### 数学代写|黎曼几何代写Riemannian geometry代考|MTH3022

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## 数学代写|黎曼几何代写Riemannian geometry代考|Gauss–Bonnet Theorems

In this section we will prove both the local and the global version of the GaussBonnet theorem. A strong consequence of these results is the celebrated Gauss’ theorema egregium, which says that the Gaussian curvature of a surface is independent of its embedding in $\mathbb{R}^{3}$.

Definition $1.29$ Let $\gamma:[0, T] \rightarrow M$ be a smooth curve parametrized by arclength. The geodesic curvature of $\gamma$ is defined as
$$\rho_{\gamma}(t)=\omega_{\dot{\gamma}(t)}(\ddot{\gamma}(t))$$
Nótice that if $\gamma$ is a géodésic, thên $\rho_{\gamma}(t)=0$ fố everry $t \in[0, T]$. Thé geodesic curvature measures how far a curve is from being a geodesic.

Remark $1.30$ The geodesic curvature changes sign if we move along the curve in the opposite direction. Moreover, if $M=\mathbb{R}^{2}$, it coincides with the usual notion of the curvature of a planar curve.

## 数学代写|黎曼几何代写Riemannian geometry代考|Gauss–Bonnet Theorem: Local Version

A regular polygon in $\mathbb{R}^{2}$ is a polygon that is equiangular and equilateral. We include disks among regular polygons (as a limiting case, when the number of edges is infinite).

Definition 1.31 A curvilinear polygon $\Gamma$ on an oriented surface $M$ is the image of a regular polygon in $\mathbb{R}^{2}$ under a diffeomorphism. We assume that $\partial \Gamma$ is oriented consistently with the orientation of $M$.

Notice that a curvilinear polygon is always homeomorphic to a disk, and the case when $\partial \Gamma$ is smooth (and $\Gamma$ is diffeomorphic to the disk) is included in the definition.

In what follows, given a curvilinear polygon $\Gamma$ on an oriented surface $M$ (see Figure 1.2), we denote by

• $\gamma_{i}: I_{i} \rightarrow M$, for $i=1, \ldots, m$, the smooth curves parametrized by arc length, with orientation consistent with $\partial \Gamma$, such that $\partial \Gamma=\cup_{i=1}^{m} \gamma_{i}\left(I_{i}\right)$,
• $\alpha_{i}$, for $i=1, \ldots, m$, the external angles at the points where $\partial \Gamma$ is not $C^{1}$.
Theorem 1.32 (Gauss-Bonnet, local version) Let $\Gamma$ be a curvilinear polygon on an oriented surface $M$. Then we have
$$\int_{\Gamma} \kappa d V+\sum_{i=1}^{m} \int_{I_{i}} \rho_{\gamma_{i}}(t) d t+\sum_{i=1}^{m} \alpha_{i}=2 \pi$$
Proof (a) The case where $\partial \Gamma$ is smooth. In this case $\Gamma$ is the image of the unit (closed) ball $B_{1}$, centered at the origin of $\mathbb{R}^{2}$, under a diffeomorphism
$$F: B_{1} \rightarrow M . \quad \Gamma=F\left(B_{1}\right) .$$
In what follows we denote by $\gamma: I \rightarrow M$ the curve such that $\gamma(I)=\partial \Gamma$. We consider on $B_{1}$ the vector field $V(x)=x_{1} \partial_{x_{2}}-x_{2} \partial_{x_{1}}$ which has an isolated zero at the origin and whose flow is a rotation around zero. Denote by $X:=F_{*} V$ the induced vector field on $M$ with critical point $q_{0}=F(0)$.

## 数学代写|黎曼几何代写Riemannian geometry代考|Gauss–Bonnet Theorems

$$\rho_{\gamma}(t)=\omega_{\dot{\gamma}(t)}(\ddot{\gamma}(t))$$

## 数学代写|黎曼几何代写Riemannian geometry代考|Gauss–Bonnet Theorem: Local Version

• $\gamma_{i}: I_{i} \rightarrow M$ ，为了 $i=1, \ldots, m$, 由弧长参数化的平滑曲线，方向与 $\partial \Gamma$, 这样 $\partial \Gamma=\cup_{i=1}^{m} \gamma_{i}\left(I_{i}\right)$,
定理 $1.32$ (Gauss-Bonnet，本地版本) 让 $\Gamma$ 是有向曲面上的曲线多边形 $M$. 然后我们有
$$\int_{\Gamma} \kappa d V+\sum_{i=1}^{m} \int_{I_{i}} \rho_{\gamma_{i}}(t) d t+\sum_{i=1}^{m} \alpha_{i}=2 \pi$$
证明 (a) 情况 $\partial \Gamma$ 是光滑的。在这种情况下 $\Gamma$ 是单位（封闭) 球的形象 $B_{1}$ ，以原点为中心 $\mathbb{R}^{2}$ ，在微分同胚下
$$F: B_{1} \rightarrow M . \quad \Gamma=F\left(B_{1}\right) .$$
下面我们用 $\gamma: I \rightarrow M$ 曲线使得 $\gamma(I)=\partial \Gamma$. 我们考虑 $B_{1}$ 向量场 $V(x)=x_{1} \partial_{x_{2}}-x_{2} \partial_{x_{1}}$ 它在原点有一个 孤立的零，其流动是围绕零旋转。表示为 $X:=F_{*} V$ 上的诱导矢量场 $M$ 有临界点 $q_{0}=F(0)$.

## 有限元方法代写

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## MATLAB代写

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