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主成分分析（PCA）是计算主成分并使用它们对数据进行基础改变的过程，有时只使用前几个主成分，而忽略其余部分。
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统计代写|主成分分析代写Principal Component Analysis代考|Incomplete PPCA by Expectation Maximization
In this section, we derive an EM algorithm (see Appendix B.2.1) for solving the PPCA problem with missing data. Recall from Section 2.2 that in the PPCA model, each data point is drawn as $x \sim \mathcal{N}\left(\mu_x, \Sigma_x\right)$, where $\mu_x=\mu$ and $\Sigma_x=B B^{\top}+\sigma^2 I_D$, where $\mu \in \mathbb{R}^D, B \in \mathbb{R}^{D \times d}$, and $\sigma>0$. Recall also from (2.56) that the log-likelihood of the PPCA model is given by
$$
\mathscr{L}=-\frac{N D}{2} \log (2 \pi)-\frac{N}{2} \log \operatorname{det}\left(\Sigma_x\right)-\frac{1}{2} \sum_{j=1}^N \operatorname{trace}\left(\Sigma_x^{-1}\left(x_j-\mu\right)\left(x_j-\mu\right)^{\top}\right)
$$
where $\left{x_j\right}_{j=1}^N$ are $N$ i.i.d. samples of $\boldsymbol{x}$. Since the samples are incomplete, we can partition each point $x$ and the parameters $\mu_x$ and $\Sigma_x$ as
$$
\left[\begin{array}{l}
x_U \
x_O
\end{array}\right]=P x, \quad\left[\begin{array}{l}
\mu_U \
\mu_O
\end{array}\right]=P \mu, \text { and }\left[\begin{array}{cc}
\Sigma_{U U} & \Sigma_{U O} \
\Sigma_{O U} & \Sigma_{O O}
\end{array}\right]=P \Sigma_x P^{\top} .
$$
Here $\boldsymbol{x}O$ is the observed part of $\boldsymbol{x}, \boldsymbol{x}_U$ is the unobserved part of $\boldsymbol{x}$, and $P$ is any permutation matrix that reorders the entries of $x$ so that the unobserved entries appear first. Notice that $P$ is not unique, but we can use any such $P$. Notice also that the above partition of $x, \mu_x$, and $\Sigma_x$ could be different for each data point, because the missing entries could be different for different data points. When strictly necessary, we will use $\boldsymbol{x}{j U}$ and $\boldsymbol{x}_{j O}$ to denote the unobserved and observed parts of point $\boldsymbol{x}_j$, respectively, and $P_j$ to denote the permutation matrix. Otherwise, we will avoid using the index $j$ in referring to a generic point.
统计代写|主成分分析代写Principal Component Analysis代考|Matrix Completion by Convex Optimization
The EM-based approaches to incomplete PPCA discussed in the previous section rely on (a) explicit parameterizations of the low-rank factors and (b) minimization of a nonconvex cost function in an alternating minimization fashion. Specifically, such approaches alternate between completing the missing entries given the parameters of a PPCA model for the data and estimating the parameters of the model from complete data. While simple and intuitive, such approaches suffer from two important disadvantages. First, the desired rank of the matrix needs to be known in advance. Second, due to the greedy nature of the EM algorithm, it is difficult to ensure convergence to the globally optimal solution. Therefore, a good initialization of the EM-based algorithm is critical for converging to a good solution.
In this section, we introduce an alternative approach that solves the low-rank matrix completion problem via a convex relaxation. As we will see, this approach allows us to complete a low-rank matrix by minimizing a convex objective function, which is guaranteed to have a globally optimal minimizer. Moreover, under rather benign conditions on the missing entries, the global minimizer is guaranteed to be the correct low-rank matrix, even without knowing the rank of the matrix in advance.
A rigorous justification for the correctness of the convex relaxation approach requires a deep knowledge of high-dimensional statistics and geometry that is beyond the scope of this book. However, this does not prevent us from introducing and summarizing here the main ideas and results, as well as the basic algorithms offered by this approach. Practitioners can apply the useful algorithm to their data and problems, whereas researchers who are more interested in the advanced theory behind the algorithm may find further details in (Cai et al. 2008; Candès and Recht 2009; Candès and Tao 2010; Gross 2011; Keshavan et al. 2010a; Zhou et al. 2010a).
Compressive Sensing of Low-Rank Matrices
The matrix completion problem can be considered a special case of the more general class of problems of recovering a high-dimensional low-rank matrix $X$ from highly compressive linear measurements $B=\mathcal{P}(X)$, where $\mathcal{P}$ is a linear operator that returns a set of linear measurements $B$ of the matrix $X$. It is known from highdimensional statistics that if the linear operator $\mathcal{P}$ satisfies certain conditions, then the rank minimization problem
$$
\min _A \operatorname{rank}(A) \quad \text { s.t. } \quad \mathcal{P}(A)=B
$$
is well defined, and its solution is unique (Candès and Recht 2009). However, it is also known that under general conditions, the task of finding such a minimal-rank solution is in general an NP-hard problem.
主成分分析代考
统计代写|主成分分析代写Principal Component Analysis代考|Incomplete PPCA by Expectation Maximization
在本节中，我们推导了一种 EM 算法（参见附录 B.2.1），用于解决具有缺失数据的 PPCA 问题。回想一 下 2.2 节，在 PPCA 模型中，每个数据点被绘制为 $x \sim \mathcal{N}\left(\mu_x, \Sigma_x\right)$ ，在哪里 $\mu_x=\mu$ 和 $\Sigma_x=B B^{\top}+\sigma^2 I_D$ ， 在哪里 $\mu \in \mathbb{R}^D, B \in \mathbb{R}^{D \times d}$ ，和 $\sigma>0$. 还记得 (2.56) 中的 PPCA 模型的对数 似然由下式给出
$$
\mathscr{L}=-\frac{N D}{2} \log (2 \pi)-\frac{N}{2} \log \operatorname{det}\left(\Sigma_x\right)-\frac{1}{2} \sum_{j=1}^N \operatorname{trace}\left(\Sigma_x^{-1}\left(x_j-\mu\right)\left(x_j-\mu\right)^{\top}\right)
$$
在哪里 \left{x_j\right} ${j=1} \wedge N$ 是 $N$ iid样本 $x$. 由于样本不完整，我们可以划分每个点 $x$ 和参数 $\mu_x$ 和 $\Sigma_x$ 作为 $\left[\begin{array}{ll}x_U x_O\end{array}\right]=P x, \quad\left[\mu_U \mu_O\right]=P \mu$, and $\left[\begin{array}{lll}\Sigma_{U U} & \Sigma_{U O} & \Sigma_{O U} \quad \Sigma_{O O}\end{array}\right]=P \Sigma_x P^{\top}$.
这里 $\boldsymbol{x} O$ 是观察到的部分 $\boldsymbol{x}, \boldsymbol{x}U$ 是末被观察到的部分 $\boldsymbol{x} ，$ 和 $P$ 是重新排序条目的任何置换矩阵 $x$ 这样末观 察到的条目首先出现。请注意 $P$ 不是唯一的，但我们可以使用任何这样的 $P$. 还要注意上面的分区 $x, \mu_x$ ， 和 $\Sigma_x$ 每个数据点可能不同，因为缺失的条目对于不同的数据点可能不同。绝对必要时，我们将使用 $\boldsymbol{x} j U$ 和 $\boldsymbol{x}{j O}$ 表示点的末观察到和观察到的部分 $\boldsymbol{x}_j$ ，分别和 $P_j$ 表示置换矩阵。否则，我们将避免使用索引j在提 到一个通用点时。
统计代写|主成分分析代写Principal Component Analysis代考|Matrix Completion by Convex Optimization
上一节中讨论的基于 EM 的不完全 PPCA 方法依赖于 (a) 低秩因子的显式参数化和 (b) 以交替最小化方式 最小化非凸成本函数。具体来说，这种方法在给定数据的 PPCA 模型参数的情况下完成缺失条目和从完整 数据估计模型参数之间交替进行。虽然简单直观，但这种方法有两个重要的缺点。首先，需要事先知道所 需的矩阵秩。其次，由于EM算法的贪心性，很难保证收敛到全局最优解。因此，基于 EM 的算法的良好 初始化对于收敛到良好的解决方案至关重要。
在本节中，我们介绍了一种通过凸松驰解决低秩矩阵补全问题的替代方法。正如我们将看到的，这种方法 允许我们通过最小化凸目标函数来完成低秩矩阵，保证具有全局最优最小值。此外，在缺失条目相当良性 的条件下，全局最小化器保证是正确的低秩矩阵，即使事先不知道矩阵的秩。
严格证明凸松驰方法的正确性需要对高维统计和几何有深入的了解，这超出了本书的范围。然而，这并不 妨碍我们在这里介绍和总结主要思想和结果，以及这种方法提供的基本算法。从业者可以将有用的算法应 用于他们的数据和问题，而对算法背后的高级理论更感兴趣的研究人员可以在 (Cai et al. 2008; Candès and Recht 2009; Candès and Tao 2010; Gross 2011; Keshavan 等人 2010a; Zhou 等人 2010a)。 低阶矩阵的压缩感知
矩阵补全问题可以被认为是恢复高维低秩矩阵的更一般类问题的特例 $X$ 来自高度压缩的线性测量 $B=\mathcal{P}(X)$ ，在哪里 $\mathcal{P}$ 是返回一组线性测量值的线性运算符 $B$ 矩阵的 $X$. 由高维统计可知，如果线性算 子 $\mathcal{P}$ 满足一定条件，则秩最小化问题
$$
\min _A \operatorname{rank}(A) \quad \text { s.t. } \quad \mathcal{P}(A)=B
$$
定义明确，其解决方案是独一无二的 (Candès 和 Recht 2009) 。然而，众所周知，在一般情况下，寻找 这种最小秩解的任务通常是一个NP-hard 问题。
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金融工程代写
金融工程是使用数学技术来解决金融问题。金融工程使用计算机科学、统计学、经济学和应用数学领域的工具和知识来解决当前的金融问题，以及设计新的和创新的金融产品。
非参数统计代写
非参数统计指的是一种统计方法，其中不假设数据来自于由少数参数决定的规定模型；这种模型的例子包括正态分布模型和线性回归模型。
广义线性模型代考
广义线性模型（GLM）归属统计学领域，是一种应用灵活的线性回归模型。该模型允许因变量的偏差分布有除了正态分布之外的其它分布。
术语 广义线性模型（GLM）通常是指给定连续和/或分类预测因素的连续响应变量的常规线性回归模型。它包括多元线性回归，以及方差分析和方差分析（仅含固定效应）。
有限元方法代写
有限元方法（FEM）是一种流行的方法，用于数值解决工程和数学建模中出现的微分方程。典型的问题领域包括结构分析、传热、流体流动、质量运输和电磁势等传统领域。
有限元是一种通用的数值方法，用于解决两个或三个空间变量的偏微分方程（即一些边界值问题）。为了解决一个问题，有限元将一个大系统细分为更小、更简单的部分，称为有限元。这是通过在空间维度上的特定空间离散化来实现的，它是通过构建对象的网格来实现的：用于求解的数值域，它有有限数量的点。边界值问题的有限元方法表述最终导致一个代数方程组。该方法在域上对未知函数进行逼近。[1] 然后将模拟这些有限元的简单方程组合成一个更大的方程系统，以模拟整个问题。然后，有限元通过变化微积分使相关的误差函数最小化来逼近一个解决方案。
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随机分析代写
随机微积分是数学的一个分支，对随机过程进行操作。它允许为随机过程的积分定义一个关于随机过程的一致的积分理论。这个领域是由日本数学家伊藤清在第二次世界大战期间创建并开始的。
时间序列分析代写
随机过程，是依赖于参数的一组随机变量的全体，参数通常是时间。 随机变量是随机现象的数量表现，其时间序列是一组按照时间发生先后顺序进行排列的数据点序列。通常一组时间序列的时间间隔为一恒定值（如1秒，5分钟，12小时，7天，1年），因此时间序列可以作为离散时间数据进行分析处理。研究时间序列数据的意义在于现实中，往往需要研究某个事物其随时间发展变化的规律。这就需要通过研究该事物过去发展的历史记录，以得到其自身发展的规律。
回归分析代写
多元回归分析渐进（Multiple Regression Analysis Asymptotics）属于计量经济学领域，主要是一种数学上的统计分析方法，可以分析复杂情况下各影响因素的数学关系，在自然科学、社会和经济学等多个领域内应用广泛。
MATLAB代写
MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中，其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括：数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发，包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统，其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题，尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题，而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问，这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展，得到了许多用户的投入。在大学环境中，它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域，MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要，工具箱允许您学习和应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数（M 文件）的综合集合，可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。