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Theorem 2. Under the assumptions of Theorem 1,
$$
\left|\mathbb{E}\left[\bar{X}_n\right]-\mu^\right| \leq\left|\delta_n^\right|+O\left(\frac{K\left(C_p^2 \ln n+N_0\right)}{n}\right)
$$
where $N_0=N_0(1 / 2)$.
To provide further intuition for the above, recall that $\delta_n^*$ is the distance between the optimal arm’s mean at time $t=n$, and the true optimal mean. Furthermore, the theorem is proven using the value $N_0(\epsilon)$ where $\epsilon=1 / 2$.
Furthermore, using Theorem 1, we can derive a lower bound on the number of times some arm $i$ will be played. This result follows:
Theorem 3. Under the assumptions of Theorem 3, there exists some positive constant $\rho$ such that for all arms $i$ and $n, T_i(n) \geq\lceil\rho \log (n)\rceil$.
We need the above result to prove that the optimal reward converges quickly to its true mean in the drifting multi armed bandit problem. We omit the proof of the result, but it is natural that it would require both the lower bound on $T_i(n)$ and the upper bound on $\mathbb{E}\left[T_i(n)\right]$. This quick convergence is one of the two most important properties for incorporating UCB into MCTS. If the drifting means converge slowly then we cannot hope to quickly find an optimal arm. The bound follows:
Theorem 4. Fix an arbitrary $\delta>0$ and let $\Delta_n=9 \sqrt{2 n \ln 2 / \delta}$. Let $n_0$ be such that
$$
\sqrt{n_0} \geq O\left(K\left(C_p^2 \ln n_0+N_0(1 / 2)\right)\right)
$$
Then for any $n \geq n_0$, under the assumptions of Theorem 1 the following bounds hold true:
$$
\begin{aligned}
& \mathbb{P}\left(n \bar{X}n \geq n \mathbb{E}\left[\bar{X}_n\right]+\Delta_n\right) \leq \delta \ & \mathbb{P}\left(n \bar{X}_n \leq n \mathbb{E}\left[\bar{X}_n\right]-\Delta_n\right) \leq \delta \end{aligned} $$ Another extremely important result for using UCB in MCTS is that when the means can drift, UCB still finds the best arm when given infinite time. This result follows: Theorem 5. Under the assumptions of Theorem 1 it holds that $$ \lim {t \rightarrow \infty} P\left(I_t \neq i^*\right)=0
$$
For more detail on any of the theorems discussed in this section, please refer to [5]. In order to understand UCT, we must first relax the restraints on $K$-armed bandits to allow each arm’s mean $\mu_i$ to change over time t. While we can no longer rely on the assumption that the mean of each arm is fixed from $t=1$ onward, we can assume that the expected value of the empirical averages converge. We let $\bar{X}{i, n}=\frac{1}{n} \sum{t=1}^n X_{i, t}$ be the empirical average of arm $i$ at time $n$, and $\mu_{i, n}=\mathbb{E}\left[\tilde{X}{i, n}\right]$ be its expected value. Therefore, we now have a sequence of expected means for each arm $i$, namely $\mu{i, n}$. We assume that these expected means eventually converge to one final mean $\mu_i=\lim {n \rightarrow \infty} \mu{i, n}$. We further define a sequence of offsets for each arm as $\delta_{i, n}=\mu_{i, n}-\mu_i$. We also make the following assumptions about the reward sequence:
Assumption 1. Fix $1 \leq i \leq K$. Let $\left{\mathcal{F}{i, t}\right}_t$ be a fultration such that $\left{X{i, t}\right}_t$ is $\left{\mathcal{F}{i, t}\right}$-adapted and $X{i, t}$ is conditionally independent of $\mathcal{F}{i, t+1}, \mathcal{F}{i, t+2}, \ldots$ given $\mathcal{F}{i, t-1}{ }^1$. Then $0 \leq X{i, t} \leq 1$ and the limit of $\mu_{i, n}=\mathbb{E}\left[\bar{X}{i n}\right]$ exists. Further, we assume that there exist a constant $C_p>0$ and an integer $N_p$ such that for $n \geq N_p$. for any $\delta>0, \Delta_n(\delta)=C_p \sqrt{n \ln (1 / \delta)}$, the following bounds hold: $$ \begin{aligned} & \mathbb{P}\left(n \bar{X}{i, n} \geq n \mathbb{E}\left[\bar{X}{i, n}\right]+\Delta_n(\delta)\right) \leq \delta \ & \mathbb{P}\left(n \bar{X}{i, n} \leq n \mathbb{E}\left[\bar{X}{i, n}\right]-\Delta_n(\delta)\right) \leq \delta \end{aligned} $$ This assumption allows us to define a bias sequence $c{t, s}$ for time $t$ and sample size $s$ which satisfies Equation 3 and Equation 4. This sequence is as follows:
$$
c_{t, s}=2 C_p \sqrt{\frac{\ln t}{s}}
$$
We define $\Delta_i=\mu^-\mu_i$ to be the loss of arm $i$. Recall that since the expected mean of each arm converges, the mean offset $\delta_{i, t}$ converges to zero. Therefore, there exists a time $N_0(\epsilon)$ at which the uncertainty of the true mean rewards are guaranteed to be within a factor $\epsilon$ of their distance from the optimal mean, and the uncertainty of the optimal mean is guaranteed to be within the same factor $\epsilon$ of its distance to to closest suboptimal mean. Therefore, even though we still have some uncertainty as to what the true means really are, we have enough information to know which is probably the best, as $\mu_{N_0(c)}$ is closer to $\mu^$ than it is to any $\mu_{i, N_0(\epsilon)}$. More formally, $N_0(\epsilon): \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{N}$ is a function which returns the minimum $t$ for which $2\left|\delta_{i, t}\right| \leq \epsilon \Delta_i$ for all arms $i$, and $2\left|\delta_{j^*, t}\right| \leq \epsilon \min _i \Delta_i$. Under Assumption 1, and using the preceding definitions, we can upper bound the expected number of times that a suboptimal arm will be played by UCB1 when the means are allowed to drift.
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UCT is simply a marriage of MCTS and UCB1. The main idea is to treat each internal node in MCTS as a $K$-armed bandit, where the arms are the actions available at that state. $\mathrm{A}$ separate instance of UCB1 is run on each internal state, modified to accommodate the drifting means present in this problem. The necessity of the drifting means generalization can be seen by realizing that UCT is essentially a tree of separate UCB1 instances. The means of the action rewards in each of these multi-armed bandit problems depend on the instances lower in the tree. As we explore the tree, we gain a clearer understanding of the true means, reducing noisiness introduced by a partial exploration deeper in the tree. Simply put, UCT is MCTS where we use UCB1 to select an action in the tree policy. See Algorithm 2 for pseudo code of the action selection.
Recall Theorems 4 and 5 from the previous section. These state that when means can drift in the multi armed bandit problem, UCB still finds the optimal solution quickly with high probability, and given enough time it always finds the optinal arn. When incorporating UCB into MCTS, we also get these properties in UCT, as stated in Theorem 6 .
Theorem 6. Consider algorithm UCT running on a game tree of depth $D$, branching factor $K$ with stochastic payoffs at the leaves. Assume that the payoffs lie in the interval [0,1]. Then the bias of the estimated expected payoff, $\bar{X}_n$, is $O\left(\left(K D \log (n)+K^D\right) / n\right)$. Further, the failure probability at the root converges to zero as the number of samples grows to infinity.
A detailed proof of the preceding theorem is beyond the scope of these lecture notes (see [5] for such a proof), however we will provide a sketch of the proof. We must induct on $D$ to prove the theorem. In the base case of $D=1$, UCT is reduced to a single instantiation of UCB. Therefore Theorems 4 and 5 lead directly to our desired result. In the inductive case, we assume the result holds for any tree of depth $D$ – 1 , and consider a tree of depth $D$. All of the children of the root node are trees of depth $D-1$ which, by induction, satisfy the theorem. Therefore, we consider only the single UCB instance at the root. Using the theorems from the previous section (particularly Theorems 2,4 , and 5 ), we can then show that the theorem holds at the root as well.
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定理 2. 在定理 1 的假设下，
在哪里 $N_0=N_0(1 / 2)$.
为了对上述内容提供进一步的直觉，回想一下 $\delta_n^$ 是最佳手臂的平均时间之间的距离 $t=n$ ，以及真正的最 优均值。此外，使用值证明了该定理 $N_0(\epsilon)$ 在哪里 $\epsilon=1 / 2$. 此外，使用定理 1 ，我们可以推导出某个 arm 的次数的下界 $i$ 将播放。结果如下: 定理3 在定理 3 的假设下，存在某个正常数 $\rho$ 这样对于所有武器 $i$ 和 $n, T_i(n) \geq\lceil\rho \log (n)\rceil$. 我们需要上述结果来证明最优奖励在漂移多臂老虎机问题中快速收敛到其真实均值。我们省略了结果的证 明，但很自然地需要下界 $T_i(n)$ 和上界 $\mathbb{E}\left[T_i(n)\right]$. 这种快速收敛是将 UCB 纳入 MCTS 的两个最重要的特 性之一。如果漂移均值收敛缓慢，那么我们就不能指望快速找到最优臂。界限如下: 定理 4. 固定一个任意的 $\delta>0$ 然后让 $\Delta_n=9 \sqrt{2 n \ln 2 / \delta}$. 让 $n_0$ 是这样的 $$ \sqrt{n_0} \geq O\left(K\left(C_p^2 \ln n_0+N_0(1 / 2)\right)\right) $$ 然后对于任何 $n \geq n_0$ ，在定理 1 的假设下，以下界限成立: $$ \mathbb{P}\left(n \bar{X} n \geq n \mathbb{E}\left[\bar{X}n\right]+\Delta_n\right) \leq \delta \quad \mathbb{P}\left(n \bar{X}_n \leq n \mathbb{E}\left[\bar{X}_n\right]-\Delta_n\right) \leq \delta $$ 在 MCTS 中使用 UCB 的另一个极其重要的结果是，当方法可以漂移时，UCB 仍然可以在给定无限时间的 情况下找到最佳臂。此结果如下：定理 5。在定理 1 的假设下，它认为 $$ \lim t \rightarrow \infty P\left(I_t \neq i^\right)=0
$$
有关本节中讨论的任何定理的更多详细信息，请参阅 [5]。为了理解UCT，我们必须首先放松对 $K$-武装土 罗允许每只手臂的意思 $\mu_i$ 随时间 $\mathrm{t}$ 变化。虽然我们不能再依赖这样的假设，即每只手臂的平均值是固定的 $t=1$ 向前，我们可以假设经验平均值的期望值收敛。我们让 $\bar{X} i, n=\frac{1}{n} \sum t=1^n X{i, t}$ 是 $\operatorname{arm}$ 的经验 平均值 $i$ 在时间 $n$ ，和 $\mu_{i, n}=\mathbb{E}[\tilde{X} i, n]$ 是它的期望值。因此，我们现在对每只手臂都有一系列预期均值 $i$ ，即 $\mu i, n$. 我们假设这些预期均值最终会收佥到一个最终均值 $\mu_i=\lim n \rightarrow \infty \mu i, n$. 我们进一步定义 每个哊的偏移序列为 $\delta_{i, n}=\mu_{i, n}-\mu_i$. 我们还对奖励序列做出以下假设:
Veft{\mathca|{F}{i, t}\right } } \text { -改编和 } X i , t \text { 有条件地独立于 } \mathcal { F } i , t + 1 , \mathcal { F } i , t + 2 , \ldots \text { 给予 } \mathcal { F } i , t – 1 ^ { 1 } \text { . 然后 } $0 \leq X i, t \leq 1$ 和极限 $\mu_{i, n}=\mathbb{E}[\bar{X} i n]$ 存在。此外，我们假设存在一个常数 $C_p>0$ 和一个整数 $N_p$ 这样 对于 $n \geq N_p$. 对于任何 $\delta>0, \Delta_n(\delta)=C_p \sqrt{n \ln (1 / \delta)}$ ，以下界限成立:
$$
\mathbb{P}\left(n \bar{X} i, n \geq n \mathbb{E}[\bar{X} i, n]+\Delta_n(\delta)\right) \leq \delta \quad \mathbb{P}\left(n \bar{X} i, n \leq n \mathbb{E}[\bar{X} i, n]-\Delta_n(\delta)\right) \leq \delta
$$
这个假设允许我们定义偏置序列 $c t, s$ 时间 $t$ 和样本量 $s$ 满足公式 3 和公式 4。此序列如下:
$$
c_{t, s}=2 C_p \sqrt{\frac{\ln t}{s}}
$$
我们定义 $\Delta_i=\mu^{-} \mu_i$ 失去手臂 $i$. 回想一下，由于每个臂的预期均值收敛，所以均值偏移量 $\delta_{i, t}$ 收敛于 零。因此，存在一个时间 $N_0(\epsilon)$ 保证真实平均奖励的不确定性在一个因素内 $\epsilon$ 它们与最优均值的距离，并 且最优均值的不确定性保证在同一因子内 $\epsilon$ 它到最接近的次优均值的距离。因此，尽管我们仍然不确定真 人 $\mu_{i, N_0(\epsilon)}$. 更正式地说， $N_0(\epsilon): \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{N}$ 是一个返回最小值的函数 $t$ 为了哪个 $2\left|\delta_{i, t}\right| \leq \epsilon \Delta_i$ 对于所有武 器 $i$ ， 和 $2\left|\delta_{j^*, t}\right| \leq \epsilon \min _i \Delta_i$. 在假设 1 下，并使用前面的定义，我们可以设定在允许均值漂移时 UCB1 将使用次优臂的预期次数上限。
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UCT 只是 MCTS 和 UCB1 的结合。主要思想是将 MCTS 中的每个内部节点视为一个 $K$-armed bandit， 其中 arms 是该状态下可用的动作。AUCB1 的单独实例在每个内部状态上运行，经过修改以适应此问题 中存在的漂移方法。通过认识到 UCT 本质上是一棵独立的 UCB1 实例树，可以看出漂移均值泛化的必要 性。在这些多臂老虎机问题中，行动奖励的方式取决于树中较低的实例。当我们探索这棵树时，我们对真 实均值有了更清晰的理解，减少了在树的更深处进行部分探索所引入的噪音。简单地说，UCT 是 MCTS， 我们使用 UCB1 在树策略中选择一个动作。有关动作选择的伪代码，请参见算法 2。
回忆上一节中的定理 4 和 5。这些表明，当多臂老虎机问题中的方法可能发生漂移时，UCB 仍能以高概率 快速找到最优解，并且只要有足够的时间，它总能找到最优解。当将 UCB 合并到 MCTS 中时，我们也在 UCT 中获得这些属性，如定理 6 中所述。
定理 6. 考虑在深度博栾树上运行的算法 UCT $D$, 分支因子 $K$ 在叶子上有随机收益。假设收益位于区间 $[0,1]$ 内。那么估计预期收益的偏差， $\bar{X}_n$ ，是 $O\left(\left(K D \log (n)+K^D\right) / n\right)$. 此外，随着样本数量增长 到无穷大，根部的失效概率收敛到零。
上述定理的详细证明超出了这些讲义的范围（有关此类证明，请参见 [5]），但我们将提供该证明的草 图。我们必须归纳 $D$ 来证明定理。在基本情况下 $D=1$ ，UCT 被简化为 UCB 的单个实例化。因此，定理 4 和 5 直接导致我们想要的结果。在归纳的情况下，我们假设结果适用于任何深度树 $D-1$ ，并考虑一棵 深度树 $D$. 根节点的所有子节点都是深度树 $D-1$ 通过归纳，它满足定理。因此，我们只考虑根处的单个 UCB 实例。使用上一节中的定理（特别是定理 2,4 和 5)，我们可以证明该定理在根处也成立。
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金融工程代写
金融工程是使用数学技术来解决金融问题。金融工程使用计算机科学、统计学、经济学和应用数学领域的工具和知识来解决当前的金融问题，以及设计新的和创新的金融产品。
非参数统计代写
非参数统计指的是一种统计方法，其中不假设数据来自于由少数参数决定的规定模型；这种模型的例子包括正态分布模型和线性回归模型。
广义线性模型代考
广义线性模型（GLM）归属统计学领域，是一种应用灵活的线性回归模型。该模型允许因变量的偏差分布有除了正态分布之外的其它分布。
术语 广义线性模型（GLM）通常是指给定连续和/或分类预测因素的连续响应变量的常规线性回归模型。它包括多元线性回归，以及方差分析和方差分析（仅含固定效应）。
有限元方法代写
有限元方法（FEM）是一种流行的方法，用于数值解决工程和数学建模中出现的微分方程。典型的问题领域包括结构分析、传热、流体流动、质量运输和电磁势等传统领域。
有限元是一种通用的数值方法，用于解决两个或三个空间变量的偏微分方程（即一些边界值问题）。为了解决一个问题，有限元将一个大系统细分为更小、更简单的部分，称为有限元。这是通过在空间维度上的特定空间离散化来实现的，它是通过构建对象的网格来实现的：用于求解的数值域，它有有限数量的点。边界值问题的有限元方法表述最终导致一个代数方程组。该方法在域上对未知函数进行逼近。[1] 然后将模拟这些有限元的简单方程组合成一个更大的方程系统，以模拟整个问题。然后，有限元通过变化微积分使相关的误差函数最小化来逼近一个解决方案。
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随机分析代写
随机微积分是数学的一个分支，对随机过程进行操作。它允许为随机过程的积分定义一个关于随机过程的一致的积分理论。这个领域是由日本数学家伊藤清在第二次世界大战期间创建并开始的。
时间序列分析代写
随机过程，是依赖于参数的一组随机变量的全体，参数通常是时间。 随机变量是随机现象的数量表现，其时间序列是一组按照时间发生先后顺序进行排列的数据点序列。通常一组时间序列的时间间隔为一恒定值（如1秒，5分钟，12小时，7天，1年），因此时间序列可以作为离散时间数据进行分析处理。研究时间序列数据的意义在于现实中，往往需要研究某个事物其随时间发展变化的规律。这就需要通过研究该事物过去发展的历史记录，以得到其自身发展的规律。
回归分析代写
多元回归分析渐进（Multiple Regression Analysis Asymptotics）属于计量经济学领域，主要是一种数学上的统计分析方法，可以分析复杂情况下各影响因素的数学关系，在自然科学、社会和经济学等多个领域内应用广泛。
MATLAB代写
MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中，其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括：数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发，包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统，其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题，尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题，而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问，这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展，得到了许多用户的投入。在大学环境中，它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域，MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要，工具箱允许您学习和应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数（M 文件）的综合集合，可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。