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常微分方程是为一个或多个独立变量的函数及其导数定义的方程。y’=x+1是一个常微分方程的例子。
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数学代写|常微分方程代写ordinary differential equation代考|Basic Notions Definitions
A first-order differential equation is said to be linear if and only if it can be written as
$$
\frac{d y}{d x}=f(x)-p(x) y
$$
or, equivalently, as
$$
\frac{d y}{d x}+p(x) y=f(x)
$$
where $p(x)$ and $f(x)$ are known functions of $x$ only.
Equation (5.2) is normally considered to be the standard form for first-order linear equations. Note that the only appearance of $y$ in a linear equation (other than in the derivative) is in a term where $y$ alone is multiplied by some formula of $x$. If there are any other functions of $y$ appearing in the equation after you’ve isolated the derivative, then the equation is not linear.
Example 5.1: Consider the differential equation
$$
x \frac{d y}{d x}+4 y-x^3=0 .
$$
Solving for the derivative, we get
$$
\frac{d y}{d x}=\frac{x^3-4 y}{x}=x^2-\frac{4}{x} y,
$$
which is
$$
\frac{d y}{d x}=f(x)-p(x) y
$$
with
$$
p(x)=\frac{4}{x} \quad \text { and } \quad f(x)=x^2 .
$$
So this first-order differential equation is linear. Adding $4 / x \cdot y$ to both sides, we then get the equation in standard form,
$$
\frac{d y}{d x}+\frac{4}{x} y=x^2
$$
On the other hand
$$
\frac{d y}{d x}+\frac{4}{x} y^2=x^2
$$
is not linear because of the $y^2$.
In testing whether a given first-order differential equation is linear, it does not matter whether you attempt to rewrite the equation as
$$
\frac{d y}{d x}=f(x)-p(x) y
$$
or as
$$
\frac{d y}{d x}+p(x) y=f(x) .
$$
数学代写|常微分方程代写ordinary differential equation代考|Deriving the Trick for Solving
Suppose we want to solve some first-order linear equation
$$
\frac{d y}{d x}+p y=f
$$
(for brevity, $p=p(x)$ and $f=f(x)$ ). To avoid triviality, let’s assume $p(x)$ is not always 0 . Whether $f(x)$ vanishes or not will not be relevant.
The small trick to solving equation (5.3) comes from the product rule for derivatives: If $\mu$ and $y$ are two functions of $x$, then
$$
\frac{d}{d x}[\mu y]=\frac{d \mu}{d x} y+\mu \frac{d y}{d x} .
$$
Rearranging the terms on the right side, we get
$$
\frac{d}{d x}[\mu y]=\mu \frac{d y}{d x}+\frac{d \mu}{d x} y,
$$
and the right side of this equation looks a little like the left side of equation (5.3). To get a better match, let’s multiply equation (5.3) by $\mu$,
$$
\mu \frac{d y}{d x}+\mu p y=\mu f .
$$
With luck, the left side of this equation will match the right side of the last equation for the product rule, and we will have
$$
\begin{aligned}
\frac{d}{d x}[\mu y] & =\mu \frac{d y}{d x}+\frac{d \mu}{d x} y \
& =\mu \frac{d y}{d x}+\mu p y=\mu f
\end{aligned}
$$
This, of course, requires that
$$
\frac{d \mu}{d x}=\mu p
$$
Assuming this requirement is met, the equations in (5.4) hold. Cutting out the middle of that (and recalling that $f$ and $\mu$ are functions of $x$ only), we see that the differential equation reduces to
$$
\frac{d}{d x}[\mu y]=\mu(x) f(x)
$$
The advantage of having our differential equation in this form is that we can actually integrate both sides with respect to $x$, with the left side being especially easy since it is just a derivative with respect to $x$
The function $\mu$ is called an integrating factor for the differential equation. As noted in the derivation, it must satisfy
$$
\frac{d \mu}{d x}=\mu p
$$
常微分方程代写
数学代写|常微分方程代写ordinary differential equation代考|Basic Notions Definitions
一个一阶微分方程是线性的当且仅当它可以写成
$$
\frac{d y}{d x}=f(x)-p(x) y
$$
或者，等价地，作为
$$
\frac{d y}{d x}+p(x) y=f(x)
$$
在哪里 $p(x)$ 和 $f(x)$ 是已知函数 $x$ 仅有的。
方程 (5.2) 通常被认为是一阶线性方程的标准形式。请注意，唯一的外观 $y$ 在线性方程中（导数除外) 是 在一项中 $y$ 单独乘以某个公式 $x$. 如果还有其他功能 $y$ 在分离导数后出现在方程式中，则方程式不是线性 的。
例 5.1：考虑微分方程
$$
x \frac{d y}{d x}+4 y-x^3=0 .
$$
求解导数，我们得到
$$
\frac{d y}{d x}=\frac{x^3-4 y}{x}=x^2-\frac{4}{x} y
$$
这是
$$
\frac{d y}{d x}=f(x)-p(x) y
$$
和
$$
p(x)=\frac{4}{x} \quad \text { and } \quad f(x)=x^2
$$
所以这个一阶微分方程是线性的。添加 $4 / x \cdot y$ 两边，然后我们得到标准形式的方程，
$$
\frac{d y}{d x}+\frac{4}{x} y=x^2
$$
另一方面
$$
\frac{d y}{d x}+\frac{4}{x} y^2=x^2
$$
不是线性的，因为 $y^2$.
在检验给定的一阶微分方程是否为线性时，是否尝试将方程重写为并不重要
$$
\frac{d y}{d x}=f(x)-p(x) y
$$
或者作为
$$
\frac{d y}{d x}+p(x) y=f(x)
$$
数学代写|常微分方程代写ordinary differential equation代考|Deriving the Trick for Solving
假设我们要求解一些一阶线性方程
$$
\frac{d y}{d x}+p y=f
$$
(为简洁起见， $p=p(x)$ 和 $f=f(x)$ ). 为了避免琐碎，让我们假设 $p(x)$ 并不总是 0 。无论 $f(x)$ 消失与 否无关紧要。
求解方程 (5.3) 的小窍门来自导数的乘积法则：如果 $\mu$ 和 $y$ 是的两个函数 $x$ ，然后
$$
\frac{d}{d x}[\mu y]=\frac{d \mu}{d x} y+\mu \frac{d y}{d x} .
$$
重新排列右边的项，我们得到
$$
\frac{d}{d x}[\mu y]=\mu \frac{d y}{d x}+\frac{d \mu}{d x} y
$$
这个等式的右边看起来有点像等式 (5.3) 的左边。为了获得更好的匹配，让我们将等式 (5.3) 乘以 $\mu$,
$$
\mu \frac{d y}{d x}+\mu p y=\mu f
$$
幸运的话，这个等式的左边将与最后一个乘积规则等式的右边相匹配，我们将有
$$
\frac{d}{d x}[\mu y]=\mu \frac{d y}{d x}+\frac{d \mu}{d x} y \quad=\mu \frac{d y}{d x}+\mu p y=\mu f
$$
当然，这需要
$$
\frac{d \mu}{d x}=\mu p
$$
假设满足此要求，则 (5.4) 中的等式成立。切掉中间部分（并回忆起 $f$ 和 $\mu$ 是函数 $x$ 只有)，我们看到微分 方程减少到
$$
\frac{d}{d x}[\mu y]=\mu(x) f(x)
$$
这种形式的微分方程的优点是我们实际上可以对两边进行积分 $x$ ，左边特别容易，因为它只是关于 $x$
功能 $\mu$ 称为微分方程的积分因子。如推导中所述，它必须满足
$$
\frac{d \mu}{d x}=\mu p
$$
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金融工程是使用数学技术来解决金融问题。金融工程使用计算机科学、统计学、经济学和应用数学领域的工具和知识来解决当前的金融问题，以及设计新的和创新的金融产品。
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非参数统计指的是一种统计方法，其中不假设数据来自于由少数参数决定的规定模型；这种模型的例子包括正态分布模型和线性回归模型。
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术语 广义线性模型（GLM）通常是指给定连续和/或分类预测因素的连续响应变量的常规线性回归模型。它包括多元线性回归，以及方差分析和方差分析（仅含固定效应）。
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有限元方法（FEM）是一种流行的方法，用于数值解决工程和数学建模中出现的微分方程。典型的问题领域包括结构分析、传热、流体流动、质量运输和电磁势等传统领域。
有限元是一种通用的数值方法，用于解决两个或三个空间变量的偏微分方程（即一些边界值问题）。为了解决一个问题，有限元将一个大系统细分为更小、更简单的部分，称为有限元。这是通过在空间维度上的特定空间离散化来实现的，它是通过构建对象的网格来实现的：用于求解的数值域，它有有限数量的点。边界值问题的有限元方法表述最终导致一个代数方程组。该方法在域上对未知函数进行逼近。[1] 然后将模拟这些有限元的简单方程组合成一个更大的方程系统，以模拟整个问题。然后，有限元通过变化微积分使相关的误差函数最小化来逼近一个解决方案。
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随机微积分是数学的一个分支，对随机过程进行操作。它允许为随机过程的积分定义一个关于随机过程的一致的积分理论。这个领域是由日本数学家伊藤清在第二次世界大战期间创建并开始的。
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随机过程，是依赖于参数的一组随机变量的全体，参数通常是时间。 随机变量是随机现象的数量表现，其时间序列是一组按照时间发生先后顺序进行排列的数据点序列。通常一组时间序列的时间间隔为一恒定值（如1秒，5分钟，12小时，7天，1年），因此时间序列可以作为离散时间数据进行分析处理。研究时间序列数据的意义在于现实中，往往需要研究某个事物其随时间发展变化的规律。这就需要通过研究该事物过去发展的历史记录，以得到其自身发展的规律。
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多元回归分析渐进（Multiple Regression Analysis Asymptotics）属于计量经济学领域，主要是一种数学上的统计分析方法，可以分析复杂情况下各影响因素的数学关系，在自然科学、社会和经济学等多个领域内应用广泛。
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