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量子光学是原子、分子和光学物理学的一个分支，处理单个光量子（称为光子）如何与原子和分子相互作用。它包括研究光子的类似粒子的特性。
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物理代写|量子光学代写Quantum Optics代考|Classical Atom–Field Interactions
We will now model the interaction between light and atoms, using a classical model of the atom. This will allow us to treat a variety of phenomena from the refractive index of atomic vapors to the conductivity of metals to laser cooling and trapping of atoms.
We will model the atom as a classical harmonic oscillator, an electron bound to the nucleus by a harmonic force (linear spring):
$$
m \ddot{\mathbf{x}}+m \omega_0^2 \mathbf{x}=0
$$
Here, $\mathbf{x}$ represents the average position of the electron, since quantum-mechanically, the electron is not localized, and $\omega_0$ is the resonant frequency of the harmonic potential. The above equation is also in centerof-mass coordinates, so that we can ignore the motion of the nucleus. Thus, $m$ is the reduced mass of the electron, given by
$$
m=\frac{m_{\mathrm{e}} m_{\mathrm{n}}}{m_{\mathrm{e}}+m_{\mathrm{n}}}
$$
where $m_{\mathrm{e}}$ is the electron mass, and $m_{\mathrm{n}}$ is the nuclear mass. Generally $m_{\mathrm{e}} \ll m_{\mathrm{n}}$, so
$$
m \approx m_{\mathrm{e}}\left(1-\frac{m_{\mathrm{e}}}{m_{\mathrm{n}}}\right),
$$
and generally, it is a good approximation to use $m \approx m_{\mathrm{e}}$.
Why use a classical calculation, when an atom is a manifestly quantum-mechanical object? It turns out that the classical calculation gets many phenomena correct, and these results can be justified by quantum calculations. Essentially, the classical calculation is good for weak atomic excitations, when the harmonic potential, the lowest-order approximation to an arbitrary potential, is an accurate model. (It is even a good approximation to treat the quantum electromagnetic field classically as long as many photons are present, since the field turns out to be a set of harmonic oscillators, which are “not very quantum-mechanical.” Then our requirement of weak excitation of the atom implies an atom-field coupling that is in some sense very weak; we will see that this is true when discussing the atomic cross section in Section 1.2.1.) In particular, the classical model does not predict any saturation effects, and as we will see, it requires a bit of patching to make it quantitatively correct, even in the limit of small intensity.
物理代写|量子光学代写Quantum Optics代考|Polarizability
We will now consider the interaction of the atom with a monochromatic field of the form
$$
\mathbf{E}^{(+)}(t)=\hat{\varepsilon} E_0^{(+)} e^{-i \omega t},
$$ where $\hat{\varepsilon}$ is the unit polarization vector. Here, we are using the complex notation for the field, where we separate according to the positive- and negative-frequency components:
$$
\begin{aligned}
\mathbf{E}(\mathbf{r}, t) & =\mathbf{E}(\mathbf{r}) \cos (\omega t+\phi) \
& =\mathbf{E}(\mathbf{r}) \frac{e^{-i \phi}}{2} e^{-i \omega t}+\mathbf{E}(\mathbf{r}) \frac{e^{i \phi}}{2} e^{i \omega t} \
& =: \mathbf{E}^{(+)}(\mathbf{r}) e^{-i \omega t}+\mathbf{E}^{(-)}(\mathbf{r}) e^{i \omega t}
\end{aligned}
$$
Recall that we are defining $\mathbf{E}^{( \pm)}$to go with $e^{\mp i \omega t}$, since by convention $e^{-i \omega t}$ corresponds to the positive frequency $\omega$ and $e^{i \omega t}=e^{-i(-\omega) t}$ corresponds to the negative frequency $(-\omega)$. The physical field is just the sum of the positive- and negative-frequency parts. But notice that these parts are complex conjugates, as is required to get a real (physical) field. Thus, we can always write the physical field as $E^{(+)}$with its conjugate:
$$
\mathbf{E}(\mathbf{r}, t)=\mathbf{E}^{(+)}(\mathbf{r}) e^{-i \omega t}+\text { c.c. }=2 \operatorname{Re}\left{\mathbf{E}^{(+)}(\mathbf{r}) e^{-i \omega t}\right} .
$$
Of course, we apply this notation to all other quantities driven by the field, such as the displacement of the electron that we consider below. Mathematically, it is simpler to keep only one part of the solution, but to obtain the physical result, you always need to add the complex conjugate (assuming that all the calculations are linear). Note that classically, this decomposition arises as a mathematical convenience. As we will see much later, in the quantum treatment of the field this decomposition is more fundamental and significant, since the two components will play the roles of photon creation and annihilation operators.
In writing down the expression (1.4), we are making the dipole approximation: we are assuming that the size of the atom is much smaller than the optical wavelength, so that the electron only sees the field at the nuclear position. Thus, we need not consider the spatial dependence or propagation direction of the field. The force on the electron due to the field is
$$
\mathbf{F}^{(+)}=-e \mathbf{E}^{(+)}
$$
where $e$ is the fundamental charge, the magnitude of the electron charge (so that the electron charge is $-e)$
量子光学代考
物理代写|量子光学代写Quantum Optics代考|Classical Atom–Field Interactions
我们现在将使用原子的经典模型来模拟光与原子之间的相互作用。这将使我们能够处理从原子蒸气的折 射率到金属的电导率再到激光冷却和原子捕获的各种现象。
我们将原子建模为经典谐振子，电子通过谐波力 (线性弹簧) 束缚在原子核上:
$$
m \ddot{\mathbf{x}}+m \omega_0^2 \mathbf{x}=0
$$
这里， $\mathbf{x}$ 代表电子的平均位置，因为在量子力学上，电子不是局域化的，并且 $\omega_0$ 是谐波电势的谐振频 率。上式也是在质心坐标下，所以我们可以忽略原子核的运动。因此， $m$ 是电子的约化质量，由下式给 出
$$
m=\frac{m_{\mathrm{e}} m_{\mathrm{n}}}{m_{\mathrm{e}}+m_{\mathrm{n}}}
$$
在哪里 $m_{\mathrm{e}}$ 是电子质量，和 $m_{\mathrm{n}}$ 是核质量。一般来说 $m_{\mathrm{e}} \ll m_{\mathrm{n}}$ ，所以
$$
m \approx m_{\mathrm{e}}\left(1-\frac{m_{\mathrm{e}}}{m_{\mathrm{n}}}\right),
$$
通常，它是一个很好的近似值 $m \approx m_{\mathrm{e}}$.
当原子明显是量子力学对象时，为什么要使用经典计算呢? 事实证明，经典计算对许多现象都是正确 的，而这些结果可以用量子计算来证明。本质上，当谐波势（任意势的最低阶近似值）是一个精确模型 时，经典计算适用于弱原子激发。（只要存在许多光子，经典地处理量子电磁场甚至是一个很好的近 似，因为该场结果是一组谐振子，“不是很量子力学”。那么我们的弱要求原子的激发意味着在某种意义 上非常弱的原子场耦合；我们将在 1.2.1 节讨论原子横截面时看到这是真的。）特别是，
物理代写|量子光学代写Quantum Optics代考|Polarizability
我们现在将考虑原子与形式的单色场的相互作用
$$
\mathbf{E}^{(+)}(t)=\hat{\varepsilon} E_0^{(+)} e^{-i \omega t}
$$
在哪里 $\hat{\varepsilon}$ 是单位偏振矢量。在这里，我们对字段使用复杂的表示法，我们根据正频率和负频率分量分 开:
$$
\mathbf{E}(\mathbf{r}, t)=\mathbf{E}(\mathbf{r}) \cos (\omega t+\phi) \quad=\mathbf{E}(\mathbf{r}) \frac{e^{-i \phi}}{2} e^{-i \omega t}+\mathbf{E}(\mathbf{r}) \frac{e^{i \phi}}{2} e^{i \omega t}=: \mathbf{E}^{(+)}(\mathbf{r}) e^{-i \omega t}+\mathbf{E}^{(-)}(\mathbf{r}) e^2
$$
回想一下，我们正在定义 $\mathbf{E}^{( \pm)}$一起去 $e^{\mp i \omega t}$ ，因为按照惯例 $e^{-i \omega t}$ 对应正频率 $\omega$ 和 $e^{i \omega t}=e^{-i(-\omega) t}$ 对应负 频率 $(-\omega)$. 物理场只是正频率部分和负频率部分的总和。但请注意，这些部分是复共轭，这是获得真实 (物理) 场所必需的。因此，我们总是可以将物理场写成 $E^{(+)}$及其共轭：
Imathbf ${E}}(\backslash m a t h b f{r}, t)=\backslash m a t h b f{E} \wedge{(+)}(\backslash m a t h b f{r}) e^{\wedge}{-i$ lomega t $}+\backslash t e x t{c c}=2$ loperatorname ${$ Re $} \backslash$ left ${\backslash m a t h b i$
当然，我们将此符号应用于场驱动的所有其他量，例如我们在下面考虑的电子位移。在数学上，只保留 一部分解比较简单，但要得到物理结果，总是需要加上复共轭（假设所有的计算都是线性的）。请注 意，经典地，这种分解是为了数学上的便利而出现的。正如我们稍后将看到的，在场的量子处理中，这 种分解更为基础和重要，因为这两个成分将扮演光子产生和湮灭算子的角色。
在写下表达式 (1.4) 时，我们正在做偶极子近似：我们假设原子的尺寸远小于光波长，因此电子只能看 到核位置的场。因此，我们不需要考虑场的空间依赖性或传播方向。电场对电子的作用力为
$$
\mathbf{F}^{(+)}=-e \mathbf{E}^{(+)}
$$
在哪里 $e$ 是基本电荷，电子电荷的大小 (因此电子电荷是 $-e$ )
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金融工程代写
金融工程是使用数学技术来解决金融问题。金融工程使用计算机科学、统计学、经济学和应用数学领域的工具和知识来解决当前的金融问题，以及设计新的和创新的金融产品。
非参数统计代写
非参数统计指的是一种统计方法，其中不假设数据来自于由少数参数决定的规定模型；这种模型的例子包括正态分布模型和线性回归模型。
广义线性模型代考
广义线性模型（GLM）归属统计学领域，是一种应用灵活的线性回归模型。该模型允许因变量的偏差分布有除了正态分布之外的其它分布。
术语 广义线性模型（GLM）通常是指给定连续和/或分类预测因素的连续响应变量的常规线性回归模型。它包括多元线性回归，以及方差分析和方差分析（仅含固定效应）。
有限元方法代写
有限元方法（FEM）是一种流行的方法，用于数值解决工程和数学建模中出现的微分方程。典型的问题领域包括结构分析、传热、流体流动、质量运输和电磁势等传统领域。
有限元是一种通用的数值方法，用于解决两个或三个空间变量的偏微分方程（即一些边界值问题）。为了解决一个问题，有限元将一个大系统细分为更小、更简单的部分，称为有限元。这是通过在空间维度上的特定空间离散化来实现的，它是通过构建对象的网格来实现的：用于求解的数值域，它有有限数量的点。边界值问题的有限元方法表述最终导致一个代数方程组。该方法在域上对未知函数进行逼近。[1] 然后将模拟这些有限元的简单方程组合成一个更大的方程系统，以模拟整个问题。然后，有限元通过变化微积分使相关的误差函数最小化来逼近一个解决方案。
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随机分析代写
随机微积分是数学的一个分支，对随机过程进行操作。它允许为随机过程的积分定义一个关于随机过程的一致的积分理论。这个领域是由日本数学家伊藤清在第二次世界大战期间创建并开始的。
时间序列分析代写
随机过程，是依赖于参数的一组随机变量的全体，参数通常是时间。 随机变量是随机现象的数量表现，其时间序列是一组按照时间发生先后顺序进行排列的数据点序列。通常一组时间序列的时间间隔为一恒定值（如1秒，5分钟，12小时，7天，1年），因此时间序列可以作为离散时间数据进行分析处理。研究时间序列数据的意义在于现实中，往往需要研究某个事物其随时间发展变化的规律。这就需要通过研究该事物过去发展的历史记录，以得到其自身发展的规律。
回归分析代写
多元回归分析渐进（Multiple Regression Analysis Asymptotics）属于计量经济学领域，主要是一种数学上的统计分析方法，可以分析复杂情况下各影响因素的数学关系，在自然科学、社会和经济学等多个领域内应用广泛。
MATLAB代写
MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中，其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括：数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发，包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统，其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题，尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题，而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问，这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展，得到了许多用户的投入。在大学环境中，它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域，MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要，工具箱允许您学习和应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数（M 文件）的综合集合，可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。