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数学代写|运筹学作业代写operational research代考|Der Simplex-Algorithmus
Wie bereits erwähnt besteht die Grundidee des Simplex-Algorithmus darin, nicht unsystematisch alle Ecken der zulässigen Menge zu berechnen, sondern ausgehend von einer Startecke iterativ nur Ecken mit verbesserten Zielfunktionswerten zu bestimmen. Wir wollen im Folgenden zunächst anhand eines Beispiels auf die bei einem Iterationsschritt anfallenden Rechenschritte näher eingehen.
Beispiel $1.14$ (Beispiel 1.2 – Fortsetzung 8).
Wie wir in Beispiel $1.11$ gesehen hatten, besitzt die zulässige Menge des in kanonischer Form vorliegenden Problems
$$
\begin{aligned}
&\max 3 x_1+4 x_2 \
&\text { s.t. } 3 x_1+2 x_2+x_3 \quad=1200 \
&5 x_1+10 x_2 \quad+x_4=3000 \
&0.5 x_2 \quad+x_5=125 \
&x_1, \ldots, x_5 \geq 0 \
&
\end{aligned}
$$
die Ecke $x=(0,0,1200,3000,125)^{\top}\left(P_1\right.$ in Abb. 1.4). Nach Beispiel $1.13$ erhält man diese Ecke, indem man $x_1$ und $x_2$ als Nichtbasisvariablen und $x_3, x_4, x_5$ als Basisvariablen wählt. Das Gleichungssystem (1.1)-(1.3) liegt außerdem bereits in derjenigen Form vor, in der jede Basisvariable in genau einer Gleichung auftritt, und dies mit Koeffizient eins.
Um aus der bekannten Ecke $x$ eine neue Ecke zu berechnen, wählen wir nicht unsystematisch neue Basis- und Nichtbasisvariablen aus, sondern tauschen eine der vorliegenden Basisvariablen gegen eine Nichtbasisvariable aus. Beispielsweise können wir beschließen, dass $x_5$ die Basis zugunsten von $x_2$ verlässt. In Abbildung 1.4 entspricht dies gerade dem Übergang von Ecke $P_1$ zu Ecke $P_4$. Die zur neuen Ecke gehörige Basismatrix lautet
$$
B=\left(\begin{array}{rrr}
2 & 1 & 0 \
10 & 0 & 1 \
0.5 & 0 & 0
\end{array}\right)
$$
so dass man den Vektor der Basisvariablen $x_B$ als $B^{-1} b$ oder, um die explizite Berechnung der inversen Matrix $B^{-1}$ zu vermeiden, als Lösung des Gleichungssystems $B x_B=b$ bestimmen könnte. Das Simplex-Verfahren geht allerdings noch effizienter vor, indem es ausnutzt, dass die bekannte Ecke $x$ bereits die Lösung des , eng verwandten” Gleichungssystems (1.1)-(1.3) ist.
数学代写|运筹学作业代写operational research代考|Pivotelement und Austauschschritt
Wie wir in Beispiel $1.14$ gesehen hatten, ist der Austausch einer Basis- gegen eine Nichtbasisvariable an einen eindeutig bestimmten Koeffizienten des Gleichungssystems bzw. des Tableaus gebunden. Im Beispiel war dies der Koeffizient $0.5$ in Gleichung (1.3). Er befand sich in der eindeutig bestimmten Zeile, in der die Basisvariable $x_5$ auftrat sowie in der zur Nichtbasisvariable $x_2$ gehörenden Spalte.
Auch allgemein bestimmt die Auswahl einer Zeile des Simplex-Tableaus die Basisvariable, die die Basis verlässt, und die Wahl einer Spalte bestimmt die Nichtbasisvariable, die in die Basis aufgenommen wird. Sie werden Pivotzeile und Pivotspalte genannt. Das eindeutige sowohl in Pivotzeile als auch Pivotspalte befindliche Element des Simplex-Tableaus heißt Pivotelement. Es wird im Simplex-Tableau häufig hervorgehoben, beispielsweise durch Einkreisen oder wie im Folgenden durch graue Unterlegung des Hintergrunds. Im obigen Tableau soll also die Basisvariable $x_{n+r}$ gegen die Nichtbasisvariable $x_s$ ausgetauscht werden.
Die Auswahl der auszutauschenden Variablen ist wesentlich durch das Ergebnis eines Iterationsschrittes motiviert, also durch das entstehende nächste SimplexTableau. Wir befassen uns daher zunächst mit dessen Gestalt. Wird beim Basistausch die Variable $x_s$ zugunsten von $x_{n+r}$ (also mit Pivotelement $a_{r s}$ ) in die Basis aufgenommen, so geht das Simplex-Tableau mittels elementarer MatrixOperationen wie in Beispiel $1.14$ in das Tableau über, wobei die noch fehlenden Einträge $a_{i j}^{\prime}, \bar{c}j^{\prime}, b_i^{\prime}$ und $z_0^{\prime}$ wie folgt bestimmt sind: $$ \begin{aligned} &a{i j}^{\prime}=a_{i j}-\frac{a_{i s} a_{r j}}{a_{r s}} \quad \text { für } \quad i \neq r, j \neq s, \
&\bar{c}j^{\prime}=\bar{c}_j-\frac{\bar{c}_s a{r j}}{a_{r s}} \quad \text { für } \quad j \neq s, \
&b_i^{\prime}=b_i-\frac{a_{i s} b_r}{a_{r s}} \quad \text { für } \quad i \neq r \
&z_0^{\prime}=z_0-\frac{\bar{c}s b_r}{a{r s}} .
\end{aligned}
$$
Hierbei wird wie in Beispiel $1.14$ zunächst die Pivotzeile durch das Pivotelement $a_{r s}$ dividiert, um den Koeffizienten 1 bei der neuen Basisvariable zu erzeugen. Die anderen Einträge ergeben sich daraus, dass durch elementare Umformungen alle Einträge der Pivotspalte (bis auf die gerade erzeugte 1) auf null gebracht werden.
Leichter und frei von Indizes einzuprägen sind die Updateregeln für sämtliche Tableau-Einträge außerhalb von Pivotspalte und Pivotzeile mit Hilfe der sogenannten Dreiecksregel. Sie basiert darauf, dass jede Updateregel für ein Element $d$ die Form
$$
d^{\prime}=d-\frac{d_1 d_2}{a_{r s}}
$$
besitzt, wobei die beiden Faktoren $d_1$ und $d_2$ im Zähler des Bruches schematisch die Ecken eines Dreiecks im Tableau bilden, das durch $d$ und das Pivotelement $a_{r s}$ festgelegt ist. Zur Illustration ist das zum Update $a_{i j}^{\prime}$ für $a_{i j}$ gehörende Dreieck in Abbildung $1.5$ angegeben, wobei in diesem Fall $d=a_{i j}, d_1=a_{i s}$ und $d_2=a_{r j}$ gewählt sind.
运筹学代考
数学代写|运筹学作业代写operational research代考|Der Simplex-Algorithmus
前面已经提到，单纯形算法的基本思想不是不系统地计算允许集合的所有顶点，而是从一个起始顶点开始，迭代 地只确定目标函数值提高的顶点。下面，我们想用一个例子来更详细地介绍迭代步骤中涉及的计算步骤。 例子 $1.14$ (示例 $1.2$ – 续 8)。
正如我们在示例中所做的 $1.11$ 已经以规范形式看到了问题的可行集
$\max 3 x_1+4 x_2 \quad$ s.t. $3 x_1+2 x_2+x_3 \quad=12005 x_1+10 x_2 \quad+x_4=3000 \quad 0.5 x_2 \quad+x_5$
角落 $x=(0,0,1200,3000,125)^{\top}\left(P_1\right.$ 在图 1.4 中）。举个例子1.13一个人获得这个角落 $x_1$ 和 $x_2$ 作为非基 本变量和 $x_3, x_4, x_5$ 被选为基变量。此外，方程组 (1.1) – (1.3) 已经以每个基本变量恰好出现在一个方程中的 形式存在，并且其系数为 1 。
从熟悉的角落绕过 $x$ 为了计算一个新的顶点，我们不会不系统地选择新的基变量和非基变量，而是将现有基变量 之一交换为非基变量。例如，我们可以决定 $x_5$ 赞成的基础 $x_2$ 树叶。在图 $1.4$ 中，这对应于角的过渡 $P_1$ 转角 $P_4$. 与新角相关的基础矩阵是
$$
B=\left(\begin{array}{lllllllll}
2 & 1 & 0 & 10 & 0 & 1 & 0.5 & 0 & 0
\end{array}\right)
$$
所以一个是基本变量的向量 $x_B$ 如果 $B^{-1} b$ 或者，显式计算逆矩阵 $B^{-1}$ 避免作为方程组的解 $B x_B=b$ 可以确定。 然而，单纯形法通过使用已知角点更有效 $x$ 已经是“密切相关”方程组 (1.1)-(1.3) 的解。
数学代写|运筹学作业代写operational research代考|Pivotelement und Austauschschritt
正如我们在示例中所做的 $1.14$ 已经看到，基本变量与非基本变量的交换与方程组或表格的唯一确定系数相关 联。在示例中，这是系数 $0.5$ 在等式 (1.3) 中。它位于唯一定义的行中，其中基本变量 $x_5$ 发生在非基本变量中 $x_2$ 所属栏目。
同样在一般情况下，单纯形图一行的选择决定了离开基数的基变量，列的选择决定了进入基数的非基变量。它们 被称为数据透视行和数据透视列。在主元行和主元列中唯一的单纯形画面元素称为主元。它经常在单纯形画面中 被强调，例如通过圈出它或如下所示，通过使背景变灰来强调。所以在上面的画面中，基本变量 $x_{n+r}$ 针对非基 本变量 $x_s$ 被更换。
要交换的变量的选择基本上是由迭代步骤的结果驱动的，即由产生的下一个单纯形画面驱动。那么我们先来看看 它的形状。替换基数时，变量 $x_s$ 有利于 $x_{n+r}$ （即带有枢轴元素 $a_{r s}$ ) 包含在基础中，单纯形画面是使用初等矩阵 运算完成的，如示例所示 $1.14$ 在画面结束时，仍然缺少条目 $a_{i j}^{\prime}, \bar{c} j^{\prime}, b_i^{\prime}$ 和 $z_0^{\prime}$ 确定如下:
$a i j^{\prime}=a_{i j}-\frac{a_{i s} a_{r j}}{a_{r s}} \quad$ fur $\quad i \neq r, j \neq s, \quad \bar{c} j^{\prime}=\bar{c}j-\frac{\bar{c}_s a r j}{a{r s}} \quad$ fur $\quad j \neq s, b_i^{\prime}=b_i-\frac{a_{i s} b_r}{a_{r s}}$
在这里，例如 $1.14$ 首先通过枢轴元素的枢轴行 $a_{r s}$ 除以在新的基变量中产生系数 1 。其他条目是因为主元列中的 所有条目 (除了刚刚创建的 1) 都通过基本转换归零。
数据透视列和数据透视行之外的所有画面条目的更新规则更容易记住，并且使用所谓的三角形规则没有索引。它 基于一个项目的每个更新规则 $d$ 形式
$$
d^{\prime}=d-\frac{d_1 d_2}{a_{r s}}
$$
拥有，有两个因素 $d_1$ 和 $d_2$ 在分数的分子中示意性地形成画面中三角形的角，该三角形由 $d$ 和枢轴元素 $a_{r s}$ 是固定 的。为了说明，这是为了更新 $a_{i j}^{\prime}$ 为了 $a_{i j}$ 图中对应的三角形 $1.5$ 在这种情况下指定在哪里 $d=a_{i j}, d_1=a_{i s}$ 和 $d_2=a_{r j}$ 被选中。
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金融工程代写
金融工程是使用数学技术来解决金融问题。金融工程使用计算机科学、统计学、经济学和应用数学领域的工具和知识来解决当前的金融问题，以及设计新的和创新的金融产品。
非参数统计代写
非参数统计指的是一种统计方法，其中不假设数据来自于由少数参数决定的规定模型；这种模型的例子包括正态分布模型和线性回归模型。
广义线性模型代考
广义线性模型（GLM）归属统计学领域，是一种应用灵活的线性回归模型。该模型允许因变量的偏差分布有除了正态分布之外的其它分布。
术语 广义线性模型（GLM）通常是指给定连续和/或分类预测因素的连续响应变量的常规线性回归模型。它包括多元线性回归，以及方差分析和方差分析（仅含固定效应）。
有限元方法代写
有限元方法（FEM）是一种流行的方法，用于数值解决工程和数学建模中出现的微分方程。典型的问题领域包括结构分析、传热、流体流动、质量运输和电磁势等传统领域。
有限元是一种通用的数值方法，用于解决两个或三个空间变量的偏微分方程（即一些边界值问题）。为了解决一个问题，有限元将一个大系统细分为更小、更简单的部分，称为有限元。这是通过在空间维度上的特定空间离散化来实现的，它是通过构建对象的网格来实现的：用于求解的数值域，它有有限数量的点。边界值问题的有限元方法表述最终导致一个代数方程组。该方法在域上对未知函数进行逼近。[1] 然后将模拟这些有限元的简单方程组合成一个更大的方程系统，以模拟整个问题。然后，有限元通过变化微积分使相关的误差函数最小化来逼近一个解决方案。
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随机微积分是数学的一个分支，对随机过程进行操作。它允许为随机过程的积分定义一个关于随机过程的一致的积分理论。这个领域是由日本数学家伊藤清在第二次世界大战期间创建并开始的。
时间序列分析代写
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多元回归分析渐进（Multiple Regression Analysis Asymptotics）属于计量经济学领域，主要是一种数学上的统计分析方法，可以分析复杂情况下各影响因素的数学关系，在自然科学、社会和经济学等多个领域内应用广泛。
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