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计算机代写|机器学习代写machine learning代考|The Nontrivial Growth Rates
In classical large- $n$ only asymptotic statistics, laws of large numbers demand a scaling by $1 / n$ of the summed observations. When centered, central limit theorems then occur after multiplication of the average by $\sqrt{n}$. A similar requirement is needed when we now consider that the dimension $p$ of the data is also large. In particular, we will demand that the norm of each observation remains bounded. Assuming $\mathbf{x} \in \mathbb{R}^p$ is a vector of bounded entries, that is, each of order $O(1)$ with respect to $p$, the natural normalization is typically $\mathbf{x} / \sqrt{p}$.
In the context of kernel methods, for data $\mathbf{x}_1, \ldots, \mathbf{x}_n$, one wishes that the argument of $f(\cdot)$ in the inner-product kernel $f\left(\mathbf{x}_i^{\top} \mathbf{x}_j\right)$ or the distance kernel $f\left(\left|\mathbf{x}_i-\mathbf{x}_j\right|^2\right)$ be of order $O(1)$, when $f$ is assumed independent of $p$.
The “correct” scaling however appears not to be so immediate. Letting $\mathbf{x}i$ have entries of order $O(1)$, one naturally has that $\left|\mathbf{x}_i-\mathbf{x}_j\right|^2=\left|\mathbf{x}_i\right|^2+\left|\mathbf{x}_j\right|^2-2 \mathbf{x}_i^{\top} \mathbf{x}_j=$ $O(p)$ and it thus appears natural to scale $\left|\mathbf{x}_i-\mathbf{x}_j\right|^2$ by $1 / p$. Similarly, if the norm of the mean $\left|\mathbb{E}\left[\mathbf{x}_i\right]\right|$ of $\mathbf{x}_i$ has the same order of magnitude as $\left|\mathbf{x}_i\right|$ itself (as it should in general), then for $\mathbf{x}_i, \mathbf{x}_j$ independent, $\mathbb{E}\left[\mathbf{x}_i^{\top} \mathbf{x}_j\right]=O(p)$. So again, one should scale the inner-product also by $1 / p$, to obtain kernel matrices of the type $$ \mathbf{K}=\left{f\left(\frac{1}{p}\left|\mathbf{x}_i-\mathbf{x}_j\right|^2\right)\right}{i, j=1}^n, \text { and }\left{f\left(\frac{1}{p} \mathbf{x}i^{\top} \mathbf{x}_j\right)\right}{i, j=1}^n
$$
Section $4.2$ (and most applications thereafter) will be placed under these kernel forms. The most commonly used Gaussian kernel matrix, defined as $\mathbf{K}=\left{\exp \left(-| \mathbf{x}i-\right.\right.$ $\left.\left.\mathbf{x}_j |^2 / 2 \sigma^2\right)\right}{i, j=1}^n$, falls into this family as one usually demands that $\sigma^2 \sim \mathbb{E}\left[\left|\mathbf{x}_i-\mathbf{x}_j\right|^2\right]$ (to avoid evaluating the exponential close to zero or infinity).
However, as already demonstrated in Section 1.1.3, if $n$ scales like $p$, then, for the classification problem to be asymptotically nontrivial, the difference $\left|\mathbb{E}\left[\mathbf{x}_i\right]-\mathbb{E}\left[\mathbf{x}_j\right]\right|^2$ needs to scale like $O(1)$ rather than $O(p)$ (otherwise data classes would be too easy to cluster for all large $n, p$ ), resulting in $\left|\mathbf{x}_i-\mathbf{x}_j\right|^2 / p$ possibly converging to a constant value irrespective of the data classes (of $\mathbf{x}_i$ and $\mathbf{x}_j$ ), with a typical “spread” of order $O(1 / \sqrt{p})$. Similarly, up to re-centering, ${ }^2 \mathbf{x}i^{\top} \mathbf{x}_j / p$ scales like $O(1 / \sqrt{p})$ rather than $O(1)$. As such, it seems more appropriate to normalize the kernel matrix entries as $$ [\mathbf{K}]{i j}=f\left(\frac{\left|\mathbf{x}i-\mathbf{x}_j\right|^2}{\sqrt{p}}-\frac{1}{n(n-1)} \sum{i^{\prime}, j^{\prime}} \frac{\left|\mathbf{x}{i^{\prime}}-\mathbf{x}{j^{\prime}}\right|^2}{\sqrt{p}}\right), \text { or }[\mathbf{K}]_{i j}=f\left(\frac{1}{\sqrt{p}} \mathbf{x}_i^{\top} \mathbf{x}_j\right)
$$
in order here to avoid evaluating $f$ essentially at a single value (equal to zero for the inner-product kernel or equal to the average “common” limiting intra-data distance for the distance kernel).
This “properly scaling” setting is in fact much richer than the $1 / p$ normalization when $n, p$ are of the same order of magnitude. Sections $4.2 .4$ and $4.3$ elaborate on this scenario.
计算机代写|机器学习代写machine learning代考|Statistical Data Model
In the remainder of the section, we assume the observation of $n$ independent data vectors from a total of $k$ classes gathered as $\mathbf{X}=\left[\mathbf{x}1, \ldots, \mathbf{x}_n\right] \in \mathbb{R}^{p \times n}$, where $$ \begin{array}{cc} \mathbf{x}_1, \ldots, \mathbf{x}{n_1} & \sim \mathcal{N}\left(\mu_1, \mathbf{C}1\right) \ \vdots & \vdots \ \mathbf{x}{n-n_k+1}, \ldots, \mathbf{x}n \sim \mathcal{N}\left(\mu_k, \mathbf{C}_k\right), \end{array} $$ which is a $k$-class Gaussian mixture model (GMM) with a fixed cardinality $n_1, \ldots, n_k$ in each class. ${ }^3$ The fact that the data are indexed according to classes simplifies the notation but has no practical consequence in the analysis. We will denote $\mathcal{C}_a$ the class number ” $a$,” so in particular $$ \mathbf{x}_i \sim \mathcal{N}\left(\mu_a, \mathbf{C}_a\right) \Leftrightarrow \mathbf{x}_i \in \mathcal{C}_a $$ for $a \in{1, \ldots, k}$, and will use for convenience the matrix $$ \mathbf{J}=\left[\mathbf{j}_1, \ldots, \mathbf{j}_k\right] \in \mathbb{R}^{n \times k}, \quad \mathbf{j}_a=[\underbrace{0, \ldots, 0}{n_1+\ldots+n_{a-1}}, \underbrace{1, \ldots, 1}{n_a}, \underbrace{0, \ldots, 0}{n_{a+1}+\ldots+n_k}]^{\top},
$$
which is the indicator matrix of the class labels $(\mathbf{J}$ is a priori known under a supervised learning setting and is to be fully or partially recovered under a semi-supervised or unsupervised learning setting).
We shall systematically make the following simplifying growth rate assumption for $p, n$ and $n_1, \ldots, n_k$.
Assumption 1 (Growth rate of data size and number). As $n \rightarrow \infty, p / n \rightarrow c \in(0, \infty)$ and $n_a / n \rightarrow c_a \in(0,1)$.
This assumption, in particular, implies that each class is “large” in the sense that their cardinalities increase with $n^4$
Accordingly with the discussions in Chapter 2, from a random matrix “universality” perspective, the Gaussian mixture assumption will often (yet not always) turn out equivalent to demanding that
$$
\mathbf{x}_i \in \mathcal{C}_a: \mathbf{x}_i=\mu_a+\mathbf{C}_a^{\frac{1}{2}} \mathbf{z}_i
$$
with $\mathbf{z}_i \in \mathbb{R}^p$ a random vector with i.i.d. entries of zero mean, unit variance, and bounded higher-order (e.g., fourth) moments.
This hypothesis is indeed quite restrictive as it imposes that the data, up to centering and linear scaling, are composed of i.i.d. entries. Equivalently, this suggests that only data which result from affine transformations of vectors with i.i.d. entries can be studied, which is quite restrictive in practice as “real data” are deemed much more complex.
Exploring the notion of concentrated random vectors introduced in Section 2.7, Chapter 8 will open up this discussion by showing that a much larger class of (statistical) data models embrace the same asymptotic statistics, and that most results discussed in the present section apply identically to broader models of data irreducible to vectors of independent entries.
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计算机代写|机器学习代写machine learning代考|The Nontrivial Growth Rates
在经典大 $n$ 只有渐近统计，大数定律要求按比例缩放 $1 / n$ 总结的意见。当居中时，中心极限定理然后出现 在平均值乘以 $\sqrt{n}$. 当我们现在考虑维度时，需要类似的要求 $p$ 数据量也很大。特别是，我们将要求每个 观察的范数保持有界。假设 $\mathbf{x} \in \mathbb{R}^p$ 是有界条目的向量，即每个顺序 $O(1)$ 关于 $p$ ，自然归一化通常是 $\mathbf{x} / \sqrt{p}$
在内核方法的上下文中，对于数据 $\mathbf{x}1, \ldots, \mathbf{x}_n$ ， 人们㹷望 $f(\cdot)$ 在内积内核中 $f\left(\mathbf{x}_i^{\top} \mathbf{x}_j\right)$ 或距离内核 $f\left(\left|\mathbf{x}_i-\mathbf{x}_j\right|^2\right)$ 有秩序 $O(1)$ ， 什么时候 $f$ 假设独立于 $p$. 然而， “正确”的缩放比例似乎并不是那么直接。出租 $\mathbf{x} i$ 有订单条目 $O(1)$ ，自然有 $\left|\mathbf{x}_i-\mathbf{x}_j\right|^2=\left|\mathbf{x}_i\right|^2+\left|\mathbf{x}_j\right|^2-2 \mathbf{x}_i^{\top} \mathbf{x}_j=O(p)$ 因此它看起来很自然 $\left|\mathbf{x}_i-\mathbf{x}_j\right|^2$ 经过 $1 / p$. 同样，如 果均值范数 $\left|\mathbb{E}\left[\mathbf{x}_i\right]\right|$ 的 $\mathbf{x}_i$ 具有相同的数量级 $\left|\mathbf{x}_i\right|$ 本身（通常应该如此），然后对于 $\mathbf{x}_i, \mathbf{x}_j$ 独立的， $\mathbb{E}\left[\mathbf{x}_i^{\top} \mathbf{x}_j\right]=O(p)$. 因此，同样，也应该通过以下方式缩放内积 $1 / p$ ， 以获得类型的内核矩阵 部分 $4.2$ (以及此后的大多数应用程序) 将置于这些内核形式下。最常用的高斯核矩阵，定义为 ，属于这个家庭，因为人们通常要求 $\sigma^2 \sim \mathbb{E}\left[\left|\mathbf{x}_i-\mathbf{x}_j\right|^2\right]$ (以避免评估接近零或无穷大的指数)。 然而，正如第 $1.1 .3$ 节中所展示的，如果 $n$ 天平像 $p$ ，那么，对于渐进非平凡的分类问题，差分 $\left|\mathbb{E}\left[\mathbf{x}_i\right]-\mathbb{E}\left[\mathbf{x}_j\right]\right|^2$ 需要像这样扩展 $O(1)$ 而不是 $O(p)$ (否则数据类对于所有大型 $n, p$ )，导致 $\left|\mathbf{x}_i-\mathbf{x}_j\right|^2 / p$ 可能收玫到一个常数值，而不管数据类 (的 $\mathbf{x}_i$ 和 $\mathbf{x}_j$ )，具有典型的订单“价差” $O(1 / \sqrt{p})$. 同 样，直到重新居中， ${ }^2 \mathbf{x} i^{\top} \mathbf{x}_j / p$ 天平像 $O(1 / \sqrt{p})$ 而不是 $O(1)$. 因此，将内核矩阵条目归一化似乎更合 适 $$ [\mathbf{K}] i j=f\left(\frac{\left|\mathbf{x} i-\mathbf{x}_j\right|^2}{\sqrt{p}}-\frac{1}{n(n-1)} \sum i^{\prime}, j^{\prime} \frac{\left|\mathbf{x} i^{\prime}-\mathbf{x} j^{\prime}\right|^2}{\sqrt{p}}\right), \text { or }[\mathbf{K}]{i j}=f\left(\frac{1}{\sqrt{p}} \mathbf{x}_i^{\top} \mathbf{x}_j\right)
$$
为了避免在这里评估 $f$ 基本上是一个单一的值（对于内积内核等于零或对于距离内核等于平均”公共”限制 数据内距离）。
这种”适当缩放”的设置实际上比 $1 / p |$ 归一化时 $n, p$ 是同一个数量级。部分 $4.2 .4$ 和 $4.3$ 详细说明这个场景。
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在本节的其余部分，我们假设观察到 $n$ 来自总共的独立数据向量 $k$ 班级聚集为 $\mathbf{X}=\left[\mathbf{x} 1, \ldots, \mathbf{x}n\right] \in \mathbb{R}^{p \times n}$ ， 在哪里 $$ \mathbf{x}_1, \ldots, \mathbf{x} n_1 \sim \mathcal{N}\left(\mu_1, \mathbf{C} 1\right) \vdots \vdots \mathbf{x} n-n_k+1, \ldots, \mathbf{x} n \sim \mathcal{N}\left(\mu_k, \mathbf{C}_k\right), $$ 这是一个 $k$ 具有固定基数的类高斯混合模型 (GMM) $n_1, \ldots, n_k$ 在每个班级。 ${ }^3$ 数据按类索引的事实简 化了符号，但在分析中没有实际影响。我们将表示 $\mathcal{C}_a$ 班级号” $a$ “，所以特别是 $$ \mathbf{x}_i \sim \mathcal{N}\left(\mu_a, \mathbf{C}_a\right) \Leftrightarrow \mathbf{x}_i \in \mathcal{C}_a $$ 为了 $a \in 1, \ldots, k$, 并且为了方便起见将使用矩阵 $$ \mathbf{J}=\left[\mathbf{j}_1, \ldots, \mathbf{j}_k\right] \in \mathbb{R}^{n \times k}, \quad \mathbf{j}_a=[\underbrace{0, \ldots, 0} n_1+\ldots+n{a-1}, \underbrace{1, \ldots, 1} n_a, \underbrace{0, \ldots, 0} n_{a+1}+\ldots+n_k]
$$
这是类标签的指标矩阵 $(\mathbf{J}$ 在监督学习环境下是先验已知的，并且在半监督或无监督学习环境下将完全或 部分恢复）。
我们将系统地做出以下简化的增长率假设 $p, n$ 和 $n_1, \ldots, n_k$.
假设 1 (数据大小和数量的增长率) 。作为 $n \rightarrow \infty, p / n \rightarrow c \in(0, \infty)$ 和 $n_a / n \rightarrow c_a \in(0,1)$.
这个假设特别意味着每个类都是“大的”，因为它们的基数随着 $n^4$
根据第 2 章的讨论，从随机矩阵“普遍性”的角度来看，高斯混合假设通常 (但不总是) 等同于要求
$$
\mathbf{x}_i \in \mathcal{C}_a: \mathbf{x}_i=\mu_a+\mathbf{C}_a^{\frac{1}{2}} \mathbf{z}_i
$$
和 $\mathbf{z}_i \in \mathbb{R}^p$ 具有零均值、单位方差和有界高阶（例如四阶）矩的独立同分布条目的随机向量。
这个假设确实非常严格，因为它强加了数据，直到居中和线性缩放，由 iid 条目组成。等价地，这表明只 能研究由具有 iid 条目的向量的仿射变换产生的数据，这在实践中是相当受限的，因为“真实数据”被认为 要复杂得多。
探索第 $2.7$ 节中介绍的集中随机向量的概念，第 8 章将通过展示更大类的（统计）数据模型包含相同的 渐近统计来展开这一讨论，并且本节中讨论的大多数结果同样适用于更广泛的数据模型不能简化为独立 条目的向量。
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金融工程代写
金融工程是使用数学技术来解决金融问题。金融工程使用计算机科学、统计学、经济学和应用数学领域的工具和知识来解决当前的金融问题，以及设计新的和创新的金融产品。
非参数统计代写
非参数统计指的是一种统计方法，其中不假设数据来自于由少数参数决定的规定模型；这种模型的例子包括正态分布模型和线性回归模型。
广义线性模型代考
广义线性模型（GLM）归属统计学领域，是一种应用灵活的线性回归模型。该模型允许因变量的偏差分布有除了正态分布之外的其它分布。
术语 广义线性模型（GLM）通常是指给定连续和/或分类预测因素的连续响应变量的常规线性回归模型。它包括多元线性回归，以及方差分析和方差分析（仅含固定效应）。
有限元方法代写
有限元方法（FEM）是一种流行的方法，用于数值解决工程和数学建模中出现的微分方程。典型的问题领域包括结构分析、传热、流体流动、质量运输和电磁势等传统领域。
有限元是一种通用的数值方法，用于解决两个或三个空间变量的偏微分方程（即一些边界值问题）。为了解决一个问题，有限元将一个大系统细分为更小、更简单的部分，称为有限元。这是通过在空间维度上的特定空间离散化来实现的，它是通过构建对象的网格来实现的：用于求解的数值域，它有有限数量的点。边界值问题的有限元方法表述最终导致一个代数方程组。该方法在域上对未知函数进行逼近。[1] 然后将模拟这些有限元的简单方程组合成一个更大的方程系统，以模拟整个问题。然后，有限元通过变化微积分使相关的误差函数最小化来逼近一个解决方案。
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随机分析代写
随机微积分是数学的一个分支，对随机过程进行操作。它允许为随机过程的积分定义一个关于随机过程的一致的积分理论。这个领域是由日本数学家伊藤清在第二次世界大战期间创建并开始的。
时间序列分析代写
随机过程，是依赖于参数的一组随机变量的全体，参数通常是时间。 随机变量是随机现象的数量表现，其时间序列是一组按照时间发生先后顺序进行排列的数据点序列。通常一组时间序列的时间间隔为一恒定值（如1秒，5分钟，12小时，7天，1年），因此时间序列可以作为离散时间数据进行分析处理。研究时间序列数据的意义在于现实中，往往需要研究某个事物其随时间发展变化的规律。这就需要通过研究该事物过去发展的历史记录，以得到其自身发展的规律。
回归分析代写
多元回归分析渐进（Multiple Regression Analysis Asymptotics）属于计量经济学领域，主要是一种数学上的统计分析方法，可以分析复杂情况下各影响因素的数学关系，在自然科学、社会和经济学等多个领域内应用广泛。
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