数学代写|泛函分析作业代写Functional Analysis代考|MATH3402

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泛函分析,数学分析的分支,处理函数,或函数的函数。它作为一个独立的领域出现在20世纪,当时人们意识到不同的数学过程,从算术到微积分程序,表现出非常相似的特性。

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数学代写|泛函分析作业代写Functional Analysis代考|MATH3402

数学代写|泛函分析作业代写Functional Analysis代考|The James Space

In 1950 Robert C. James $[23,24]$ discovered a remarkable example of a non-reflexive Banach space $J$ that is isometrically isomorphic to its bidual space $J^{* }$. In this example the image of the canonical isometric embedding $\iota: J \rightarrow J^{ *}$ in (2.39) is a closed subspace of codimension one. Our exposition follows Megginson [38].

Recall that $c_0 \subset \ell^{\infty}$ is the Banach space of all sequences $\left(x_i\right){i \in \mathbb{N}} \in \mathbb{R}^{\mathbb{N}}$ that converge to zero, equipped with the supremum norm $|x|{\infty}:=\sup {i \in \mathbb{N}}\left|x_i\right|$ for $x=\left(x_i\right){i \in \mathbb{N}} \in c_0$. By Example $1.36$ the dual space of $c_0$ is isomorphic to the space $\ell^1$ of absolutely summable sequences of real numbers with the norm $|x|_1:=\sum_{i=1}^{\infty}\left|x_i\right|$ for $x=\left(x_i\right){i \in \mathbb{N}} \in \ell^1$. Recall also that $\ell^2$ is the Hilbert space of all square summable sequences of real numbers with the norm $|x|_2:=\left(\sum{i=1}^{\infty}\left|x_i\right|^2\right)^{1 / 2}$ for $x=\left(x_i\right)_{i \in \mathbb{N}} \in \ell^2$.

Let $\mathcal{P} \subset 2^{\mathbb{N}}$ be the collection of all nonempty finite subsets of $\mathbb{N}$ and write the elements of $\mathcal{P}$ in the form $\mathbf{p}=\left(p_1, p_2, \ldots, p_k\right)$ with $1 \leq p_1<p_2<\cdots<p_k$. For each $\mathbf{p}=\left(p_1, p_2, \ldots, p_k\right) \in \mathcal{P}$ and each sequence $x=\left(x_i\right){i \in \mathbb{N}}$ of real numbers define the number $|x|{\mathbf{p}} \in[0, \infty)$ by $|x|_{\mathbf{p}}:=0$ when $k=1$ and by
$$
|x|_{\mathbf{p}}:=\sqrt{\frac{1}{2}\left(\sum_{j=1}^{k-1}\left|x_{p_j}-x_{p_{j+1}}\right|^2+\left|x_{p_k}-x_{p_1}\right|^2\right)}
$$
when $k \geq 2$. The James space is the normed vector space defined by
$$
J:=\left{x \in c_0 \mid \sup {\mathbf{p} \in \mathcal{P}}|x|{\mathbf{p}}<\infty\right}
$$
and
$$
|x|_J:=\sup {\mathbf{p} \in \mathcal{P}}|x|{\mathbf{p}}
$$
for $x \in J$.
Before moving on to the main result of this section (Theorem 2.81) we explore some of the basic properties of the James space. This is the content of the next five lemmas.

数学代写|泛函分析作业代写Functional Analysis代考|Problems

Exercise $2.84$ (Phillips’ Lemma). Prove that the subspace
$$
c_0 \subset \ell^{\infty}
$$
of all sequences of real numbers that converge to zero is not complemented. This result is due to Phillips [42]. The hints are based on [3, p45].
Hint 1: There exists an uncountable collection $\left{A_i\right}_{i \in I}$ of infinite subsets $A_i \subset \mathbb{N}$ such that $A_i \cap A_{i^{\prime}}$ is a finite set for all $i, i^{\prime} \in I$ such that $i \neq i^{\prime}$.
For example, take
$$
I:=\mathbb{R} \backslash \mathbb{Q},
$$
choose a bijection $\mathbb{N} \rightarrow \mathbb{Q}: n \mapsto a_n$, choose sequences $\left(n_{i, k}\right){k \in \mathbb{N}}$ in $\mathbb{N}$, one for each $i \in I$, such that $\lim {k \rightarrow \infty} a_{n_{i, k}}=i$ for all $i \in I=\mathbb{R} \backslash \mathbb{Q}$, and define
$$
A_i:=\left{n_{i, k} \mid k \in \mathbb{N}\right} \subset \mathbb{N} \quad \text { for } i \in I .
$$
Hint 2: Let $Q: \ell^{\infty} \rightarrow \ell^{\infty}$ be a bounded linear operator with $c_0 \subset \operatorname{ker}(Q)$. Then there exists an infinite subset $A \subset \mathbb{N}$ such that $Q(x)=0$ for every sequence $x=\left(x_j\right)_{j \in \mathbb{N}} \in \ell^{\infty}$ that satisfies $x_j=0$ for all $j \in \mathbb{N} \backslash A$.

The set $A$ can be taken as one of the sets $A_i$ in Hint 1 . Argue by contradiction and suppose that, for each $i \in I$, there exists a sequence $x_i=\left(x_{i j}\right){j \in \mathbb{N}} \in \ell^{\infty}$ such that $$ Q\left(x_i\right) \neq 0, \quad\left|x_i\right|{\infty}=1, \quad x_{i j}=0 \text { for all } j \in \mathbb{N} \backslash A_i .
$$
Define the maps $Q_n: \ell^{\infty} \rightarrow \mathbb{R}$ by $Q(x)=:\left(Q_n(x)\right){n \in \mathbb{N}}$ for $x \in \ell^{\infty}$. For each pair of integers $n, k \in \mathbb{N}$ define the set $$ I{n, k}:=\left{i \in I|| Q_n\left(x_i\right) \mid \geq 1 / k\right} .
$$
Fix a finite set $I^{\prime} \subset I_{n, k}$ and consider the value of the operator $Q$ on the element $x:=\sum_{i \in I^{\prime}} \varepsilon_i x_i$ with $\varepsilon_i:=\operatorname{sign}\left(Q_n\left(x_i\right)\right)$. Use the fact that the set
$$
B:=\left{j \in \mathbb{N} \mid \exists i, i^{\prime} \in I^{\prime} \text { such that } i \neq i^{\prime} \text { and } x_{i j} \neq 0 \neq x_{i^{\prime} j}\right}
$$
is finite to deduce that $|Q(x)| \leq|Q|$ and so $# I_{n, k} \leq k|Q|$ for all $n, k \in \mathbb{N}$. This contradicts the fact that the set $I=\bigcup_{n, k \in \mathbb{N}} I_{n, k}$ is uncountable.

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泛函分析代写

数学代写|泛函分析作业代写Functional Analysis代考|The James Space

1950 年罗伯特·C.詹姆斯 $[23,24]$ 发现了一个非自反 Banach 空间的非凡例子 $J$ 与其双向空间等距同构 $J^$. 在这个例子中,典型等距嵌入的图像し: $J \rightarrow J^(2.39)$ 中是余维一的闭子空间。我们的阐述遵循 Megginson [38]。
回想起那个 $c_0 \subset \ell^{\infty}$ 是所有序列的巴拿赫空间 $\left(x_i\right) i \in \mathbb{N} \in \mathbb{R}^{\mathbb{N}}$ 收敛于零,具有最高范数 $|x| \infty:=\sup i \in \mathbb{N}\left|x_i\right|$ 为了 $x=\left(x_i\right) i \in \mathbb{N} \in c_0$. 以身作则 $1.36$ 的对偶空间 $c_0$ 与空间同构 $\ell^1$ 具有 范数的实数的绝对可和序列 $|x|1:=\sum{i=1}^{\infty}\left|x_i\right|$ 为了 $x=\left(x_i\right) i \in \mathbb{N} \in \ell^1$. 还记得 $\ell^2$ 是具有范数的所 有平方可和实数序列的希尔伯特空间 $|x|2:=\left(\sum i=1^{\infty}\left|x_i\right|^2\right)^{1 / 2}$ 为了 $x=\left(x_i\right){i \in \mathbb{N}} \in \ell^2$.
让 $\mathcal{P} \subset 2^{\mathbb{N}}$ 是所有非空有限子集的集合 $\mathbb{N}$ 并写下的元素 $\mathcal{P}$ 在形式 $\mathbf{p}=\left(p_1, p_2, \ldots, p_k\right)$ 和 $1 \leq p_1<p_2<\cdots<p_k$. 对于每个 $\mathbf{p}=\left(p_1, p_2, \ldots, p_k\right) \in \mathcal{P}$ 和每个序列 $x=\left(x_i\right) i \in \mathbb{N}$ 实数 定义数 $|x| \mathbf{p} \in[0, \infty)$ 经过 $|x|{\mathbf{p}}:=0$ 什么时候 $k=1$ 并通过 $$ |x|{\mathbf{p}}:=\sqrt{\frac{1}{2}\left(\sum_{j=1}^{k-1}\left|x_{p_j}-x_{p_{j+1}}\right|^2+\left|x_{p_k}-x_{p_1}\right|^2\right)}
$$
什么时候 $k \geq 2$. James 空间是赋范向量空间,定义为

$$
|x|_J:=\sup \mathbf{p} \in \mathcal{P}|x| \mathbf{p}
$$
为了 $x \in J$.
在继续讨论本节的主要结果(定理 2.81)之前,我们探索James 空间的一些基本属性。这是接下来五 个引理的内容。

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锻炼 $2.84$ (菲利普斯引理)。证明子空间
$$
c_0 \subset \ell^{\infty}
$$
收敛于零的所有实数序列都不是互补的。这一结果归功于 Phillips [42]。这些提示基于 $[3, \mathrm{p} 45]$ 。 提示1: 存在不可数集合 \eft{A_ilright $}$ {i \in I} 无限子集 $A_i \subset \mathbb{N}$ 这样 $A_i \cap A_{i^{\prime}}$ 是所有的有限集 $i, i^{\prime} \in I$ 这样 $i \neq i^{\prime}$.
例如,拿
$$
I:=\mathbb{R} \backslash \mathbb{Q},
$$
选择双射 $\mathbb{N} \rightarrow \mathbb{Q}: n \mapsto a_n$ ,选择序列 $\left(n_{i, k}\right) k \in \mathbb{N}$ 在 $\mathbb{N}$ ,每个人一个 $i \in I$ ,这样 $\lim k \rightarrow \infty a_{n_{i, k}}=i$ 对全部 $i \in I=\mathbb{R} \backslash \mathbb{Q}$ ,并定义
提示 2: 让 $Q: \ell^{\infty} \rightarrow \ell^{\infty}$ 是一个有界线性算子 $c_0 \subset \operatorname{ker}(Q)$. 则存在无限子集 $A \subset \mathbb{N}$ 这样 $Q(x)=0$ 对于每个序列 $x=\left(x_j\right){j \in \mathbb{N}} \in \ell^{\infty}$ 满足 $x_j=0$ 对全部 $j \in \mathbb{N} \backslash A$. 套装 $A$ 可以作为集合之一 $A_i$ 在提示 1 中。通过矛盾论证并假设,对于每个 $i \in I$ ,存在一个数列 $x_i=\left(x{i j}\right) j \in \mathbb{N} \in \ell^{\infty}$ 这样
$$
Q\left(x_i\right) \neq 0, \quad\left|x_i\right| \infty=1, \quad x_{i j}=0 \text { for all } j \in \mathbb{N} \backslash A_i .
$$
定义地图 $Q_n: \ell^{\infty} \rightarrow \mathbb{R}$ 经过 $Q(x)=:\left(Q_n(x)\right) n \in \mathbb{N}$ 为了 $x \in \ell^{\infty}$. 对于每对整数 $n, k \in \mathbb{N}$ 定义集合
固定一个有限集 $I^{\prime} \subset I_{n, k}$ 并考虑运营商的价值 $Q$ 在元素上 $x:=\sum_{i \in I^{\prime}} \varepsilon_i x_i$ 和 $\varepsilon_i:=\operatorname{sign}\left(Q_n\left(x_i\right)\right)$. 使用集合的事实
$B:=\backslash l e f t\left{j \backslash i n \backslash m a t h b b{N} \backslash m i d \backslash e x i s t s i, j \wedge{\backslash p r i m e} \backslash\right.$ in $I \wedge{\backslash p r i m e} \backslash t e x t{$ 这样 $}$ i $\backslash n e q$ i^${\backslash p r i m e} \backslash$ 文本 ${$ 和 $} \times _{i$ $I=\bigcup_{n, k \in \mathbb{N}} I_{n, k}$ 是不可数的。

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金融工程代写

金融工程是使用数学技术来解决金融问题。金融工程使用计算机科学、统计学、经济学和应用数学领域的工具和知识来解决当前的金融问题,以及设计新的和创新的金融产品。

非参数统计代写

非参数统计指的是一种统计方法,其中不假设数据来自于由少数参数决定的规定模型;这种模型的例子包括正态分布模型和线性回归模型。

广义线性模型代考

广义线性模型(GLM)归属统计学领域,是一种应用灵活的线性回归模型。该模型允许因变量的偏差分布有除了正态分布之外的其它分布。

术语 广义线性模型(GLM)通常是指给定连续和/或分类预测因素的连续响应变量的常规线性回归模型。它包括多元线性回归,以及方差分析和方差分析(仅含固定效应)。

有限元方法代写

有限元方法(FEM)是一种流行的方法,用于数值解决工程和数学建模中出现的微分方程。典型的问题领域包括结构分析、传热、流体流动、质量运输和电磁势等传统领域。

有限元是一种通用的数值方法,用于解决两个或三个空间变量的偏微分方程(即一些边界值问题)。为了解决一个问题,有限元将一个大系统细分为更小、更简单的部分,称为有限元。这是通过在空间维度上的特定空间离散化来实现的,它是通过构建对象的网格来实现的:用于求解的数值域,它有有限数量的点。边界值问题的有限元方法表述最终导致一个代数方程组。该方法在域上对未知函数进行逼近。[1] 然后将模拟这些有限元的简单方程组合成一个更大的方程系统,以模拟整个问题。然后,有限元通过变化微积分使相关的误差函数最小化来逼近一个解决方案。

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随机分析代写


随机微积分是数学的一个分支,对随机过程进行操作。它允许为随机过程的积分定义一个关于随机过程的一致的积分理论。这个领域是由日本数学家伊藤清在第二次世界大战期间创建并开始的。

时间序列分析代写

随机过程,是依赖于参数的一组随机变量的全体,参数通常是时间。 随机变量是随机现象的数量表现,其时间序列是一组按照时间发生先后顺序进行排列的数据点序列。通常一组时间序列的时间间隔为一恒定值(如1秒,5分钟,12小时,7天,1年),因此时间序列可以作为离散时间数据进行分析处理。研究时间序列数据的意义在于现实中,往往需要研究某个事物其随时间发展变化的规律。这就需要通过研究该事物过去发展的历史记录,以得到其自身发展的规律。

回归分析代写

多元回归分析渐进(Multiple Regression Analysis Asymptotics)属于计量经济学领域,主要是一种数学上的统计分析方法,可以分析复杂情况下各影响因素的数学关系,在自然科学、社会和经济学等多个领域内应用广泛。

MATLAB代写

MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中,其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括:数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发,包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统,其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题,尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题,而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问,这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展,得到了许多用户的投入。在大学环境中,它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域,MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要,工具箱允许您学习应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数(M 文件)的综合集合,可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。

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