数学代写|数值分析代写numerical analysis代考|CIVL5458

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数值分析是数学的一个分支,使用数字近似法解决连续问题。它涉及到设计能给出近似但精确的数字解决方案的方法,这在精确解决方案不可能或计算成本过高的情况下很有用。

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  • Foundations of Data Science 数据科学基础
数学代写|数值分析代写numerical analysis代考|CIVL5458

数学代写|数值分析代写numerical analysis代考|Solving linear systems of equations

The need to solve systems of linear equations $\mathbf{A x}=\mathbf{b}$ arises across nearly all of engineering and science, business, statistics, economics, and many other fields. In a standard undergraduate linear algebra course, we have learned how to solve this problem using Gaussian Elimination (GE). We will show here how such a procedure is equivalent to an LU factorization of the coefficient matrix A, followed by a forward and a back substitution. To achieve stability of the factorization in computer arithmetic, a strategy called pivoting is necessary, which leads to the LU factorization with partial pivoting. This is the standard direct method for solving linear systems where $\mathbf{A}$ is a dense matrix.

Linear systems with large and sparse (most entries are zero) coefficient matrices arise often in numerical solution methods of differential equations, for example, by the finite element and finite difference discretizations. State-of-the-art direct methods can nowadays efficiently solve such linear systems up to an order of a few million, using advanced strategies to keep the LU factors as sparse as possible and the factorization stable. However, problems of ever-increasing dimension need be tackled, and sparse linear systems of order tens of millions to billions have become more routine. To efficiently solve these large systems approximately, iterative methods such as the Conjugate Gradient (CG) method are typically used, and on sufficiently large problems, can be advantageous over direct methods.

This chapter will mainly focus on direct methods but will also discuss the CG method. “Linear solvers” has become a vast field and is a very active research area. We aim here to provide a fundamental understanding of the basic types of solvers, but note that we are just scratching the surface, in particular for iterative methods.

数学代写|数值分析代写numerical analysis代考|Solving triangular linear systems

Consider a system of linear equations $\mathbf{A x}=\mathbf{b}$, where the coefficient matrix $\mathbf{A}$ is square and nonsingular. Recall that the GE procedure gradually eliminates all entries in the coefficient matrix below the main diagonal by elementary row operations, until the modified coefficient matrix becomes an upper triangular matrix U. The solution remains unchanged during the entire procedure. In this section, we consider how to solve a linear system where the coefficient matrix is upper or lower triangular. The procedure of elimination will be reviewed and explored in the new perspective of matrix factorization in the next section.

Example 3 (Back substitution for an upper triangular system). Consider the linear system $x_1+2 x_2+3 x_3=2,4 x_2+5 x_3=3$ and $6 x_3=-6$. It can be written in matrix form as $$
\left(\begin{array}{lll}
1 & 2 & 3 \
& 4 & 5 \
& & 6
\end{array}\right)\left(\begin{array}{l}
x_1 \
x_2 \
x_3
\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}
2 \
3 \
-6
\end{array}\right)
$$
where the coefficient matrix is upper triangular. To solve this linear system, we start from the last equation $6 x_3=-6$, which immediately gives $x_3=\frac{-6}{6}=-1$.

Then, from the second equation $4 x_2+5 x_3=3$, we get $x_2=\frac{3-5 x_3}{4}=2$. Finally, the first equation $x_1+2 x_2+3 x_3=2$ leads to $x_1=2-2 x_2-3 x_3=1$.

This procedure illustrates the general procedure of back substitution. Given an upper triangular linear system with nonzero diagonal entries
$$
\mathbf{U x}=\left(\begin{array}{cccc}
u_{11} & u_{12} & \ldots & u_{1 n} \
& \ddots & \ddots & \vdots \
& & u_{(n-1)(n-1)} & u_{(n-1) n} \
& & & u_{n n}
\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}
x_1 \
\vdots \
x_{n-1} \
x_n
\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}
b_1 \
\vdots \
b_{n-1} \
b_n
\end{array}\right),
$$
we start with the last equation and evaluate $x_n=\frac{b_n}{u_{n n}}$ directly, then substitute it into the previous equation and compute $x_{n-1}=\frac{b_{n-1}-u_{(n-1)} x_{n n}}{u_{(n-1)}(n-1)}$. Assume in general that we have already solved for $x_{i+1}, \ldots, x_n$, then $x_i=\frac{\left.b_i-\sum_{i-i+1}^n u_{i j} x_i-1\right)}{u_{i i}}$ can be evaluated. We continue until the value of $x_1$ is found.

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数值分析代考

数学代写|数值分析代写numerical analysis代考|Solving linear systems of equations

需要求解线性方程组一种X=b几乎所有的工程和科学、商业、统计学、经济学和许多其他领域都会出现。在标准的本科线性代数课程中,我们已经学习了如何使用高斯消去法 (GE) 来解决这个问题。我们将在这里展示这样的过程如何等效于系数矩阵 A 的 LU 分解,然后是前向和反向代换。为了在计算机算法中实现因式分解的稳定性,需要一种称为主元的策略,这导致了具有部分主元的 LU 因式分解。这是求解线性系统的标准直接方法,其中一种是稠密矩阵。

具有大而稀疏(大多数条目为零)系数矩阵的线性系统经常出现在微分方程的数值求解方法中,例如,通过有限元和有限差分离散化。最先进的直接方法现在可以有效地解决这种高达数百万数量级的线性系统,使用先进的策略来保持 LU 因子尽可能稀疏和分解稳定。然而,维数不断增加的问题需要解决,数千万到数十亿数量级的稀疏线性系统变得更加常规。为了有效地近似求解这些大型系统,通常使用共轭梯度 (CG) 方法等迭代方法,并且在足够大的问题上,可能优于直接方法。

本章将主要关注直接方法,但也会讨论 CG 方法。“线性求解器”已经成为一个广阔的领域,是一个非常活跃的研究领域。我们的目标是提供对求解器基本类型的基本理解,但请注意,我们只是触及表面,特别是对于迭代方法。

数学代写|数值分析代写numerical analysis代考|Solving triangular linear systems

考虑一个线性方程组 $\mathbf{A} \mathbf{x}=\mathbf{b}$, 其中系数矩阵 $\mathbf{A}$ 是正方形且非奇异的。回想一下, $\mathrm{GE}$ 过程通过初等行操 作逐渐消除主对角线下方系数矩阵中的所有条目,直到修改后的系数矩阵变为上三角矩阵 $U$ 。在整个过程 中解保持不变。在本节中,我们考虑如何求解系数矩阵为上三角或下三角的线性系统。下一节将在矩阵分 解的新视角中回顾和探讨消元法。
示例 3 (上三角系统的反向替换)。考虑线性系统 $x_1+2 x_2+3 x_3=2,4 x_2+5 x_3=3$ 和 $6 x_3=-6$. 可以写成矩阵形式为
$$
\left(\begin{array}{llllll}
1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6
\end{array}\right)\left(\begin{array}{lll}
x_1 & x_2 & x_3
\end{array}\right)=\left(\begin{array}{lll}
2 & 3 & -6
\end{array}\right)
$$
其中系数矩阵是上三角矩阵。为了解决这个线性系统,我们从最后一个方程开始 $6 x_3=-6$, 立即给出 $x_3=\frac{-6}{6}=-1$
那么,从第二个等式 $4 x_2+5 x_3=3$ ,我们得到 $x_2=\frac{3-5 x_3}{4}=2$. 最后,第一个方程 $x_1+2 x_2+3 x_3=2$ 造成 $x_1=2-2 x_2-3 x_3=1$.
此过程说明了反向替换的一般过程。给定一个具有非零对角元素的上三角线性系统
我们从最后一个等式开始并评估 $x_n=\frac{b_n}{u_{n n}}$ 直接代入上式计算 $x_{n-1}=\frac{b_{n-1}-u_{(n-1)} x_{n n}}{u_{(n-1)}(n-1)}$.一般假设我们已经 解决了 $x_{i+1}, \ldots, x_n$ ,然后 $x_i=\frac{\left.b_i-\sum_{i-i+1}^n u_{i j} x_i-1\right)}{u_{i i}}$ 可以评估。我们继续直到价值 $x_1$ 被发现。

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金融工程代写

金融工程是使用数学技术来解决金融问题。金融工程使用计算机科学、统计学、经济学和应用数学领域的工具和知识来解决当前的金融问题,以及设计新的和创新的金融产品。

非参数统计代写

非参数统计指的是一种统计方法,其中不假设数据来自于由少数参数决定的规定模型;这种模型的例子包括正态分布模型和线性回归模型。

广义线性模型代考

广义线性模型(GLM)归属统计学领域,是一种应用灵活的线性回归模型。该模型允许因变量的偏差分布有除了正态分布之外的其它分布。

术语 广义线性模型(GLM)通常是指给定连续和/或分类预测因素的连续响应变量的常规线性回归模型。它包括多元线性回归,以及方差分析和方差分析(仅含固定效应)。

有限元方法代写

有限元方法(FEM)是一种流行的方法,用于数值解决工程和数学建模中出现的微分方程。典型的问题领域包括结构分析、传热、流体流动、质量运输和电磁势等传统领域。

有限元是一种通用的数值方法,用于解决两个或三个空间变量的偏微分方程(即一些边界值问题)。为了解决一个问题,有限元将一个大系统细分为更小、更简单的部分,称为有限元。这是通过在空间维度上的特定空间离散化来实现的,它是通过构建对象的网格来实现的:用于求解的数值域,它有有限数量的点。边界值问题的有限元方法表述最终导致一个代数方程组。该方法在域上对未知函数进行逼近。[1] 然后将模拟这些有限元的简单方程组合成一个更大的方程系统,以模拟整个问题。然后,有限元通过变化微积分使相关的误差函数最小化来逼近一个解决方案。

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随机分析代写


随机微积分是数学的一个分支,对随机过程进行操作。它允许为随机过程的积分定义一个关于随机过程的一致的积分理论。这个领域是由日本数学家伊藤清在第二次世界大战期间创建并开始的。

时间序列分析代写

随机过程,是依赖于参数的一组随机变量的全体,参数通常是时间。 随机变量是随机现象的数量表现,其时间序列是一组按照时间发生先后顺序进行排列的数据点序列。通常一组时间序列的时间间隔为一恒定值(如1秒,5分钟,12小时,7天,1年),因此时间序列可以作为离散时间数据进行分析处理。研究时间序列数据的意义在于现实中,往往需要研究某个事物其随时间发展变化的规律。这就需要通过研究该事物过去发展的历史记录,以得到其自身发展的规律。

回归分析代写

多元回归分析渐进(Multiple Regression Analysis Asymptotics)属于计量经济学领域,主要是一种数学上的统计分析方法,可以分析复杂情况下各影响因素的数学关系,在自然科学、社会和经济学等多个领域内应用广泛。

MATLAB代写

MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中,其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括:数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发,包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统,其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题,尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题,而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问,这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展,得到了许多用户的投入。在大学环境中,它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域,MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要,工具箱允许您学习应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数(M 文件)的综合集合,可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。

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