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金融代写|波动率模型代写Market Volatility Modelling代考|Infinitesimal Generators and Associated Martingales
For simplicity we first consider a time-homogeneous diffusion process $\left(X_t\right)$ that solves the stochastic differential equation
$$
d X_t=\mu\left(X_t\right) d t+\sigma\left(X_t\right) d W_t .
$$
Let $g$ be a twice continuously differentiable function of the variable $x$ with bounded derivatives, and define the differential operator $\mathcal{L}$ acting on $g$ according to
$$
\mathcal{L}{\mathcal{G}}(x)-\frac{1}{2} \sigma^2(x) g^{\prime \prime}(x)+\mu(x) g^{\prime}(x) . $$ In terms of $\mathcal{L}$, Itô’s formula (1.16) gives $$ d g\left(X_t\right)=\mathcal{L} g\left(X_t\right) d t+g^{\prime}\left(X_t\right) \sigma\left(X_t\right) d W_t, $$ which shows that $$ M_t=g\left(X_t\right)-\int_0^t \mathcal{L} g\left(X_s\right) d s $$ defines a martingale. Consequently, if $X_0=x$, we obtain $$ \mathbb{E}\left{g\left(X_t\right)\right}=g(x)+\mathbb{E}\left{\int_0^t \mathcal{L} g\left(X_s\right) d s\right} . $$ Under the assumptions made on the coefficients $\mu$ and $\sigma$ and on the function $g$, the Lebesgue dominated convergence theorem is applicable and gives $$ \begin{aligned} \left.\frac{d}{d t} \mathbb{E}\left{g\left(X_t\right)\right}\right|{t=0} & =\lim {t \downarrow 0} \frac{\mathbb{E}\left{g\left(X_t\right)\right}-g(x)}{t} \ & =\lim {t \downarrow 0} \mathbb{E}\left{\frac{1}{t} \int_0^t \mathcal{L} g\left(X_s\right) d s\right}=\mathcal{L} g(x) .
\end{aligned}
$$
The differential operator $\mathcal{L}$ given by (1.61) is called the infinitesimal generator of the Markov process $\left(X_t\right)$.
金融代写|波动率模型代写Market Volatility Modelling代考|Application to the Black-Scholes Partial Differential Equation
In the previous section we assumed the existence, uniqueness, and regularity of the solution of the partial differential equation (1.66) in order to apply Itô’s formula.. A sufficient condition for this is that the coefficients $\mu$ and $\sigma$ are regular enough and that the operator $\mathcal{L}_t$ is uniformly elliptic, meaning (in this one-dimensional situation) that there exists a positive constant $A$ such that
$$
\sigma^2(t, x) \geq A>0 \quad \text { for every } t \geq 0 \text { and } x \in \mathcal{D},
$$
so that the diffusion coefficient $\sigma^2(t, x)$ cannot become too small. Here $\mathcal{D}$ is the domain of the process $\left(X_t\right)$, which may be natural (e.g., $\mathcal{D}={x>0}$ for the geometric Brownian motion) or imposed externally from other modeling considerations.
When $\mu(t, x)=r x$ and $\sigma(t, x)=\sigma x$ in (1.66), we have the Black-Scholes partial differential equation (1.35) on the domain ${x>0}$. The ellipticity condition (1.68) is clearly not satisfied, since the diffusion coefficient $\sigma^2 x^2$ goes to zero as the state variable approaches zero. We get around this difficulty here (and also in more general situations) with the change of variable $P(t, x)=u(t, y=\log x)$, so that equation (1.35) becomes
$$
\frac{\partial u}{\partial t}+\frac{1}{2} \sigma^2 \frac{\partial^2 u}{\partial y^2}+\left(r-\frac{1}{2} \sigma^2\right) \frac{\partial u}{\partial y}-r u=0
$$
to be solved for $0 \leq t \leq T, y \in \mathbb{R}$, and with the final condition $u(T, y)=h\left(e^y\right)$. The operator
$$
\mathcal{L}=\frac{1}{2} \sigma^2 \frac{\partial^2}{\partial y^2}+\left(r-\frac{1}{2} \sigma^2\right) \frac{\partial}{\partial y}
$$
is the infinitesimal generator of the (nonstandard) Brownian motion
$$
Y_t=\left(r-\frac{1}{2} \sigma^2\right) t+\sigma W_t^{\star},
$$
where $\left(W_t^{\star}\right)$ is a standard Brownian motion under $P^{\star}$. We use here the same notation as in the equivalent martingale measure context, but the only important fact is that $W^$ is a standard Brownian motion with respect to the probability used to compute the expectation in the Feynman-Kac formula (1.67). Applying this formula to $Y_t$ yields $$ u(t, y)=\mathbb{E}^\left{e^{-r(T-t)} h\left(e^{y+\left(r-\sigma^2 / 2\right)(T-t)+\sigma\left(W_T^-W_t^\right)} \mid Y_t=y\right}\right.
$$ which is indeed the same as (1.57) by undoing the change of variable $e^y=x$.
波动率模型代考
金融代写|波动率模型代写Market Volatility Modelling代考|Infinitesimal Generators and Associated Martingales
为简单起见，我们首先考虑时间均匀扩散过程 $\left(X_t\right)$ 求解随机微分方程
$$
d X_t=\mu\left(X_t\right) d t+\sigma\left(X_t\right) d W_t .
$$
让 $g$ 是变量的二次连续可微函数 $x$ 有界导数，并定义微分算子 $\mathcal{L}$ 作用于 $g$ 根据
$$
\mathcal{L} \mathcal{G}(x)-\frac{1}{2} \sigma^2(x) g^{\prime \prime}(x)+\mu(x) g^{\prime}(x)
$$
按照 $\mathcal{L}$ ， Itô 的公式 (1.16) 给出
$$
d g\left(X_t\right)=\mathcal{L} g\left(X_t\right) d t+g^{\prime}\left(X_t\right) \sigma\left(X_t\right) d W_t
$$
这表明
$$
M_t=g\left(X_t\right)-\int_0^t \mathcal{L} g\left(X_s\right) d s
$$
定义一个鞅。因此，如果 $X_0=x$ ，我们获得
根据对系数所做的假设 $\mu$ 和 $\sigma$ 和功能 $g$, 勒贝格支配的收佥定理适用并给出
微分算子 $\mathcal{L}$ 由 (1.61) 给出的称为马尔可夫过程的无穷小生成器 $\left(X_t\right)$.
金融代写|波动率模型代写Market Volatility Modelling代考|Application to the Black-Scholes Partial Differential Equation
在上一节中，我们假设偏微分方程 (1.66) 的解的存在性、唯一性和正则性，以便应用 Itô 的公式。其充分 条件是系数 $\mu$ 和 $\sigma$ 足够规则，并且操作员 $\mathcal{L}_t$ 是均匀椭圆的，意味着（在这种一维情况下）存在一个正常数 $A$ 这样
$$
\sigma^2(t, x) \geq A>0 \quad \text { for every } t \geq 0 \text { and } x \in \mathcal{D},
$$
使得扩散系数 $\sigma^2(t, x)$ 不能变得太小。这里 $\mathcal{D}$ 是过程的域 $\left(X_t\right)$ ，这可能是自然的（例如， $\mathcal{D}=x>0$ 对 于几何布朗运动) 或从其他建模考虑因素外部施加。
什么时候 $\mu(t, x)=r x$ 和 $\sigma(t, x)=\sigma x$ 在 (1.66) 中，我们在域上有Black-Scholes 偏微分方程 (1.35) $x>0$. 显然不满足椭圆率条件 (1.68)，因为扩散系数 $\sigma^2 x^2$ 当状态变量接近零时变为零。我们在这里 (以 及在更一般的情况下) 通过变量的改变来解决这个困难 $P(t, x)=u(t, y=\log x)$, 所以等式 (1.35) 变成
$$
\frac{\partial u}{\partial t}+\frac{1}{2} \sigma^2 \frac{\partial^2 u}{\partial y^2}+\left(r-\frac{1}{2} \sigma^2\right) \frac{\partial u}{\partial y}-r u=0
$$
待解决 $0 \leq t \leq T, y \in \mathbb{R}$, 以及最终条件 $u(T, y)=h\left(e^y\right)$. 运营商
$$
\mathcal{L}=\frac{1}{2} \sigma^2 \frac{\partial^2}{\partial y^2}+\left(r-\frac{1}{2} \sigma^2\right) \frac{\partial}{\partial y}
$$
是 (非标准) 布朗运动的无穷小发生器
$$
Y_t=\left(r-\frac{1}{2} \sigma^2\right) t+\sigma W_t^{\star},
$$
在哪里 $\left(W_t^{\star}\right)$ 是一个标准的布朗运动 $P^{\star}$. 我们在这里使用与等价鞅测度上下文中相同的符号，但唯一重要 的事实是^是关于用于计算 Feynman-Kac 公式 (1.67) 中的期望的概率的标准布朗运动。将此公式应用于 $Y_t$ 产量
通过撤消变量的更改，这确实与 (1.57) 相同 $e^y=x$.
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金融工程代写
金融工程是使用数学技术来解决金融问题。金融工程使用计算机科学、统计学、经济学和应用数学领域的工具和知识来解决当前的金融问题，以及设计新的和创新的金融产品。
非参数统计代写
非参数统计指的是一种统计方法，其中不假设数据来自于由少数参数决定的规定模型；这种模型的例子包括正态分布模型和线性回归模型。
广义线性模型代考
广义线性模型（GLM）归属统计学领域，是一种应用灵活的线性回归模型。该模型允许因变量的偏差分布有除了正态分布之外的其它分布。
术语 广义线性模型（GLM）通常是指给定连续和/或分类预测因素的连续响应变量的常规线性回归模型。它包括多元线性回归，以及方差分析和方差分析（仅含固定效应）。
有限元方法代写
有限元方法（FEM）是一种流行的方法，用于数值解决工程和数学建模中出现的微分方程。典型的问题领域包括结构分析、传热、流体流动、质量运输和电磁势等传统领域。
有限元是一种通用的数值方法，用于解决两个或三个空间变量的偏微分方程（即一些边界值问题）。为了解决一个问题，有限元将一个大系统细分为更小、更简单的部分，称为有限元。这是通过在空间维度上的特定空间离散化来实现的，它是通过构建对象的网格来实现的：用于求解的数值域，它有有限数量的点。边界值问题的有限元方法表述最终导致一个代数方程组。该方法在域上对未知函数进行逼近。[1] 然后将模拟这些有限元的简单方程组合成一个更大的方程系统，以模拟整个问题。然后，有限元通过变化微积分使相关的误差函数最小化来逼近一个解决方案。
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随机分析代写
随机微积分是数学的一个分支，对随机过程进行操作。它允许为随机过程的积分定义一个关于随机过程的一致的积分理论。这个领域是由日本数学家伊藤清在第二次世界大战期间创建并开始的。
时间序列分析代写
随机过程，是依赖于参数的一组随机变量的全体，参数通常是时间。 随机变量是随机现象的数量表现，其时间序列是一组按照时间发生先后顺序进行排列的数据点序列。通常一组时间序列的时间间隔为一恒定值（如1秒，5分钟，12小时，7天，1年），因此时间序列可以作为离散时间数据进行分析处理。研究时间序列数据的意义在于现实中，往往需要研究某个事物其随时间发展变化的规律。这就需要通过研究该事物过去发展的历史记录，以得到其自身发展的规律。
回归分析代写
多元回归分析渐进（Multiple Regression Analysis Asymptotics）属于计量经济学领域，主要是一种数学上的统计分析方法，可以分析复杂情况下各影响因素的数学关系，在自然科学、社会和经济学等多个领域内应用广泛。
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