### 数学代写|数学物理方法代写Mathematical Methods代考|MATH3905

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• Longitudinal Data Analysis 纵向数据分析
• Foundations of Data Science 数据科学基础

## 数学代写|数学物理方法代写Mathematical Methods代考|HIGHER ORDER DERIVATIVES

Until now we have concentrated on the first derivative of a function. We can also define the second derivative, i.e. the gradient of the gradient. We use the definition of equation (1.1) but replace $f(x)$ with $f^{\prime}(x)$ :
$$f^{\prime \prime}(x)=\lim {h \rightarrow 0} \frac{f^{\prime}(x+h)-f^{\prime}(x)}{h},$$ or, equivalently, $$\frac{d^{2} y}{d x^{2}}=\lim {\delta x \rightarrow 0} \frac{y^{\prime}(x+\delta x)-y^{\prime}(x)}{\delta x} .$$
Similarly, we can define the third, fourth and higher order derivatives. Often the $n$th derivative of a function $y=f(x)$ is written as $f^{(n)}(x)$, or $d^{n} y / d x^{n}$. Note the parentheses around the superscript $(n)$ in $f^{(n)}(x)$ to distinguish it from $(f(x))^{n}$. In practice we continue to differentiate the result after each differentiating (tidying up the expressions as we go) until we get to the required derivative.

## 数学代写|数学物理方法代写Mathematical Methods代考|STATIONARY POINTS

A common application of differentiation is to find the maxima or minima of functions.

Let $y=f(x)$. A point at which $d y / d x=0$ is called a stationary point of the function $f(x)$. Equivalently, at a stationary point of $f(x)$, we have $f^{\prime}(x)=0$. See Figure 1.3.

• A stationary point of $y=f(x)$ is a minimum if, at this point, $d^{2} y / d x^{2}>0$
• A stationary point of $y=f(x)$ is a maximum if, at this point, $d^{2} y / d x^{2}<0$
• A stationary point of $y=f(x)$ is (usually) a stationary point of inflection if, at this point, $d^{2} y / d x^{2}=0$ (i.e. the derivative has a maximum or minimum).

Example $1.11$ Find the stationary points of the function $y=2 x^{3}+3 x^{2}-36 x+24$ and determine whether they are maxima, minima, or points of inflection.
We begin by finding $d y / d x$ :
\begin{aligned} d y / d x &=6 x^{2}+6 x-36 \ &=6\left(x^{2}+x-6\right) \ &=6(x+3)(x-2) \end{aligned}
Then we set $d y / d x=0$ and solve for $x$, which gives $x=-3$ and $x=2$. So the stationary points are $x=-3, x=2$. Now we calculate the second derivative,
$$d^{2} y / d x^{2}=6(2 x+1),$$
and evaluate it at the stationary points.
At $x=-3, d^{2} y / d x^{2}<0$, so this is a maximum, at $x=2, d^{2} y / d x^{2}>0$, so this is a minimum.

## 数学代写|数学物理方法代写Mathematical Methods代考|HIGHER ORDER DERIVATIVES

$$f^{\prime \prime}(x)=\lim h \rightarrow 0 \frac{f^{\prime}(x+h)-f^{\prime}(x)}{h},$$

$$\frac{d^{2} y}{d x^{2}}=\lim \delta x \rightarrow 0 \frac{y^{\prime}(x+\delta x)-y^{\prime}(x)}{\delta x} .$$

## 数学代写|数学物理方法代写Mathematical Methods代考|STATIONARY POINTS

• 的一个静止点 $y=f(x)$ 是最小值，如果此时， $d^{2} y / d x^{2}>0$
• 的一个静止点 $y=f(x)$ 是最大值，如果此时， $d^{2} y / d x^{2}<0$
• 的一个静止点 $y=f(x)$ 是 (通常) 一个平稳的拐点，如果，在这一点上， $d^{2} y / d x^{2}=0$ (即导数有最大 值或最小值)。
例子1.11找到函数的驻点 $y=2 x^{3}+3 x^{2}-36 x+24$ 并确定它们是最大值、最小值还是拐点。 我们首先找到 $d y / d x$ :
$$d y / d x=6 x^{2}+6 x-36=6\left(x^{2}+x-6\right)=6(x+3)(x-2)$$
然后我们设置 $d y / d x=0$ 并解决 $x$ ，这使 $x=-3$ 和 $x=2$. 所以静止点是 $x=-3, x=2$. 现在我们计算二阶 导数，
$$d^{2} y / d x^{2}=6(2 x+1)$$
并在静止点对其进行评估。
在 $x=-3, d^{2} y / d x^{2}<0$ ，所以这是一个最大值，在 $x=2, d^{2} y / d x^{2}>0$ ，所以这是最小值。

## 有限元方法代写

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## MATLAB代写

MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中，其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括：数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发，包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统，其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题，尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题，而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问，这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展，得到了许多用户的投入。在大学环境中，它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域，MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要，工具箱允许您学习应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数（M 文件）的综合集合，可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。