数学代写|数值分析代写numerical analysis代考|MATH2722

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数值分析是数学的一个分支,使用数字近似法解决连续问题。它涉及到设计能给出近似但精确的数字解决方案的方法,这在精确解决方案不可能或计算成本过高的情况下很有用。

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  • Statistical Computing 统计计算
  • Advanced Probability Theory 高等概率论
  • Advanced Mathematical Statistics 高等数理统计学
  • (Generalized) Linear Models 广义线性模型
  • Statistical Machine Learning 统计机器学习
  • Longitudinal Data Analysis 纵向数据分析
  • Foundations of Data Science 数据科学基础
数学代写|数值分析代写numerical analysis代考|MATH2722

数学代写|数值分析代写numerical analysis代考|Two flavors of error

The approximation can be derived by using a Taylor series. Expand $f\left(x_0+h\right)$ around $x_0$ :
$$
f\left(x_0+h\right)=f\left(x_0\right)+h f^{\prime}\left(x_0\right)+\frac{h^2}{2} f^{\prime \prime}\left(x_0\right)+O\left(h^3\right)
$$
where $O\left(h^3\right)$ denotes the $h^3$ and higher terms in the series. Now solve for $f^{\prime}\left(x_0\right)$ to obtain
$$
f^{\prime}\left(x_0\right)=\frac{f\left(x_0+h\right)-f\left(x_0\right)}{h}-\frac{h}{2} f^{\prime \prime}\left(x_0\right)+O\left(h^2\right) .
$$
We conclude that
$$
D(f, h)=f^{\prime}\left(x_0\right)+\frac{f^{\prime \prime}\left(x_0\right)}{2} h+\cdots .
$$
The terms to the right of $f^{\prime}$ are the truncation error – the part of the formula that is dropped to get the approximation. From the leading term of the error (the $h$-term) we see that
$$
\text { truncation error } \sim C h \text { as } h \rightarrow 0 .
$$
If $f$ were computed exactly, this would also be $E(h)$. But the function $f$, in practice, is not computed exactly (nor is the subtraction in the numerator) so our analysis must take into account such errors. Let’s assume that $f$ is simple and implemented to high accuracy on the computer. Then for any evaluation $\tilde{f}$ of the function,
$$
\tilde{f}=f+\delta, \quad|\delta|<\mathrm{u}_m .
$$
Then the computed value of $D$ is really
$$
\tilde{D}(f, h)=D(f, h)+\frac{\delta_1-\delta_0}{h}
$$
which introduces a ’rounding error’ (not part of the truncation error, only present in computation)
$$
\mid \text { ’rounding’ error } \mid \leq \frac{\mathrm{u}_m+\mathrm{u}_m}{h}=\frac{2 \mathrm{u}_m}{h} .
$$

数学代写|数值分析代写numerical analysis代考|Practical goals

The mathematical theory is motivated by a need to design good numerical methods. There is no perfect algorithm for a given (non-trivial) problem, so each property has a cost – gaining one typically means losing another.

Here are some of the main (overlapping) concerns. The meaning depends on context – different problems demand different properties, and the needs of the user (how accurate or fast does it need to be?) matter also.

  • Efficiency and accuracy tradeoffs:
  • Given a tolerance $\epsilon$, can the algorithm find a solution to within $\epsilon$ ?
  • How much time and memory (space) is required to solve the problem at a given accuracy?
  • How does the time/memory scale with problem complexity?
  • Can the correctness of the solution be verified (reliable error bounds)?
  • Robustness/scope
  • What is the scope of the algorithm – what problems can it solve? How general is it?
  • Can the algorithm adapt to deal with hard cases or does the user need to step in?
  • Does the user need to see the inner workings is it a ‘black box’?
  • Stability:
  • Does the algorithm keep rounding and other errors under control?
  • We’ll have much more to say about this later!

Example: Consider Newton’s method
$$
x_{n+1}=x_n-\frac{f(x)}{f^{\prime}(x)}, \quad x_0=?
$$
which finds a zero $x^$ of a function $f(x)$ (the sequence $x_n$, hopefully, converges to $x^$ ).
On efficiency/accuracy, we want to know whether $x_n$ converges to $x^$ as $n \rightarrow \infty$ and describe how fast the error $\left|x_n-x^\right|$ goes to zero. Given a maximum allowed error $\epsilon$, how many iterations are needed to make the error less than $\epsilon$ ? (answer: the error goes to zero ‘quadratically’; the number of significant digits doubles at each step if the function is nice).

On scope, we want to know for which functions $f(x)$ the algorithm works (answer: $f \in C^2$ or sometimes less, but $f$ must be at least differentiable; only fast when $x^*$ is a simple zero)

On stability, we want to know if an initial error in $x_0$ or errors in evaluating $f$ are amplified as the algorithm progresses. (answer: it works fine).

On robustness, we want to know if the algorithm may fail when given a not-good starting ‘guess’ $x_0$. (answer: not very robust; hard to know how close $x_0$ must be and diverges if too far from the root; requires some human attention).

In short, Newton’s method is extremely accurate/efficient when $x_0$ is chosen close to $x^*$ and the function is smooth and the zero is simple. However, it is not very robust unless coupled with a good scheme for choosing $x_0$ (which is hard to design).

数学代写|数值分析代写numerical analysis代考|MATH2722

数值分析代考

数学代写|数值分析代写numerical analysis代考|Two flavors of error

可以使用泰勒级数推导出近似值。扩张 $f\left(x_0+h\right)$ 大约 $x_0$ :
$$
f\left(x_0+h\right)=f\left(x_0\right)+h f^{\prime}\left(x_0\right)+\frac{h^2}{2} f^{\prime \prime}\left(x_0\right)+O\left(h^3\right)
$$
在哪里 $O\left(h^3\right)$ 表示 $h^3$ 和系列中的更高条款。现在解决 $f^{\prime}\left(x_0\right)$ 获得
$$
f^{\prime}\left(x_0\right)=\frac{f\left(x_0+h\right)-f\left(x_0\right)}{h}-\frac{h}{2} f^{\prime \prime}\left(x_0\right)+O\left(h^2\right) .
$$
我们的结论是
$$
D(f, h)=f^{\prime}\left(x_0\right)+\frac{f^{\prime \prime}\left(x_0\right)}{2} h+\cdots
$$
右边的条款 $f^{\prime}$ 是截断误差一一为获得近似值而舍弃的公式部分。从错误的前导项 ( $h$-term) 我们看到 truncation error $\sim C h$ as $h \rightarrow 0$.
如果 $f$ 被精确计算,这也将是 $E(h)$. 但是函数 $f$ ,在实践中,不是精确计算的 (分子中的减法也不是) 所以 我们的分析必须考虑到这样的错误。让我们假设 $f$ 很简单,并在计算机上实现了高精度。然后进行任何评 价 $\tilde{f}$ 的功能,
$$
\tilde{f}=f+\delta, \quad|\delta|<\mathbf{u}_m .
$$
然后的计算值 $D$ 是真的
$$
\tilde{D}(f, h)=D(f, h)+\frac{\delta_1-\delta_0}{h}
$$
它引入了”舍入误差” (不是截断误差的一部分,仅存在于计算中)
$$
\mid \text { ’rounding’ error } \mid \leq \frac{\mathrm{u}_m+\mathrm{u}_m}{h}=\frac{2 \mathrm{u}_m}{h} \text {. }
$$

数学代写|数值分析代写numerical analysis代考|Practical goals

数学理论的动机是需要设计好的数值方法。对于给定的(非平凡的)问题没有完美的算法,因此每个属性 都有成本一一获得一个通常意味着失去另一个。
以下是一些主要 (重喤) 问题。含义取决于上下文一一不同的问题需要不同的属性,用户的需求(需要多 准确或多快?)也很重要。

  • 效率和准确性的权衡:
  • 给定公差 $\epsilon$, 算法能否在 $\epsilon$ ?
  • 以给定的精度解决问题需要多少时间和内存 (空间) ?
  • 时间/内存如何随着问题的复杂性扩展?
  • 能否验证解决方案的正确性 (可靠的误差范围) ?
  • 稳健性范围
  • 该算法的范围是什么一一它可以解决什么问题? 它有多普遍?
  • 该算法能否适应处理疑难案例或是否需要用户介入?
  • 用户是否需要查看内部工作原理? 它是一个”黑匣子”吗?
  • 稳定:
  • 算法是否控制舍入和其他错误?
  • 稍后我们将对此进行更多讨论!
    示例:考虑牛顿法
    $$
    x_{n+1}=x_n-\frac{f(x)}{f^{\prime}(x)}, \quad x_0=?
    $$
    找到一个雿 $\mathrm{x}^{\wedge}$ 个功能 $f(x)$ (序列 $x_n$ ,希望收敛到 $\mathrm{x}^{\wedge}$ ). 定最大允许误差 $\epsilon$ ,需要多少次迭代才能使误差小于 $\epsilon$ ? (答案: 错误“二次”地变为零; 如果函数很好,则 有效数字的数量在每一步都加倍)。
    在范围上,我们想知道哪些功能 $f(x)$ 该算法有效(答案: $f \in C^2$ 或有时更少,但是 $f$ 必须至少是可微 的;只有当 $x^$ 是一个简单的零) 关于稳定性,我们想知道初始错误是否在 $x_0$ 或评估错误 $f$ 随着算法的进行而被放大。(答案:它工作正 常)。 在鲁棒性方面,我们想知道当给定一个不好的开始”猜测”时算法是否会失败 $x_0$. (答案: 不是很稳健; 很难 知道有多接近 $x_0$ 必须是并且如果离根太远则发散;需要一些人为的关注)。 简而言之,牛顿法在以下情况下非常准确/高效 $x_0$ 被选择接近 $x^$ 且函数流畅,归零简单。然而,它不是很 健壮,除非加上一个好的选择方案 $x_0$ (这很难设计)。
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金融工程代写

金融工程是使用数学技术来解决金融问题。金融工程使用计算机科学、统计学、经济学和应用数学领域的工具和知识来解决当前的金融问题,以及设计新的和创新的金融产品。

非参数统计代写

非参数统计指的是一种统计方法,其中不假设数据来自于由少数参数决定的规定模型;这种模型的例子包括正态分布模型和线性回归模型。

广义线性模型代考

广义线性模型(GLM)归属统计学领域,是一种应用灵活的线性回归模型。该模型允许因变量的偏差分布有除了正态分布之外的其它分布。

术语 广义线性模型(GLM)通常是指给定连续和/或分类预测因素的连续响应变量的常规线性回归模型。它包括多元线性回归,以及方差分析和方差分析(仅含固定效应)。

有限元方法代写

有限元方法(FEM)是一种流行的方法,用于数值解决工程和数学建模中出现的微分方程。典型的问题领域包括结构分析、传热、流体流动、质量运输和电磁势等传统领域。

有限元是一种通用的数值方法,用于解决两个或三个空间变量的偏微分方程(即一些边界值问题)。为了解决一个问题,有限元将一个大系统细分为更小、更简单的部分,称为有限元。这是通过在空间维度上的特定空间离散化来实现的,它是通过构建对象的网格来实现的:用于求解的数值域,它有有限数量的点。边界值问题的有限元方法表述最终导致一个代数方程组。该方法在域上对未知函数进行逼近。[1] 然后将模拟这些有限元的简单方程组合成一个更大的方程系统,以模拟整个问题。然后,有限元通过变化微积分使相关的误差函数最小化来逼近一个解决方案。

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随机分析代写


随机微积分是数学的一个分支,对随机过程进行操作。它允许为随机过程的积分定义一个关于随机过程的一致的积分理论。这个领域是由日本数学家伊藤清在第二次世界大战期间创建并开始的。

时间序列分析代写

随机过程,是依赖于参数的一组随机变量的全体,参数通常是时间。 随机变量是随机现象的数量表现,其时间序列是一组按照时间发生先后顺序进行排列的数据点序列。通常一组时间序列的时间间隔为一恒定值(如1秒,5分钟,12小时,7天,1年),因此时间序列可以作为离散时间数据进行分析处理。研究时间序列数据的意义在于现实中,往往需要研究某个事物其随时间发展变化的规律。这就需要通过研究该事物过去发展的历史记录,以得到其自身发展的规律。

回归分析代写

多元回归分析渐进(Multiple Regression Analysis Asymptotics)属于计量经济学领域,主要是一种数学上的统计分析方法,可以分析复杂情况下各影响因素的数学关系,在自然科学、社会和经济学等多个领域内应用广泛。

MATLAB代写

MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中,其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括:数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发,包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统,其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题,尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题,而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问,这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展,得到了许多用户的投入。在大学环境中,它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域,MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要,工具箱允许您学习应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数(M 文件)的综合集合,可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。

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