### 物理代写|统计物理代写Statistical Physics of Matter代考|PHYSICS7546

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## 物理代写|统计物理代写Statistical Physics of Matter代考|Fluids of Interacting Particles

Now we focus on the particles that have no internal structures but have mutual interaction $\Phi\left{\boldsymbol{r}{i}\right}=\sum{i>j} \varphi\left(\boldsymbol{r}{i}-\boldsymbol{r}{j}\right)$ where the interaction potential is isotropic: $\varphi\left(\boldsymbol{r}{i}-\boldsymbol{r}{j}\right)=\varphi\left(\left|\boldsymbol{r}{i}-\boldsymbol{r}{j}\right|\right) \equiv \varphi\left(r_{i j}\right)$. Considering the Hamiltonian, $\mathcal{H}\left{\boldsymbol{p}{i}, \boldsymbol{r}{i}\right}=$ $K\left{\boldsymbol{p}{i}\right}+\Phi\left{\boldsymbol{r}{i}\right}$, the partition function is given by
\begin{aligned} Z_{N} &=\frac{1}{N !} \frac{1}{h^{3 N}} \int \ldots \int d p_{1} d r_{1} \ldots d p_{N} d r_{N} e^{-\beta\left[\Sigma_{i-1}^{N} \frac{p_{i}^{2}}{2 m}+\Sigma_{i>j} \varphi\left(r_{i}-r_{j}\right)\right]} \ &=Z_{N}^{0} Q_{N}=\frac{1}{N !}\left(\frac{V}{\lambda^{3}}\right)^{N} Q_{N} \end{aligned}
where
$$Q_{N}=\frac{1}{V^{N}} \int \ldots \int d \boldsymbol{r}{1} \ldots d \boldsymbol{r}{N} e^{-\beta \Sigma_{i>j} \varphi\left(\boldsymbol{r}{i}-\boldsymbol{r}{j}\right)}$$
is the configurational partition function of $N$ interacting particles.
P4.5 A lot of biological problems is modelled to be one-dimensional; for an example, protein or ion in motion along DNA. As a useful model [Möbius et al, 2013], consider Tonks gas, which is a collection of $N$ particles in the interval $0\sigma$. Calculate the configuration partition function $Q_{N}$, and the one-dimensional pressure acting at an end.

## 物理代写|统计物理代写Statistical Physics of Matter代考|The Virial Expansion–Low Density Approximation

We first consider dilute fluids where the inter-particle interactions can be regarded as a perturbation. We start by rewriting $Q_{N}$ as
$$Q_{N}=V^{-N} \int d r_{1} \ldots d r_{N} \prod_{i>j}\left(1+f_{i j}\right)$$
where $f_{i j}=e^{-\beta \varphi\left(r_{i j}\right)}-1$ is a function that is appreciable only when $r_{i j}$ is within the range of potential, which we regard as short. For dilute gases, the value of $f_{i j}$ is small and serves as a perturbation in terms of which we perform expansion:

\prod_{i>j}\left(1+f_{i j}\right)=1+\sum_{i>j} f_{i j}+\sum_{i{1} \ldots d \boldsymbol{r}{N}\left(1+\sum_{i>j} f_{i j}\right) \ &=1+\frac{1}{V^{N}} \int \ldots \int d \boldsymbol{r}{1} \ldots d \boldsymbol{r}{N} \sum_{i>j} f_{i j} \ &=1+\frac{N^{2}}{2 V} \int d \boldsymbol{r}{21} f{12} \end{aligned}
where we note the number of interacting pairs is $N(N-1) / 2 \approx N^{2} / 2$, and
$$\int d \boldsymbol{r}{1} d \boldsymbol{r}{2} d \boldsymbol{r}{3} \ldots d \boldsymbol{r}{N}=\int d \boldsymbol{r}{1} d \boldsymbol{r}{21} d \boldsymbol{r}{3} \ldots d \boldsymbol{r}{N}=V^{N-1} \int d \boldsymbol{r}_{21}$$

## 物理代写|统计物理代写Statistical Physics of Matter代考|Fluids of Interacting Particles

$$\left.Z_{N}=\frac{1}{N !} \frac{1}{h^{3 N}} \int \ldots \int d p_{1} d r_{1} \ldots d p_{N} d r_{N} e^{-\beta\left[\Sigma_{i-1}^{N} \frac{p_{i}^{2}}{2 m}+\Sigma_{i>j} \varphi\left(r_{i}-r_{j}\right)\right.}\right] \quad=Z_{N}^{0} Q_{N}=\frac{1}{N !}\left(\frac{V}{\lambda^{3}}\right)^{N} Q_{N}$$

$$Q_{N}=\frac{1}{V^{N}} \int \ldots \int d r 1 \ldots d \boldsymbol{r} N e^{-\beta \Sigma_{i, j} \varphi(r i-r j)}$$

P4.5 很多生物学问题被建模为一维的；例如，沿着 DNA 运动的蛋白质或离子。作为一个有用的模型 [Möbius et al， 2013]，考虑 Tonks gas，它是 $N$ 区间内的粒子 $0 \sigma$. 计算配置分区函数 $Q_{N}$ ，以及作用在末端的一维压力。

## 物理代写|统计物理代写Statistical Physics of Matter代考|The Virial Expansion–Low Density Approximation

$$Q_{N}=V^{-N} \int d r_{1} \ldots d r_{N} \prod_{i>j}\left(1+f_{i j}\right)$$

$\$ \$$f_{ij}\right) \backslash \&=1+\backslash f r a c{N \wedge{2}{2 \mathrm{~V}} \backslash int d \backslash boldsymbol {\mathrm{r}} 21} \mathrm{f}{12} lend{对齐 } wherewenotethenumberofinteractingpairsis \ N(N-1) / 2 \approx N^{2} / 2 \$$, and
lint $d \backslash$ boldsymbol{r}{1} $d \backslash$ boldsymbol ${r}{2} d \backslash$ boldsymbol ${r}{3} \backslash$ dots $d \backslash$ boldsymbol ${r}{N}=\backslash i n t d$
Vboldsymbol $\left{\mathrm{r}_{-}{21}\right.$
$\$ \

## 有限元方法代写

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## MATLAB代写

MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中，其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括：数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发，包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统，其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题，尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题，而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问，这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展，得到了许多用户的投入。在大学环境中，它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域，MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要，工具箱允许您学习应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数（M 文件）的综合集合，可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。