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期权定价理论通过分配一个价格，也就是溢价，根据计算出的合同在到期时完成货币（ITM）的概率来估计期权合同的价值。
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金融代写|期权理论代写Mathematical Introduction to Options代考|AMERICAN OPTIONS
In the last section it was seen that the curve of the value of a European option always lies above the asymptotic lines. What of an American option which can be exercised at any time before maturity? Some very general and important conclusions can be reached using simple arbitrage arguments.
(i) First, we establish three almost trivial looking results:
- The prices of otherwise identical European and American options must obey the relationship
Price $_{\text {American }} \geq$ Price $_{\text {European }}$
This is because an American option has all the benefits of a European option plus the right of early exercise. - An American option will always be worth at least its payoff value: if it were worth less, we would simply buy the options and exercise them. Conversely, an American option will not be exercised if its value is greater than the payoff, as this constitutes the purposeless destruction of value.
- The price of a stock falls on an ex-dividend date by the amount of the dividend which is paid. The holder of an option does not receive the benefit of a dividend, so the potential payoff of an American call drops by the value of the dividend as the ex-dividend date is crossed. If an American call is exercised, this will therefore always occur shortly before an ex-dividend date. By the same reasoning, an American put is always exercised shortly after an ex-dividend date.
(ii) American Calls: In Section 2.2(ii) we saw that the graph of a call option against price must always lie above the line representing the value of a forward, i.e. $C_{\text {European }} \geq f_{0 T}=S_0-X \mathrm{e}^{-r T}$. The first point of the last subsection then implies that $C_{\text {American }} \geq f_{0 T}=S_0-X \mathrm{e}^{-r T}$ and if $r$ and $T$ are always positive (i.e. $\mathrm{e}^{-r T} \leq 1$ ) then we must also have
$$
C_{\text {American }} \geq S_0-X
$$
If this is true, then by the second point of the last subsection, it can never pay to exercise an American call before maturity; but if an American call is never exercised early, this feature has no value and the price of an American call must be the same as the price of a European call.
金融代写|期权理论代写Mathematical Introduction to Options代考|PUT–CALL PARITY FOR AMERICAN OPTIONS
(i) It will be apparent to the reader that given the more complex behavior of American options, there is no slick formula for put-call parity as there is for European options. However for short-term options, fairly narrow bounds can be established on the difference between American put and call prices.
$\begin{array}{rrrrr}\text { Consider American options with maturity } T \text { which } & t=0 & t=\tau & t=T \ \text { may be exercised at a time } \tau \text {. The value of the proceeds } & \begin{array}{c}t=0 \text { ex } \ \text { now }\end{array} & \text { exerse } & \text { maturity }\end{array}$
may be exercised at a time $\tau$. The value of the proceeds of each option depends not only on the price $S_T$ at maturity, but also on whether and when it is exercised. If the option is exercised early, the strike price is paid and the time value of this cash has to be taken into account. For example, an American call option might be exercised at any time $\tau$ between now and $T$. After exercise, the stock that we buy under the option will continue to vary stochastically, achieving value $S_T$ at time $T$; but the exercise price would have been paid earlier than final maturity, so that the time $T$ value of the strike price is $X \mathrm{e}^{r(T-\tau)}$ where $0 \leq \tau \leq T$. The generalized payoff value of an American call option assessed at time $T$ may therefore be written as $S_T-X \mathrm{e}^{r(T-\tau)}$; the corresponding value for an American put option is $X \mathrm{e}^{r(T-\tau)}-S_T$.
Put-call parity relations for American options may be obtained using arbitrage arguments anảlogous to those for Europeean ōtions. In thee anälysis that follows. we make the decision ahead of time to hold any American option to maturity. Any short option position may be exercised against us at time $\tau(0 \leq \tau \leq T)$ and we then maintain the resultant stock position until maturity.
(ii) Let us now compare the following two portfolios:
- A forward contract to sell one share of stock in time $T$ for a price $X$.
- Long one put option and short one call option each on one share of stock, both with strike price $X$ and maturity $T$. Our strategy in running this portfolio is only to exercise the put options on their expiry date. Our counterparty may choose to exercise the call against us before maturity, in which case we invest the cash and hang on to the short stock position until maturity.
Initial and terminal values of these two portfolios are given in Table $2.2$. The notation ${Q, 0}$ signifies a quantity which could have value $Q$ or 0 , depending on whether our counterparty has exercised the call option or not. A few seconds reflection will convince the reader that the value of the option portfolio is always equal to or less than the proceeds of the forward share sale, whatever the value of $S_T$. In terms of the present value of the two portfolios, this may be written
$$
C_0(X, T)-P_0(X, T) \leq S_0-X \mathrm{e}^{-r T}
$$
期权理论代写
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在上一节中，我们看到欧洲期权的价值曲线总是位于渐近线之上。在到期前任何时候都可以行使的美式期权呢?(i)首先，我们建立了三个看起来几乎微不足道的结果:
- 其他方面相同的欧洲和美国期权的价格必须服从关系
价格$_{\text {American }} \geq$价格$_{\text {European }}$
这是因为美国期权具有欧洲期权的所有好处，加上提前行权。美式期权的价值总是至少等于它的支付价值:如果它的价值更低，我们就会直接买入期权并行权。相反，如果美式期权的价值大于收益，它就不会被执行，因为这构成了价值的无目的破坏。在除息日，股票的价格是按已支付的股息下降的。期权的持有者没有得到股息的好处，因此美国看涨期权的潜在收益随着除息日的过去而下降。如果美式看涨期权被行使，这将总是发生在除息日前不久。(ii)美国看涨期权:在2.2(ii)节中，我们看到看涨期权与价格的曲线必须总是位于代表远期价格的线(即$C_{\text {European }} \geq f_{0 T}=S_0-X \mathrm{e}^{-r T}$)之上。最后一小节的第一点意味着$C_{\text {American }} \geq f_{0 T}=S_0-X \mathrm{e}^{-r T}$，如果$r$和$T$总是正的(即$\mathrm{e}^{-r T} \leq 1$)，那么我们也必须有
$$
C_{\text {American }} \geq S_0-X
$$
如果这是真的，那么到最后一小节的第二点，在到期前行使美国赎回权是永远不可能的;
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对于读者来说，显而易见的是，鉴于美国期权更为复杂的行为，不存在像欧洲期权那样圆滑的看涨期权平价公式。然而，对于短期期权，美国看跌期权和看涨期权之间的差价可以建立相当狭窄的界限。
$\begin{array}{rrrrr}\text { Consider American options with maturity } T \text { which } & t=0 & t=\tau & t=T \ \text { may be exercised at a time } \tau \text {. The value of the proceeds } & \begin{array}{c}t=0 \text { ex } \ \text { now }\end{array} & \text { exerse } & \text { maturity }\end{array}$
可以一次练习$\tau$。每个期权的收益价值不仅取决于到期时的价格$S_T$，还取决于是否执行以及何时执行。如果期权提前执行，则支付行权价，必须考虑现金的时间价值。例如，美国看涨期权可以在从现在到$T$之间的任何时间$\tau$行使。行权后，我们在期权下购买的股票将继续随机变化，在$T$时刻实现价值$S_T$;但是行权价格将在最终到期之前支付，因此行权价格的时间$T$值为$X \mathrm{e}^{r(T-\tau)}$，其中$0 \leq \tau \leq T$。因此，在$T$时间评估的美国看涨期权的广义支付价值可以写成$S_T-X \mathrm{e}^{r(T-\tau)}$;美式看跌期权对应的值是$X \mathrm{e}^{r(T-\tau)}-S_T$ .
美国期权的看涨期权平价关系可以使用与欧洲期权相同的套利论证来获得。在你anälysis下面。我们会提前决定是否持有美国期权直至到期。任何做空期权头寸都可以在$\tau(0 \leq \tau \leq T)$时间对我们执行，然后我们保持由此产生的股票头寸直到到期
- 一种及时卖出一股股票的远期合约 $T$ 付出一定的代价 $X$买入一股股票的一个看跌期权，做空一个看涨期权，均有执行价 $X$ 成熟度 $T$。我们经营这个投资组合的策略是，只在到期日执行看跌期权。我们的交易对手可以选择在到期前对我们行使看涨期权，在这种情况下，我们将现金投资并持有空头股票头寸直到到期这两个投资组合的初始值和最终值见表$2.2$。${Q, 0}$表示的数量可以是$Q$或0，这取决于我们的交易对手是否行使了看涨期权。几秒钟的思考就会使读者相信，期权投资组合的价值总是等于或小于远期股票出售的收益，无论$S_T$的价值是多少。根据两个投资组合的现值，可以写成
$$
C_0(X, T)-P_0(X, T) \leq S_0-X \mathrm{e}^{-r T}
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金融工程代写
金融工程是使用数学技术来解决金融问题。金融工程使用计算机科学、统计学、经济学和应用数学领域的工具和知识来解决当前的金融问题，以及设计新的和创新的金融产品。
非参数统计代写
非参数统计指的是一种统计方法，其中不假设数据来自于由少数参数决定的规定模型；这种模型的例子包括正态分布模型和线性回归模型。
广义线性模型代考
广义线性模型（GLM）归属统计学领域，是一种应用灵活的线性回归模型。该模型允许因变量的偏差分布有除了正态分布之外的其它分布。
术语 广义线性模型（GLM）通常是指给定连续和/或分类预测因素的连续响应变量的常规线性回归模型。它包括多元线性回归，以及方差分析和方差分析（仅含固定效应）。
有限元方法代写
有限元方法（FEM）是一种流行的方法，用于数值解决工程和数学建模中出现的微分方程。典型的问题领域包括结构分析、传热、流体流动、质量运输和电磁势等传统领域。
有限元是一种通用的数值方法，用于解决两个或三个空间变量的偏微分方程（即一些边界值问题）。为了解决一个问题，有限元将一个大系统细分为更小、更简单的部分，称为有限元。这是通过在空间维度上的特定空间离散化来实现的，它是通过构建对象的网格来实现的：用于求解的数值域，它有有限数量的点。边界值问题的有限元方法表述最终导致一个代数方程组。该方法在域上对未知函数进行逼近。[1] 然后将模拟这些有限元的简单方程组合成一个更大的方程系统，以模拟整个问题。然后，有限元通过变化微积分使相关的误差函数最小化来逼近一个解决方案。
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随机分析代写
随机微积分是数学的一个分支，对随机过程进行操作。它允许为随机过程的积分定义一个关于随机过程的一致的积分理论。这个领域是由日本数学家伊藤清在第二次世界大战期间创建并开始的。
时间序列分析代写
随机过程，是依赖于参数的一组随机变量的全体，参数通常是时间。 随机变量是随机现象的数量表现，其时间序列是一组按照时间发生先后顺序进行排列的数据点序列。通常一组时间序列的时间间隔为一恒定值（如1秒，5分钟，12小时，7天，1年），因此时间序列可以作为离散时间数据进行分析处理。研究时间序列数据的意义在于现实中，往往需要研究某个事物其随时间发展变化的规律。这就需要通过研究该事物过去发展的历史记录，以得到其自身发展的规律。
回归分析代写
多元回归分析渐进（Multiple Regression Analysis Asymptotics）属于计量经济学领域，主要是一种数学上的统计分析方法，可以分析复杂情况下各影响因素的数学关系，在自然科学、社会和经济学等多个领域内应用广泛。
MATLAB代写
MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中，其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括：数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发，包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统，其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题，尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题，而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问，这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展，得到了许多用户的投入。在大学环境中，它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域，MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要，工具箱允许您学习和应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数（M 文件）的综合集合，可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。