### 数学代写|实分析作业代写Real analysis代考|MATH315

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• Statistical Computing 统计计算
• (Generalized) Linear Models 广义线性模型
• Statistical Machine Learning 统计机器学习
• Longitudinal Data Analysis 纵向数据分析
• Foundations of Data Science 数据科学基础

## 数学代写|实分析作业代写Real analysis代考|Convergent and Cauchy Sequences of Scalars

Convergence of sequences will be discussed in the more general setting of metric spaces in Section 1.1.1. Here we will only consider sequences $\left(x_n\right){n \in \mathbb{N}}$ of real or complex numbers. We say that a sequence of scalars $\left(x_n\right){n \in \mathbb{N}}$ converges if there exists a scalar $x$ such that for every $\varepsilon>0$ there is an $N>0$ such that
$$n \geq N \quad \Longrightarrow \quad\left|x-x_n\right|<\varepsilon .$$ In this case we say that $x_n$ converges to $x$ as $n \rightarrow \infty$, and we write $$x_n \rightarrow x \quad \text { or } \quad \lim {n \rightarrow \infty} x_n=x \quad \text { or } \quad \lim x_n=x .$$ We say that $\left(x_n\right){n \in \mathbb{N}}$ is a Cauchy sequence if for every $\varepsilon>0$ there exists an integer $N>0$ such that
$$m, n \geq N \quad \longrightarrow \quad\left|x_m-x_n\right|<\varepsilon .$$
An important consequence of the Supremum Property is that the following equivalence holds for any sequence of scalars:
$\left(x_n\right){n \in \mathbb{N}}$ is convergent $\Longleftrightarrow\left(x_n\right){n \in \mathbb{N}}$ is Cauchy.

Let $\left(x_n\right){n \in \mathbb{N}}$ be a sequence of real numbers. We say that the sequence $\left(x_n\right){n \in \mathbb{N}}$ diverges to $\infty$ as $n \rightarrow \infty$ if for each real number $R>0$ there is an integer $N>0$ such that $x_n>R$ for all $n \geq N$. In this case we write
$$\lim {n \rightarrow \infty} x_n=\infty .$$ We define divergence to $-\infty$ similarly. We say that $\lim {n \rightarrow \infty} x_n$ exists or that $\left(x_n\right)_{n \in \mathbb{N}}$ converges in the extended real sense if

• $x_n$ converges to a real number $x$ as $n \rightarrow \infty$, or
• $x_n$ diverges to $\infty$ as $n \rightarrow \infty$, or
• $x_n$ diverges to $-\infty$ as $n \rightarrow \infty$.
For example, every monotone increasing sequence of real numbers $\left(x_n\right)_{n \in \mathbb{N}}$ converges in the extended real sense, and in this case $\lim x_n=\sup x_n$. Similarly, a monotone decreasing sequence of real numbers converges in the extended real sense and its limit equals its infimum.

## 数学代写|实分析作业代写Real analysis代考|The Riemann Integral

Let $f:[a, b] \rightarrow \mathbb{R}$ be a bounded, real-valued function on a finite, closed interval $[a, b]$. A partition of $[a, b]$ is a choice of finitely many points $x_k$ in $[a, b]$ such that $a=x_0<x_1<\cdots<x_n=b$. If we wish to give this partition a name then we will write:
Let $\Gamma=\left{a=x_0<\cdots<x_n=b\right}$ be a partition of $[a, b]$.
The mesh size of $\Gamma$ is $|\Gamma|=\max \left{x_j-x_{j-1}: j=1, \ldots, n\right}$.

Given a partition $\Gamma=\left{a=x_0<\cdots<x_n=b\right}$, for each $j=1, \ldots, n$ let $m_j$ and $M_j$ denote the infimum and supremum of $f$ on the interval $\left[x_{j-1}, x_j\right]$ :
$$m_j=\inf {x \in\left[x{j-1}, x_j\right]} f(x) \quad \text { and } \quad M_j=\sup {x \in\left[x{j-1}, x_j\right]} f(x) .$$
The numbers
$$L_{\Gamma}=\sum_{j=1}^n m_j\left(x_j-x_{j-1}\right) \quad \text { and } \quad U_{\Gamma}=\sum_{j=1}^n M_j\left(x_j-x_{j-1}\right)$$
are called lower and upper Riemann sums for $f$, respectively. We say that $f$ is Riemann integrable on $[a, b]$ if there exists a real number $I$ such that
$$\sup {\Gamma} L{\Gamma}=\inf {\Gamma} U{\Gamma}=I,$$
where the supremum and infimum are taken over all partitions $\Gamma$. In this case, the number $I$ is the Riemann integral of $f$ over $[a, b]$, and we write $\int_a^b f(x) d x=I$

Here is an equivalent definition of the Riemann integral. Given a partition $\Gamma=\left{a=x_0<\cdots{|\Gamma| \rightarrow 0} R{\Gamma}$, where this means that for èvery $\varepsilon>0$, therre is a $\delta>0$ such that for any partition $\Gamma$ with $|\Gamma|<\delta$ and any choice of points $\xi_j \in\left[x_{j-1}, x_j\right]$ we have $\left|I-R_{\Gamma}\right|<\varepsilon$. In this case, $I$ is the Riemann integral of $f$ over $[a, b]$, and we write $\int_a^b f(x) d x=I$.
We declare that a complex-valued function $f$ on $[a, b]$ is Riemann integrable if its real and imaginary parts are both Riemann integrable.

# 实分析代写

## 数学代写|实分析作业代写Real analysis代考|Convergent and Cauchy Sequences of Scalars

$$n \geq N \quad \Longrightarrow \quad\left|x-x_n\right|<\varepsilon .$$ 在这种情况下，我们说 $x_n$ 收敛于 $x$ 作为 $n \rightarrow \infty$, 我们写 $$x_n \rightarrow x \quad \text { or } \quad \lim n \rightarrow \infty x_n=x \quad \text { or } \quad \lim x_n=x .$$ 我们说 $\left(x_n\right) n \in \mathbb{N}$ 是一个柯西序列，如果对于每个 $\varepsilon>0$ 存在一个整数 $N>0$ 这样
$$m, n \geq N \quad \longrightarrow \quad\left|x_m-x_n\right|<\varepsilon .$$ Supremum 属性的一个重要结果是以下等价性适用于任何标量序列: $\left(x_n\right) n \in \mathbb{N}$ 是收敛的 $\Longleftrightarrow\left(x_n\right) n \in \mathbb{N}$ 是柯西。 让 $\left(x_n\right) n \in \mathbb{N}$ 是一个实数序列。我们说序列 $\left(x_n\right) n \in \mathbb{N}$ 发散到 $\infty$ 作为 $n \rightarrow \infty$ 如果对于每个实数 $R>0$ 有一个整数 $N>0$ 这样 $x_n>R$ 对所有人 $n \geq N$. 在这种情况下我们写
$$\lim n \rightarrow \infty x_n=\infty .$$

• $x_n$ 收敛于实数 $x$ 作为 $n \rightarrow \infty$ ，要么
• $x_n$ 发散到 $\infty$ 作为 $n \rightarrow \infty$ ，要么
• $x_n$ 发散到 $-\infty$ 作为 $n \rightarrow \infty$.
例如，每个单调递增的实数序列 $\left(x_n\right)_{n \in \mathbb{N}}$ 在广义上收敛，在这种情况下 $\lim x_n=\sup x_n$. 类似 地，一个单调递减的实数序列在广义实数上收敛并且它的极限等于它的下确界。

## 数学代写|实分析作业代写Real analysis代考|The Riemann Integral

.Wedeclarethatacomplex – valuedfunction Fon $[\mathrm{a}$, b] 是黎曼可积的，如果它的实部和虚部都是黎曼可积的。

## 有限元方法代写

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## MATLAB代写

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