计算机代写|机器学习代写machine learning代考|COMP30027

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机器学习是一个致力于理解和建立 “学习 “方法的研究领域,也就是说,利用数据来提高某些任务的性能的方法。机器学习算法基于样本数据(称为训练数据)建立模型,以便在没有明确编程的情况下做出预测或决定。机器学习算法被广泛用于各种应用,如医学、电子邮件过滤、语音识别和计算机视觉,在这些应用中,开发传统算法来执行所需任务是困难的或不可行的。

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  • Statistical Machine Learning 统计机器学习
  • Longitudinal Data Analysis 纵向数据分析
  • Foundations of Data Science 数据科学基础
计算机代写|机器学习代写machine learning代考|COMP30027

计算机代写|机器学习代写machine learning代考|Kernel Matrices of Large-Dimensional Data

Another less-known but equally important example of the curse of dimensionality in machine learning involves the loss of relevance of (the notion of) Euclidean distance between large-dimensional data vectors. To be more precise, we will see in the sequel that, in an asymptotically nontrivial classification setting (i.e., ensuring that asymptotic classification is neither trivially easy nor impossible), large and numerous data vectors $\mathbf{x}1, \ldots, \mathbf{x}_n \in \mathbb{R}^p$ extracted from a few-class (say two-class) mixture model tend to be asymptotically at equal (Euclidean) distance from one another, irrespective of their corresponding class. Roughly speaking, in this nontrivial setting and under some reasonable statistical assumptions on the $x_i \mathrm{~s}$, we have $$ \max {1 \leq i \neq j \leq n}\left{\frac{1}{p}\left|\mathbf{x}_i-\mathbf{x}_j\right|^2-\tau\right} \rightarrow 0
$$
for some constant $\tau>0$ as $n, p \rightarrow \infty$, independently of the classes (same or different) of $\mathbf{x}_i$ and $\mathbf{x}_j$ (here the normalization by $p$ is used for compliance with the notations in the remainder of this book and has no particular importance).

This asymptotic behavior is extremely counterintuitive and conveys the idea that classification by standard methods ought not to be doable in this large-dimensional regime. Indeed, in the conventional small-dimensional intuition that forged many of the leading machine learning algorithms of everyday use (such as spectral clustering [Ng et al., 2002, Luxburg, 2007]), two data points are assigned to the same class if they are “close” in Euclidean distance. Here we claim that, when $p$ is large, data pairs are neither close nor far from each other, regardless of their belonging to the same class or not. Despite this troubling loss of individual discriminative power between data pairs, we subsequently show that, thanks to a collective behavior of all data belonging to the same (few and thus large) classes, data classification or clustering is still achievable. Better, we shall see that, while many conventional methods devised from small-dimensional intuitions do fail in this large-dimensional regime, some popular approaches, such as the $\mathrm{Ng}$-Jordan-Weiss spectral clustering method [Ng et al., 2002] or the PageRank semisupervised learning approach [Avrachenkov et al., 2012], still function. But the core reasons for their functioning are strikingly different from the reasons of their initial designs, and they often operate far from optimally.

计算机代写|机器学习代写machine learning代考|The Nontrivial Classification Regime

To get a clear picture of the source of Equation (1.3), we first need to clarify what we refer to as the “asymptotically nontrivial” classification setting. Consider the simplest scenario of a binary Gaussian mixture classification: Given a training set $\mathbf{x}_1, \ldots, \mathbf{x}_n \in \mathbb{R}^p$ of $n$ samples independently drawn from the two-class $\left(\mathcal{C}_1\right.$ and $\left.\mathcal{C}_2\right)$ Gaussian mixture,
$$
\mathcal{C}_1: \mathbf{x} \sim \mathcal{N}\left(\boldsymbol{\mu}, \mathbf{I}_p\right), \quad \mathcal{C}_2: \mathbf{x} \sim \mathcal{N}\left(-\boldsymbol{\mu}, \mathbf{I}_p+\mathbf{E}\right),
$$
each drawn with probability $1 / 2$, for some deterministic $\mu \in \mathbb{R}^p$ and symmetric $\mathbf{E} \in \mathbb{R}^{p \times p}$, both possibly depending on $p$. In the ideal case where $\mu$ and $\mathbf{E}$ are perfectly known, one can devise a (decision optimal) Neyman-Pearson test. For an unknown $\mathbf{x}$, genuinely belonging to $\mathcal{C}_1$, the Neyman-Pearson test to decide on the class of $\mathbf{x}$ reads
Writing $\mathbf{x}=\boldsymbol{\mu}+\mathbf{z}$ for $\mathbf{z} \sim \mathcal{N}\left(\mathbf{0}, \mathbf{I}_p\right)$, the above test is equivalent to
$$
\begin{aligned}
T(\mathbf{x}) \equiv & 4 \boldsymbol{\mu}^{\top}\left(\mathbf{I}_p+\mathbf{E}\right)^{-1} \boldsymbol{\mu}+4 \boldsymbol{\mu}^{\top}\left(\mathbf{I}_p+\mathbf{E}\right)^{-1} \mathbf{z}+\mathbf{z}^{\top}\left(\left(\mathbf{I}_p+\mathbf{E}\right)^{-1}-\mathbf{I}_p\right) \mathbf{z} \
& +\log \operatorname{det}\left(\mathbf{I}_p+\mathbf{E}\right) \underset{\mathcal{C}_2}{\mathcal{C}_1} \underset{\gtrless}{ } .
\end{aligned}
$$
Since $\mathbf{U z}$ for $\mathbf{U} \in \mathbb{R}^{p \times p}$, an eigenvector basis of $\left(\mathbf{I}_p+\mathbf{E}\right)^{-1}$ (and thus of $\left(\mathbf{I}_p+\mathbf{E}\right)^{-1}-$ $\mathbf{I}_p$ ), follows the same distribution as $\mathbf{z}$, the random variable $T(\mathbf{x})$ can be written as the sum of $p$ independent random variables. Further assuming that $|\boldsymbol{\mu}|=O(1)$ with respect to $p$, by Lyapunov’s central limit theorem (e.g., [Billingsley, 2012, Theorem 27.3]) and the fact that $\operatorname{Var}\left[\mathbf{z}^{\top} \mathbf{A z}\right]=2 \operatorname{tr}\left(\mathbf{A}^2\right)$ for symmetric $\mathbf{A} \in \mathbb{R}^{p \times p}$ and Gaussian $\mathbf{z}$, we have, as $p \rightarrow \infty$,
$$
V_T^{-1 / 2}(T(\mathbf{x})-\bar{T}) \stackrel{d}{\rightarrow} \mathcal{N}(0,1),
$$
where
$$
\begin{aligned}
\bar{T} & \equiv 4 \mu^{\top}\left(\mathbf{I}_p+\mathbf{E}\right)^{-1} \boldsymbol{\mu}+\operatorname{tr}\left(\mathbf{I}_p+\mathbf{E}\right)^{-1}-p+\log \operatorname{det}\left(\mathbf{I}_p+\mathbf{E}\right), \
V_T & \equiv 16 \boldsymbol{\mu}^{\top}\left(\mathbf{I}_p+\mathbf{E}\right)^{-2} \boldsymbol{\mu}+2 \operatorname{tr}\left(\left(\mathbf{I}_p+\mathbf{E}\right)^{-1}-\mathbf{I}_p\right)^2 .
\end{aligned}
$$

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机器学习代考

计算机代写|机器学习代写machine learning代考|Kernel Matrices of Large-Dimensional Data

机器学习中维数灾难的另一个鲜为人知但同样重要的例子涉及大维数据向量之间欧几里得距离 (概念) 的 相关性丢失。更准确地说,我们将在续集中看到,在渐近非平凡的分类设置中(即,确保渐近分类既不简 单也不不可能),大量的数据向量 $\mathbf{x} 1, \ldots, \mathbf{x}_n \in \mathbb{R}^p$ 从几类(比如两类)混合模型中提取的数据趋向于 渐近地彼此相等 (欧几里德) 距离,而不管它们对应的类别如何。粗略地说,在这种非平凡的环境下,在 一些合理的统计假设下 $x_i \mathrm{~s}$ , 我们有
对于一些常数 $\tau>0$ 作为 $n, p \rightarrow \infty$ ,独立于类(相同或不同)的 $\mathbf{x}_i$ 和 $\mathbf{x}_j$ (这里归一化 $p$ 用于遵守本书 其余部分中的符号,并不特别重要)。
这种渐近行为非常违反直觉,并传达了这样的想法,即在这种大维体系中,标准方法的分类不应该可行。 事实上,在锻造了许多日常使用的领先机器学习算法(例如谱聚类 [Ng et al., 2002,Luxburg,2007]) 的 传统小维直觉中,两个数据点被分配到同一类,如果它们在欧几里德距离上“接近”。在这里我们声称,当 $p$ 很大,数据对彼此既不近也不远,无论它们是否属于同一类。尽管数据对之间个体辨别力的这种令人不 安的损失,但我们随后表明,由于属于相同(很少因此很大)类的所有数据的集体行为,数据分类或聚类 仍然是可以实现的。更好的是,我们将看到,虽然许多从小维直觉设计出来的传统方法在这个大维体系中 确实失败了,但一些流行的方法,例如Ng-Jordan-Weiss 谱聚类方法 [Ng et al., 2002] 或 PageRank 半 监督学习方法 [Avrachenkov et al., 2012],仍然有效。但它们发挥作用的核心原因与其最初设计的原因 截然不同,而且它们的运行往往远末达到最佳状态。

计算机代写|机器学习代写machine learning代考|The Nontrivial Classification Regime

为了清楚地了解等式 (1.3) 的来源,我们首先需要澄清我们所说的“渐近非平凡”分类设置。考虑二元高 斯混合分类的最简单场景: 给定训练集 $\mathbf{x}_1, \ldots, \mathbf{x}_n \in \mathbb{R}^p$ 的 $n$ 从二类中独立抽取的样本 $\left(\mathcal{C}_1\right.$ 和 $\left.\mathcal{C}_2\right)$ 高斯混 合,
$$
\mathcal{C}_1: \mathbf{x} \sim \mathcal{N}\left(\boldsymbol{\mu}, \mathbf{I}_p\right), \quad \mathcal{C}_2: \mathbf{x} \sim \mathcal{N}\left(-\boldsymbol{\mu}, \mathbf{I}_p+\mathbf{E}\right),
$$
每个抽取概率 $1 / 2$ ,对于一些确定性的 $\mu \in \mathbb{R}^p$ 和对称的 $\mathbf{E} \in \mathbb{R}^{p \times p}$ ,两者都可能取决于 $p$. 在理想情况下 $\mu$ 和 $\mathbf{E}$ 众所周知,可以设计一个 (决策最优的) Neyman-Pearson 检验。对于末知的 $\mathbf{x}$ ,真正属于 $\mathcal{C}_1$ , Neyman-Pearson 检验决定类别 $\mathbf{x} \mid{ }^{\prime}$ 读
写作 $\mathbf{x}=\boldsymbol{\mu}+\mathbf{z}$ 为了 $\mathbf{z} \sim \mathcal{N}\left(\mathbf{0}, \mathbf{I}_p\right)$ , 上面的测试等同于
$$
T(\mathbf{x}) \equiv 4 \boldsymbol{\mu}^{\top}\left(\mathbf{I}_p+\mathbf{E}\right)^{-1} \boldsymbol{\mu}+4 \boldsymbol{\mu}^{\top}\left(\mathbf{I}_p+\mathbf{E}\right)^{-1} \mathbf{z}+\mathbf{z}^{\top}\left(\left(\mathbf{I}_p+\mathbf{E}\right)^{-1}-\mathbf{I}_p\right) \mathbf{z} \quad+\log \operatorname{det}\left(\mathbf{I}_p+\mathbf{E}\right)
$$
自从 $\mathbf{U z}$ 为了 $\mathbf{U} \in \mathbb{R}^{p \times p}$ ,的特征向量基 $\left(\mathbf{I}_p+\mathbf{E}\right)^{-1}$ (因此 $\left.\left(\mathbf{I}_p+\mathbf{E}\right)^{-1}-\mathbf{I}_p\right)$ ,服从与 $\mathbf{z}$, 随机变量 $T(\mathbf{x})$ 可以写成 $p$ 独立的随机变量。进一步假设 $|\boldsymbol{\mu}|=O(1)$ 关于 $p$ ,由李亚普诺夫中心极限定理(例如,
[Billingsley, 2012, Theorem 27.3]) 和事实 $\operatorname{Var}\left[\mathbf{z}^{\top} \mathbf{A z}\right]=2 \operatorname{tr}\left(\mathbf{A}^2\right)$ 对于对称 $\mathbf{A} \in \mathbb{R}^{p \times p}$ 和高斯 $\mathbf{z}$, 我 们有 $p \rightarrow \infty$ ,
$$
V_T^{-1 / 2}(T(\mathbf{x})-\bar{T}) \stackrel{d}{\rightarrow} \mathcal{N}(0,1),
$$
在哪里
$$
\bar{T} \equiv 4 \mu^{\top}\left(\mathbf{I}_p+\mathbf{E}\right)^{-1} \boldsymbol{\mu}+\operatorname{tr}\left(\mathbf{I}_p+\mathbf{E}\right)^{-1}-p+\log \operatorname{det}\left(\mathbf{I}_p+\mathbf{E}\right), V_T \quad \equiv 16 \boldsymbol{\mu}^{\top}\left(\mathbf{I}_p+\mathbf{E}\right)^{-2} \boldsymbol{\mu}+
$$

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金融工程代写

金融工程是使用数学技术来解决金融问题。金融工程使用计算机科学、统计学、经济学和应用数学领域的工具和知识来解决当前的金融问题,以及设计新的和创新的金融产品。

非参数统计代写

非参数统计指的是一种统计方法,其中不假设数据来自于由少数参数决定的规定模型;这种模型的例子包括正态分布模型和线性回归模型。

广义线性模型代考

广义线性模型(GLM)归属统计学领域,是一种应用灵活的线性回归模型。该模型允许因变量的偏差分布有除了正态分布之外的其它分布。

术语 广义线性模型(GLM)通常是指给定连续和/或分类预测因素的连续响应变量的常规线性回归模型。它包括多元线性回归,以及方差分析和方差分析(仅含固定效应)。

有限元方法代写

有限元方法(FEM)是一种流行的方法,用于数值解决工程和数学建模中出现的微分方程。典型的问题领域包括结构分析、传热、流体流动、质量运输和电磁势等传统领域。

有限元是一种通用的数值方法,用于解决两个或三个空间变量的偏微分方程(即一些边界值问题)。为了解决一个问题,有限元将一个大系统细分为更小、更简单的部分,称为有限元。这是通过在空间维度上的特定空间离散化来实现的,它是通过构建对象的网格来实现的:用于求解的数值域,它有有限数量的点。边界值问题的有限元方法表述最终导致一个代数方程组。该方法在域上对未知函数进行逼近。[1] 然后将模拟这些有限元的简单方程组合成一个更大的方程系统,以模拟整个问题。然后,有限元通过变化微积分使相关的误差函数最小化来逼近一个解决方案。

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随机分析代写


随机微积分是数学的一个分支,对随机过程进行操作。它允许为随机过程的积分定义一个关于随机过程的一致的积分理论。这个领域是由日本数学家伊藤清在第二次世界大战期间创建并开始的。

时间序列分析代写

随机过程,是依赖于参数的一组随机变量的全体,参数通常是时间。 随机变量是随机现象的数量表现,其时间序列是一组按照时间发生先后顺序进行排列的数据点序列。通常一组时间序列的时间间隔为一恒定值(如1秒,5分钟,12小时,7天,1年),因此时间序列可以作为离散时间数据进行分析处理。研究时间序列数据的意义在于现实中,往往需要研究某个事物其随时间发展变化的规律。这就需要通过研究该事物过去发展的历史记录,以得到其自身发展的规律。

回归分析代写

多元回归分析渐进(Multiple Regression Analysis Asymptotics)属于计量经济学领域,主要是一种数学上的统计分析方法,可以分析复杂情况下各影响因素的数学关系,在自然科学、社会和经济学等多个领域内应用广泛。

MATLAB代写

MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中,其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括:数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发,包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统,其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题,尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题,而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问,这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展,得到了许多用户的投入。在大学环境中,它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域,MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要,工具箱允许您学习应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数(M 文件)的综合集合,可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。

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