### 数学代写|泛函分析作业代写Functional Analysis代考|MATH3402

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## 数学代写|泛函分析作业代写Functional Analysis代考|The James Space

In 1950 Robert C. James $[23,24]$ discovered a remarkable example of a non-reflexive Banach space $J$ that is isometrically isomorphic to its bidual space $J^{* }$. In this example the image of the canonical isometric embedding $\iota: J \rightarrow J^{ *}$ in (2.39) is a closed subspace of codimension one. Our exposition follows Megginson [38].

Recall that $c_0 \subset \ell^{\infty}$ is the Banach space of all sequences $\left(x_i\right){i \in \mathbb{N}} \in \mathbb{R}^{\mathbb{N}}$ that converge to zero, equipped with the supremum norm $|x|{\infty}:=\sup {i \in \mathbb{N}}\left|x_i\right|$ for $x=\left(x_i\right){i \in \mathbb{N}} \in c_0$. By Example $1.36$ the dual space of $c_0$ is isomorphic to the space $\ell^1$ of absolutely summable sequences of real numbers with the norm $|x|_1:=\sum_{i=1}^{\infty}\left|x_i\right|$ for $x=\left(x_i\right){i \in \mathbb{N}} \in \ell^1$. Recall also that $\ell^2$ is the Hilbert space of all square summable sequences of real numbers with the norm $|x|_2:=\left(\sum{i=1}^{\infty}\left|x_i\right|^2\right)^{1 / 2}$ for $x=\left(x_i\right)_{i \in \mathbb{N}} \in \ell^2$.

Let $\mathcal{P} \subset 2^{\mathbb{N}}$ be the collection of all nonempty finite subsets of $\mathbb{N}$ and write the elements of $\mathcal{P}$ in the form $\mathbf{p}=\left(p_1, p_2, \ldots, p_k\right)$ with $1 \leq p_1<p_2<\cdots<p_k$. For each $\mathbf{p}=\left(p_1, p_2, \ldots, p_k\right) \in \mathcal{P}$ and each sequence $x=\left(x_i\right){i \in \mathbb{N}}$ of real numbers define the number $|x|{\mathbf{p}} \in[0, \infty)$ by $|x|_{\mathbf{p}}:=0$ when $k=1$ and by
$$|x|_{\mathbf{p}}:=\sqrt{\frac{1}{2}\left(\sum_{j=1}^{k-1}\left|x_{p_j}-x_{p_{j+1}}\right|^2+\left|x_{p_k}-x_{p_1}\right|^2\right)}$$
when $k \geq 2$. The James space is the normed vector space defined by
$$J:=\left{x \in c_0 \mid \sup {\mathbf{p} \in \mathcal{P}}|x|{\mathbf{p}}<\infty\right}$$
and
$$|x|_J:=\sup {\mathbf{p} \in \mathcal{P}}|x|{\mathbf{p}}$$
for $x \in J$.
Before moving on to the main result of this section (Theorem 2.81) we explore some of the basic properties of the James space. This is the content of the next five lemmas.

## 数学代写|泛函分析作业代写Functional Analysis代考|Problems

Exercise $2.84$ (Phillips’ Lemma). Prove that the subspace
$$c_0 \subset \ell^{\infty}$$
of all sequences of real numbers that converge to zero is not complemented. This result is due to Phillips [42]. The hints are based on [3, p45].
Hint 1: There exists an uncountable collection $\left{A_i\right}_{i \in I}$ of infinite subsets $A_i \subset \mathbb{N}$ such that $A_i \cap A_{i^{\prime}}$ is a finite set for all $i, i^{\prime} \in I$ such that $i \neq i^{\prime}$.
For example, take
$$I:=\mathbb{R} \backslash \mathbb{Q},$$
choose a bijection $\mathbb{N} \rightarrow \mathbb{Q}: n \mapsto a_n$, choose sequences $\left(n_{i, k}\right){k \in \mathbb{N}}$ in $\mathbb{N}$, one for each $i \in I$, such that $\lim {k \rightarrow \infty} a_{n_{i, k}}=i$ for all $i \in I=\mathbb{R} \backslash \mathbb{Q}$, and define
$$A_i:=\left{n_{i, k} \mid k \in \mathbb{N}\right} \subset \mathbb{N} \quad \text { for } i \in I .$$
Hint 2: Let $Q: \ell^{\infty} \rightarrow \ell^{\infty}$ be a bounded linear operator with $c_0 \subset \operatorname{ker}(Q)$. Then there exists an infinite subset $A \subset \mathbb{N}$ such that $Q(x)=0$ for every sequence $x=\left(x_j\right)_{j \in \mathbb{N}} \in \ell^{\infty}$ that satisfies $x_j=0$ for all $j \in \mathbb{N} \backslash A$.

The set $A$ can be taken as one of the sets $A_i$ in Hint 1 . Argue by contradiction and suppose that, for each $i \in I$, there exists a sequence $x_i=\left(x_{i j}\right){j \in \mathbb{N}} \in \ell^{\infty}$ such that $$Q\left(x_i\right) \neq 0, \quad\left|x_i\right|{\infty}=1, \quad x_{i j}=0 \text { for all } j \in \mathbb{N} \backslash A_i .$$
Define the maps $Q_n: \ell^{\infty} \rightarrow \mathbb{R}$ by $Q(x)=:\left(Q_n(x)\right){n \in \mathbb{N}}$ for $x \in \ell^{\infty}$. For each pair of integers $n, k \in \mathbb{N}$ define the set $$I{n, k}:=\left{i \in I|| Q_n\left(x_i\right) \mid \geq 1 / k\right} .$$
Fix a finite set $I^{\prime} \subset I_{n, k}$ and consider the value of the operator $Q$ on the element $x:=\sum_{i \in I^{\prime}} \varepsilon_i x_i$ with $\varepsilon_i:=\operatorname{sign}\left(Q_n\left(x_i\right)\right)$. Use the fact that the set
$$B:=\left{j \in \mathbb{N} \mid \exists i, i^{\prime} \in I^{\prime} \text { such that } i \neq i^{\prime} \text { and } x_{i j} \neq 0 \neq x_{i^{\prime} j}\right}$$
is finite to deduce that $|Q(x)| \leq|Q|$ and so $# I_{n, k} \leq k|Q|$ for all $n, k \in \mathbb{N}$. This contradicts the fact that the set $I=\bigcup_{n, k \in \mathbb{N}} I_{n, k}$ is uncountable.

# 泛函分析代写

## 数学代写|泛函分析作业代写Functional Analysis代考|The James Space

1950 年罗伯特·C.詹姆斯 $[23,24]$ 发现了一个非自反 Banach 空间的非凡例子 $J$ 与其双向空间等距同构 $J^$. 在这个例子中，典型等距嵌入的图像し: $J \rightarrow J^(2.39)$ 中是余维一的闭子空间。我们的阐述遵循 Megginson [38]。

$$|x|_J:=\sup \mathbf{p} \in \mathcal{P}|x| \mathbf{p}$$

## 数学代写|泛函分析作业代写Functional Analysis代考|Problems

$$c_0 \subset \ell^{\infty}$$

$$I:=\mathbb{R} \backslash \mathbb{Q},$$

$$Q\left(x_i\right) \neq 0, \quad\left|x_i\right| \infty=1, \quad x_{i j}=0 \text { for all } j \in \mathbb{N} \backslash A_i .$$

$B:=\backslash l e f t\left{j \backslash i n \backslash m a t h b b{N} \backslash m i d \backslash e x i s t s i, j \wedge{\backslash p r i m e} \backslash\right.$ in $I \wedge{\backslash p r i m e} \backslash t e x t{$ 这样 $}$ i $\backslash n e q$ i^${\backslash p r i m e} \backslash$ 文本 ${$ 和 $} \times _{i$ $I=\bigcup_{n, k \in \mathbb{N}} I_{n, k}$ 是不可数的。

## 有限元方法代写

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