统计代写|广义线性模型代写generalized linear model代考|STAT3030

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广义线性模型(GLiM,或GLM)是John Nelder和Robert Wedderburn在1972年制定的一种高级统计建模技术。它是一个包含许多其他模型的总称,它允许响应变量y具有除正态分布以外的误差分布。

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  • Longitudinal Data Analysis 纵向数据分析
  • Foundations of Data Science 数据科学基础
统计代写|广义线性模型代写generalized linear model代考|STAT3030

统计代写|广义线性模型代写generalized linear model代考|Properties of the Estimator

The least squares estimator $\hat{\boldsymbol{\beta}}$ of Equation $2.7$ has several interesting properties. If the model is correct, in the (weak) sense that the expected value of the response $Y_i$ given the predictors $\mathbf{x}_i$ is indeed $\mathbf{x}_i^{\prime} \boldsymbol{\beta}$, then the OLS estimator is unbiased, its expected value equals the true parameter value:
$$
\mathrm{E}(\hat{\boldsymbol{\beta}})=\boldsymbol{\beta} .
$$
It can also be shown that if the observations are uncorrelated and have constant variance $\sigma^2$, then the variance-covariance matrix of the OLS estimator is
$$
\operatorname{var}(\hat{\boldsymbol{\beta}})=\left(\mathbf{X}^{\prime} \mathbf{X}\right)^{-1} \sigma^2 .
$$
This result follows immediately from the fact that $\hat{\boldsymbol{\beta}}$ is a linear function of the data $\mathbf{y}$ (see Equation 2.7), and the assumption that the variance-covariance matrix of the data is $\operatorname{var}(\mathbf{Y})=\sigma^2 \mathbf{I}$, where $\mathbf{I}$ is the identity matrix.

A further property of the estimator is that it has minimum variance among all unbiased estimators that are linear functions of the data, i.e.

it is the best linear unbiased estimator (BLUE). Since no other unbiased estimator can have lower variance for a fixed sample size, we say that OLS estimators are fully efficient.

Finally, it can be shown that the sampling distribution of the OLS estimator $\hat{\boldsymbol{\beta}}$ in large samples is approximately multivariate normal with the mean and variance given above, i.e.
$$
\hat{\boldsymbol{\beta}} \sim N_p\left(\boldsymbol{\beta},\left(\mathbf{X}^{\prime} \mathbf{X}\right)^{-1} \sigma^2\right)
$$

统计代写|广义线性模型代写generalized linear model代考|Estimation of 2

Substituting the OLS estimator of $\boldsymbol{\beta}$ into the log-likelihood in Equation $2.5$ gives a profile likelihood for $\sigma^2$
$$
\log L\left(\sigma^2\right)=-\frac{n}{2} \log \left(2 \pi \sigma^2\right)-\frac{1}{2} \operatorname{RSS}(\hat{\boldsymbol{\beta}}) / \sigma^2 .
$$
Differentiating this expression with respect to $\sigma^2$ (not $\sigma$ ) and setting the derivative to zero leads to the maximum likelihood estimator
$$
\hat{\sigma^2}=\operatorname{RSS}(\hat{\boldsymbol{\beta}}) / n .
$$
This estimator happens to be brased, but the bias is easily corrected dividing by $n-p$ instead of $n$. The situation is exactly analogous to the use of $n-1$ instead of $n$ when estimating a variance. In fact, the estimator of $\sigma^2$ for the null model is the sample variance, since $\hat{\beta}=\bar{y}$ and the residual sum of squares is $\operatorname{RSS}=\sum\left(y_i-\bar{y}\right)^2$.

Under the assumption of normality, the ratio RSS $/ \sigma^2$ of the residual sum of squares to the true parameter value has a chi-squared distribution with $n-p$ degrees of freedom and is independent of the estimator of the linear parameters. You might be interested to know that using the chi-squared distribution as a likelihood to estimate $\sigma^2$ (instead of the normal likelihood to estimate both $\boldsymbol{\beta}$ and $\sigma^2$ ) leads to the unbiased estimator.

For the sample data the RSS for the null model is $2650.2$ on 19 d.f. and therefore $\hat{\sigma}=11.81$, the sample standard deviation.

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广义线性模型代考

统计代写|广义线性模型代写generalized linear model代考|Properties of the Estimator

最小二乘估计量 $\hat{\beta}$ 方程式 $2.7$ 有几个有趣的属性。如果模型是正确的,在 (弱) 意义上,响应的期望值 $Y_i$ 给定预测变量 $\mathbf{x}_i$ 确实是 $\mathbf{x}_i^{\prime} \boldsymbol{\beta}$ ,则 OLS 估计量是无偏的,其期望值等于真实参数值:
$$
\mathrm{E}(\hat{\boldsymbol{\beta}})=\boldsymbol{\beta} .
$$
还可以证明,如果观测值不相关且方差恒定 $\sigma^2$ ,则OLS估计量的方差-协方差矩阵为
$$
\operatorname{var}(\hat{\boldsymbol{\beta}})=\left(\mathbf{X}^{\prime} \mathbf{X}\right)^{-1} \sigma^2
$$
这个结果直接从以下事实得出 $\hat{\boldsymbol{\beta}}$ 是数据的线性函数 $\mathbf{y}$ (参见公式 2.7),并假设数据的方差-协方差矩阵为 $\operatorname{var}(\mathbf{Y})=\sigma^2 \mathbf{I}$ ,在哪里 $\mathbf{I}$ 是单位矩阵。
估计器的另一个属性是它在所有作为数据线性函数的无偏估计器中具有最小方差,即
它是最好的线性无偏估计器(蓝色)。由于没有其他无偏估计量可以针对固定样本量具有更低的方差,因 此我们说 OLS 估计量是完全有效的。
最后可以证明OLS估计量的抽样分布 $\hat{\beta}$ 在大样本中近似于多元正态分布,具有上面给出的均值和方差,即
$$
\hat{\boldsymbol{\beta}} \sim N_p\left(\boldsymbol{\beta},\left(\mathbf{X}^{\prime} \mathbf{X}\right)^{-1} \sigma^2\right)
$$

统计代写|广义线性模型代写generalized linear model代考|Estimation of 2

代入 OLS 估计量 $\beta$ 进入等式中的对数似然 $2.5$ 给出概况可能性 $\sigma^2$
$$
\log L\left(\sigma^2\right)=-\frac{n}{2} \log \left(2 \pi \sigma^2\right)-\frac{1}{2} \operatorname{RSS}(\hat{\boldsymbol{\beta}}) / \sigma^2 .
$$
对这个表达式进行微分 $\sigma^2$ (不是 $\sigma$ ) 并将导数设置为零导致最大似然估计
$$
\hat{\sigma^2}=\operatorname{RSS}(\hat{\boldsymbol{\beta}}) / n .
$$
这个估计量恰好是 brased,但偏差很容易通过除以 $n-p$ 代替 $n$. 这种情况完全类似于使用 $n-1$ 代替 $n$ 估 计方差时。事实上,估计量 $\sigma^2$ 对于空模型是样本方差, 因为 $\hat{\beta}=\bar{y}$ 残差平方和为 $\mathrm{RSS}=\sum\left(y_i-\bar{y}\right)^2$.
在正态性假设下,比值 RSS $/ \sigma^2$ 残差平方和与真实参数值的关系服从卡方分布 $n-p$ 自由度并且独立于线 性参数的估计量。您可能有兴趣知道使用卡方分布作为估计的可能性 $\sigma^2$ (而不是估计两者的正常可能性 $\boldsymbol{\beta}$ 和 $\sigma^2$ ) 导致无偏估计。
对于示例数据,空模型的 RSS 是 $2650.2$ 在 $19 \mathrm{df}$ 上,因此 $\hat{\sigma}=11.81$ ,样本标准偏差。

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金融工程代写

金融工程是使用数学技术来解决金融问题。金融工程使用计算机科学、统计学、经济学和应用数学领域的工具和知识来解决当前的金融问题,以及设计新的和创新的金融产品。

非参数统计代写

非参数统计指的是一种统计方法,其中不假设数据来自于由少数参数决定的规定模型;这种模型的例子包括正态分布模型和线性回归模型。

广义线性模型代考

广义线性模型(GLM)归属统计学领域,是一种应用灵活的线性回归模型。该模型允许因变量的偏差分布有除了正态分布之外的其它分布。

术语 广义线性模型(GLM)通常是指给定连续和/或分类预测因素的连续响应变量的常规线性回归模型。它包括多元线性回归,以及方差分析和方差分析(仅含固定效应)。

有限元方法代写

有限元方法(FEM)是一种流行的方法,用于数值解决工程和数学建模中出现的微分方程。典型的问题领域包括结构分析、传热、流体流动、质量运输和电磁势等传统领域。

有限元是一种通用的数值方法,用于解决两个或三个空间变量的偏微分方程(即一些边界值问题)。为了解决一个问题,有限元将一个大系统细分为更小、更简单的部分,称为有限元。这是通过在空间维度上的特定空间离散化来实现的,它是通过构建对象的网格来实现的:用于求解的数值域,它有有限数量的点。边界值问题的有限元方法表述最终导致一个代数方程组。该方法在域上对未知函数进行逼近。[1] 然后将模拟这些有限元的简单方程组合成一个更大的方程系统,以模拟整个问题。然后,有限元通过变化微积分使相关的误差函数最小化来逼近一个解决方案。

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随机分析代写


随机微积分是数学的一个分支,对随机过程进行操作。它允许为随机过程的积分定义一个关于随机过程的一致的积分理论。这个领域是由日本数学家伊藤清在第二次世界大战期间创建并开始的。

时间序列分析代写

随机过程,是依赖于参数的一组随机变量的全体,参数通常是时间。 随机变量是随机现象的数量表现,其时间序列是一组按照时间发生先后顺序进行排列的数据点序列。通常一组时间序列的时间间隔为一恒定值(如1秒,5分钟,12小时,7天,1年),因此时间序列可以作为离散时间数据进行分析处理。研究时间序列数据的意义在于现实中,往往需要研究某个事物其随时间发展变化的规律。这就需要通过研究该事物过去发展的历史记录,以得到其自身发展的规律。

回归分析代写

多元回归分析渐进(Multiple Regression Analysis Asymptotics)属于计量经济学领域,主要是一种数学上的统计分析方法,可以分析复杂情况下各影响因素的数学关系,在自然科学、社会和经济学等多个领域内应用广泛。

MATLAB代写

MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中,其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括:数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发,包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统,其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题,尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题,而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问,这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展,得到了许多用户的投入。在大学环境中,它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域,MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要,工具箱允许您学习应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数(M 文件)的综合集合,可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。

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