数学代写|伽罗瓦理论代写Galois Theory代考|МАТН3040

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伽罗瓦理论的中心思想是考虑根的排列(或重新排列),使根所满足的任何代数方程在根被排列后仍然满足。最初,该理论是针对系数为有理数的代数方程而开发的。

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  • Foundations of Data Science 数据科学基础
数学代写|伽罗瓦理论代写Galois Theory代考|МАТН3040

数学代写|伽罗瓦理论代写Galois Theory代考|Quintic Equations

So far, we have a series of special tricks, different in each case. We can approach the general quintic equation
$$
t^5+a t^4+b t^3+c t^2+d t+e=0
$$
in a similar way. A Tschirnhaus transformation $y=t+a / 5$ reduces it to
$$
y^5+p y^3+q y^2+r y+s=0
$$
However, all variations on the tricks that we used for the quadratic, cubic, and quartic equations grind to a halt.

In 1770-1771 Lagrange analysed all of the above special tricks, showing that they can all be ‘explained’ using general principles about symmetric functions of the roots. When he applied this method to the quintic, however, he found that it ‘reduced’ the problem to a sextic – an equation of degree 6. Instead of helping, the method made the problem worse.

Lagrange observed that all methods for solving polynomial equations by radicals involve constructing rational functions of the roots that take a small number of values when the roots $\alpha_j$ are permuted. Prominent among these is the expression
$$
\delta=\prod_{1 \leq j<k \leq n}\left(\alpha_j-\alpha_k\right)
$$
where $n$ is the degree. This takes just two values, $\pm \delta$ : plus for even permutations and minus for odd ones. Therefore $\Delta=\delta^2$ (known as the discriminant because it is nonzero precisely when the roots are distinct, so it ‘discriminates’ among the roots) is a rational function of the coefficients. This gets us started, and it yields a complete solution for the quadratic, but for cubics upwards it does not help much unless we can find other expressions in the roots with similar properties under permutation.

Lagrange worked out what these expressions look like for the cubic and the quartic, and noticed a pattern. For example, if a cubic polynomial has roots $\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3$, and $\omega$ is a primitive cube root of unity, then the expression
$$
u=\left(\alpha_1+\omega \alpha_2+\omega^2 \alpha_3\right)^3
$$ takes exactly two distinct values.

数学代写|伽罗瓦理论代写Galois Theory代考|The Fundamental Theorem of Algebra

At the time of Galois, the natural setting for most mathematical investigations was the complex number system. The real numbers were inadequate for many questions, because $-1$ has no real square root. The arithmetic, algebra, anddecisively – analysis of complex numbers were richer, more elegant, and more complete than the corresponding theories for real numbers.

In this chapter we establish one of the key properties of $\mathbb{C}$, known as the Fundamental Theorem of Algebra. This theorem asserts that every polynomial equation with coefficients in $\mathbb{C}$ has a solution in $\mathbb{C}$. This theorem is, of course, false over $\mathbb{R}$-consider the equation $t^2+1=0$. It was fundamental to classical algebra, but the name is somewhat archaic, and modern algebra bypasses $\mathbb{C}$ altogether, preferring greater generality. Because we find it convenient to work in the same setting as Galois, the theorem is fundamental for us.

All rigorous proofs of the Fundamental Theorem of Algebra require quite a lot of background. Here, we give a proof that uses a few simple ideas from algebra and trigonometry, estimates of the kind that are familiar from any first course in analysis, and one simple basic result from point-set topology. Later, we give an almost purely algebraic proof, but the price is the need for much more machinery: see Chapter 23. Ironically, that proof uses Galois theory to prove the Fundamental Theorem of Algebra, the exact opposite of what Galois did. The logic is not circular, because the proof in Chapter 23 rests on the abstract approach to Galois theory described in the second part of this book, which makes no use of the Fundamental Theorem of Algebra.

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伽罗瓦理论代考

数学代写|伽罗瓦理论代写Galois Theory代考|Quintic Equations

到目前为止,我们有一系列特殊技巧,每种情况都不同。我们可以接近一般的五次方程
$$
t^5+a t^4+b t^3+c t^2+d t+e=0
$$
以类似的方式。Tschirnhaus 变换 $y=t+a / 5$ 减少到
$$
y^5+p y^3+q y^2+r y+s=0
$$
然而,我们用于二次、三次和四次方程式的技巧的所有变体都停止了。
在 1770-1771 年,拉格朗日分析了上述所有特殊技巧,表明它们都可以使用关于根的对称函数的一般原理来“解 释”。然而,当他将这种方法应用于五次方程时,他发现它将问题“简化”为六次方程一一一个 6 次方程。该方法 非但没有帮助,反而使问题变得更糟。
拉格朗日观察到,所有用根求解多项式方程的方法都涉及构造根的有理函数,这些函数在根时取少量值 $\alpha_j$ 被置 换。其中突出的是表达
$$
\delta=\prod_{1 \leq j<k \leq n}\left(\alpha_j-\alpha_k\right)
$$
在哪里 $n$ 是学位。这只需要两个值, $\pm \delta$ : 偶数排列加号,奇数排列减号。所以 $\Delta=\delta^2$ (称为判别式,因为它恰 好在根不同时不为零,因此它在根中 “区分”) 是系数的有理函数。这让我们开始了,它为二次方程产生了一个完 整的解,但对于向上的三次方程它并没有太大帮助,除非我们可以在根中找到其他具有类似排列性质的表达式。
拉格朗日计算出了这些表达式对于三次和四次的样子,并注意到了一种模式。例如,如果三次多项式有根 $\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3$ ,和 $\omega$ 是单位的原始立方根,则表达式
$$
u=\left(\alpha_1+\omega \alpha_2+\omega^2 \alpha_3\right)^3
$$
恰好采用两个不同的值。

数学代写|伽罗瓦理论代写Galois Theory代考|The Fundamental Theorem of Algebra

在伽罗瓦时代,大多数数学研究的自然背景是复数系统。许多问题的真实数字是不够的,因为−1没有真正的平方根。算术、代数和决定性的复数分析比相应的实数理论更丰富、更优雅、更完整。

在本章中,我们建立了一个关键属性C,被称为代数基本定理。该定理断言每个系数为C有一个解决方案C. 这个定理当然是错误的R-考虑方程吨2+1=0. 它是经典代数的基础,但这个名字有点陈旧,现代代数绕过了C总的来说,更喜欢更大的普遍性。因为我们发现在与 Galois 相同的环境中工作很方便,所以该定理是我们的基础。

代数基本定理的所有严格证明都需要相当多的背景知识。在这里,我们给出了一个证明,其中使用了代数和三角学中的一些简单思想、任何第一门分析课程中熟悉的那种估计,以及点集拓扑的一个简单基本结果。稍后,我们给出了一个几乎纯代数的证明,但代价是需要更多的机器:见第 23 章。具有讽刺意味的是,该证明使用伽罗瓦理论来证明代数基本定理,与伽罗瓦所做的完全相反。逻辑不是循环的,因为第 23 章中的证明基于本书第二部分描述的伽罗瓦理论的抽象方法,它没有使用代数基本定理。

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金融工程代写

金融工程是使用数学技术来解决金融问题。金融工程使用计算机科学、统计学、经济学和应用数学领域的工具和知识来解决当前的金融问题,以及设计新的和创新的金融产品。

非参数统计代写

非参数统计指的是一种统计方法,其中不假设数据来自于由少数参数决定的规定模型;这种模型的例子包括正态分布模型和线性回归模型。

广义线性模型代考

广义线性模型(GLM)归属统计学领域,是一种应用灵活的线性回归模型。该模型允许因变量的偏差分布有除了正态分布之外的其它分布。

术语 广义线性模型(GLM)通常是指给定连续和/或分类预测因素的连续响应变量的常规线性回归模型。它包括多元线性回归,以及方差分析和方差分析(仅含固定效应)。

有限元方法代写

有限元方法(FEM)是一种流行的方法,用于数值解决工程和数学建模中出现的微分方程。典型的问题领域包括结构分析、传热、流体流动、质量运输和电磁势等传统领域。

有限元是一种通用的数值方法,用于解决两个或三个空间变量的偏微分方程(即一些边界值问题)。为了解决一个问题,有限元将一个大系统细分为更小、更简单的部分,称为有限元。这是通过在空间维度上的特定空间离散化来实现的,它是通过构建对象的网格来实现的:用于求解的数值域,它有有限数量的点。边界值问题的有限元方法表述最终导致一个代数方程组。该方法在域上对未知函数进行逼近。[1] 然后将模拟这些有限元的简单方程组合成一个更大的方程系统,以模拟整个问题。然后,有限元通过变化微积分使相关的误差函数最小化来逼近一个解决方案。

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随机分析代写


随机微积分是数学的一个分支,对随机过程进行操作。它允许为随机过程的积分定义一个关于随机过程的一致的积分理论。这个领域是由日本数学家伊藤清在第二次世界大战期间创建并开始的。

时间序列分析代写

随机过程,是依赖于参数的一组随机变量的全体,参数通常是时间。 随机变量是随机现象的数量表现,其时间序列是一组按照时间发生先后顺序进行排列的数据点序列。通常一组时间序列的时间间隔为一恒定值(如1秒,5分钟,12小时,7天,1年),因此时间序列可以作为离散时间数据进行分析处理。研究时间序列数据的意义在于现实中,往往需要研究某个事物其随时间发展变化的规律。这就需要通过研究该事物过去发展的历史记录,以得到其自身发展的规律。

回归分析代写

多元回归分析渐进(Multiple Regression Analysis Asymptotics)属于计量经济学领域,主要是一种数学上的统计分析方法,可以分析复杂情况下各影响因素的数学关系,在自然科学、社会和经济学等多个领域内应用广泛。

MATLAB代写

MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中,其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括:数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发,包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统,其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题,尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题,而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问,这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展,得到了许多用户的投入。在大学环境中,它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域,MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要,工具箱允许您学习应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数(M 文件)的综合集合,可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。

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