数学代写|运筹学作业代写operational research代考|MATH3202

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  • Foundations of Data Science 数据科学基础
数学代写|运筹学作业代写operational research代考|MATH3202

数学代写|运筹学作业代写operational research代考|Optimalitätsbedingung erster Ordnung

Um zu klären, welche Bedingungen die Funktion $f$ an einem Minimalpunkt erfüllen muss, geht man nach folgendem Ausschlussprinzip vor: Wenn man den Punkt $\bar{x} \in$ $\mathbb{R}^n$ entlang einer Richtung $d \in \mathbb{R}^n$ verlassen kann, während die Funktionswerte fallen, dann kommt $\bar{x}$ nicht als Minimalpunkt in Frage.

Die Punkte, die man beim Verlassen von $\bar{x}$ entlang $d$ besucht, lassen sich per Punktrichtungsform einer Geraden als $\bar{x}+t d$ mit Skalaren $t \geq 0$ beschreiben. Die zugehörigen Funktionswerte von $f$ lauten dann
$$
\varphi_d(t)=f(\bar{x}+t d)
$$
Die Funktion $\varphi_d$ wird auch als eindimensionale Einschränkung von $f$ bezeichnet, da sie bei gegebenen Vektoren $\bar{x}$ und $d$ nur noch von der eindimensionalen Variable $t$ abhängt. Als Verknüpfung der differenzierbaren Funktion $f$ mit der linearen Funktion $\bar{x}+t d$ ist die Funktion $\varphi_d$ differenzierbar. Ihre Ableitung $\varphi_d^{\prime}(0)$ gibt an, mit welcher Steigung die Funktionswerte von $f$ sich ändern, wenn man $\bar{x}$ in Richtung $d$ verlässt. Für den als Richtungsableitung von $f$ an $\bar{x}$ in Richtung $d$ bezeichneten Ausdruck $\varphi_d^{\prime}(0)$ liefert die Kettenregel eine einfache Darstellung als Skalarprodukt, nämlich $\varphi_d^{\prime}(0)=\langle\nabla f(\bar{x}), d\rangle$.

Da die Länge eines Richtungsvektors irrelevant ist, werden wir im Folgenden nur normierte Richtungen benutzen, also $|d|_2=1$ voraussetzen.
Lemma 7.1.
Gegeben seien eine stetig differenzierbare Funktion $f: \mathbb{R}^n \rightarrow \mathbb{R}$ und ein Punkt $\bar{x} \in \mathbb{R}^n$ mit $\nabla f(\bar{x}) \neq 0$. Dann zeigt $\nabla f(\bar{x})$ in die Richtung des steilsten Anstiegs von $f$, und $-\nabla f(\bar{x})$ in die Richtung des steilsten Abstiegs.
Beweis. Nach der Cauchy-Schwarz-Ungleichung gilt für jede Richtung $d \in \mathbb{R}^n$
$$
-|\nabla f(\bar{x})|_2 \cdot|d|_2 \leq\langle\nabla f(\bar{x}), d\rangle \leq|\nabla f(\bar{x})|_2 \cdot|d|_2
$$

woraus mit $|d|_2=1$ die Abschätzungen
$$
-|\nabla f(\bar{x})|_2 \leq\langle\nabla f(\bar{x}), d\rangle \leq|\nabla f(\bar{x})|_2
$$
für die Richtungsableitung folgen. Man macht sich leicht klar, dass im Fall $\nabla f(\bar{x}) \neq$ 0 die Unterschranke für die Wahl $d=-\nabla f(\bar{x}) /|\nabla f(\bar{x})|_2$ angenommen wird, und die Oberschranke für $d=\nabla f(\bar{x}) /|\nabla f(\bar{x})|_2$. Dies bedeutet, dass unter allen Richtungsvektoren $d$ die Wahl $d=\nabla f(\bar{x}) /|\nabla f(\bar{x})|_2$ zum steilsten Anstieg der Funktionswerte führt, wenn man $\bar{x}$ entlang dieser Richtung verlässt. Die Steigung der Funktion entlang dieser Richtung beträgt gerade $|\nabla f(\bar{x})|_2$. Analoges gilt für $d=-\nabla f(\bar{x}) /|\nabla f(\bar{x})|_2$

数学代写|运筹学作业代写operational research代考|Optimalitätsbedingungen zweiter Ordnung

Ob ein kritischer Punkt Minimal-, Maximal- oder Sattelpunkt ist, wird geometrisch durch das Krümmungsverhalten der untersuchten Funktion bestimmt, welches für zweimal stetig differenzierbare Funktionen wiederum in deren Hesse-Matrix codiert ist (vgl. Abschnitt A.6). Um die Kandidatenmenge für globale Minimalpunkte weiter einzuschränken, dehnt man das in Abschnitt 7.2.1 eingeführte Ausschlussprinzip auf Informationen zweiter Ordnung aus, nämlich auf die Hesse-Matrix. Mit Mitteln der Analysis lässt sich zeigen, dass von einem kritischen Punkt $\bar{x}$ aus für jede Richtung $d$ mit $d^{\top} D^2 f(\bar{x}) d<0$ die Funktionswerte entlang $\bar{x}+t d(t \geq 0)$ fallen,

so dass ein solcher kritischer Punkt kein lokaler Minimalpunkt sein kann. Im Umkehrschluss muss an einem lokalen Minimalpunkt für jede Richtung $d \in \mathbb{R}^n$ die Ungleichung $d^{\top} D^2 f(\bar{x}) d \geq 0$ gelten. Dies bedeutet gerade, dass die Hesse-Matrix $D^2 f(\bar{x})$ positiv semidefinit sein muss (vgl. Abschnitt A.4), was im folgenden Satz festgehalten ist.
Satz 7.4 (Notwendige Optimalitätsbedingung zweiter Ordnung).
Der Punkt $\bar{x} \in \mathbb{R}^n$ sei ein lokaler Minimalpunkt von $f$. Dann gilt $\nabla f(\bar{x})=0$, und $D^2 f(\bar{x})$ ist positiv semidefinit.

Die Hesse-Matrizen von $f_1(x)=-x_1^2-x_2^2$ und $f_2(x)=x_1^2-x_2^2$ am kritischen Punkt $\bar{x}=0$ lauten
$$
D^2 f_1(0)=\left(\begin{array}{cc}
-2 & 0 \
0 & -2
\end{array}\right) \quad \text { und } \quad D^2 f_2(0)=\left(\begin{array}{cc}
2 & 0 \
0 & -2
\end{array}\right) \text {. }
$$
Da sie negative Eigenwerte besitzen, ist keine der beiden Matrizen positiv semidefinit (vgl. Abschnitt A.7), nach Satz $7.4$ kann $\bar{x}-0$ also weder lokaler Minimalpunkt von $f_1$ noch von $f_2$ sein.

Die entsprechende Verfeinerung von Algorithmus $7.1$ mit Informationen zweiter Ordnung ist in Algorithmus $7.2$ angegeben. Die drei Hauptnachteile von Algorithmus 7.1, nämlich die fehlende Identifizierung der Unlösbarkeit des Optimierungsproblems, die Notwendigkeit, die Kandidatenmenge $K$ komplett zu berechnen, sowie die Schwierigkeit, überhaupt kritische Punkte zu bestimmen, werden auch durch Algorithmus $7.2$ nicht ausgeräumt. Sein Vorteil gegenüber Algorithmus $7.1$ ist die üblicherweise erheblich kleinere Menge $K$.

数学代写|运筹学作业代写operational research代考|MATH3202

运筹学代考

数学代写|运筹学作业代写operational research代考|Optimalitätsbedingung erster Ordnung

阐明函数的条件 $f$ 必须在最低限度上得到满足,根据以下排除原则进行:如果一个人有这个点 $\bar{x} \in \mathbb{R}^n$ 沿 着一个方向 $d \in \mathbb{R}^n$ 可以在函数值下降时离开,然后来 $\bar{x}$ 不考虑最低点。
离开时获得的积分 $\bar{x}$ 沿着 $d$ 访问过的,可以写成直线的点方向形式 $\bar{x}+t d$ 有标量 $t \geq 0$ 描述。的关联函数 值 $f$ 然后是
$$
\varphi_d(t)=f(\bar{x}+t d)
$$
功能 $\varphi_d$ 也称为一维约束 $f$ 表示,因为它们被赋予向量 $\bar{x}$ 和 $d$ 仅来自一维变量 $t$ 要看。作为可微函数的组合 $f$ 与线性函数 $\bar{x}+t d$ 是函数 $\varphi_d$ 可区分的。你的推导 $\varphi_d^{\prime}(0)$ 表示函数值的斜率 $f$ 当你改变 $\bar{x}$ 在这个方向上 $d$ 树 叶。对于 作为的方向导数 $f$ 个 $\bar{x}$ 在这个方向上 $d$ 指定表达 $\varphi_d^{\prime}(0)$ 链式法则给出了标量积的简单表示,即 $\varphi_d^{\prime}(0)=\langle\nabla f(\bar{x}), d\rangle$
由于方向向量的长度无关紧要,下面我们将只使用归一化方向,即 $|d|_2=1$ 认为。 引理 7.1。
给出连续可微分函数 $f: \mathbb{R}^n \rightarrow \mathbb{R}$ 和一点 $\bar{x} \in \mathbb{R}^n$ 和 $\nabla f(\bar{x}) \neq 0$. 然后显示 $\nabla f(\bar{x})$ 在最陡峭的攀登方向 $f$ ,和 $-\nabla f(\bar{x})$ 在最陡峭的下降方向。
证明。根据 Cauchy-Schwarz 不等式适用于每个方向 $d \in \mathbb{R}^n$
$$
-|\nabla f(\bar{x})|_2 \cdot|d|_2 \leq\langle\nabla f(\bar{x}), d\rangle \leq|\nabla f(\bar{x})|_2 \cdot|d|_2
$$
从什么与 $|d|_2=1$ 估计数
$$
-|\nabla f(\bar{x})|_2 \leq\langle\nabla f(\bar{x}), d\rangle \leq|\nabla f(\bar{x})|_2
$$
按照方向推导。人们很容易意识到,在这种情况下 $\nabla f(\bar{x}) \neq 0$ 选择的下界 $d=-\nabla f(\bar{x}) /|\nabla f(\bar{x})|_2$ 假 设,并且上界为 $d=\nabla f(\bar{x}) /|\nabla f(\bar{x})|_2$. 这意味着在所有方向向量下 $d$ 可选的 $d=\nabla f(\bar{x}) /|\nabla f(\bar{x})|_2$ 导 致函数值的最大增加,如果一个 $\bar{x}$ 沿看这个方向离开。函数沿这个方向的斜率是偶数 $|\nabla f(\bar{x})|_2$. 同样适用 于 $d=-\nabla f(\bar{x}) /|\nabla f(\bar{x})|_2$

数学代写|运筹学作业代写operational research代考|Optimalitätsbedingungen zweiter Ordnung

临界点是最小值、最大值还是鞍点由所研究函数的曲率行为在几何上确定,而曲率行为又被编码在 Hesse 矩阵中,用于可以连续微分两次的函数(参见第 A.6 节) . 为了进一步限制全局最小点候选集,将7.2.1节 介绍的排除原则扩展到二阶信息,即Hessian矩阵。通过分析可以看出,从临界点 $\bar{x}$ 每个方向 $d$ 和 $d^{\top} D^2 f(\bar{x}) d<0$ 沿着函数值 $\bar{x}+t d(t \geq 0)$ 堕落,
使得这样的临界点不可能是局部极小点。相反,在每个方向的局部最小点 $d \in \mathbb{R}^n$ 不平等 $d^{\top} D^2 f(\bar{x}) d \geq 0$ 有效。这只是意味着 Hessian 矩阵 $D^2 f(\bar{x})$ 必须是半正定的(参见第 A.4 节),这在 以下定理中说明。
定理 $7.4$ (必要的二阶最优性条件)。
重点 $\bar{x} \in \mathbb{R}^n$ 是局部最小点 $f$. 然后申请 $\nabla f(\bar{x})=0$ , 和 $D^2 f(\bar{x})$ 是半正定的。
Hesse 矩阵 $f_1(x)=-x_1^2-x_2^2$ 和 $f_2(x)=x_1^2-x_2^2$ 在关键时刻 $\bar{x}=0$ 戒指
$$
D^2 f_1(0)=\left(\begin{array}{llll}
-2 & 0 & 0 & -2
\end{array}\right) \text { und } D^2 f_2(0)=\left(\begin{array}{llll}
2 & 0 & 0 & -2
\end{array}\right) .
$$
由于它们具有负特征值,因此两个矩阵都不是半正定矩阵(参见第 $\mathrm{A} .7$ 节),由定理 $7.4$ 能够 $\bar{x}-0$ 所以 既不是局部最小点 $f_1$ 还是从 $f_2$ 是。
相应的算法细化 $7.1$ 二阶信息在算法中 $7.2$ 指定的。算法 $7.1$ 的三个主要缺点,即缺乏对优化问题不可解性 的识别,需要确定候选集 $K$ 完全计算,以及确定临界点的难度,也由算法考虑7.2末清除。它相对于算法 的优势 $7.1$ 通常是小得多的数量 $K$.

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金融工程代写

金融工程是使用数学技术来解决金融问题。金融工程使用计算机科学、统计学、经济学和应用数学领域的工具和知识来解决当前的金融问题,以及设计新的和创新的金融产品。

非参数统计代写

非参数统计指的是一种统计方法,其中不假设数据来自于由少数参数决定的规定模型;这种模型的例子包括正态分布模型和线性回归模型。

广义线性模型代考

广义线性模型(GLM)归属统计学领域,是一种应用灵活的线性回归模型。该模型允许因变量的偏差分布有除了正态分布之外的其它分布。

术语 广义线性模型(GLM)通常是指给定连续和/或分类预测因素的连续响应变量的常规线性回归模型。它包括多元线性回归,以及方差分析和方差分析(仅含固定效应)。

有限元方法代写

有限元方法(FEM)是一种流行的方法,用于数值解决工程和数学建模中出现的微分方程。典型的问题领域包括结构分析、传热、流体流动、质量运输和电磁势等传统领域。

有限元是一种通用的数值方法,用于解决两个或三个空间变量的偏微分方程(即一些边界值问题)。为了解决一个问题,有限元将一个大系统细分为更小、更简单的部分,称为有限元。这是通过在空间维度上的特定空间离散化来实现的,它是通过构建对象的网格来实现的:用于求解的数值域,它有有限数量的点。边界值问题的有限元方法表述最终导致一个代数方程组。该方法在域上对未知函数进行逼近。[1] 然后将模拟这些有限元的简单方程组合成一个更大的方程系统,以模拟整个问题。然后,有限元通过变化微积分使相关的误差函数最小化来逼近一个解决方案。

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随机分析代写


随机微积分是数学的一个分支,对随机过程进行操作。它允许为随机过程的积分定义一个关于随机过程的一致的积分理论。这个领域是由日本数学家伊藤清在第二次世界大战期间创建并开始的。

时间序列分析代写

随机过程,是依赖于参数的一组随机变量的全体,参数通常是时间。 随机变量是随机现象的数量表现,其时间序列是一组按照时间发生先后顺序进行排列的数据点序列。通常一组时间序列的时间间隔为一恒定值(如1秒,5分钟,12小时,7天,1年),因此时间序列可以作为离散时间数据进行分析处理。研究时间序列数据的意义在于现实中,往往需要研究某个事物其随时间发展变化的规律。这就需要通过研究该事物过去发展的历史记录,以得到其自身发展的规律。

回归分析代写

多元回归分析渐进(Multiple Regression Analysis Asymptotics)属于计量经济学领域,主要是一种数学上的统计分析方法,可以分析复杂情况下各影响因素的数学关系,在自然科学、社会和经济学等多个领域内应用广泛。

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