数学代写|常微分方程代写ordinary differential equation代考|MATH53

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常微分方程是为一个或多个独立变量的函数及其导数定义的方程。y’=x+1是一个常微分方程的例子。

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  • Foundations of Data Science 数据科学基础
数学代写|常微分方程代写ordinary differential equation代考|MATH53

数学代写|常微分方程代写ordinary differential equation代考|Ordinary differential equations

The term ‘equatio differentialis’ (differential equations) was first used by Leibniz in 1676 to denote a relationship between the differentials of two variables. Very soon, this restricted usage was abandoned. Roughly speaking, differential equations are the equations involving one or more dependent variables (unknowns) and their derivatives/partial derivatives. If the unknown in the differential equation is a function of only one variable, then such differential equation is called an ordinary differential equation (ODE).
Notation: Unless specified otherwise, the unknown in the differential equation is denoted by $y$. Let $\mathbb{R}$ denote the set of real numbers, and $J$ be an open interval in $\mathbb{R}$. Throughout the book we denote the derivative of the function $y: J \rightarrow \mathbb{R}$ with respect to $x$ by either
$$
\frac{d}{d x} y(x) \text { or } \frac{d y}{d x}(x) \text { or } y^{\prime}(x) .
$$
When there is no ambiguity regarding the argument in the function $y$, we denote the derivative simply with $\frac{d y}{d x}$ or $y^{\prime}$. Similarly, let $y^{\prime \prime}$ and $y^{\prime \prime \prime}$ denote the second and the third derivative of $y$, respectively. In general, for $k \in \mathbb{N}$, $y^{(k)}$ or $\frac{d^k y}{d x^k}$ denotes the $k$-th order derivative of $y$.
With this notation, examples of ODEs are
$$
\begin{gathered}
\frac{d}{d x} y(x)=\left(\frac{d^2}{d x^2} y(x)\right)^5+y^2(x), x \in(0,1), \
y^{\prime}=3 y^2+(\sin x) y+\log \left(\cos ^2 y\right), x \in \mathbb{R} .
\end{gathered}
$$
The order of an ODE is the largest number $k$ such that the $k$-th order derivative of the unknown is present in the ODE. For example, the order of (1.1) is two.
At the beginning, it may look like tools from the integral calculus are sufficient to study ODEs. But very soon one realizes that to develop methods to solve or analyze them, one needs notions from subjects like analysis, linear algebra, etc. In fact, the study of differential equations motivated crucial development of many areas of mathematics: the theory of Fourier series and more general orthogonal expansions, integral transformations, Hilbert spaces, and Lebesgue integration to name a few.

数学代写|常微分方程代写ordinary differential equation代考|Applications of ODEs

Many laws in physics, chemistry, biology etc., can be easily expressed using differential equations. One of the reasons for this is the following. The quantity $y^{\prime}(x)$ can be interpreted as the rate of change of the quantity $y$ with respect to the quantity $x$. In many natural phenomena, there is a relationship between the unknowns (which are relatively difficult to measure), the rate of change of the unknowns with respect to a known quantity, and the other known quantities (which are easy to measure) that govern the process. When this relationship is expressed in mathematics, it turns out to be a (system of) differential equation(s). Therefore the study of ODEs is crucial in understanding physical sciences. In fact, much of the theory developed in ODEs owes to the questions/situations raised in the study of subjects like mechanics, astronomy, electronics etc.
Listing all the available ODE models in any branch of science is an impossible task. Therefore in this chapter, we present a few ODE models which arise from physics and biology which can be solved or analyzed using the material in the book. We begin with models from physics.

Example 1.2.1 (Radioactivity and half-life). Let $N(t)$ denote the number of radioactive active atoms in a substance of a fixed quantity at time $t$. Then a model for the decay of the number of radioactive atoms is
$$
\begin{gathered}
\frac{d}{d t} N(t)=-k N(t), t>0, \
N\left(t_0\right)=N_0,
\end{gathered}
$$
where $k>0$. Equation (1.3b) is known as the initial condition. This kind of models are studied in detail in Chapter 2, Subsection 2.1.3. One can easily verify that the solution to (1.3a) is
$$
N(t)=N_0 e^{-k\left(t-t_0\right)}, t>t_0 .
$$
The half-life of a specific radioactive isotope is defined as the time taken for half of its radioactive atoms to decay. In fact, the half-life is independent of the quantity of the radioactive material. We now calculate the half-life of an isotope using (1.3a) if $k$ is known explicitly. For, it is enough to find $T$ at which $N(T)=\frac{N_0}{2}$. From (1.4) we have
$$
N(T)=N_0 e^{-k\left(T-t_0\right)}=\frac{N_0}{2}
$$

数学代写|常微分方程代写ordinary differential equation代考|MATH53

常微分方程代写

数学代写|常微分方程代写ordinary differential equation代考|Ordinary differential equations

莱布尼茨于 1676 年首次使用术语“equatio differentialis”(微分方程)来表示两个变量的微分之间的关 系。很快,这种限制性使用被放弃了。粗略地说,微分方程是涉及一个或多个因变量(末知数)及其导 数/偏导数的方程。如果微分方程中的末知数是只有一个变量的函数,则这样的微分方程称为常微分方程 (ODE)。
符号: 除非另有说明,微分方程中的末知数表示为 $y$. 让 $\mathbb{R}$ 表示实数集,并且 $J$ 是一个开区间 $\mathbb{R}$. 在整本书 中,我们表示函数的导数 $y: J \rightarrow \mathbb{R}$ 关于 $x$ 通过任何一个
$$
\frac{d}{d x} y(x) \text { or } \frac{d y}{d x}(x) \text { or } y^{\prime}(x) .
$$
当函数中的参数没有歧义时 $y$ ,我们简单地用导数表示 $\frac{d y}{d x}$ 要么 $y^{\prime}$. 同样,让 $y^{\prime \prime}$ 和 $y^{\prime \prime \prime}$ 表示的二阶和三阶导 数 $y$ ,分别。一般来说,对于 $k \in \mathbb{N}, y^{(k)}$ 要么 $\frac{d^k y}{d x^k}$ 表示 $k$-th阶导数 $y$.
使用这种表示法, ODE 的示例是
$$
\frac{d}{d x} y(x)=\left(\frac{d^2}{d x^2} y(x)\right)^5+y^2(x), x \in(0,1), y^{\prime}=3 y^2+(\sin x) y+\log \left(\cos ^2 y\right), x \in \mathbb{R}
$$
$\mathrm{ODE}$ 的阶数是最大数 $k$ 这样的 $k \mathrm{ODE}$ 中存在末知数的 -th 阶导数。例如,(1.1) 的阶数为二。
开始,积分学中的工具似乎足以研究 $\mathrm{ODE}$ 。但很快人们就会意识到,要开发解决或分析它们的方法, 需要来自分析、线性代数等学科的概念。事实上,微分方程的研究推动了数学许多领域的重要发展:傅立 叶级数理论以及更一般的正交展开、积分变换、莃尔伯特空间和勒贝格积分等等。

数学代写|常微分方程代写ordinary differential equation代考|Applications of ODEs

物理、化学、生物等领域的许多定律,都可以很容易地用微分方程来表达。其原因之一如下。数量 $y^{\prime}(x)$ 可以解释为数量的变化率 $y$ 关于数量 $x$. 在许多自然现象中,末知数(相对难以测量)、末知数相对于已知 量的变化率和其他已知量 (易于测量) 之间存在关系过程。当这种关系用数学表达时,它就是一个 (系 统) 微分方程。因此,ODE 的研究对于理解物理科学至关重要。事实上,在 ODE 中发展的大部分理论都 归功于在力学、天文学、电子学等学科的研究中提出的问题/情况。
列出任何科学分支中所有可用的 ODE 模型是一项不可能完成的任务。因此,在本章中,我们介绍了一些 源自物理学和生物学的 ODE 模型,可以使用本书中的材料对其进行求解或分析。我们从物理学模型开 始。
示例 1.2.1 (放射性和半衰期)。让 $N(t)$ 表示某一时刻一定数量的物质中放射性活性原子的数量 $t$. 那么放 射性原子数量衰减的模型是
$$
\frac{d}{d t} N(t)=-k N(t), t>0, N\left(t_0\right)=N_0,
$$
在哪里 $k>0$. 方程 (1.3b) 称为初始条件。此类模型在第 2 章 $2.1 .3$ 小节中进行了详细研究。可以很容易 地验证 (1.3a) 的解是
$$
N(t)=N_0 e^{-k\left(t-t_0\right)}, t>t_0 .
$$
特定放射性同位素的半衰期定义为其放射性原子衰变一半所需的时间。事实上,半衰期与放射性物质的数 量无关。我们现在使用 (1.3a) 计算同位素的半衰期,如果 $k$ 明确知道。因为,找到就足够了 $T$ 在哪个 $N(T)=\frac{N_0}{2}$. 从 (1.4) 我们有
$$
N(T)=N_0 e^{-k\left(T-t_0\right)}=\frac{N_0}{2}
$$

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金融工程代写

金融工程是使用数学技术来解决金融问题。金融工程使用计算机科学、统计学、经济学和应用数学领域的工具和知识来解决当前的金融问题,以及设计新的和创新的金融产品。

非参数统计代写

非参数统计指的是一种统计方法,其中不假设数据来自于由少数参数决定的规定模型;这种模型的例子包括正态分布模型和线性回归模型。

广义线性模型代考

广义线性模型(GLM)归属统计学领域,是一种应用灵活的线性回归模型。该模型允许因变量的偏差分布有除了正态分布之外的其它分布。

术语 广义线性模型(GLM)通常是指给定连续和/或分类预测因素的连续响应变量的常规线性回归模型。它包括多元线性回归,以及方差分析和方差分析(仅含固定效应)。

有限元方法代写

有限元方法(FEM)是一种流行的方法,用于数值解决工程和数学建模中出现的微分方程。典型的问题领域包括结构分析、传热、流体流动、质量运输和电磁势等传统领域。

有限元是一种通用的数值方法,用于解决两个或三个空间变量的偏微分方程(即一些边界值问题)。为了解决一个问题,有限元将一个大系统细分为更小、更简单的部分,称为有限元。这是通过在空间维度上的特定空间离散化来实现的,它是通过构建对象的网格来实现的:用于求解的数值域,它有有限数量的点。边界值问题的有限元方法表述最终导致一个代数方程组。该方法在域上对未知函数进行逼近。[1] 然后将模拟这些有限元的简单方程组合成一个更大的方程系统,以模拟整个问题。然后,有限元通过变化微积分使相关的误差函数最小化来逼近一个解决方案。

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随机分析代写


随机微积分是数学的一个分支,对随机过程进行操作。它允许为随机过程的积分定义一个关于随机过程的一致的积分理论。这个领域是由日本数学家伊藤清在第二次世界大战期间创建并开始的。

时间序列分析代写

随机过程,是依赖于参数的一组随机变量的全体,参数通常是时间。 随机变量是随机现象的数量表现,其时间序列是一组按照时间发生先后顺序进行排列的数据点序列。通常一组时间序列的时间间隔为一恒定值(如1秒,5分钟,12小时,7天,1年),因此时间序列可以作为离散时间数据进行分析处理。研究时间序列数据的意义在于现实中,往往需要研究某个事物其随时间发展变化的规律。这就需要通过研究该事物过去发展的历史记录,以得到其自身发展的规律。

回归分析代写

多元回归分析渐进(Multiple Regression Analysis Asymptotics)属于计量经济学领域,主要是一种数学上的统计分析方法,可以分析复杂情况下各影响因素的数学关系,在自然科学、社会和经济学等多个领域内应用广泛。

MATLAB代写

MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中,其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括:数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发,包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统,其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题,尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题,而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问,这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展,得到了许多用户的投入。在大学环境中,它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域,MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要,工具箱允许您学习应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数(M 文件)的综合集合,可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。

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