金融代写|波动率模型代写Market Volatility Modelling代考|FE720

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波动率模型应该能够预测波动率。几乎所有波动率模型的金融用途都需要对未来收益的各个方面进行预测。通常情况下,波动率模型被用来预测收益的绝对幅度,但它也可以用来预测定量,或者,事实上,预测整个密度。

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  • Foundations of Data Science 数据科学基础
金融代写|波动率模型代写Market Volatility Modelling代考|FE720

金融代写|波动率模型代写Market Volatility Modelling代考|Replicating Strategies

The Black-Scholes analysis of a European-style derivative yields an explicit trading strategy in the underlying risky asset and riskless bond whose terminal payoff is equal to the payoff $h\left(X_T\right)$ of the derivative at maturity, no matter what path the stock price takes. Thus, selling the derivative and holding a dynamically adjusted portfolio according to this strategy “covers” an investor against all risk of eventual loss, because a loss incurred at the final time from one part of this portfolio will be exactly compensated by a gain in the other part. This replicating strat$e g y$, as it is known, therefore provides an insurance policy against the risk of being short the derivative. It is called a dynamic hedging strategy since it involves continuous trading, where to hedge means to eliminate risk. The essential step in the Black-Scholes methodology is the construction of this replicating strategy and arguing, based on no arbitrage, that the value of the replicating portfolio at time $t$ is the fair price of the derivative. We develop this argument in the following sections.

We consider a European-style derivative with payoff $h\left(X_T\right)$, a function of the underlying asset price at maturity time $T$. Assume that the stock price $\left(X_t\right)$ follows the geometric Brownian motion model (1.20), a solution of the stochastic differential equation (1.2). A trading strategy is a pair $\left(a_t, b_t\right)$ of adapted processes specifying the number of units held at time $t$ of the underlying asset and the riskless bond, respectively. We suppose that $\mathbb{E}\left{\int_0^T\left(a_t\right)^2 d t\right}$ and $\int_0^T\left|b_t\right| d t$ are finite so that the stochastic integral involving $\left(a_t\right)$ and the usual integral involving $\left(b_t\right)$ are well-defined.

Assuming, as in (1.1), that the price of the bond at time $t$ is $\beta_t=e^{r t}$, the value at time $t$ of this portfolio is $a_t X_t+b_t e^{\prime t}$. It will replicate the derivative at maturity if its value at time $T$ is almost surely equal to the payoff:
$$
a_T X_T+b_T e^{r T}=h\left(X_T\right) .
$$
In addition, this portfolio is to be self-financing, meaning that the variations of its value are due only to the variations of the market – that is, the variations of the stock and bond prices. No further funds are required after the initial investment,yields an instant profit with no exposure to future loss, since the terminal payoff of the trading strategy is equal to the payoff of the derivative.

金融代写|波动率模型代写Market Volatility Modelling代考|Self-Financing Portfolios

As in Section 1.3.1, a portfolio comprises $a_i$ units of stock and $b_t$ in bonds; we denote by $V_t$ its value at time $t$ :
$$
V_t=a_t X_t+b_t e^{r t} .
$$
The self-financing property (1.28), namely $d V_t=a_t d X_t+r b_t e^{r t} d t$, implies that the discounted value of the portfolio, $\widetilde{V}_t=e^{-r t} V_t$, is a martingale under the risk-neutral probability $\mathbb{P}^{\star}$. This important property of self-financing portfolios is cbtained as follows:
$$
\begin{aligned}
d \tilde{V}_t & =-r e^{-r t} V_t d t+e^{-r t} d V_t \
& =-r e^{-r t}\left(a_t X_t+b_t e^{r t}\right) d t-e^{-r t}\left(a_t d X_t+r b_t e^{r t} d t\right) \
& =-r e^{-r t} a_t X_t d t+e^{-r t} a_t d X_t \
& =a_t d\left(e^{-r t} X_t\right) \
& =a_t d \tilde{X}_t \
& =\sigma a_t \widetilde{X}_t d W_t^{\star} \quad(\text { by }(1.46)),
\end{aligned}
$$
which shows that $\left(\tilde{V}_t\right)$ is a martingale under $\mathbb{P}^{\star}$ as a stochastic integral with respect to the Brownian motion $\left(W_t^*\right)$. Indeed, the same computation shows that if a portfolio satisfies $d \tilde{V}_t=a_t d \widetilde{X}_t$ then it is self-financing.

A simple calculation demonstrates the connection between martingales and no arbitrage. Suppose that $\left(a_t, b_t\right)_{0 \leq t \leq T}$ is a self-financing arbitrage strategy; that is,
$$
V_T \geq e^{r T} V_0 \quad(I P \text {-a.s. }),
$$
with
$$
\mathbb{P}\left{V_T>e^{r T} V_0\right}>0,
$$
so that the strategy never makes less than money in the bank and there is some chance of making more. But
$$
\mathbb{E}^\left{V_T\right}=e^{r T} V_0 $$ by the martingale property, so (1.51) and (1.52) cannot hold. This is because $\mathbb{P}$ and $\mathbb{P}^$ are equivalent and so (1.51) and (1.52) also hold with $\mathbb{P}$ replaced by $\mathbb{P}^{\star}$.

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波动率模型代考

金融代写|波动率模型代写Market Volatility Modelling代考|Replicating Strategies

欧式衍生品的 Black-Scholes 分析得出了一个明确的风险资产和无风险债券的交易策略,其最终收益等于 收益 $h\left(X_T\right)$ 到期时的衍生品,无论股票价格采取何种路径。因此,根据该策略出售衍生品并持有动态调 整的投资组合”覆盖”了投资者最终损失的所有风险,因为在最后时间从该投资组合的一部分中产生的损失 将被另一部分的收益恰好补偿另一部分。这种复制战略egy,众所周知,因此提供了针对做空衍生品风险 的保险单。它被称为动态对冲策略,因为它涉及连续交易,其中对冲意味着消除风险。Black-Scholes 方 法的基本步衼是构建这种复制策略,并在无套利的基础上论证复制投资组合的价值在时间 $t$ 是衍生品的公平 价格。我们在以下各节中展开这一论点。
我们考虑具有收益的欧式衍生品 $h\left(X_T\right)$ ,到期时标的资产价格的函数 $T$. 假设股价 $\left(X_t\right)$ 遵循几何布朗运动 模型 (1.20),随机微分方程 (1.2) 的解。交易策略是一对 $\left(a_t, b_t\right)$ 指定时间持有的单位数量的适应过程 $t$ 分别 的,因此涉及的随机积分 $\left(a_t\right)$ 和通常涉及的积分 $\left(b_t\right)$ 定义明确。
假设,如 (1.1) 中,债券的价格在时间 $t$ 是 $\beta_t=e^{r t}$ ,时间值 $t$ 这个投资组合是 $a_t X_t+b_t e^{\prime t}$. 如果其当时的 价值,它将在到期时复制衍生品 $T$ 几乎肯定等于收益:
$$
a_T X_T+b_T e^{r T}=h\left(X_T\right) .
$$
此外,该投资组合是自筹资金的,这意味看其价值的变化仅取决于市场的变化一一即股票和债券价格的变 化。初始投资后不需要进一步的资金,产生即时利润,没有末来损失的风险,因为交易策略的最终收益等 于衍生品的收益。

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如第 $1.3 .1$ 节所述,投资组合包括 $a_i$ 库存单位和 $b_t$ 债券;我们表示 $V_t$ 它当时的价值 $t$ :
$$
V_t=a_t X_t+b_t e^{r t} .
$$
自筹资金财产 (1.28) ,即 $d V_t=a_t d X_t+r b_t e^{r t} d t$ ,意味着投资组合的贴现值, $\widetilde{V}t=e^{-r t} V_t$ ,是风 险中性概率下的鞅 $\mathbb{P}^{\star}$. 自筹资金组合的这一重要性质如下: $$ d \tilde{V}_t=-r e^{-r t} V_t d t+e^{-r t} d V_t \quad=-r e^{-r t}\left(a_t X_t+b_t e^{r t}\right) d t-e^{-r t}\left(a_t d X_t+r b_t e^{r t} d t\right) $$ 这表明 $\left(\tilde{V}_t\right)$ 是一个鞅 $\mathbb{P}^{\star}$ 作为关于布朗运动的随机积分 $\left(W_t^*\right)$. 事实上,同样的计算表明,如果投资组合满 足 $d \tilde{V}_t=a_t d \widetilde{X}_t$ 然后是自筹资金。 一个简单的计算证明了鞅与无套利之间的联系。假设 $\left(a_t, b_t\right){0 \leq t \leq T}$ 是一种自筹资金的套利策略;那是,
$$
V_T \geq e^{r T} V_0 \quad(I P \text {-a.s. }),
$$

Imathbb ${P} \backslash l$ eft $\left{V_{-} T>e^{\wedge}{r \mathrm{~T}} V_{-} \backslash \backslash\right.$ ight $}>0$,
因此该策略赚取的钱永远不会少于银行里的钱,而且还有赚更多钱的机会。但
Imathbb{E $}^{\wedge} \backslash l$ eft $\left{V_{-} T \backslash r i g h t\right}=e \wedge{r ~ T} \vee_{-} 0$
由鞅性质,所以 (1.51) 和 (1.52) 不能成立。这是因为 $\mathbb{P}$ 和 \mathbb ${P} \wedge$ 是等价的,所以 (1.51) 和 (1.52) 也 成立 $\mathbb{P}$ 取而代之 $\mathbb{P}^{\star}$.

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金融工程代写

金融工程是使用数学技术来解决金融问题。金融工程使用计算机科学、统计学、经济学和应用数学领域的工具和知识来解决当前的金融问题,以及设计新的和创新的金融产品。

非参数统计代写

非参数统计指的是一种统计方法,其中不假设数据来自于由少数参数决定的规定模型;这种模型的例子包括正态分布模型和线性回归模型。

广义线性模型代考

广义线性模型(GLM)归属统计学领域,是一种应用灵活的线性回归模型。该模型允许因变量的偏差分布有除了正态分布之外的其它分布。

术语 广义线性模型(GLM)通常是指给定连续和/或分类预测因素的连续响应变量的常规线性回归模型。它包括多元线性回归,以及方差分析和方差分析(仅含固定效应)。

有限元方法代写

有限元方法(FEM)是一种流行的方法,用于数值解决工程和数学建模中出现的微分方程。典型的问题领域包括结构分析、传热、流体流动、质量运输和电磁势等传统领域。

有限元是一种通用的数值方法,用于解决两个或三个空间变量的偏微分方程(即一些边界值问题)。为了解决一个问题,有限元将一个大系统细分为更小、更简单的部分,称为有限元。这是通过在空间维度上的特定空间离散化来实现的,它是通过构建对象的网格来实现的:用于求解的数值域,它有有限数量的点。边界值问题的有限元方法表述最终导致一个代数方程组。该方法在域上对未知函数进行逼近。[1] 然后将模拟这些有限元的简单方程组合成一个更大的方程系统,以模拟整个问题。然后,有限元通过变化微积分使相关的误差函数最小化来逼近一个解决方案。

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随机分析代写


随机微积分是数学的一个分支,对随机过程进行操作。它允许为随机过程的积分定义一个关于随机过程的一致的积分理论。这个领域是由日本数学家伊藤清在第二次世界大战期间创建并开始的。

时间序列分析代写

随机过程,是依赖于参数的一组随机变量的全体,参数通常是时间。 随机变量是随机现象的数量表现,其时间序列是一组按照时间发生先后顺序进行排列的数据点序列。通常一组时间序列的时间间隔为一恒定值(如1秒,5分钟,12小时,7天,1年),因此时间序列可以作为离散时间数据进行分析处理。研究时间序列数据的意义在于现实中,往往需要研究某个事物其随时间发展变化的规律。这就需要通过研究该事物过去发展的历史记录,以得到其自身发展的规律。

回归分析代写

多元回归分析渐进(Multiple Regression Analysis Asymptotics)属于计量经济学领域,主要是一种数学上的统计分析方法,可以分析复杂情况下各影响因素的数学关系,在自然科学、社会和经济学等多个领域内应用广泛。

MATLAB代写

MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中,其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括:数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发,包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统,其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题,尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题,而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问,这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展,得到了许多用户的投入。在大学环境中,它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域,MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要,工具箱允许您学习应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数(M 文件)的综合集合,可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。

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