计算机代写|图像处理代写Image Processing代考|ECE867

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  • Statistical Machine Learning 统计机器学习
  • Longitudinal Data Analysis 纵向数据分析
  • Foundations of Data Science 数据科学基础
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计算机代写|图像处理代写Image Processing代考|Basic Definitions of Fuzzy Sets Theory

Let $\mathcal{U}$ be the universe of discourse, i.e., the space of objects of interest. It is a classical (or crisp) set. We denote by $x, y$, etc. its elements (or points). In image processing, $\mathcal{U}$ can typically be the space on which the image is defined (usually $\mathbb{Z}^n$ or $\mathbb{R}^n$, with $n=2,3, \ldots$ ) and will then be denoted by $\mathcal{S}$. Then the elements of $\mathcal{U}=\mathcal{S}$ are the points of the image (pixels, voxels). The universe can also be a set of values taken by some image characteristics, for instance, the scale of gray levels. Then an element $x$ is a value (a gray level). The set $\mathcal{U}$ can also be a set of features,primitives, or objects extracted from the images (e.g., segments, regions, objects), leading to a higher level representation of the image content.

A subset $X$ of $\mathcal{U}$ is defined by its characteristic function $\mu_X$, such that $\mu_X(x)=1$ if $x \in X$ and $\mu_X(x)=0$ if $x \notin X$. The characteristic function $\mu_X$ is a binary function, specifying the crisp membership of each point of $\mathcal{U}$ to $X$.

Fuzzy set theory aims at dealing with gradual membership, accomplished by a rather modest extension of the definition of $\mu$ to take values in $[0,1]$ rather than ${0,1}$. A fuzzy subset of $\mathcal{U}$ is then defined through its membership function $\mu$ from $\mathcal{U}$ into $[0,1] .{ }^1$ For each $x$ of $\mathcal{U}, \mu(x) \in[0,1]$ represents the membership degree of $x$ to the fuzzy subset, i.e., to which extent $x$ belongs to it. Although the correct terminology would be to speak of “fuzzy subset,” commonly, the simpler term “fuzzy set” is used (just as in the case of crisp subsets). We keep this term in the following, for the sake of simplicity.

Various notations are used to designate a fuzzy set. A fuzzy set is completely defined by the set ${(x, \mu(x)), x \in \mathcal{U}}$, which can be noted as $\int_{\mathcal{U}} \mu(x) / x$ or in the discrete finite case $\sum_{i=1}^N \mu\left(x_i\right) / x_i$ where $N$ denotes the cardinality of $\mathcal{U}$.

Since the set of all couples $(x, \mu(x))$ is completely equivalent to the definition of the function $\mu$, we have chosen here to simplify notations and to always use the functional notation $\mu$, a function of $\mathcal{U}$ into $[0,1]$, and $\mu$ will alternatively denote a fuzzy set or its membership function.

The support of a fuzzy set $\mu$ is the set of points that have a strictly positive membership to $\mu$ (it is a crisp set):
$$
\operatorname{Supp}(\mu)={x \in \mathcal{U} \mid \mu(x)>0} .
$$

计算机代写|图像处理代写Image Processing代考|Set Theoretical Operations: Original Definitions

Since fuzzy sets have been introduced by L. Zadeh in [34] in order to generalize sets, the first operations that have been proposed are set theoretical (algebraic) operations. We recall here the original definitions proposed by L. Zadeh. Further operations are defined later, in Sect. 2.3.

The equality of two fuzzy sets is defined by the equality of their membership functions:
$$
\mu=v \Leftrightarrow \forall x \in \mathcal{U}, \mu(x)=v(x) .
$$
The inclusion of a fuzzy set in another one is defined as an inequality on their membership functions:
$$
\mu \subseteq v \Leftrightarrow \forall x \in \mathcal{U}, \mu(x) \leq v(x) .
$$
The intersection (respectively, union) between two fuzzy sets is defined as the pointwise minimum (respectively, maximum) of their membership values:
$$
\begin{aligned}
& \forall x \in \mathcal{U},(\mu \cap v)(x)=\min [\mu(x), v(x)], \
& \forall x \in \mathcal{U},(\mu \cup v)(x)=\max [\mu(x), v(x)] .
\end{aligned}
$$
The complement of a fuzzy set $\mu, \bar{\mu}$, is defined as:
$$
\forall x \in \mathcal{U}, \bar{\mu}(x)=1-\mu(x) .
$$
The main properties of these definitions are the following:

  • They are all consistent with crisp set operations, that is, in the particular case where the membership functions only take values 0 and 1 (i.e., they are crisp sets), these definitions reduce to the classical definitions; note that this property is important since it is the least we can ask to the fuzzy extension of an operation on sets.
  • $\mu=v \Leftrightarrow \mu \subseteq v$ and $v \subseteq \mu$.
  • The fuzzy complementation is involutive, that is $\overline{(\bar{\mu})}=\mu$.
  • Intersection and union are commutative and associative.
  • Intersection and union are idempotent and mutually distributive.
  • Intersection and union are dual with respect to the complementation: $\overline{(\mu \cap \nu)}=$ $\bar{\mu} \cup \bar{v}, \overline{(\mu \cup v)}=\bar{\mu} \cap \bar{v}$.
  • If we consider the empty set $\emptyset$ as a fuzzy set having membership values all equal to 0 , then we have $\mu \cap \emptyset=\emptyset$ and $\mu \cup \emptyset=\mu$, for any fuzzy set $\mu$ defined on $\mathcal{U}$.
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图像处理代考

计算机代写|图像处理代写Image Processing代考|Basic Definitions of Fuzzy Sets Theory

让 $\mathcal{U}$ 是论域,即感兴趣对象的空间。这是一套经典(或清晰)的套装。我们用 $x, y$ 等它的元素(或点)。 在图像处理中, $\mathcal{U}$ 通常可以是定义图像的空间(通常 $\mathbb{Z}^n$ 或者 $\mathbb{R}^n$ ,和 $n=2,3, \ldots$ ) 然后记为 $\mathcal{S}$. 然后是 元素 $\mathcal{U}=\mathcal{S}$ 是图像的点(像素、体素)。宇宙也可以是某些图像特征所取的一组值,例如,灰度级。然 后是一个元素 $x$ 是一个值 (灰度级) 。套装 $\mathcal{U}$ 也可以是一组特征、基元或从图像中提取的对象(例如,片 段、区域、对象),从而导致图像内容的更高级别表示。
一个子集 $X$ 的 $\mathcal{U}$ 由其特征函数定义 $\mu_X$ ,这样 $\mu_X(x)=1$ 如果 $x \in X$ 和 $\mu_X(x)=0$ 如果 $x \notin X$. 特征函 数 $\mu_X$ 是一个二元函数,指定每个点的清晰隶属度 $\mathcal{U}$ 到 $X$.
模㬶集理论旨在处理渐进的隶属度,通过对定义的相当适度的扩展来实现 $\mu$ 取值 $[0,1]$ 而不是 0,1 . 的模糊 子集 $\mathcal{U}$ 然后通过其隶属函数定义 $\mu$ 从U进入 $[0,1] .{ }^1$ 对于每个 $x$ 的 $\mathcal{U}, \mu(x) \in[0,1]$ 表示隶属度 $x$ 到模糊子 集,即,到什么程度 $x$ 属于它。虽然正确的术语应该是“模糊子集”,但通常使用更简单的术语“模糊集” (就像在清晰子集的情况下一样)。为了简单起见,我们在下文中保留该术语。
各种符号用于指定模糊集。模媩集完全由集合定义 $(x, \mu(x)), x \in \mathcal{U}$ ,可以记为 $\int_{\mathcal{U}} \mu(x) / x$ 或者在离散 有限情况下 $\sum_{i=1}^N \mu\left(x_i\right) / x_i$ 在哪里 $N$ 表示的基数 $\mathcal{U}$.
自设所有情侣 $(x, \mu(x))$ 完全等同于函数的定义 $\mu$ ,我们在这里选择简化符号并始终使用功能符号 $\mu$ ,函数 $\mathcal{U}$ 进入 $[0,1]$ ,和 $\mu$ 将替代地表示一个模糊集或其隶属函数。
模糊集的支持度 $\mu$ 是具有严格正隶属关系的点集 $\mu$ (这是一套清脆的):
$\operatorname{Supp}(\mu)=x \in \mathcal{U} \mid \mu(x)>0$

计算机代写|图像处理代写Image Processing代考|Set Theoretical Operations: Original Definitions

由于 L. Zadeh 在 [34] 中引入了模糊集以泛化集合,因此提出的第一个操作是集合理论(代数)操作。我 们在此回顾 L. Zadeh 提出的原始定义。稍后在 Sect. 中定义进一步的操作。2.3.
两个模糊集的相等性由它们的隶属函数的相等性定义:
$$
\mu=v \Leftrightarrow \forall x \in \mathcal{U}, \mu(x)=v(x) .
$$
将一个模糊集包含在另一个模糊集中被定义为它们的隶属函数不等式:
$$
\mu \subseteq v \Leftrightarrow \forall x \in \mathcal{U}, \mu(x) \leq v(x) .
$$
两个模糊集之间的交集 (分别为并集) 定义为其隶属度值的逐点最小值(分别为最大值):
$$
\forall x \in \mathcal{U},(\mu \cap v)(x)=\min [\mu(x), v(x)], \quad \forall x \in \mathcal{U},(\mu \cup v)(x)=\max [\mu(x), v(x)]
$$
模糊集的补集 $\mu, \bar{\mu}$, 定义为:
$$
\forall x \in \mathcal{U}, \bar{\mu}(x)=1-\mu(x)
$$
这些定义的主要属性如下:

  • 它们都与清晰集操作一致,即在隶属函数仅取值 0 和 1 (即它们是清晰集)的特定情况下,这些定 义简化为经典定义;请注意,此属性很重要,因为它是我们可以对集合操作的模喖扩展提出的最少 要求。
  • $\mu=v \Leftrightarrow \mu \subseteq v$ 和 $v \subseteq \mu$.
  • 模㗅互补是内合的,即 $(\bar{\mu})=\mu$.
  • 交集和并集是可交换的和结合的。
  • 交集和并集是幂等且互分配的。
  • Intersection 和 union 在互补方面是对偶的: $\overline{(\mu \cap \nu)}=\bar{\mu} \cup \bar{v}, \overline{(\mu \cup v)}=\bar{\mu} \cap \bar{v}$.
  • 如果我们考虑空集 $\emptyset$ 作为一个隶属度值都等于 0 的模糊集,那么我们有 $\mu \cap \emptyset=\emptyset$ 和 $\mu \cup \emptyset=\mu$, 对 于任何模糊集 $\mu$ 定义于 $\mathcal{U}$.
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金融工程代写

金融工程是使用数学技术来解决金融问题。金融工程使用计算机科学、统计学、经济学和应用数学领域的工具和知识来解决当前的金融问题,以及设计新的和创新的金融产品。

非参数统计代写

非参数统计指的是一种统计方法,其中不假设数据来自于由少数参数决定的规定模型;这种模型的例子包括正态分布模型和线性回归模型。

广义线性模型代考

广义线性模型(GLM)归属统计学领域,是一种应用灵活的线性回归模型。该模型允许因变量的偏差分布有除了正态分布之外的其它分布。

术语 广义线性模型(GLM)通常是指给定连续和/或分类预测因素的连续响应变量的常规线性回归模型。它包括多元线性回归,以及方差分析和方差分析(仅含固定效应)。

有限元方法代写

有限元方法(FEM)是一种流行的方法,用于数值解决工程和数学建模中出现的微分方程。典型的问题领域包括结构分析、传热、流体流动、质量运输和电磁势等传统领域。

有限元是一种通用的数值方法,用于解决两个或三个空间变量的偏微分方程(即一些边界值问题)。为了解决一个问题,有限元将一个大系统细分为更小、更简单的部分,称为有限元。这是通过在空间维度上的特定空间离散化来实现的,它是通过构建对象的网格来实现的:用于求解的数值域,它有有限数量的点。边界值问题的有限元方法表述最终导致一个代数方程组。该方法在域上对未知函数进行逼近。[1] 然后将模拟这些有限元的简单方程组合成一个更大的方程系统,以模拟整个问题。然后,有限元通过变化微积分使相关的误差函数最小化来逼近一个解决方案。

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随机分析代写


随机微积分是数学的一个分支,对随机过程进行操作。它允许为随机过程的积分定义一个关于随机过程的一致的积分理论。这个领域是由日本数学家伊藤清在第二次世界大战期间创建并开始的。

时间序列分析代写

随机过程,是依赖于参数的一组随机变量的全体,参数通常是时间。 随机变量是随机现象的数量表现,其时间序列是一组按照时间发生先后顺序进行排列的数据点序列。通常一组时间序列的时间间隔为一恒定值(如1秒,5分钟,12小时,7天,1年),因此时间序列可以作为离散时间数据进行分析处理。研究时间序列数据的意义在于现实中,往往需要研究某个事物其随时间发展变化的规律。这就需要通过研究该事物过去发展的历史记录,以得到其自身发展的规律。

回归分析代写

多元回归分析渐进(Multiple Regression Analysis Asymptotics)属于计量经济学领域,主要是一种数学上的统计分析方法,可以分析复杂情况下各影响因素的数学关系,在自然科学、社会和经济学等多个领域内应用广泛。

MATLAB代写

MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中,其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括:数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发,包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统,其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题,尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题,而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问,这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展,得到了许多用户的投入。在大学环境中,它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域,MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要,工具箱允许您学习应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数(M 文件)的综合集合,可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。

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