数学代写|勒贝格积分代写Lebesgue Integration代考|Math720

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勒贝格积分一词既可以指勒贝格积分提出的关于函数相对于一般度量的积分的一般理论,也可以指定义在实线子域上的函数相对于勒贝格积分度量的积分的具体情形。

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  • Foundations of Data Science 数据科学基础
数学代写|勒贝格积分代写Lebesgue Integration代考|Math720

数学代写|勒贝格积分代写Lebesgue Integration代考|Continuity and Differentiability

The fourth big question asks for the relationship between continuity and differentiability. We know that a function that is differentiable at a given value of $x$ must also be continuous at that value, and it is clear that the converse does not hold. The function $f(x)=|x|$ is continuous but not differentiable at $x=0$. But how nondifferentiable can a continuous function be?

Throughout the first half of the nineteenth century, it was generally believed that a continuous function would be differentiable at most points. ${ }^4$ Mathematicians recognized that a function might have finitely many values at which it failed to have a derivative. There might even be a sparse infinite set of points at which a continuous function was not differentiable, but the mathematical community was honestly surprised when, in 1875 , Gaston Darboux and Paul du-Bois Reymond ${ }^5$ published examples of continuous functions that are not differentiable at any value.
The question then shifted to what additional assumptions beyond continuity would ensure differentiability. Monotonicity was a natural candidate. Weierstrass constructed a strictly increasing continuous function that is not differentiable at any algebraic number, that is to say, at any number that is the root of a polynomial with rational coefficients. It is not differentiable at $1 / 2$ or $\sqrt{2}$ or $\sqrt[3]{5}-2 \sqrt[21]{35}$. Weierstrass’s function is differentiable at $\pi$. Can we find a continuous, increasing function that is not differentiable at any value? The surprising answer is No. In fact, in a sense that later will be made precise, a continuous, monotonic function is differentiable at “most” values of $x$. There are very important subtleties lurking behind this fourth question.

数学代写|勒贝格积分代写Lebesgue Integration代考|Term-by-term Integration

Returning to Fourier series, we saw that the heuristic justification relied on interchanging summation and integration, integrating an infinite series of functions by integrating each summand. This works for finite summations. It is not hard to find infinite series for which term-by-term integration leads to a divergent series or, even worse, a series that converges to the wrong value.

Weierstrass had shown that if the series converges uniformly, then term-by-term integration is valid. The problem with this result is that the most interesting series, especially Fourier series, often do not converge uniformly and yet term-by-term integration is valid. Uniform convergence is sufficient, but it is very far from necessary. As we shall see, finding useful conditions under which term-by-term integration is valid is very difficult so long as we cling to the Riemann integral. As Lebesgue would show in the opening years of the twentieth century, his definition of the integral yields a simple, elegant solution, the Lebesgue dominated convergence theorem.

1.1.1. Find the Fourier expansions for $f_1(x)=x$ and $f_2(x)=x^2$ over $[-\pi, \pi]$.
1.1.2. For the functions $f_1$ and $f_2$ defined in Exercise 1.1.1, differentiate each summand in the Fourier series for $f_2$. Do you get the summands in the Fourier series for $2 f_1$ ? Differentiate each summand in the Fourier series for $f_1$. Do you get the summand in the Fourier series for $f_1^{\prime}(x)$ ?
1.1.3. Using the Fourier series expansion for $x^2$ (Exercise 1.1.1) evaluated at $x=\pi$, show that
$$
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^2}=\frac{\pi^2}{6} .
$$
1.1.4. Show that if $k$ is an integer $\geq 1$, then
$$
\int_{-\pi}^\pi \cos (k x) d x=\int_{-\pi}^\pi \sin (k x) d x=0 .
$$

数学代写|勒贝格积分代写Lebesgue Integration代考|Math720

勒贝格积分代考

数学代写|勒贝格积分代写Lebesgue Integration代考|Continuity and Differentiability

第四个大问题是连续性和可微性之间的关系。我们知道在给定的值下可微分的函数 $x$ 也必须在该值处连 续,很明显,反之亦然。功能 $f(x)=|x|$ 是连续的但在 $x=0$. 但是连续函数的不可微性如何呢?
在整个 19 世纪上半叶,人们普遍认为连续函数在大多数点上都是可微的。 4 数学家们认识到,一个函数 可能有有限多个值,在这些值处它没有导数。甚至可能存在连续函数不可微的稀疏无限点集,但当 1875 年 Gaston Darboux 和 Paul du-Bois Reymond 时,数学界真的感到惊讶 ${ }^5$ 已发布的在任何值下均不可微 的连续函数示例。
然后问题转移到除了连续性之外还有哪些额外的假设可以确保可微性。单调性是一个自然的候选者。 Weierstrass 构造了一个严格递增的连续函数,该函数在任何代数数处不可微,也就是说,在作为具有有 理系数的多项式的根的任何数处不可微。它不可微 $1 / 2$ 要么 $\sqrt{2}$ 要么 $\sqrt[3]{5}-2 \sqrt[21]{35}$. Weierstrass 的函数在 $\pi$. 我们能否找到一个在任何值下都不可微的连续增函数? 令人惊讶的答案是否定的。事实上,从某种意 义上说,以后会变得精确,一个连续的、单调的函数在”大多数”值处是可微的。 $x$. 第四个问题背后隐藏着 非常重要的微妙之处。

数学代写|勒贝格积分代写Lebesgue Integration代考|Term-by-term Integration

回到傅里叶级数,我们看到启发式论证依赖于求和和积分的交替,通过积分每个被加数来积分无限系列 的函数。这适用于有限求和。不难发现无限级数,其中逐项积分导致发散级数,或者更糟糕的是,级数 收敛到错误的值。

Weierstrass 已经表明,如果级数一致收敛,则逐项积分是有效的。这个结果的问题在于,最有趣的级 数,尤其是傅立叶级数,通常不会一致收敛,但逐项积分是有效的。均匀收敛就足够了,但远非必要。 正如我们将要看到的,只要我们坚持黎曼积分,就很难找到使逐项积分有效的有用条件。正如勒贝格在 20 世纪初所表明的那样,他对积分的定义产生了一个简单、优雅的解决方案,即勒贝格支配的收敛定 理。
1.1.1. 求傅立叶展开式 $f_1(x)=x$ 和 $f_2(x)=x^2$ 超过 $[-\pi, \pi]$.
1.1.2. 对于函数 $f_1$ 和 $f_2$ 在练习 1.1.1 中定义,区分傅立叶级数中的每个被加数 $f_2$. 你得到傅立叶级数中的 被加数了吗 $2 f_1$ ? 区分傅里叶级数中的每个被加数 $f_1$. 你得到傅立叶级数中的被加数了吗 $f_1^{\prime}(x)$ ?
1.1.3. 使用傅里叶级数展开 $x^2$ (练习 1.1.1) 评估于 $x=\pi$ , 显示
$$
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^2}=\frac{\pi^2}{6}
$$
1.1.4. 证明如果 $k$ 是一个整数 $\geq 1$ , 然后
$$
\int_{-\pi}^\pi \cos (k x) d x=\int_{-\pi}^\pi \sin (k x) d x=0
$$

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金融工程代写

金融工程是使用数学技术来解决金融问题。金融工程使用计算机科学、统计学、经济学和应用数学领域的工具和知识来解决当前的金融问题,以及设计新的和创新的金融产品。

非参数统计代写

非参数统计指的是一种统计方法,其中不假设数据来自于由少数参数决定的规定模型;这种模型的例子包括正态分布模型和线性回归模型。

广义线性模型代考

广义线性模型(GLM)归属统计学领域,是一种应用灵活的线性回归模型。该模型允许因变量的偏差分布有除了正态分布之外的其它分布。

术语 广义线性模型(GLM)通常是指给定连续和/或分类预测因素的连续响应变量的常规线性回归模型。它包括多元线性回归,以及方差分析和方差分析(仅含固定效应)。

有限元方法代写

有限元方法(FEM)是一种流行的方法,用于数值解决工程和数学建模中出现的微分方程。典型的问题领域包括结构分析、传热、流体流动、质量运输和电磁势等传统领域。

有限元是一种通用的数值方法,用于解决两个或三个空间变量的偏微分方程(即一些边界值问题)。为了解决一个问题,有限元将一个大系统细分为更小、更简单的部分,称为有限元。这是通过在空间维度上的特定空间离散化来实现的,它是通过构建对象的网格来实现的:用于求解的数值域,它有有限数量的点。边界值问题的有限元方法表述最终导致一个代数方程组。该方法在域上对未知函数进行逼近。[1] 然后将模拟这些有限元的简单方程组合成一个更大的方程系统,以模拟整个问题。然后,有限元通过变化微积分使相关的误差函数最小化来逼近一个解决方案。

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随机分析代写


随机微积分是数学的一个分支,对随机过程进行操作。它允许为随机过程的积分定义一个关于随机过程的一致的积分理论。这个领域是由日本数学家伊藤清在第二次世界大战期间创建并开始的。

时间序列分析代写

随机过程,是依赖于参数的一组随机变量的全体,参数通常是时间。 随机变量是随机现象的数量表现,其时间序列是一组按照时间发生先后顺序进行排列的数据点序列。通常一组时间序列的时间间隔为一恒定值(如1秒,5分钟,12小时,7天,1年),因此时间序列可以作为离散时间数据进行分析处理。研究时间序列数据的意义在于现实中,往往需要研究某个事物其随时间发展变化的规律。这就需要通过研究该事物过去发展的历史记录,以得到其自身发展的规律。

回归分析代写

多元回归分析渐进(Multiple Regression Analysis Asymptotics)属于计量经济学领域,主要是一种数学上的统计分析方法,可以分析复杂情况下各影响因素的数学关系,在自然科学、社会和经济学等多个领域内应用广泛。

MATLAB代写

MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中,其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括:数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发,包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统,其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题,尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题,而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问,这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展,得到了许多用户的投入。在大学环境中,它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域,MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要,工具箱允许您学习应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数(M 文件)的综合集合,可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。

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