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偏微分方程指含有未知函数及其偏导数的方程。描述自变量、未知函数及其偏导数之间的关系。符合这个关系的函数是方程的解。
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数学代写|偏微分方程代写partial difference equations代考|The Laplace transform
We have seen that in order to apply the method of Fourier transforms to solve partial differential equations it is necessary to assume suitable decay of the solutions, that is, asymptotic boundary conditions. If, however, other boundary conditions are given, then we need a different integral transform. For the sake of completeness we will give a brief introduction to the Laplace transform here, without however going into much detail. This transform is also highly significant in many parts of the theory of partial differential equations; a systematic treatment can be found in [6], for example. We denote by
$$
L_{1, \text { loc }}\left(\mathbb{R}{+}, \mathbb{C}\right):=\left{f:[0, \infty) \rightarrow \mathbb{C} \text { measurable }: \int_0^c|f(t)| d t<\infty \text { for all } c>0\right} $$ the space of locally integrable functions on $\mathbb{R}{+}:=[0, \infty)$.
Definition 3.61 For a function $f \in L_{1, \text { loc }}\left(\mathbb{R}{+}, \mathbb{C}\right)$ we set $$ \mathcal{L} f(s)=F(s):=\int_0^{\infty} f(t) e^{-s t} d t=\lim {c \rightarrow \infty} \int_0^c f(t) e^{-s t} d t, s \in \mathbb{C},
$$
if the indefinite integral exists, and call the resulting function the Laplace transform of $f . \Delta$
Theorem 3.62 (Existence of the Laplace transform) Let $f \in L_1\left(\mathbb{R}{+}, \mathbb{C}\right)$ be exponentially bounded, that is, we have the bound $|f(t)| \leq M e^{\gamma t}, t \geq 0$, for some constants $M \geq 0$ and $\gamma \in \mathbb{R}$. Then $\mathcal{L} f(s)$ exists for all $s \in \mathbb{C}$ for which $\operatorname{Re} s>\gamma$. Proof See Exercise 3.11. We call the number $\gamma$ in Theorem $3.62$ an exponential bound for the function $f$. Remark $3.63$ The pair $f(t), F(s)=\mathcal{L} f(s)$ is sometimes known as a Laplace correspondence, especially in the engineering literature, written $f(t) \leadsto F(s)$. $\Delta$ For functions $f, g \in L{1, \text { loc }}\left(\mathbb{R}_{+}, C\right)$, we define their convolution via
$$
(f * g)(t):=\int_0^t f(t-s) g(s) d s
$$
数学代写|偏微分方程代写partial difference equations代考|Inner product spaces
Since all Hilbert spaces are inner product spaces, sometimes also called pre-Hilbert spaces, we will naturally start with these. Let $E$ be a vector space over the field $\mathbb{K}=\mathbb{R}$ or $\mathbb{K}=\mathbb{C}$. A mapping
$$
(\cdot, \cdot): E \times E \rightarrow \mathbb{K} \quad f, g \mapsto(f, g)
$$
is called an inner product or scalar product if the following conditions are satisfied:
(a) $(f+g, h)=(f, h)+(g, h), \quad f, g, h \in E$;
(b) $(\lambda f, g)=\lambda(f, g), \quad f, g \in E, \lambda \in \mathbb{K}$;
(c) $(f, g)=\overline{(g, f)}, \quad f, g \in E$;
(d) $(f, f)>0 \quad(f \neq 0), \quad f \in E$.
Notice that (c) implies that $(f, f)=\overline{(f, f)} \in \mathbb{R}$, for all $f \in E$. Thus (d) does in fact make sense when $\mathbb{K}=\mathbb{C}$. We call (c) symmetry and (d) positive definiteness. The symmetry property also implies
(a’) $(f, g+h)=(f, g)+(f, h), \quad f, g, h \in E$;
(b’) $(f, \lambda g)=\bar{\lambda}(f, g), \quad f, g \in E$.
Here and in what follows, $\bar{\lambda}$ denotes the complex conjugate of the number $\lambda \in \mathbb{C}$. Inner products are thus linear in the first variable (that is, (a) and (b) hold), while they are antilinear in the second (that is, (a’) and (b’) hold). We shall now consider a few examples.
Example $4.1$ (a) Let $E=\mathbb{R}^d$, then $(x, y):=\sum_{j=1}^d x_j y_j=x^T y$ defines the natural inner product on $\mathbb{R}^d$.
(b) Let $E=\mathbb{C}^d$, then $(x, y):=\sum_{j=1}^d x_j \overline{y_j}$ is the natural inner product on $\mathbb{C}^d$.
(c) Let $a<b$ and set $C([a, b]):={f:[a, b] \rightarrow \mathbb{K}: f$ continuous $}$ to be the space of continuous functions on $[a, b]$. Then
$$
(f, g):=\int_a^b f(t) \overline{g(t)} d t
$$
defines an inner product on $C([a, b])$. Observe that $C([a, b])$ is infinite dimensional, while $\mathbb{R}^d$ and $\mathbb{C}^d$ are finite dimensional. $\quad \Delta$
We call a vector space $E$ equipped with an inner product, or more precisely the pair $(E,(\cdot, \cdot)$ ), an inner product space (or sometimes pre-Hilbert space). We now wish to establish a number of geometric properties of inner products.
偏微分方程代写
数学代写|偏微分方程代写partial difference equations代考|The Laplace transform
我们已经看到，为了应用傅立叶变换的方法来求解偏微分方程，必须假设解的适当衰减，即渐近边界条 件。但是，如果给定其他边界条件，则我们需要不同的积分变换。为了完整起见，我们将在这里简要介绍 拉普拉斯变换，但不会详细介绍。这种变换在偏微分方程理论的许多部分中也非常重要；例如，可以在 [6] 中找到系统的治疗方法。我们用
L_{1, Itext ${$ loc $}} \backslash l e f t(\backslash m a t h b b{R}{+}, \backslash m a t h b b{C} \backslash$ right): $=\backslash$ eft ${f:[0$, \infty) \rightarrow $\backslash m a t h b b{C} \backslash$ Itext ${$ 可测量 $}$ :
上的局部可积函数空间 $\mathbb{R}+:=[0, \infty)$.
定义 $3.61$ 对于函数 $f \in L_{1, \text { loc }}(\mathbb{R}+, \mathbb{C})$ 我们设置
$$
\mathcal{L} f(s)=F(s):=\int_0^{\infty} f(t) e^{-s t} d t=\lim c \rightarrow \infty \int_0^c f(t) e^{-s t} d t, s \in \mathbb{C},
$$
如果存在不定积分，并将结果函数称为拉普拉斯变换 $f . \Delta$
定理 $3.62$ (拉普拉斯变换的存在性) 令 $f \in L_1(\mathbb{R}+, \mathbb{C})$ 是指数有界的，也就是说，我们有界 $|f(t)| \leq M e^{\gamma t}, t \geq 0$, 对于一些常数 $M \geq 0$ 和 $\gamma \in \mathbb{R}$. 然后 $\mathcal{L} f(s)$ 存在于所有人 $s \in \mathbb{C}$ 为了哪个
$\operatorname{Re} s>\gamma$. 证明见练习 3.11。我们拨打号码 $\gamma$ 在定理中 $3.62$ 函数的指数界限 $f$. 评论 $3.63$ 这对 $f(t), F(s)=\mathcal{L} f(s)$ 有时被称为拉普拉斯对应，特别是在工程文献中，写成 $f(t) \rightsquigarrow F(s)$. $\Delta$ 对于函数 $f, g \in L 1, \operatorname{loc}\left(\mathbb{R}_{+}, C\right)$ ，我们通过定义它们的卷积
$$
(f * g)(t):=\int_0^t f(t-s) g(s) d s
$$
数学代写|偏微分方程代写partial difference equations代考|Inner product spaces
由于所有布尔伯特空间都是内积空间，有时也称为前㠻尔伯特空间，我们自然会从这些开始。让 $E$ 是场上 的向量空间 $\mathbb{K}=\mathbb{R}$ 或者 $\mathbb{K}=\mathbb{C}$. 映射
$$
(\cdot, \cdot): E \times E \rightarrow \mathbb{K} \quad f, g \mapsto(f, g)
$$
如果满足以下条件，则称为内积或标量积:
(a) $(f+g, h)=(f, h)+(g, h), \quad f, g, h \in E$ ；
(乙) $(\lambda f, g)=\lambda(f, g), \quad f, g \in E, \lambda \in \mathbb{K}$;
(C) $(f, g)=\overline{(g, f)}, \quad f, g \in E$;
(四) $(f, f)>0 \quad(f \neq 0), \quad f \in E$.
请注意 (c) 意味着 $(f, f)=(f, f) \in \mathbb{R} ，$ 对所有人 $f \in E$. 因此 (d) 实际上在以下情况下有意义 $\mathbb{K}=\mathbb{C}$. 我们称 (c) 对称性和 (d) 正定性。对称性也意味着
(a’) $(f, g+h)=(f, g)+(f, h), \quad f, g, h \in E$;
(b’) $(f, \lambda g)=\bar{\lambda}(f, g), \quad f, g \in E$.
在这里和接下来的内容中， $\bar{\lambda}$ 表示数的复共轭 $\lambda \in \mathbb{C}$. 因此，内积在第一个变量中是线性的 (即 (a) 和 (b) 成立），而在第二个变量中它们是非线性的（即 (a’) 和 (b’) 成立) 。我们现在将考虑几个例子。
例子4.1(a) 让 $E=\mathbb{R}^d$ ，然后 $(x, y):=\sum_{j=1}^d x_j y_j=x^T y$ 定义自然内积 $\mathbb{R}^d$.
(b) 让 $E=\mathbb{C}^d$ ， 然后 $(x, y):=\sum_{j=1}^d x_j \overline{y_j}$ 是上的自然内积 $\mathbb{C}^d$.
(c) 让 $a<b$ 并设置 $C([a, b]):=f:[a, b] \rightarrow \mathbb{K}: f$ Scontinuous $\$$ 是连续函数的空间 $[a, b]$. 然后
$$
(f, g):=\int_a^b f(t) \overline{g(t)} d t
$$
定义一个内积 $C([a, b])$. 观察那个 $C([a, b])$ 是无限维的，而 $\mathbb{R}^d$ 和 $\mathbb{C}^d$ 是有限维的。 $\Delta$ 我们称向量空间 $E$ 配备了一个内积，或者更准确地说是一对 $(E,(\cdot, \cdot))$ ，一个内积空间（有时是前莃尔伯 特空间）。我们现在希望建立内积的一些几何特性。
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金融工程代写
金融工程是使用数学技术来解决金融问题。金融工程使用计算机科学、统计学、经济学和应用数学领域的工具和知识来解决当前的金融问题，以及设计新的和创新的金融产品。
非参数统计代写
非参数统计指的是一种统计方法，其中不假设数据来自于由少数参数决定的规定模型；这种模型的例子包括正态分布模型和线性回归模型。
广义线性模型代考
广义线性模型（GLM）归属统计学领域，是一种应用灵活的线性回归模型。该模型允许因变量的偏差分布有除了正态分布之外的其它分布。
术语 广义线性模型（GLM）通常是指给定连续和/或分类预测因素的连续响应变量的常规线性回归模型。它包括多元线性回归，以及方差分析和方差分析（仅含固定效应）。
有限元方法代写
有限元方法（FEM）是一种流行的方法，用于数值解决工程和数学建模中出现的微分方程。典型的问题领域包括结构分析、传热、流体流动、质量运输和电磁势等传统领域。
有限元是一种通用的数值方法，用于解决两个或三个空间变量的偏微分方程（即一些边界值问题）。为了解决一个问题，有限元将一个大系统细分为更小、更简单的部分，称为有限元。这是通过在空间维度上的特定空间离散化来实现的，它是通过构建对象的网格来实现的：用于求解的数值域，它有有限数量的点。边界值问题的有限元方法表述最终导致一个代数方程组。该方法在域上对未知函数进行逼近。[1] 然后将模拟这些有限元的简单方程组合成一个更大的方程系统，以模拟整个问题。然后，有限元通过变化微积分使相关的误差函数最小化来逼近一个解决方案。
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随机分析代写
随机微积分是数学的一个分支，对随机过程进行操作。它允许为随机过程的积分定义一个关于随机过程的一致的积分理论。这个领域是由日本数学家伊藤清在第二次世界大战期间创建并开始的。
时间序列分析代写
随机过程，是依赖于参数的一组随机变量的全体，参数通常是时间。 随机变量是随机现象的数量表现，其时间序列是一组按照时间发生先后顺序进行排列的数据点序列。通常一组时间序列的时间间隔为一恒定值（如1秒，5分钟，12小时，7天，1年），因此时间序列可以作为离散时间数据进行分析处理。研究时间序列数据的意义在于现实中，往往需要研究某个事物其随时间发展变化的规律。这就需要通过研究该事物过去发展的历史记录，以得到其自身发展的规律。
回归分析代写
多元回归分析渐进（Multiple Regression Analysis Asymptotics）属于计量经济学领域，主要是一种数学上的统计分析方法，可以分析复杂情况下各影响因素的数学关系，在自然科学、社会和经济学等多个领域内应用广泛。
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MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中，其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括：数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发，包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统，其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题，尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题，而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问，这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展，得到了许多用户的投入。在大学环境中，它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域，MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要，工具箱允许您学习和应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数（M 文件）的综合集合，可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。