### 数学代写|实分析作业代写Real analysis代考|MAST20026

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## 数学代写|实分析作业代写Real analysis代考|The Least Upper Bound Property

In this section, we will consider the concept of the least upper bound of a set and introduce the least upper bound or supremum property of the real numbérs $\mathbb{R}$. Prior to introducing thésé nèw idéas wè briefly réview thé algébraic and order properties of $\mathbb{Q}$ and $\mathbb{R}$.

Both the rational numbers $\mathbb{Q}$ and the real numbers $\mathbb{R}$ are algebraic systems known as fields. The key facts about a field which we need to know is that it is a set $\mathbb{F}$ with two operations, addition (+) and multiplication $(\cdot)$, which satisfy the following axioms:

1. If $a, b \in \mathbb{F}$, then $a+b \in \mathbb{F}$ and $a \cdot b \in \mathbb{F}$.
2. The operations are commutative; that is, for all $a, b \in \mathbb{F}$
$$a+b=b+a \quad \text { and } \quad a \cdot b=b \cdot a \text {. }$$
3. The operations are associative; that is, for all $a, b, c \in \mathbb{F}$,
$$a+(b+c)=(a+b)+c \quad \text { and } \quad a \cdot(b \cdot c)=(a \cdot b) \cdot c .$$
4. There exists an element $0 \in \mathbb{F}$ such that $a+0=a$ for every $a \in \mathbb{F}$.
5. Every $a \in \mathbb{F}$ has an additive inverse; that is, there exists an element $-a$ in $\mathbb{F}$ such that
$$a+(-a)=0 .$$
6. There exists an element $1 \in \mathbb{F}$ with $1 \neq 0$ such that $a \cdot 1=a$ for all $a \in \mathbb{F}$.
7. Every $a \in \mathbb{F}$ with $a \neq 0$ has a multiplicative inverse; that is, there exists an element $a^{-1}$ in $\mathbb{F}$ such that
$$a \cdot a^{-1}=1 .$$
8. The operation of multiplication is distributive over addition; that is, for all $a, b, c \in \mathbb{F}$,
$$a \cdot(b+c)=a \cdot b+a \cdot c .$$

## 数学代写|实分析作业代写Real analysis代考|Least Upper Bound of a Set

DEFINITION 1.4.3 Let $E$ be a nonempty subset of $\mathbb{R}$ that is bounded above. An element $\alpha \in \mathbb{R}$ is called the least upper bound or supremum of $E$ if
(i) $\alpha$ is an upper bound of $E$, and
(ii) if $\beta \in \mathbb{R}$ satisfies $\beta<\alpha$, then $\beta$ is not an upper bound of $E$.
Condition (ii) is equivalent to $\alpha \leq \beta$ for all upper bounds $\beta$ of $E$. Also by (ii), the least upper bound of a set is unique. If the set $E$ has a least upper bound, we write
$$\alpha=\sup E$$ to denote that $\alpha$ is the supremum or least upper bound of $E$. The greatest lower bound or infimum of a nonempty set $E$ is defined similarly, and if it exists, is denoted by inf $E$.

There is one important fact about the supremum of a set which will be used repeatedly throughout the text. Due to its importance we state it as a theorem.

THEOREM 1.4.4 Let A be a nonempty subset of $\mathbb{R}$ that is bounded above. An upper bound $\alpha$ of $A$ is the supremum of $A$ if and only if for every $\beta<\alpha$, there exists an element $x \in A$ such that $$\beta\beta. On the other hand, since \alpha is an upper bound of A, x \leq \alpha. Conversely, if \alpha is an upper bound of A satisfying the stated condition, then every \beta<\alpha is not an upper bound of A. Thus \alpha=\sup A. ## 实分析代写 ## 数学代写|实分析作业代写Real analysis代考|The Least Upper Bound Property 在本节中，我们将考虑集合的最小上界的概念，并介绍实数的最小上界或上确界 \mathbb{R}. 在介绍这些新想法之前，我们简 要回顾一下代数和顺序属性 \mathbb{Q} 和 \mathbb{R}. 两个有理数 \mathbb{Q} 和实数 \mathbb{R} 是称为域的代数系统。我们需要知道的关于一个字段的关键事实是它是一个集合 \mathbb{F} 有两个操 作，加法 (+) 和乘法 (\cdot) ，满足以下公理: 1. 如果 a, b \in \mathbb{F} ，然后 a+b \in \mathbb{F} 和 a \cdot b \in \mathbb{F}. 2. 操作是可交换的；也就是说，对于所有人 a, b \in \mathbb{F}$$
a+b=b+a \quad \text { and } \quad a \cdot b=b \cdot a .
$$3. 这些操作是关联的；也就是说，对于所有人 a, b, c \in \mathbb{F} ，$$
a+(b+c)=(a+b)+c \quad \text { and } \quad a \cdot(b \cdot c)=(a \cdot b) \cdot c .
$$4. 存在一个元素 0 \in \mathbb{F} 这样 a+0=a 对于每个 a \in \mathbb{F}. 5. 每一个 a \in \mathbb{F} 有一个加法逆；即存在一个元素 -a 在 \mathbb{F} 这样$$
a+(-a)=0 .
$$6. 存在一个元素 1 \in \mathbb{F} 和 1 \neq 0 这样 a \cdot 1=a 对所有人 a \in \mathbb{F}. 7. 每一个 a \in \mathbb{F} 和 a \neq 0 有一个乘法逆元；即存在一个元素 a^{-1} 在 \mathbb{F} 这样$$
a \cdot a^{-1}=1 \text {. }
$$8. 乘法的运算是对加法的分配；也就是说，对于所有人 a, b, c \in \mathbb{F} ，$$
a \cdot(b+c)=a \cdot b+a \cdot c .
$$## 数学代写|实分析作业代写Real analysis代考|Least Upper Bound of a Set 定义 1.4.3 让 E 是的非空子集 \mathbb{R} 这是有界的。一个元素 \alpha \in \mathbb{R} 被称为最小上界或上界 E 如果 (一) \alpha 是一个上限 E, 和 (ii) 如果 \beta \in \mathbb{R} 满足 \beta<\alpha ，然后 \beta 不是的上限 E. 条件 (ii) 等价于 \alpha \leq \beta 对于所有上限 \beta 的 E. 同样由 (ii)，集合的最小上界是唯一的。如果集 E 有一个最小上界，我 们写$$
\alpha=\sup E
$$表示 \alpha 是上界或最小上界 E. 非空集的最大下界或下确界 E 定义类似，如果存在，用 inf 表示 E. 关于集合的上确界有一个重要的事实，它将在整个文本中重复使用。由于它的重要性，我们将其称为定理。 定理 1.4.4 令 A 是 \mathbb{R} 这是有界的。一个上限 \alpha 的 A 是最高的 A 当且仅当对于每个 \beta<\alpha, 存在一个元素 x \in A 这样 \ \$$ Ibetalbeta. Ontheotherhand, sincelaisanupperboundofA, $x$ leq \alpha\$。 相反，如果$\alpha$是一个上限$A$满足规定条件，则每$\beta<\alpha$不是的上限$A$. 因此$\alpha=\sup A\$.

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MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中，其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括：数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发，包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统，其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题，尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题，而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问，这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展，得到了许多用户的投入。在大学环境中，它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域，MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要，工具箱允许您学习应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数（M 文件）的综合集合，可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。