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统计力学是一个数学框架，它将统计方法和概率理论应用于大型微观实体的集合。它不假设或假定任何自然法则，而是从这种集合体的行为来解释自然界的宏观行为。
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物理代写|统计力学代写Statistical mechanics代考|High-temperature form
As $\beta \rightarrow 0$ there are contributions to Eq. (5.33) from large values of the quantum number $l$, which suggests we approximate the sum in Eq. (5.33) with an integral, using the form of $Z$ in Eq. (4.15). That route requires the density-of-states function, $\Omega(E)$, the derivative with respect to energy of the total number of energy states up to and including $E$. Energy at a specified value $E$ implies a maximum value of $l$ determined by $E=\hbar^2 l_{\max }\left(l_{\max }+1\right) /(2 I) \approx \hbar^2 l_{\max }^2 /(2 I)$ because $l_{\max } \gg 1$. How many states are there for $0 \leq l \leq l_{\max }$ ? It can be shown that
$$
\sum_{l=0}^{l_{\max }}(2 l+1)=\left(l_{\max }+1\right)^2 \approx l_{\max }^2 \approx \frac{2 I}{\hbar^2} E .
$$
The density of states is therefore $\Omega(E)=2 I / \hbar^2$. Thus, we can approximate Eq. (5.33),
$$
Z_{1, \text { rol }}(T)=\frac{2 I}{\hbar^2} \int_0^{\infty} \mathrm{e}^{-\beta E} \mathrm{~d} E=\frac{2 I}{\beta \hbar^2} \equiv \frac{T}{\Theta_r}, \quad\left(T \gg \Theta_r\right)
$$
where $\Theta_r=\hbar^2 /(2 I k)$ sets a characteristic temperature for rotational motions. ${ }^{23}$ Using equations that we’ve now used several times (Eqs. (4.40) and (P4.1)), with $Z=\left(Z_1\right)^N$,
$$
\begin{aligned}
\langle E\rangle_{\mathrm{rot}} &=N k T \
\left(C_V\right){\mathrm{rot}} &=N k, \quad(T \rightarrow \infty) \end{aligned} $$ the same as what we obtain from the equipartition theorem. A more accurate high-temperature form can be obtained using the result of Exercise 5.11: $$ Z{1, \mathrm{rot}}(T)=\frac{T}{\Theta_r}+\frac{1}{3}+\frac{1}{15} \frac{\Theta_r}{T}+\frac{4}{315}\left(\frac{\Theta_r}{T}\right)^2+\cdots . \quad\left(T \gg \Theta_r\right)
$$
From Eq. (5.37) we obtain an expression for the heat capacity more general than Eq. (5.36) (see Exercise 5.12),
$$
\left(C_V(T)\right){\mathrm{rot}}=N k\left[1+\frac{1}{45}\left(\frac{\Theta_r}{T}\right)^2+\frac{16}{945}\left(\frac{\Theta_r}{T}\right)^3+\cdots\right] . $$ We see that $\left(C_V(T)\right){\text {rot }}$ exceeds the classical value $N k$, a value that it tends to as $T \rightarrow \infty$.
物理代写|统计力学代写Statistical mechanics代考|Low-temperature form
In the low-temperature regime, $T \ll \Theta_r$, we have, from Eq. (5.33),
$$
Z(T){1, \mathrm{rot}}=1+3 \mathrm{e}^{-2 \Theta_r / T}+5 \mathrm{e}^{-6 \Theta_r / T}+\cdots . $$ In this case, the variable $\mathrm{e}^{-\Theta_r / T}$ is exponentially small as $T \rightarrow 0$. From Eq. (5.39), we find to lowest order $$ \left(C_V(T)\right){\mathrm{rot}} \approx 12 N k\left(\frac{\Theta_r}{T}\right)^2 \mathrm{e}^{-2 \Theta_r / T} . \quad\left(T \ll \Theta_r\right)
$$
As $T \rightarrow 0,\left(C_V(T)\right)_{\text {rot }}$ drops to zero exponentially fast; rotational degrees of freedom can’t be excited at sufficiently low temperature – they become “frozen out.”
The two equations, (5.38) and (5.40), are limiting forms of $\left(C_V(T)\right){\mathrm{rot}}$ in the high- and lowtemperature regimes. They each show that the heat capacity is temperature dependent. To obtain the complete temperature dependence of $\left(C_V(T)\right){\text {rot }}$ requires the use of a computer to evaluate the sum in Eq. (5.33) at each temperature. A detailed analysis shows there is a maximum value of $\left(C_V(T)\right)_{\mathrm{rot}} \approx 1.1 \mathrm{Nk}$ at $T \approx 0.81 \Theta_r$. Given that $\Theta_r \approx 10 \mathrm{~K}$, measurements of $C_V$ on diatomic gases at room temperature are consistent with the prediction of the equipartition theorem.
统计力学代考
物理代写|统计力学代写Statistical mechanics代考|High-temperature form
作为 $\beta \rightarrow 0$ 对方程式有贡献。(5.33) 从量子数的大值 $l$ ，这表明我们近似等式中的总和。(5.33) 与积 分，使用形式 $Z$ 在等式。(4.15)。这条路线需要状态密度函数， $\Omega(E)$ ，关于能量的导数，能量状态的 总数达到并包括 $E$. 指定值的能量 $E$ 意味着最大值 $l$ 取决于 $E=\hbar^2 l_{\max }\left(l_{\max }+1\right) /(2 I) \approx \hbar^2 l_{\max }^2 /(2 I)$ 因为 $l_{\max } \gg 1$. 有多少个州 $0 \leq l \leq l_{\max }$ ? 可以证 明
$$
\sum_{l=0}^{l_{\max }}(2 l+1)=\left(l_{\max }+1\right)^2 \approx l_{\max }^2 \approx \frac{2 I}{\hbar^2} E
$$
因此状态密度为 $\Omega(E)=2 I / \hbar^2$. 因此，我们可以近似等式。(5.33)，
$$
Z_{1, \text { rol }}(T)=\frac{2 I}{\hbar^2} \int_0^{\infty} \mathrm{e}^{-\beta E} \mathrm{~d} E=\frac{2 I}{\beta \hbar^2} \equiv \frac{T}{\Theta_r}, \quad\left(T \gg \Theta_r\right)
$$
在哪里 $\Theta_r=\hbar^2 /(2 I k)$ 设置旋转运动的特征温度。 ${ }^{23}$ 使用我们现在多次使用的方程 (方程 (4.40) 和 $(\mathrm{P} 4.1)), Z=\left(Z_1\right)^N$,
$$
\langle E\rangle_{\mathrm{rot}}=N k T\left(C_V\right) \text { rot }=N k, \quad(T \rightarrow \infty)
$$
与我们从均分定理中得到的相同。使用练习 $5.11$ 的结果可以得到更精确的高温形式:
$$
Z 1, \operatorname{rot}(T)=\frac{T}{\Theta_r}+\frac{1}{3}+\frac{1}{15} \frac{\Theta_r}{T}+\frac{4}{315}\left(\frac{\Theta_r}{T}\right)^2+\cdots . \quad\left(T \gg \Theta_r\right)
$$
从方程式。(5.37) 我们得到了一个比方程更一般的热容量表达式。(5.36) (见刃题 5.12)，
$$
\left(C_V(T)\right) \operatorname{rot}=N k\left[1+\frac{1}{45}\left(\frac{\Theta_r}{T}\right)^2+\frac{16}{945}\left(\frac{\Theta_r}{T}\right)^3+\cdots\right] .
$$
我们看到 $\left(C_V(T)\right) \operatorname{rot}$ 超过经典值 $N k$, 它倾向于作为的值 $T \rightarrow \infty$.
物理代写|统计力学代写Statistical mechanics代考|Low-temperature form
在低温状态下， $T \ll \Theta_r$ ，我们有，从方程。(5.33),
$$
Z(T) 1, \text { rot }=1+3 \mathrm{e}^{-2 \Theta_r / T}+5 \mathrm{e}^{-6 \Theta_r / T}+\cdots .
$$
在这种情况下，变量 $\mathrm{e}^{-\Theta_r / T}$ 呈指数级小 $T \rightarrow 0$. 从方程式。(5.39)，我们找到最低阶
$$
\left(C_V(T)\right) \operatorname{rot} \approx 12 N k\left(\frac{\Theta_r}{T}\right)^2 \mathrm{e}^{-2 \Theta_r / T} . \quad\left(T \ll \Theta_r\right)
$$
作为 $T \rightarrow 0,\left(C_V(T)\right){\text {rot }}$ 以指数速度快速下降到零; 旋转自由度不能在足够低的温度下被激发一一它 们会被“冻结”。 (5.38) 和 (5.40) 这两个方程是 $\left(C_V(T)\right)$ rot在高温和低温状态。它们都表明热容量与温度有关。为了 获得完全的温度依赖性 $\left(C_V(T)\right)$ rot 需要使用计算机来评估方程式中的总和。(5.33) 在每个温度下。 详细分析显示，最大值为 $\left(C_V(T)\right){\text {rot }} \approx 1.1 \mathrm{Nk}$ 在 $T \approx 0.81 \Theta_r$. 鉴于 $\Theta_r \approx 10 \mathrm{~K}$, 测量 $C_V$ 常温下 对双原子气体的预测与均分定理的预测是一致的。
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金融工程代写
金融工程是使用数学技术来解决金融问题。金融工程使用计算机科学、统计学、经济学和应用数学领域的工具和知识来解决当前的金融问题，以及设计新的和创新的金融产品。
非参数统计代写
非参数统计指的是一种统计方法，其中不假设数据来自于由少数参数决定的规定模型；这种模型的例子包括正态分布模型和线性回归模型。
广义线性模型代考
广义线性模型（GLM）归属统计学领域，是一种应用灵活的线性回归模型。该模型允许因变量的偏差分布有除了正态分布之外的其它分布。
术语 广义线性模型（GLM）通常是指给定连续和/或分类预测因素的连续响应变量的常规线性回归模型。它包括多元线性回归，以及方差分析和方差分析（仅含固定效应）。
有限元方法代写
有限元方法（FEM）是一种流行的方法，用于数值解决工程和数学建模中出现的微分方程。典型的问题领域包括结构分析、传热、流体流动、质量运输和电磁势等传统领域。
有限元是一种通用的数值方法，用于解决两个或三个空间变量的偏微分方程（即一些边界值问题）。为了解决一个问题，有限元将一个大系统细分为更小、更简单的部分，称为有限元。这是通过在空间维度上的特定空间离散化来实现的，它是通过构建对象的网格来实现的：用于求解的数值域，它有有限数量的点。边界值问题的有限元方法表述最终导致一个代数方程组。该方法在域上对未知函数进行逼近。[1] 然后将模拟这些有限元的简单方程组合成一个更大的方程系统，以模拟整个问题。然后，有限元通过变化微积分使相关的误差函数最小化来逼近一个解决方案。
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随机分析代写
随机微积分是数学的一个分支，对随机过程进行操作。它允许为随机过程的积分定义一个关于随机过程的一致的积分理论。这个领域是由日本数学家伊藤清在第二次世界大战期间创建并开始的。
时间序列分析代写
随机过程，是依赖于参数的一组随机变量的全体，参数通常是时间。 随机变量是随机现象的数量表现，其时间序列是一组按照时间发生先后顺序进行排列的数据点序列。通常一组时间序列的时间间隔为一恒定值（如1秒，5分钟，12小时，7天，1年），因此时间序列可以作为离散时间数据进行分析处理。研究时间序列数据的意义在于现实中，往往需要研究某个事物其随时间发展变化的规律。这就需要通过研究该事物过去发展的历史记录，以得到其自身发展的规律。
回归分析代写
多元回归分析渐进（Multiple Regression Analysis Asymptotics）属于计量经济学领域，主要是一种数学上的统计分析方法，可以分析复杂情况下各影响因素的数学关系，在自然科学、社会和经济学等多个领域内应用广泛。
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