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随机微积分是处理含有随机成分的过程的数学领域，因此允许对随机系统进行建模。许多随机过程是基于连续的函数，但没有可微的地方。
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经济代写|随机微积分代写Stochastic calculus代考|Martingales
In this section, we will fix a probability space $(\Omega, \mathcal{F}, \mathrm{P})$ and a filtration $(\mathcal{F}$. ). We will only be consideríng $\mathbb{R}$-valued processes in thís section.
Definition $1.9$ A sequence $M=\left{M_n\right}$ of random variables is said to be a martingale if $M$ is $\left(\mathcal{F}{\text {. }}\right)$ adapted and for $n \geq 0$ one has $\mathrm{E}\left[\left|M_n\right|\right]<\infty$ and $$ \mathrm{E}{\mathrm{P}}\left[M_{n+1} \mid \mathcal{F}n\right]=M_n . $$ Definition 1.10 A sequence $M=\left{M_n\right}$ of random variables is said to be a submartingale if $M$ is $\left(\mathcal{F}\right.$.) adapted and for $n \geq 0$ one has $\mathrm{E}\left[\left|M_n\right|\right]<\infty$ and $$ \mathrm{E}{\mathrm{p}}\left[M_{n+1} \mid \mathcal{F}n\right] \geq M_n . $$ When there are more than one filtration in consideration, we will call it a $(\mathcal{F}$.)martingale or martingale w.r.t. $\left(\mathcal{F}\right.$. ). Alternatively, we will say that $\left{\left(M_n, \mathcal{F}_n\right): n \geq\right.$ $0}$ is a martingale. It is easy to see that for a martingale $M$, for any $m{\mathrm{P}}\left[M_n \mid \mathcal{F}_m\right]=M_m
$$
and similar statement is also true for submartingales. Indeed, one can define martingales and submartingales indexed by an arbitrary partially ordered set. We do not discuss these in this book.
If $M$ is a martingale and $\phi$ is a convex function on $\mathbb{R}$, then Jensen’s inequality implies that the process $X=\left{X_n\right}$ defined by $X_n=\phi\left(M_n\right)$ is a submartingale provided $X_n$ is integrable for all $n$. If $M$ is a submartingale and $\phi$ is an increasing convex function then $X$ is also a submartingale provided $X_n$ is integrable for each $n$. In particular, if $M$ is a martingale or a positive submartingale with $\mathrm{E}\left[M_n^2\right]<\infty$ for all $n$, then $Y$ defined by $Y_n=M_n^2$ is a submartingale.
When we are having only one filtration under consideration, we will drop reference to it and simply say $M$ is a martingale. It is easy to see also that sum of two martingales with respect to the same underlying filtration is also a martingale. We note here an important property of martingales that would be used later.
经济代写|随机微积分代写Stochastic calculus代考|Stopping Times
We continue to work with a fixed probability space $(\Omega, \mathcal{F}, \mathrm{P})$ and a filtration $(\mathcal{F}$. ).
Definition $1.18$ A stopping time $\tau$ is a function from $\Omega$ to ${0,1,2, \ldots,} \cup{\infty}$ such that
$$
{\tau=n} \in \mathcal{F}_n, \quad \forall n<\infty .
$$
Equivalently, $\tau$ is a stopping time if ${\tau \leq n} \in \mathcal{F}_n$ for all $n \geq 1$. Stopping times were introduced in the context of Markov Chains by Doob. Martingales and stopping times together are very important tools in the theory of stochastic process in general and stochastic calculus in particular.
Definition 1.19 Let $\tau$ be a stopping time and $X$ be an adapted process. The stopped random variable $X_\tau$ is defined by
$$
X_\tau(\omega)=\sum_{n=0}^{\infty} X_n(\omega) 1_{{\tau=n}} .
$$
Note that by definition, $X_\tau=X_\tau 1_{{\tau<\infty}}$. The following results connecting martingales and submartingales and stopping times (and their counterparts in continuous time) play a very important role in the theory of stochastic processes.
Exercise 1.20 Let $\sigma$ and $\tau$ be two stopping times and let
$$
\xi=\tau \vee \sigma \text { and } \eta=\tau \wedge \sigma .
$$
Show that $\xi$ and $\eta$ are also stopping times. Here and in the rest of this book, $a \vee b=\max (a, b)$ and $a \wedge b=\min (a, b)$.
Exercise 1.21 Let $\tau$ be a random variable taking values in ${0,1,2, \ldots}$, and for $n \geq 0$, let $\mathcal{F}_n$ be the $\sigma$-field generated by $\tau \wedge n$. Characterize all the stopping times w.r.t. this filtration.
Theorem 1.22 Let $M=\left{M_n\right}$ be a submartingale and $\tau$ be a stopping time. Then the process $N=\left{N_n\right}$ defined by
$$
N_n=M_{n \wedge \tau}
$$
is a submartingale. Further, if $M$ is a martingale then so is $N$.
随机微积分代考
经济代写|随机微积分代写Stochastic calculus代考|Martingales
在本节中，我们将修复一个概率空间 $(\Omega, \mathcal{F}, \mathrm{P})$ 和过滤 $(\mathcal{F}$.$) 。我们只会考虑 \mathbb{R}$ 本节中的价值流程。
$$
\mathrm{EP}\left[M_{n+1} \mid \mathcal{F} n\right]=M_n .
$$
$\mathrm{E}\left[\left|M_n\right|\right]<\infty$ 和
$$
\operatorname{Ep}\left[M_{n+1} \mid \mathcal{F} n\right] \geq M_n .
$$
当考虑的过滤不止一种时，我们将其称为 $(\mathcal{F}$.) 鞅或鞅 $\operatorname{wrt}(\mathcal{F}$.) 。或者，我们会说 $m \mathrm{P}\left[M_n \mid \mathcal{F}_m\right]=M_m \$$
和类似的陈述也适用于亚鞅。实际上，可以定义由任意偏序集索引的鞅和子鞅。我们在本书中不讨论这些。
如果 $M$ 是鞅并且 $\phi$ 是一个凸函数 $\mathbb{R}$ ，那么Jensen 不等式意味着这个过程 X=|left{X_n!right} 被定义为 $X_n=\phi\left(M_n\right)$ 是提供的亚鞅 $X_n$ 对所有人都是可积的 $n$. 如果 $M$ 是一个亚鞅并且 $\phi$ 是一个递增的凸函数 $X$ 也是提供的亚鞅 $X_n$ 对每 个都是可积的 $n$. 特别是，如果 $M$ 是鞅或正亚鞅 $\mathrm{E}\left[M_n^2\right]<\infty$ 对所有人 $n$ ，然后 $Y$ 被定义为 $Y_n=M_n^2$ 是一个亚 鞅。
当我们只考虑一种过滤时，我们将放弃对它的引用并简单地说 $M$ 是鞅。也很容易看出，对于相同的底层过滤，两 个鞅的总和也是一个鞅。我们在这里注意到鞅的一个重要性质，以后会用到。
经济代写|随机微积分代写Stochastic calculus代考|Stopping Times
我们继续使用固定的概率空间 $(\Omega, \mathcal{F}, \mathrm{P})$ 和过滤 $(\mathcal{F}$.$) 。$
定义1.18-个停止时间 $\tau$ 是一个函数 $\Omega$ 至 $0,1,2, \ldots, \cup \infty$ 这样
$$
\tau=n \in \mathcal{F}n, \quad \forall n<\infty . $$ 等效地， $\tau$ 是一个停止时间，如果 $\tau \leq n \in \mathcal{F}_n$ 对所有人 $n \geq 1$. Doob 在马尔可夫链的背景下引入了停止时间。鞅 和停止时间一起是随机过程理论中非常重要的工具，特别是随机微积分。 定义 $1.19$ 让 $\tau$ 是一个停止时间和 $X$ 是一个适应的过程。停止的随机变量 $X\tau$ 定义为
$$
X_\tau(\omega)=\sum_{n=0}^{\infty} X_n(\omega) 1_{\tau=n} .
$$
请注意，根据定义， $X_\tau=X_\tau 1_{\tau<\infty}$. 以下连接鞅和亚鞅和停止时间（以及它们在连续时间中的对应物) 的结果在 随机过程理论中起着非常重要的作用。
练习 $1.20$ 让 $\sigma$ 和 $\tau$ 是两个停止时间，让
$$
\xi=\tau \vee \sigma \text { and } \eta=\tau \wedge \sigma .
$$
显示 $\xi$ 和 $\eta$ 也是停止时间。在这里和本书的其余部分， $a \vee b=\max (a, b)$ 和 $a \wedge b=\min (a, b)$.
练习 $1.21$ 让 $\tau$ 是一个随机变量，取值 $0,1,2, \ldots$ ，并且对于 $n \geq 0$ ，让 $\mathcal{F}n$ 成为 $\sigma$-生成的字段 $\tau \wedge n$. 表征此过滤 的所有停止时间。 $$ N_n=M{n \wedge \tau}
$$
是一个亚鞅。此外，如果 $M$ 是鞅然后也是 $N$.
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金融工程代写
金融工程是使用数学技术来解决金融问题。金融工程使用计算机科学、统计学、经济学和应用数学领域的工具和知识来解决当前的金融问题，以及设计新的和创新的金融产品。
非参数统计代写
非参数统计指的是一种统计方法，其中不假设数据来自于由少数参数决定的规定模型；这种模型的例子包括正态分布模型和线性回归模型。
广义线性模型代考
广义线性模型（GLM）归属统计学领域，是一种应用灵活的线性回归模型。该模型允许因变量的偏差分布有除了正态分布之外的其它分布。
术语 广义线性模型（GLM）通常是指给定连续和/或分类预测因素的连续响应变量的常规线性回归模型。它包括多元线性回归，以及方差分析和方差分析（仅含固定效应）。
有限元方法代写
有限元方法（FEM）是一种流行的方法，用于数值解决工程和数学建模中出现的微分方程。典型的问题领域包括结构分析、传热、流体流动、质量运输和电磁势等传统领域。
有限元是一种通用的数值方法，用于解决两个或三个空间变量的偏微分方程（即一些边界值问题）。为了解决一个问题，有限元将一个大系统细分为更小、更简单的部分，称为有限元。这是通过在空间维度上的特定空间离散化来实现的，它是通过构建对象的网格来实现的：用于求解的数值域，它有有限数量的点。边界值问题的有限元方法表述最终导致一个代数方程组。该方法在域上对未知函数进行逼近。[1] 然后将模拟这些有限元的简单方程组合成一个更大的方程系统，以模拟整个问题。然后，有限元通过变化微积分使相关的误差函数最小化来逼近一个解决方案。
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随机分析代写
随机微积分是数学的一个分支，对随机过程进行操作。它允许为随机过程的积分定义一个关于随机过程的一致的积分理论。这个领域是由日本数学家伊藤清在第二次世界大战期间创建并开始的。
时间序列分析代写
随机过程，是依赖于参数的一组随机变量的全体，参数通常是时间。 随机变量是随机现象的数量表现，其时间序列是一组按照时间发生先后顺序进行排列的数据点序列。通常一组时间序列的时间间隔为一恒定值（如1秒，5分钟，12小时，7天，1年），因此时间序列可以作为离散时间数据进行分析处理。研究时间序列数据的意义在于现实中，往往需要研究某个事物其随时间发展变化的规律。这就需要通过研究该事物过去发展的历史记录，以得到其自身发展的规律。
回归分析代写
多元回归分析渐进（Multiple Regression Analysis Asymptotics）属于计量经济学领域，主要是一种数学上的统计分析方法，可以分析复杂情况下各影响因素的数学关系，在自然科学、社会和经济学等多个领域内应用广泛。
MATLAB代写
MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中，其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括：数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发，包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统，其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题，尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题，而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问，这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展，得到了许多用户的投入。在大学环境中，它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域，MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要，工具箱允许您学习和应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数（M 文件）的综合集合，可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。