### 统计代写|抽样理论作业代写sampling theory 代考|MATH525

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• (Generalized) Linear Models 广义线性模型
• Statistical Machine Learning 统计机器学习
• Longitudinal Data Analysis 纵向数据分析
• Foundations of Data Science 数据科学基础

## 统计代写|抽样理论作业代写sampling theory 代考|Variance Computation

The variance of the $\mathrm{HT}$-estimator is
\begin{aligned} V\left(\hat{t}{y \pi}\right)= & \sum{k \in U_N} \pi_{k \mid N}\left(1-\pi_{k \mid N}\right)\left(\frac{y_k}{\pi_{k \mid N}}\right)^2 \ & +\sum_{k \neq l \in U_N}\left(\pi_{k l \mid N}-\pi_{k \mid N} \pi_{l \mid N}\right) \frac{y_k}{\pi_{k \mid N}} \frac{y_l}{\pi_{l \mid N}} \end{aligned}
In Eq. (1.8), the first term in the right-hand side is the variance we would obtain if the units in the population were selected independently, which is known as Poisson sampling (see Sect. 1.4.1).

A gain in efficiency can be obtained by using fixed-size sampling designs, which are such that only the subsets $s$ in $U_N$ of size $n$ have positive selection probabilities $p_N(s)$. Many fixed-size sampling designs verify the so-called Sen-Yates-Grundy conditions:
$$\pi_{k l \mid N} \leq \pi_{k \mid N} \pi_{l \mid N} \text { for any } k \neq l \in U_N$$
Under Eq. (1.9), the second-term in the right-hand side of (1.8) is non-positive for a non-negative variable of interest $y_k$, resulting in a variance reduction as compared to Poisson sampling.

For fixed-size sampling designs, the variance of the HT-estimator may be rewritten as
$$V\left(\hat{t}{y \pi}\right)=\frac{1}{2} \sum{k \neq l \in U_N}\left(\pi_{k \mid N} \pi_{l \mid N}-\pi_{k l \mid N}\right)\left(\frac{y_k}{\pi_{k \mid N}}-\frac{y_l}{\pi_{l \mid N}}\right)^2$$
which is known as the Sen-Yates-Grundy (SYG) variance formula [53, 62].

## 统计代写|抽样理论作业代写sampling theory 代考|Variance Estimation

For any sampling design, the variance of the HT-estimator may be estimated by the HT-variance estimator
\begin{aligned} \hat{V}{H T}\left(\hat{t}{y \pi}\right)= & \sum_{k \in S_N}\left(1-\pi_{k \mid N}\right)\left(\frac{y_k}{\pi_{k \mid N}}\right)^2 \ & +\sum_{k \neq l \in S_N} \frac{\pi_{k l \mid N}-\pi_{k \mid N} \pi_{l \mid N}}{\pi_{k l \mid N}} \frac{y_k}{\pi_{k \mid N}} \frac{y_l}{\pi_{l \mid N}} \end{aligned}
For a fixed-size sampling design, we may alternatively use the SYG-variance estimator
$$\hat{V}{S Y G}\left(\hat{t}{y \pi}\right)=\frac{1}{2} \sum_{k \neq l \in S_N} \frac{\pi_{k \mid N} \pi_{l \mid N}-\pi_{k l \mid N}}{\pi_{k l \mid N}}\left(\frac{y_k}{\pi_{k \mid N}}-\frac{y_l}{\pi_{l \mid N}}\right)^2$$
These two variance estimators usually take different values.
Three properties related to the second-order inclusion probabilities are particularly useful for variance estimation. First and obviously, the $\pi_{k l \mid N}$ ‘s need to be calculable. Second, the two variance estimators are design-unbiased if and only if all the $\pi_{k l \mid N}$ ‘s are positive. Finally, for a fixed-size sampling design, the variance estimator $\hat{V}{S Y G}\left(\hat{t}{y \pi}\right)$ is non-negative for any variable of interest if and only if the SYG conditions given in (1.9) are respected.

# 抽样调查代考

## 统计代写|抽样理论作业代写sampling theory 代考|Variance Computation

$$V(\hat{t} y \pi)=\sum k \in U_N \pi_{k \mid N}\left(1-\pi_{k \mid N}\right)\left(\frac{y_k}{\pi_{k \mid N}}\right)^2+\sum_{k \neq l \in U_N}\left(\pi_{k l \mid N}-\pi_{k \mid N} \pi_{l \mid N}\right) \frac{y_k}{\pi_{k \mid N}} \frac{y_l}{\pi_{l \mid N}}$$

$$\pi_{k l \mid N} \leq \pi_{k \mid N} \pi_{l \mid N} \text { for any } k \neq l \in U_N$$

$$V(\hat{t} y \pi)=\frac{1}{2} \sum k \neq l \in U_N\left(\pi_{k \mid N} \pi_{l \mid N}-\pi_{k l \mid N}\right)\left(\frac{y_k}{\pi_{k \mid N}}-\frac{y_l}{\pi_{l \mid N}}\right)^2$$

## 统计代写|抽样理论作业代写sampling theory 代考|Variance Estimation

$$\hat{V} H T(\hat{t} y \pi)=\sum_{k \in S_N}\left(1-\pi_{k \mid N}\right)\left(\frac{y_k}{\pi_{k \mid N}}\right)^2+\sum_{k \neq l \in S_N} \frac{\pi_{k l \mid N}-\pi_{k \mid N} \pi_{l \mid N}}{\pi_{k l \mid N}} \frac{y_k}{\pi_{k \mid N}} \frac{y_l}{\pi_{l \mid N}}$$

$$\hat{V} S Y G(\hat{t} y \pi)=\frac{1}{2} \sum_{k \neq l \in S_N} \frac{\pi_{k \mid N} \pi_{l \mid N}-\pi_{k l \mid N}}{\pi_{k l \mid N}}\left(\frac{y_k}{\pi_{k \mid N}}-\frac{y_l}{\pi_{l \mid N}}\right)^2$$

## 广义线性模型代考

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## MATLAB代写

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