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统计代写|随机过程代写stochastic process代考|Fernique’s Convexity Argument
Our approach to the left-hand side of (3.31) is based on the following elementary fact, which is a consequence of the Hahn-Banach theorem:
Lemma 3.3.2 Consider a number $a>0$. Consider a set $\mathcal{S}$ of functions on a finite set $T$. Assume that for each probability measure $v$ on $T$, there exists $f \in \mathcal{S}$ such that $\int f \mathrm{~d} v \leq a$. Then for each $\epsilon>0$, there is a function $f$ in the convex hull of $\mathcal{S}$ such that $f \leq a+\varepsilon$.
Proof Denote $\mathcal{S}^{+}$the set of functions $g$ such that there exists $f \in \mathcal{S}$ with $f \leq g$. Denote by $\mathcal{C}$ the closed convex hull of $\mathcal{S}^{+}$. We prove that the constant function a equal to $a$ everywhere belongs to $\mathcal{C}$. We proceed by contradiction. If this is not the case, by the Hahn-Banach theorem, we may separate $\mathcal{C}$ and $a$. That is, there exists a linear functional $\varphi$ on the space of functions on $T$ such that $\varphi(f)>\varphi($ a) for $f \in \mathcal{C}$. Consider then a function $g$ on $T$ with $g \geq 0$. For each $\lambda>0$ and each $f \in \mathcal{S}$, we have $f+\lambda g \geq f$ so that $f+\lambda g \in \mathcal{C}$ and hence $\varphi(f)+\lambda \varphi(g)>\varphi(\mathrm{a})$. This proves that $\varphi(g) \geq 0$, i.e., $\varphi$ is positive. Since $T$ is finite, $\varphi$ is of the form $\varphi(g)=\sum_{t \in T} \alpha_t g(t)$ for numbers $\alpha_t \geq 0$. Setting $\beta=\sum_{t \in T} \alpha(t)$, consider the probability measure $v$ on $T$ given by $v({t})=\alpha_t / \beta$ for $t \in T$. Then $\varphi(g)=\beta \int g \mathrm{~d} v$ for each function $g$ on $T$. Taking $g=$ a shows that $\beta a=\varphi($ a). By hypothesis, there exists $f \in \mathcal{C}$ with $\int f \mathrm{~d} v \leq a$. Then $\varphi(f)=\beta \int f \mathrm{~d} v \leq \beta a=\varphi($ a), a contradiction. So we have proved that a $\in \mathcal{C}$, the closure of the convex hull of $\mathcal{S}^{+}$. Consequently, there is one point of this convex hull which is $\leq a+\epsilon$ everywhere. The result follows.
Of course, the hypothesis that $T$ is finite is inessential; it is just to avoid secondary complications.
Let us give a version of the basic lemma sufficiently general to cover all our needs.
统计代写|随机过程代写stochastic process代考|From Majorizing Measures to Sequences of Partitions
In Sect. 3.1, we have proved that given a probability measure $\mu$ on a metric space $T$, we have
$$
\gamma_2(T, d) \leq L \sup {t \in T} I\mu(t)
$$
We do not know how to generalize the arguments of the proof to the more general settings we will consider later. We give now a direct proof, following a scheme which we know how to generalize. The contents of this section will not be relevant until Chap. 11. First, we prove that
$$
\Delta(T) \leq L \sup {t \in T} I\mu(t) .
$$
For this, we consider $s, t \in T$ with $d(s, t)>\Delta(T) / 2$ so that since the balls $B(t, \Delta(T) / 4)$ and $B(s, \Delta(T) / 4)$ are disjoint, one of them, say the first one, has a measure $\leq 1 / 2$. Then $\mu(B(t, \epsilon)) \leq 1 / 2$ for $\epsilon \leq \Delta(T) / 4$ and thus $I_\mu(t) \geq$ $\sqrt{\log 2} \Delta(T) / 4$. We have proved (3.42).
We start the main argument. We will construct an admissible sequence $\left(\mathcal{A}n\right)$ of partitions of $T$ which witnesses (3.41). For $A \in \mathcal{A}_n$, we also construct an integer $j_n(A)$ as follows: First, we set $\mathcal{A}_0=\mathcal{A}_1={T}$ and $j_0(T)=j_1(T)=j_0$, the largest integer with $\Delta(T) \leq 2^{-j_0(T)}$. Next for $n \geq 1$, we require the conditions $$ \begin{gathered} A \in \mathcal{A}_n \Rightarrow \Delta(A) \leq 2^{-j_n(A)+2}, \ t \in A \in \mathcal{A}_n \Rightarrow \mu\left(B\left(t, 2^{-j_n(A)}\right)\right) \geq N{n-1}^{-1} .
\end{gathered}
$$
The construction proceeds as follows: Having constructed $\mathcal{A}n$, we split each element $A$ of $\mathcal{A}_n$ into at most $N_n$ pieces, ensuring that card $\mathcal{A}{n+1} \leq N_n^2=N_{n+1}$. For this, we set
$$
A_0=\left{t \in A ; \mu\left(B\left(t, 2^{-j_n(A)-1}\right)\right) \geq 1 / N_n\right}
$$
We claim first that we may cover $A_0$ by $2^{-j_n(A)}$. The balls of radius $2^{-j_n(A)-1}$ centered at the points of $W$ are disjoint, and each of them is of measure $>N_n^{-1}$ by (3.45), so that there are $<N_n$ of them. Since $W$ is maximum, the balls of radius $2^{-j_n(A)}$ centered at the points of $W$ cover $A_0$, and each of them has diameter $\leq 2^{-j_n(A)+1}$. Thus, there exists a partition of $A_0$ in $<N_n$ sets of diameter $\leq 2^{-j_n(A)+1}$. The required partition of $A$ consists of these sets $B$ and of $A_1=A \backslash A_0$. For each set $B$, we set $j_{n+1}(B)=j_n(A)+1$, and we set $j_{n+1}\left(A_1\right)=j_n(A)$, so that conditions (3.43) and (3.44) hold.
随机过程代考
统计代写|随机过程代写stochastic process代考|Fernique’s Convexity Argument
我们对 (3.31) 左侧的处理基于以下基本事实，这是 Hahn-Banach 定理的结果：
引理 3.3.2 考虑一个数 $a>0$. 考虑一组 $\mathcal{S}$ 有限集上的函数 $T$. 假设对于每个概率度量 $v$ 在 $T$ ， 那里存在 $f \in \mathcal{S}$ 这样 $\int f \mathrm{~d} v \leq a$. 然后对于每个 $\epsilon>0$, 有一个函数 $f$ 在凸包中 $\mathcal{S}$ 这样 $f \leq a+\varepsilon$.
证明表示 $\mathcal{S}^{+}$函数集 $g$ 这样就存在 $f \in \mathcal{S}$ 和 $f \leq g$. 表示为 $\mathcal{C}$ 的闭凸包 $\mathcal{S}^{+}$. 我们证明常数函数a等于 $a$ 处处属 于 $\mathcal{C}$. 我们通过矛盾进行。如果不是这种情况，根据 Hahn-Banach 定理，我们可以分离 $\mathcal{C}$ 和 $a$. 也就是说， 存在线性泛函 $\varphi$ 在函数空间上 $T$ 这样 $\varphi(f)>\varphi(一)$ 为 $f \in \mathcal{C}$. 然后考虑一个函数 $g$ 在 $T$ 和 $g \geq 0$. 对于每 个 $\lambda>0$ 和每个 $f \in \mathcal{S}$ ，我们有 $f+\lambda g \geq f$ 以便 $f+\lambda g \in \mathcal{C}$ 因此 $\varphi(f)+\lambda \varphi(g)>\varphi(\mathrm{a})$. 这证明 $\varphi(g) \geq 0$ ，那是， $\varphi$ 是积极的。自从 $T$ 是有限的， $\varphi$ 是形式 $\varphi(g)=\sum_{t \in T} \alpha_t g(t)$ 对于数字 $\alpha_t \geq 0$. 环 境 $\beta=\sum_{t \in T} \alpha(t)$ ，考虑概率测度 $v$ 在 $T$ 由 $v(t)=\alpha_t / \beta$ 为了 $t \in T$. 然后 $\varphi(g)=\beta \int g \mathrm{~d} v$ 对于每个函 数 $g$ 在 $T$. 服用 $g=$ 一个表明 $\beta a=\varphi(\mathrm{A})$ 。根据假设，存在 $f \in \mathcal{C}$ 和 $\int f \mathrm{~d} v \leq a$. 然后
$\varphi(f)=\beta \int f \mathrm{~d} v \leq \beta a=\varphi(\mathrm{a})$ 自相矛盾。所以我们证明了一个 $\mathcal{C}$ ，的凸包的闭包 $\mathcal{S}^{+}$. 因此，这个凸 包有一个点是 $\leq a+\epsilon$ 到处。结果如下。
当然，假设 $T$ 是有限的是无关紧要的；这只是为了避免继发性并发症。
让我们给出一个足够通用的基本引理版本来满足我们所有的需要。
统计代写|随机过程代写stochastic process代考|From Majorizing Measures to Sequences of Partitions
昆虫。3.1、我们证明了给定一个概率测度 $\mu$ 在度量空间 $T$ ，我们有
$$
\gamma_2(T, d) \leq L \sup t \in T I \mu(t)
$$
我们不知道如何将证明的论点推广到我们稍后将考虑的更一般的设置。我们现在给出一个直接的证明，遵 循一个我们知道如何概括的方案。本节的内容将在第 1 章之前不相关。11. 首先，我们证明
$$
\Delta(T) \leq L \sup t \in T I \mu(t)
$$
为此，我们考虑 $s, t \in T$ 和 $d(s, t)>\Delta(T) / 2$ 这样自从球 $B(t, \Delta(T) / 4)$ 和 $B(s, \Delta(T) / 4)$ 是不相交 的，其中一个，比如说第一个，有一个度量 $\leq 1 / 2$. 然后 $\mu(B(t, \epsilon)) \leq 1 / 2$ 为了 $\epsilon \leq \Delta(T) / 4$ 因此 $I_\mu(t) \geq \sqrt{\log 2} \Delta(T) / 4$. 我们已经证明了 (3.42)。
我们开始主要论点。我们将构建一个可接受的序列 $(\mathcal{A} n)$ 分区的 $T$ 见证人 (3.41)。为了 $A \in \mathcal{A}n$ ，我们 还构造了一个整数 $j_n(A)$ 如下：首先，我们设 $\mathcal{A}_0=\mathcal{A}_1=T$ 和 $j_0(T)=j_1(T)=j_0$ ，最大的整数 $\Delta(T) \leq 2^{-j_0(T)}$. 接下来为 $n \geq 1$, 我们需要条件 $$ A \in \mathcal{A}_n \Rightarrow \Delta(A) \leq 2^{-j_n(A)+2}, t \in A \in \mathcal{A}_n \Rightarrow \mu\left(B\left(t, 2^{-j_n(A)}\right)\right) \geq N n-1^{-1} $$ 施工过程如下：已施工 $\mathcal{A} n$ ，我们拆分每个元素 $A$ 的 $\mathcal{A}_n$ 至多 $N_n$ 件，保证卡 $\mathcal{A} n+1 \leq N_n^2=N{n+1}$. 为 此，我们设
$A_{_} 0=\backslash$ left $\left{t \backslash i n ~ A ; ~ \ m u \backslash l e f t\left(B \backslash\right.\right.$ left(t, $\left.\left.\left.2^{\wedge}\left{-j _n(A)-1\right} \backslash r i g h t\right) \backslash r i g h t\right) \backslash g e q ~ 1 / ~ N _n \backslash r i g h t\right}$
我们首先声明我们可能涵盖 $A_0$ 经过 $2^{-j_n(A)}$. 半径的球 $2^{-j_n(A)-1}$ 以点为中心 $W$ 是不相交的，并且每个都 是有尺度的 $>N_n^{-1}$ 由 (3.45) 得到 $<N_n$ 他们中的。自从 $W$ 是最大的，半径的球 $2^{-j_n(A)}$ 以点为中心 $W$ 覆 盖 $A_0$ ，他们每个人都有直径 $\leq 2^{-j_n(A)+1}$. 因此，存在一个分区 $A_0$ 在 $<N_n$ 套径 $\leq 2^{-j_n(A)+1}$. 所需的分 区 $A$ 由这些集合组成 $B$ 和 $A_1=A \backslash A_0$. 每镸 $B$ ，我们设置 $j_{n+1}(B)=j_n(A)+1$ ，我们设 $j_{n+1}\left(A_1\right)=j_n(A)$, 因此条件 (3.43) 和 (3.44) 成立。
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金融工程代写
金融工程是使用数学技术来解决金融问题。金融工程使用计算机科学、统计学、经济学和应用数学领域的工具和知识来解决当前的金融问题，以及设计新的和创新的金融产品。
非参数统计代写
非参数统计指的是一种统计方法，其中不假设数据来自于由少数参数决定的规定模型；这种模型的例子包括正态分布模型和线性回归模型。
广义线性模型代考
广义线性模型（GLM）归属统计学领域，是一种应用灵活的线性回归模型。该模型允许因变量的偏差分布有除了正态分布之外的其它分布。
术语 广义线性模型（GLM）通常是指给定连续和/或分类预测因素的连续响应变量的常规线性回归模型。它包括多元线性回归，以及方差分析和方差分析（仅含固定效应）。
有限元方法代写
有限元方法（FEM）是一种流行的方法，用于数值解决工程和数学建模中出现的微分方程。典型的问题领域包括结构分析、传热、流体流动、质量运输和电磁势等传统领域。
有限元是一种通用的数值方法，用于解决两个或三个空间变量的偏微分方程（即一些边界值问题）。为了解决一个问题，有限元将一个大系统细分为更小、更简单的部分，称为有限元。这是通过在空间维度上的特定空间离散化来实现的，它是通过构建对象的网格来实现的：用于求解的数值域，它有有限数量的点。边界值问题的有限元方法表述最终导致一个代数方程组。该方法在域上对未知函数进行逼近。[1] 然后将模拟这些有限元的简单方程组合成一个更大的方程系统，以模拟整个问题。然后，有限元通过变化微积分使相关的误差函数最小化来逼近一个解决方案。
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随机分析代写
随机微积分是数学的一个分支，对随机过程进行操作。它允许为随机过程的积分定义一个关于随机过程的一致的积分理论。这个领域是由日本数学家伊藤清在第二次世界大战期间创建并开始的。
时间序列分析代写
随机过程，是依赖于参数的一组随机变量的全体，参数通常是时间。 随机变量是随机现象的数量表现，其时间序列是一组按照时间发生先后顺序进行排列的数据点序列。通常一组时间序列的时间间隔为一恒定值（如1秒，5分钟，12小时，7天，1年），因此时间序列可以作为离散时间数据进行分析处理。研究时间序列数据的意义在于现实中，往往需要研究某个事物其随时间发展变化的规律。这就需要通过研究该事物过去发展的历史记录，以得到其自身发展的规律。
回归分析代写
多元回归分析渐进（Multiple Regression Analysis Asymptotics）属于计量经济学领域，主要是一种数学上的统计分析方法，可以分析复杂情况下各影响因素的数学关系，在自然科学、社会和经济学等多个领域内应用广泛。
MATLAB代写
MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中，其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括：数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发，包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统，其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题，尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题，而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问，这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展，得到了许多用户的投入。在大学环境中，它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域，MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要，工具箱允许您学习和应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数（M 文件）的综合集合，可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。