统计代写|广义线性模型代写generalized linear model代考|STATS3001

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广义线性模型(GLiM,或GLM)是John Nelder和Robert Wedderburn在1972年制定的一种高级统计建模技术。它是一个包含许多其他模型的总称,它允许响应变量y具有除正态分布以外的误差分布。

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  • Statistical Machine Learning 统计机器学习
  • Longitudinal Data Analysis 纵向数据分析
  • Foundations of Data Science 数据科学基础
统计代写|广义线性模型代写generalized linear model代考|STATS3001

统计代写|广义线性模型代写generalized linear model代考|Choice of Link Function

We must choose a link function to specify a binomial regression model. It is usually not possible to make this choice based on the data alone. For regions of moderate $p$, that is not close to zero or one, the link functions we have proposed are quite similar and so a very large amount of data would be necessary to distinguish between them. Larger differences are apparent in the tails, but for very small $p$, one needs a very large amount of data to obtain just a few successes, making it expensive to distinguish between link functions in this region. So usually, the choice of link function is made based on assumptions derived from physical knowledge or simple convenience. We now look at some of the advantages and disadvantages of the three proposed link functions and what motivates the choice.

Bliss (1935) analyzed some data on the numbers of insects dying at different levels of insecticide concentration. We fit all three link functions:

The lines in the left panel of Figure $2.3$ do not seem very different, but look at the relative differences:
$>$ matplot $(x$, cbind $(p p / p l,(1-p p) /(1-$
pl)), type=”1″, $x l a b=$ Dose”, $1 \mathrm{ab}=$ “Ratio”)
$>$ matplot (x, cbind (pc/pl, (1-pc) /(1-
pl)), type=”1″, 1 lab=”Dose”,ylab=”Ratio”)
as they appear in the second and third panels of Figure 2.3. We see that the probit and logit differ substantially in the tails. The same phenomenon is observed for the complementary log-log. This is problematic since the former plot indicates it would be difficult to distinguish between the two using the data we have. This is an issue in trials of potential carcinogens and other substances that must be tested for possible harmful effects on humans. Some substances are highly poisonous in that their effects become immediately obvious at doses that might normally be experienced in the environment. It is not difficult to detect such substances. However, there are other substances whose harmful effects only become apparent at large dosages where the observed probabilities are sufficiently larger than zero to become estimable without immense sample sizes. In order to estimate the probability of a harmful effect at a low dose, it would be necessary to select an appropriate link function and yet the data for high dosages will be of little help in doing this. As Paracelsus (1493-1541) said, “All substances are poisons; there is none which is not a poison. The right dose differentiates a poison.”

A good example of this problem is asbestos. Information regarding the harmful effects of asbestos derives from historical studies of workers in industries exposed to very high levels of asbestos dust. However, we would like to know the risk to individuals exposed to low levels of asbestos dust such as those found in old buildings. It is virtually impossible to accurately determine this risk. We cannot accurately measure exposure or outcome. This is not to argue that nothing should be done, but that decisions should be made in recognition of the uncertainties.

统计代写|广义线性模型代写generalized linear model代考|Goodness of Fit

The deviance is one measure of how well the model fits the data, but there are alternatives. The Pearson’s $X^2$ statistic takes the general form:
X^2=\sum_{i=1}^n \frac{\left(O_i-E_i\right)^2}{E_i}
where $O_i$ is the observed counts and $E_i$ are the expected counts for case $i$. For a binomial response, we count the number of successes for which $\theta_i=y_i$ while $E_i=n_i \hat{p}i$ and failures for which $O_i=n_i-y_i$ and $E_i=n_i\left(1-\hat{p}_i\right){\text {which results in: }}$
X^2=\sum_{i=1}^n \frac{\left(y_i-n_i \hat{p}i\right)^2}{n_i \hat{p}_i\left(1-\hat{p}_i\right)} $$ If we define Pearson residuals as: $$ r_i^P=\left(y_i-n_i \hat{p}_i\right) / \sqrt{\operatorname{var} \hat{y}_i} $$ which can be viewed as a type of standardized residual, then $X^2=\sum{i=1}^n\left(r_i^P\right)^2$.So the Pearson’s $X^2$ is analogous to the residual sum of squares used in normal linear models.
The Pearson $X^2$ will typically be close in size to the deviance and can be used in the same manner. Alternative versions of the hypothesis tests described above might use the $X^2$ in place of the deviance with the same approximate null distributions.

However, some care is necessary because the model is fit to minimize the deviance and not the Pearson’s $X^2$. This means that it is possible, although unlikely, that the $X^2$ could increase as a predictor is added to the model. $X^2$ can be computed like this:

The proportion of variance explained or $R^2$ is a popular measure of fit for normal linear models. We might consider applying the same concept to binomial regression models by using the proportion of deviance explained. However, a better statistic is due to Naglekerke (1991):
R^2=\frac{1-\left(\hat{L}0 / \hat{L}\right)^{2 / n}}{1-\hat{L}_o^{2 / n}}=\frac{1-\exp \left(\left(D-D{\text {null }}\right) / n\right)}{1-\exp \left(-D_{\text {null }} / n\right)}

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统计代写|广义线性模型代写generalized linear model代考|Choice of Link Function

我们必须选择一个链接函数来指定二项式回归模型。通常不可能仅根据数据做出这种选择。对 于中度地区 $p$ ,即不接近于零或一,我们提出的链接函数非常相似,因此需要大量数据来区分 它们。较大的差异在尾部很明显,但对于非常小的 $p$ ,需要大量数据才能获得少数成功,因此 区分该区域中的链㢺功能非常昂贵。所以通常,链㢺函数的选择是基于从物理知识或简单的便 利性得出的假设。我们现在看一下所提出的三个链接函数的一些优点和缺点,以及选择的动 机。

Bliss (1935) 分析了一些关于在不同杀虫剂浓度水平下死亡的昆蝼量的数据。我们适合所有 三个链㢺功能:
图左面板中的线条 $2.3$ 看起来差别不大,但是看看相对的区别:
$>$ 绘图 $(x$, 绑定 $(p p / p l,(1-p p) /(1-$
pl)), type=”1″, $x l a b=$ 剂量”, $1 \mathrm{ab}=$ “比率”)
$>$ matplot $(x$, cbind $(\mathrm{pc} / \mathrm{pl},(1-\mathrm{pc}) /(1-$
pl)), type=”1″, 1 lab=”Dose”,ylab=”Ratio”)
它们出现在图 $2.3$ 的第二和第三图中。我们看到 probit 和 logit 在尾部有很大不同。互补对数 对数也观察到相同的现象。这是有问题的,因为前一个图表明很难使用我们拥有的数据来区分 两者。这是潜在致癌物和其他必须测试对人体可能有害影响的物质试验中的一个问题。有些物 质具有剧毒,因为它们的影响在正常情况下可能在环境中经历的剂量下立即显现出来。检则此 类物质并不困难。然而,还有其他一些物质,其有害影响只有在大剂量时才会显现,在这种情 况下,观察到的概率远大于零,无需大量样本即可估计。为了估计低剂量有害影响的可能性, 有必要选择一个合适的链接函数,但高剂量的数据对此帮助不大。正如 Paracelsus (14931541) 所兑,“所有物质都是毒药; 无一不是毒。正确的剂量可以区分毒药。”
这个问题的一个很好的例子是石棉。有关石棉有害影响的信息来自对暴露于高浓度石棉粉尘的 行业工人的历史研究。但是,我们想知道暴露于低浓度石棉粉尘(例如在旧建筑物中发现的石 棉粉尘)的个人所面临的风险。准确确定这种风险几乎是不可能的。我们无法准确衡量风险或 结果。这并不是说什么都不应该做,而是应该在认识到不确定性的情兄下做出决定。

统计代写|广义线性模型代写generalized linear model代考|Goodness of Fit

偏差是模型与数据拟合程度的一种衡量标准,但还有其他选择。皮尔逊的 $X^2$ 统计采用一般形 式:
X^2=\sum_{i=1}^n \frac{\left(O_i-E_i\right)^2}{E_i}
在哪里 $O_i$ 是观察到的计数和 $E_i$ 是案例的预期计数 $i$. 对于二项式响应,我们计算成功的次数 $\theta_i=y_i$ 尽管 $E_i=n_i \hat{p} i$ 和失败的原因 $O_i=n_i-y_i$ 和 $E_i=n_i\left(1-\hat{p}i\right)$ which results in: $$ X^2=\sum{i=1}^n \frac{\left(y_i-n_i \hat{p} i\right)^2}{n_i \hat{p}i\left(1-\hat{p}_i\right)} $$ 如果我们将 Pearson 残差定义为: $$ r_i^P=\left(y_i-n_i \hat{p}_i\right) / \sqrt{\operatorname{var} \hat{y}_i} $$ 可以看作是一种标准化残差,那么 $X^2=\sum i=1^n\left(r_i^P\right)^2$. 所以皮尔逊的 $X^2$ 类似于正态线性 模型中使用的残差平方和。 皮尔逊 $X^2$ 通常在大小上接近偏差,并且可以以相同的方式使用。上述假设检验的替代版本可 能使用 $X^2$ 用相同的近似零分布代替偏差。 但是,有些注意是必要的,因为该模型适用于最小化偏差而不是 Pearson 的 $X^2$. 这意味着尽 管不太可能,但有可能 $X^2$ 可能会随着预测变量添加到模型中而增加。 $X^2$ 可以这样计算: 解释的方差比例或 $R^2$ 是正态线性模型的一种流行的拟合度量。我们可能会考虑通过使用解释 的偏差比例将相同的概念应用于二项式回归模型。然而,更好的统计数据来自 Naglekerke (1991): $$ R^2=\frac{1-(\hat{L} 0 / \hat{L})^{2 / n}}{1-\hat{L}_o^{2 / n}}=\frac{1-\exp ((D-D \text { null }) / n)}{1-\exp \left(-D{\text {null }} / n\right)}

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术语 广义线性模型(GLM)通常是指给定连续和/或分类预测因素的连续响应变量的常规线性回归模型。它包括多元线性回归,以及方差分析和方差分析(仅含固定效应)。



有限元是一种通用的数值方法,用于解决两个或三个空间变量的偏微分方程(即一些边界值问题)。为了解决一个问题,有限元将一个大系统细分为更小、更简单的部分,称为有限元。这是通过在空间维度上的特定空间离散化来实现的,它是通过构建对象的网格来实现的:用于求解的数值域,它有有限数量的点。边界值问题的有限元方法表述最终导致一个代数方程组。该方法在域上对未知函数进行逼近。[1] 然后将模拟这些有限元的简单方程组合成一个更大的方程系统,以模拟整个问题。然后,有限元通过变化微积分使相关的误差函数最小化来逼近一个解决方案。





随机过程,是依赖于参数的一组随机变量的全体,参数通常是时间。 随机变量是随机现象的数量表现,其时间序列是一组按照时间发生先后顺序进行排列的数据点序列。通常一组时间序列的时间间隔为一恒定值(如1秒,5分钟,12小时,7天,1年),因此时间序列可以作为离散时间数据进行分析处理。研究时间序列数据的意义在于现实中,往往需要研究某个事物其随时间发展变化的规律。这就需要通过研究该事物过去发展的历史记录,以得到其自身发展的规律。


多元回归分析渐进(Multiple Regression Analysis Asymptotics)属于计量经济学领域,主要是一种数学上的统计分析方法,可以分析复杂情况下各影响因素的数学关系,在自然科学、社会和经济学等多个领域内应用广泛。


MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中,其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括:数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发,包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统,其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题,尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题,而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问,这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展,得到了许多用户的投入。在大学环境中,它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域,MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要,工具箱允许您学习应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数(M 文件)的综合集合,可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。



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