\theta, \epsilon, M}$ into sets $A_i$ such that
(i) $\left{\left(\left|n \theta_1\right|, \ldots,\left|n \theta_d\right|\right) \mid n \in A_i\right}$ is contained in an $\frac{\epsilon}{2}$-cube in $\mathbb{S}^d$;
(ii) $A_i$ is contained in an interval of length $\frac{M}{2}$.
This can be achieved with $8^{d+1}$ sets $A_i$. Each $A_i$ injects to $\Lambda_{\theta, \frac{5}{2}, \frac{M}{2}}$ by sending $n$ to $n-n_0$, where $n_0 \in A_i$ is arbitrary. The result follows.

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傅里叶分析代写

数学代写|傅里叶分析代写Fourier analysis代考|A First Sketch of the Argument

我们首先简要回顾一下证明罗斯定理时通常采用的方法。一个拿一套 $A$ 密度 $\delta$ 在 $\mathbb{Z} / N \mathbb{Z}$, 并比较长度为 3 的 等差数在 $A$ 和 $\frac{1}{2} \delta^3 N^2$. 这大致是随机子集中的 3 项 AP 的数量 $\mathbb{Z} / N \mathbb{Z}$. 区别 $D$ 这两个量之间可以用傅立叶 系数表示 $\hat{A}(r)$ 的 $A$. 如果 $D$ 那么小 $A$ 包含长度为 3 的级数,因为它近似于一个随机集。除此以外 $D$ 很大, 我们可以推断出一些 $\hat{A}(r)$ 对于 $r \neq 0$. 这些信息反过来使我们可以推断出 $A$ 增加了密度 $\delta+c \delta^2$ 在一些相当 大的算术级数中 $P$. 但 $P$ 仿射等价于 $1, \ldots, N$, 所以我们可以迭代这个论点。但是只能增加密度 $O\left(\delta^{-1}\right)$ 在 它变得大于 1 之前,这显然是不可能的。因此,如果 $A$ 足够大,那么它包含一个 3 项 $\mathrm{AP}$ 。
Bourgain 的出发点似乎是以下几点。假设
$$
\hat{A}(r)=\sum_n A(n) e^{2 \pi i n r / N}
$$
很大。为了表明 $A$ 在某些进程中增加了密度 $P$ ,必须以某种方式摆脱此处出现的指数项。在罗斯定理的通 常证明中,这是通过拆分来完成的 $\mathbb{Z} / N \mathbb{Z}$ 进入小的进展 $e^{2 \pi i n r / N}$ 大致恒定为 $n$ 变化。然而,这是相当低效 的一一需要很多小的进步。相反,假设一个人忘记了级数,并分裂了 $\mathbb{Z} / N \mathbb{Z}$ 最多成集合 $|n r / N|$ 大致恒 定。我们可以很容易地推断出 $A$ 其中一组增加了密度。不幸的是,此信息并不等同于原始假设,因为其中 一个新集合并不仿射等同于 $1, \ldots, N$. 因此,我们必须加强我们试图证明的整个假设。
我们这里讨论的”集合”当然只是玻尔邻域的翻译。因此,我们将尝试证明如下内容。
猜想 4 让 $A$ 是某个玻尔邻域的子集 $\Lambda$, 这样 $|A|=\delta|\Lambda|$. 然后为固定 $\delta$ 和“足够大” $\Lambda, A$ 包含一个三项算术级 数。
自从 $\mathbb{Z} / N \mathbb{Z}$ 是一个普通的玻尔邻域,我们可能莃望这意味着罗斯定理有更好的界限。
正如我们将会发现的那样,要使上述想法奏效,需要克服许多困难。这些主要源于三个事实。

数学代写|傅里叶分析代写Fourier analysis代考|Definitions and Elementary Properties

从现在开始,我们首先定义玻尔邻域的含义。
定义 5 让 Itheta=\left{\theta_1, \dots, \theta_d\right } } \text { \in \mathbb } { \mathrm { R } } \wedge \mathrm { d } \text { , 然后让 } \epsilon \text { 和 } M \text { 是实数 } \epsilon < \frac { 1 } { 2 } \text { . 然后 } 我们定义玻尔邻域 $\Lambda_{\theta, \epsilon, M}$ 成为所有的集合 $n \in \mathbb{Z}$ 这样 $|n| \leq M$ 和 $\left|n \theta_j\right| \leq \epsilon$ 为了 $j=1, \ldots, d$.
这显然与” $\bmod N^{\prime \prime}$ 的同名版本。我们借此机会在这里记录一些关于 Bohr Neighborhoods 的简单事实,稍 后会有用。
引理6 $\left|\Lambda_{\theta, \epsilon, M}\right| \geq \epsilon^d M$
证明让 $\mathbb{S}^d$ 成为单位圆环 $\mathbb{R}^d / \mathbb{Z}^d$. 考虑所有的集合 $P_n=\left(\left|n \theta_1\right|, \ldots,\left|n \theta_d\right|\right) \in \mathbb{S}^d$ 对于整数 $n \in[1, M]$. 这个有尺寸 $M$ ,所以一些 $\epsilon$-立方体 $\mathcal{B}$ 的 $\mathbb{S}^d$ 至少包含 $M \epsilon^d$ 的 $P_i$ (这个 “明显的”平均论点实际上需要仔细分析 其理由)。让 $\mathcal{C}$ 成为所有的集合 $n \in[1, M]$ 为了哪个 $P_n \in \mathcal{B}$. 然后是注射
$$
\phi: \mathcal{C} \rightarrow \Lambda_{\theta, \epsilon, M}
$$
被定义为 $\phi(n)=n-n_0$ ,在哪里 $n_0 \in \mathcal{C}$ 是任意的。
引理 $7\left|\Lambda_{\theta, \epsilon, M}\right|<8^{d+1}\left|\Lambda_{\theta, \frac{\epsilon}{2}, \frac{M}{2}}\right|$
证明鸿沟 $\Lambda_{\theta, \epsilon, M}$ 成套 $A_i$ 这样 方体 $\mathbb{S}^d$;
(二) $A_i$ 包含在长度区间内 $\frac{M}{2}$.
这可以通过 $8^{d+1}$ 套 $A_i$. 每个 $A_i$ 注入 $\Lambda_{\theta, \frac{5}{2}}, \frac{M}{2}$ 通过发送 $n$ 到 $n-n_0$ , 在哪里 $n_0 \in A_i$ 是任意的。结果如
下。

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金融工程代写

金融工程是使用数学技术来解决金融问题。金融工程使用计算机科学、统计学、经济学和应用数学领域的工具和知识来解决当前的金融问题,以及设计新的和创新的金融产品。

非参数统计代写

非参数统计指的是一种统计方法,其中不假设数据来自于由少数参数决定的规定模型;这种模型的例子包括正态分布模型和线性回归模型。

广义线性模型代考

广义线性模型(GLM)归属统计学领域,是一种应用灵活的线性回归模型。该模型允许因变量的偏差分布有除了正态分布之外的其它分布。

术语 广义线性模型(GLM)通常是指给定连续和/或分类预测因素的连续响应变量的常规线性回归模型。它包括多元线性回归,以及方差分析和方差分析(仅含固定效应)。

有限元方法代写

有限元方法(FEM)是一种流行的方法,用于数值解决工程和数学建模中出现的微分方程。典型的问题领域包括结构分析、传热、流体流动、质量运输和电磁势等传统领域。

有限元是一种通用的数值方法,用于解决两个或三个空间变量的偏微分方程(即一些边界值问题)。为了解决一个问题,有限元将一个大系统细分为更小、更简单的部分,称为有限元。这是通过在空间维度上的特定空间离散化来实现的,它是通过构建对象的网格来实现的:用于求解的数值域,它有有限数量的点。边界值问题的有限元方法表述最终导致一个代数方程组。该方法在域上对未知函数进行逼近。[1] 然后将模拟这些有限元的简单方程组合成一个更大的方程系统,以模拟整个问题。然后,有限元通过变化微积分使相关的误差函数最小化来逼近一个解决方案。

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