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常微分方程是为一个或多个独立变量的函数及其导数定义的方程。y’=x+1是一个常微分方程的例子。
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数学代写|常微分方程代写ordinary differential equation代考|Separation of variables
Consider the ODE of the form
$$
\frac{d}{d x} y(x)=\frac{f(x)}{g(y(x))} .
$$
We assume that $f:\left(a_0, a_1\right) \rightarrow \mathbb{R}$ and $g:\left(b_0, b_1\right) \rightarrow(0, \infty)$ are continuous functions. Wè also assume that there exists $y_0$ in the interval $\left(b_0, b_1\right)$ such that
$$
g\left(y_0\right) \neq 0 .
$$
We define a function $F:\left(a_0, a_1\right) \times\left(b_0, b_1\right) \rightarrow \mathbb{R}$ by
$$
F(x, y)=\int_{y_0}^y g(\xi) d \xi-\int_{x_0}^x f(s) d s, x \in\left(a_0, a_1\right), y \in\left(b_0, b_1\right) .
$$
Since $f$ and $g$ are continuous, $F$ is a $C^1$-function. Moreover for every $x_0 \in$ $\left(a_0, a_1\right)$ we have
$$
\frac{\partial F}{\partial y}\left(x_0, y_0\right)=g\left(y_0\right) \neq 0 \text {. }
$$
Therefore by the implicit function theorem (see Appendix C) there exists $\delta>0$ and a $C^1$-function $\phi:\left(x_0-\delta, x_0+\delta\right) \rightarrow \mathbb{R}$ such that
$$
F(x, \phi(x))=\int_{y_0}^{\phi(x)} g(\xi) d \xi-\int_{x_0}^x f(s) d s=F\left(x_0, y_0\right), x \in\left(x_0-\delta, x_0+\delta\right) .
$$
One can easily prove that $\phi$ is a solution to (2.1). For, on differentiating (2.3) with respect to $x$ (using the Leibniz rule of differentiation ${ }^1$ ) we get
$$
\phi^{\prime}(x) g(\phi(x))-f(x)=0, x \in\left(x_0-\delta, x_0+\delta\right) .
$$
This proves that the function $\phi$ which is implicitly given by the relation $F(x, y)=F\left(x_0, y_0\right)$, is a solution to (2.1). In other words, the relation
$$
\int^y g(y) d y=\int^x f(x) d x+c, c \in \mathbb{R},
$$
where the above integrals are indefinite integrals, defines a solution to (2.1). We now present some examples where this technique is demonstrated.
数学代写|常微分方程代写ordinary differential equation代考|Exact cquations
In this subsection, we present another special form of differential equations called exact equations which can be solved easily. Let $M, N$ be continuous functions in a rectangle
$$
R=\left{(x, y):\left|x-x_0\right| \leq a,\left|y-y_0\right| \leq b\right},
$$
and $N$ does not vanish in $R$. An ODE of the form
$$
N(x, y(x)) y^{\prime}(x)+M(x, y(x))=0,
$$
is said to be exact if there exists a $C^1$-function $F: R \rightarrow \mathbb{R}$ such that
$$
\frac{\partial F}{\partial x}(x, y)=M(x, y), \quad \frac{\partial F}{\partial y}(x, y)=N(x, y),(x, y) \in R .
$$
Example 2.1.8. Show that $y(x) y^{\prime}(x)+x=0$ is an exact equation.
Solution. In order to prove this, we first compare the given equation with (2.18) to get $M(x, y)=x$ and $N(x, y)=y$. It is easy to verify that
$$
F(x, y)=\frac{x^2+y^2}{2},
$$
satisfies (2.19). Hence the given equation is exact.
We now establish the connection between $F$ and the solutions to (2.18). To this end, we suppose (2.18) is exact and $F$ is known to us. We observe that $\frac{\partial F}{\partial y}=N \neq 0$, in $R$. Let $(\tilde{x}, \tilde{y}) \in \mathbb{R}^2$ satisfy $\left|x_0-\tilde{x}\right|<a$ and $\left|y_0-\tilde{y}\right|<b$. Then by the implicit function theorem there exists an interval $(\tilde{x}-\delta, \tilde{x}+\delta)$, which is denoted by $J$, and a $C^1$-function $\phi: J \rightarrow \mathbb{R}$ such that
$$
F(x, \phi(x))=F(\tilde{x}, \tilde{y}), x \in J .
$$
Claim. The function $\phi$ is a solution to (2.18).
For, on differentiating (2.20) with respect to $x$ we get
$$
\frac{\partial F}{\partial x}(x, \phi(x))+\frac{\partial F}{\partial y}(x, \phi(x)) \phi^{\prime}(x)=0, x \in J .
$$
Thus we have
$$
M(x, \phi(x))+N(x, \phi(x)) \phi^{\prime}(x)=0, x \in J,
$$
which proves that $\phi$ is a solution to (2.18). Hence the claim is proved.
Now, we shall revisit Example 2.1.8 and solve the ODE therein.
常微分方程代写
数学代写|常微分方程代写ordinary differential equation代考|Separation of variables
考虑形式的 ODE
$$
\frac{d}{d x} y(x)=\frac{f(x)}{g(y(x))}
$$
我们假设 $f:\left(a_0, a_1\right) \rightarrow \mathbb{R}$ 和 $g:\left(b_0, b_1\right) \rightarrow(0, \infty)$ 是连续函数。我们还假设存在 $y_0$ 在区间 $\left(b_0, b_1\right)$ 这样
$$
g\left(y_0\right) \neq 0 .
$$
我们定义一个函数 $F:\left(a_0, a_1\right) \times\left(b_0, b_1\right) \rightarrow \mathbb{R}$ 经过
$$
F(x, y)=\int_{y_0}^y g(\xi) d \xi-\int_{x_0}^x f(s) d s, x \in\left(a_0, a_1\right), y \in\left(b_0, b_1\right) .
$$
自从 $f$ 和 $g$ 是连续的， $F$ 是一个 $C^1$-功能。此外对于每一个 $x_0 \in\left(a_0, a_1\right)$ 我们有
$$
\frac{\partial F}{\partial y}\left(x_0, y_0\right)=g\left(y_0\right) \neq 0 .
$$
因此根据隐函数定理 (见附录 C) 存在 $\delta>0$ 和一个 $C^1$-功能 $\phi:\left(x_0-\delta, x_0+\delta\right) \rightarrow \mathbb{R}$ 这样
$$
F(x, \phi(x))=\int_{y_0}^{\phi(x)} g(\xi) d \xi-\int_{x_0}^x f(s) d s=F\left(x_0, y_0\right), x \in\left(x_0-\delta, x_0+\delta\right)
$$
可以很容易地证明 $\phi$ 是 (2.1) 的解。因为，关于微分 (2.3) 关于 $x$ (使用莱布尼兹微分法则 ${ }^1$ ) 我们得到
$$
\phi^{\prime}(x) g(\phi(x))-f(x)=0, x \in\left(x_0-\delta, x_0+\delta\right) .
$$
这证明了函数 $\phi$ 这是由关系隐式给出的 $F(x, y)=F\left(x_0, y_0\right)$ ，是 (2.1) 的解。换句话说，关系
$$
\int^y g(y) d y=\int^x f(x) d x+c, c \in \mathbb{R}
$$
其中上述积分是不定积分，定义了 (2.1) 的解。我们现在提供一些演示此技术的示例。
数学代写|常微分方程代写ordinary differential equation代考|Exact cquations
在本小节中，我们介绍另一种特殊形式的微分方程，称为精确方程，它很容易求解。让 $M, N$ 是矩形内的 连续函数
和 $N$ 不会消失 $R$. 形式的 $\mathrm{ODE}$
$$
N(x, y(x)) y^{\prime}(x)+M(x, y(x))=0,
$$
如果存在 $C^1$-功能 $F: R \rightarrow \mathbb{R}$ 这样
$$
\frac{\partial F}{\partial x}(x, y)=M(x, y), \quad \frac{\partial F}{\partial y}(x, y)=N(x, y),(x, y) \in R .
$$
示例 2.1.8。显示 $y(x) y^{\prime}(x)+x=0$ 是一个精确方程。
解决方案。为了证明这一点，我们首先将给定的方程与 (2.18) 进行比较得到 $M(x, y)=x$ 和 $N(x, y)=y$. 很容易验证
$$
F(x, y)=\frac{x^2+y^2}{2}
$$
满足 (2.19)。因此给定的方程是精确的。
我们现在建立之间的连接 $F$ 以及 (2.18) 的解。为此，我们假设 (2.18) 是精确的并且 $F$ 为我们所熟知。我们 观察到 $\frac{\partial F}{\partial y}=N \neq 0$ ， 在 $R$. 让 $(\tilde{x}, \tilde{y}) \in \mathbb{R}^2$ 满足 $\left|x_0-\tilde{x}\right|<a$ 和 $\left|y_0-\tilde{y}\right|<b$. 则由隐函数定理存在 区间 $(\tilde{x}-\delta, \tilde{x}+\delta)$ ，表示为 $J$ ，和一个 $C^1$-功能 $\phi: J \rightarrow \mathbb{R}$ 这样
$$
F(x, \phi(x))=F(\tilde{x}, \tilde{y}), x \in J .
$$
宣称。功能 $\phi$ 是 (2.18) 的解。
因为，关于微分 $(2.20)$ 关于 $x$ 我们得到
$$
\frac{\partial F}{\partial x}(x, \phi(x))+\frac{\partial F}{\partial y}(x, \phi(x)) \phi^{\prime}(x)=0, x \in J .
$$
因此我们有
$$
M(x, \phi(x))+N(x, \phi(x)) \phi^{\prime}(x)=0, x \in J,
$$
这证明 $\phi$ 是 (2.18) 的解。因此，索赔得到证明。
现在，我们将重新审视示例 $2.1 .8$ 并求解其中的 ODE。
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金融工程代写
金融工程是使用数学技术来解决金融问题。金融工程使用计算机科学、统计学、经济学和应用数学领域的工具和知识来解决当前的金融问题，以及设计新的和创新的金融产品。
非参数统计代写
非参数统计指的是一种统计方法，其中不假设数据来自于由少数参数决定的规定模型；这种模型的例子包括正态分布模型和线性回归模型。
广义线性模型代考
广义线性模型（GLM）归属统计学领域，是一种应用灵活的线性回归模型。该模型允许因变量的偏差分布有除了正态分布之外的其它分布。
术语 广义线性模型（GLM）通常是指给定连续和/或分类预测因素的连续响应变量的常规线性回归模型。它包括多元线性回归，以及方差分析和方差分析（仅含固定效应）。
有限元方法代写
有限元方法（FEM）是一种流行的方法，用于数值解决工程和数学建模中出现的微分方程。典型的问题领域包括结构分析、传热、流体流动、质量运输和电磁势等传统领域。
有限元是一种通用的数值方法，用于解决两个或三个空间变量的偏微分方程（即一些边界值问题）。为了解决一个问题，有限元将一个大系统细分为更小、更简单的部分，称为有限元。这是通过在空间维度上的特定空间离散化来实现的，它是通过构建对象的网格来实现的：用于求解的数值域，它有有限数量的点。边界值问题的有限元方法表述最终导致一个代数方程组。该方法在域上对未知函数进行逼近。[1] 然后将模拟这些有限元的简单方程组合成一个更大的方程系统，以模拟整个问题。然后，有限元通过变化微积分使相关的误差函数最小化来逼近一个解决方案。
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随机分析代写
随机微积分是数学的一个分支，对随机过程进行操作。它允许为随机过程的积分定义一个关于随机过程的一致的积分理论。这个领域是由日本数学家伊藤清在第二次世界大战期间创建并开始的。
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