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流形学习是机器学习的一个流行且快速发展的子领域，它基于一个假设，即一个人的观察数据位于嵌入高维空间的低维流形上。本文介绍了流形学习的数学观点，深入探讨了核学习、谱图理论和微分几何的交叉点。重点放在图和流形之间的显著相互作用上，这构成了流形正则化技术的广泛使用的基础。
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- Foundations of Data Science 数据科学基础
机器学习代写|流形学习代写manifold data learning代考|Manifold Hypothesis
Each feature of a data point does not carry an equal amount of information. For example, some pixels of an image are background regions with limited information, while other pixels contain important objects that describe the scene in the image. This means that data points can be significantly compressed to preserve the most informative features while eliminating those with limited information. In other words, the $d$-dimensional data points of a dataset usually do not cover the entire $d$ dimensional Euclidean space, but they lie on a specific lower-dimensional structure in the space.
Consider the illustration in Fig. 1.1, where several three-dimensional points exist in $\mathbb{R}^3$. These points can represent any measurement, such as personal health measurements, including blood pressure, blood sugar, and blood fat. As demonstrated in Fig. 1.1, the points of the dataset have a structure in a two-dimensional space. The three-dimensional Euclidean space is called the input space, and the twodimensional space, which has a lower dimensionality than the input space, is called the subspace, the submanifold, or the embedding space. The subspace can be either linear or nonlinear, depending on whether a linear (hyper)plane passes through the points. Usually, subspace and submanifold are used for linear and nonlinear lowerdimensional spaces, respectively. Linear and nonlinear subspaces are depicted in Fig. 1.1a and b, respectively.
Whether the points of a dataset lie on a space is a hypothesis, but this hypothesis is usually true because the data points typically represent a natural signal, such as an image. When the data acquisition process is natural, the data will have a define structure. For example, in the dataset where there are multiple images from different angles depicting the same scene, the objects of the scene remain the same, but the point of view changes (see Fig. 1.2). This hypothesis is called the manifold hypothesis [14]. Its formal definition is as follows. According to the manifold hypothesis, data points of a dataset lie on a submanifold or subspace with lower dimensionality. In other words, the dataset in $\mathbb{R}^d$ lies on an embedded submanifold [38] with local dimensionality less than $d$ [14]. According to this hypothesis, the data points most often lie on a submanifold with high probability [64].
机器学习代写|流形学习代写manifold data learning代考|Feature Engineering
Due to the manifold hypothesis, a dataset can be compressed while preserving most of the important information. Therefore, engineering and processing can be applied to the features for the sake of compression [4]. Feature engineering can be seen as a preprocessing stage, where the dimensionality of the data is reduced. Assume $d$ and $p$ denote the dimensionality of the input space and the subspace, respectively, where $p \in(0, d]$. Feature engineering is a map from a $d$-dimensional Euclidean space to a $p$-dimensional Euclidean space, i.e., $\mathbb{R}^d \rightarrow \mathbb{R}^p$. The dimensionality of the subspace is usually much smaller than the dimensionality of the space, i.e. $p \ll d$, because most of the information usually exists in only a few features.
Feature engineering is divided into two broad approaches-feature selection and feature extraction [22]. In feature selection, the $p$ most informative features of the $d$-dimensional data vector are selected so the features of the transformed data points are a subset of the original features. In feature extraction, however, the $d$-dimensional data vector is transformed to a $p$-dimensional data vector, where the $p$ new features are completely different from the original features. In other words, data points are represented in another lower-dimensional space. Both feature selection and feature extraction are used for compression, which results in either the better discrimination of classes or better representation of data. In other words, the compressed data by feature engineering may have a better representation of the data or may separate the classes of data. This book concentrates on feature extraction.
流形学习代写
机器学习代写|流形学习代写manifold data learning代考|Manifold Hypothesis
数据点的每个特征并不携带等量的信息。例如，图像的一些像素是信息有限的背景区域，而其他像素包含描述图像中场景的重要对象。这意味着可以显着压缩数据点以保留信息最多的特征，同时消除信息有限的特征。换句话说，d数据集的维数据点通常不会覆盖整个d维欧几里德空间，但它们位于空间中特定的低维结构上。
考虑图 1.1 中的图示，其中存在几个三维点R3. 这些点可以表示任何测量值，例如个人健康测量值，包括血压、血糖和血脂。如图 1.1 所示，数据集的点在二维空间中具有结构。三维欧氏空间称为输入空间，维数低于输入空间的二维空间称为子空间、子流形或嵌入空间。子空间可以是线性的也可以是非线性的，这取决于线性（超）平面是否通过这些点。通常，子空间和子流形分别用于线性和非线性低维空间。线性和非线性子空间分别如图 1.1a 和 b 所示。
数据集的点是否位于空间上是一个假设，但这个假设通常是正确的，因为数据点通常表示自然信号，例如图像。当数据采集过程自然时，数据将具有定义的结构。例如，在有多张不同角度的图像描绘同一场景的数据集中，场景的对象保持不变，但视角发生变化（见图1.2）。这个假设被称为流形假设[14]。它的正式定义如下。根据流形假设，数据集的数据点位于较低维度的子流形或子空间上。换句话说，数据集在Rd位于局部维数小于的嵌入子流形 [38] 上d[14]。根据这个假设，数据点最常位于子流形上的概率很高 [64]。
机器学习代写|流形学习代写manifold data learning代考|Feature Engineering
由于流形假设，可以在保留大部分重要信息的同时压缩数据集。因此，为了压缩 [4]，可以对特征应用工程和处理。特征工程可以看作是一个预处理阶段，其中数据的维度被降低。认为d和p分别表示输入空间和子空间的维数，其中p∈(0,d]. 特征工程是一张来自d维欧几里德空间到p-维欧几里德空间，即Rd→Rp. 子空间的维数通常远小于空间的维数，即p≪d，因为大部分信息通常只存在于少数特征中。
特征工程分为两大类——特征选择和特征提取[22]。在特征选择中，p最有信息量的特征d选择 维数据向量，因此转换数据点的特征是原始特征的子集。然而，在特征提取中，d维数据向量被转换为p维数据向量，其中p新功能与原来的功能完全不同。换句话说，数据点在另一个低维空间中表示。特征选择和特征提取都用于压缩，这可以更好地区分类别或更好地表示数据。换句话说，通过特征工程压缩的数据可能具有更好的数据表示或可能分离数据的类别。本书专注于特征提取。
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金融工程代写
金融工程是使用数学技术来解决金融问题。金融工程使用计算机科学、统计学、经济学和应用数学领域的工具和知识来解决当前的金融问题，以及设计新的和创新的金融产品。
非参数统计代写
非参数统计指的是一种统计方法，其中不假设数据来自于由少数参数决定的规定模型；这种模型的例子包括正态分布模型和线性回归模型。
广义线性模型代考
广义线性模型（GLM）归属统计学领域，是一种应用灵活的线性回归模型。该模型允许因变量的偏差分布有除了正态分布之外的其它分布。
术语 广义线性模型（GLM）通常是指给定连续和/或分类预测因素的连续响应变量的常规线性回归模型。它包括多元线性回归，以及方差分析和方差分析（仅含固定效应）。
有限元方法代写
有限元方法（FEM）是一种流行的方法，用于数值解决工程和数学建模中出现的微分方程。典型的问题领域包括结构分析、传热、流体流动、质量运输和电磁势等传统领域。
有限元是一种通用的数值方法，用于解决两个或三个空间变量的偏微分方程（即一些边界值问题）。为了解决一个问题，有限元将一个大系统细分为更小、更简单的部分，称为有限元。这是通过在空间维度上的特定空间离散化来实现的，它是通过构建对象的网格来实现的：用于求解的数值域，它有有限数量的点。边界值问题的有限元方法表述最终导致一个代数方程组。该方法在域上对未知函数进行逼近。[1] 然后将模拟这些有限元的简单方程组合成一个更大的方程系统，以模拟整个问题。然后，有限元通过变化微积分使相关的误差函数最小化来逼近一个解决方案。
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随机分析代写
随机微积分是数学的一个分支，对随机过程进行操作。它允许为随机过程的积分定义一个关于随机过程的一致的积分理论。这个领域是由日本数学家伊藤清在第二次世界大战期间创建并开始的。
时间序列分析代写
随机过程，是依赖于参数的一组随机变量的全体，参数通常是时间。 随机变量是随机现象的数量表现，其时间序列是一组按照时间发生先后顺序进行排列的数据点序列。通常一组时间序列的时间间隔为一恒定值（如1秒，5分钟，12小时，7天，1年），因此时间序列可以作为离散时间数据进行分析处理。研究时间序列数据的意义在于现实中，往往需要研究某个事物其随时间发展变化的规律。这就需要通过研究该事物过去发展的历史记录，以得到其自身发展的规律。
回归分析代写
多元回归分析渐进（Multiple Regression Analysis Asymptotics）属于计量经济学领域，主要是一种数学上的统计分析方法，可以分析复杂情况下各影响因素的数学关系，在自然科学、社会和经济学等多个领域内应用广泛。
MATLAB代写
MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中，其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括：数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发，包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统，其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题，尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题，而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问，这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展，得到了许多用户的投入。在大学环境中，它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域，MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要，工具箱允许您学习和应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数（M 文件）的综合集合，可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。