统计代写|随机过程代写stochastic process代考|MATH3801

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随机过程 用于表示在时间上发展的统计现象以及在处理这些现象时出现的理论模型,由于这些现象在许多领域都会遇到,因此这篇文章具有广泛的实际意义。

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统计代写|随机过程代写stochastic process代考|MATH3801

统计代写|随机过程代写stochastic process代考|The Kolmogorov Conditions

Kolmogorov stated the “Kolmogorov conditions”, which robustly ensure the good behavior of a stochastic process indexed by a subset of $\mathbb{R}^m$. These conditions are studied in any advanced probability course. If you have taken such a course, this section will refresh your memory about these conditions, and the next few sections will present the natural generalization of the chaining method in an abstract metric space, as it was understood in, say, 1970. Learning in detail about these historical developments now makes sense only if you have already heard of them, because the modern chaining method, which is presented in Chap. 2, is in a sense far simpler than the classical method. For this reason, the material up to Sect. $1.4$ included is directed toward a reader who is already fluent in probability theory. If, on the other hand, you have never heard of these things and if you find this material too difficult, you should start directly with Chap. 2 , which is written at a far greater level of detail and assumes minimal familiarity with even basic probability theory.

We say that a process $\left(X_t\right)_{t \in T}$, where $T=[0,1]^m$, satisfies the Kolmogorov conditions if
$$
\forall s, t \in[0,1]^m, \mathrm{E}\left|X_s-X_t\right|^p \leq d(s, t)^\alpha .
$$
where $d(s, t)$ denotes the Euclidean distance and $p>0, \alpha>m$. Here E denotes mathematical expectation. In our notation, the operator $\mathrm{E}$ applies to whatever expression is placed behind it, so that $\mathrm{E}|Y|^p$ stands for $\mathrm{E}\left(|Y|^p\right)$ and not for $(\mathrm{E}|Y|)^p$. This convention is in force throughout the book.

Let us apply the idea of chaining to processes satisfying the Kolmogorov conditions. The most obvious candidate for the approximating set $T_n$ is the set $G_n$ of points $x$ in $\left[0,1\left[^m\right.\right.$ such that the coordinates of $2^n x$ are positive integers. ${ }^1$ Thus, card $G_n=2^{n m}$. It is completely natural to choose $\pi_n(u) \in G_n$ as close to $u$ as possible, so that $d\left(u, \pi_n(u)\right) \leq \sqrt{m} 2^{-n}$ and $d\left(\pi_n(u), \pi_{n-1}(u)\right) \leq d\left(\pi_n(u), u\right)+$ $d\left(u, \pi_{n-1}(u)\right) \leq 3 \sqrt{m} 2^{-n}$.
For $n \geq 1$, let us then define
$$
U_n=\left{(s, t) ; s \in G_n, t \in G_n, d(s, t) \leq 3 \sqrt{m} 2^{-n}\right} .
$$
Given $s=\left(s_1, \ldots, s_m\right) \in G_n$, the number of points $t=\left(t_1, \ldots, t_m\right) \in G_n$ with $d(s, t) \leq 3 \sqrt{m} 2^{-n}$ is bounded independently of $s$ and $n$ because $\left|t_i-s_i\right| \leq d(s, t)$ for each $i \leq m$, so that we have the crucial property
$$
\operatorname{card} U_n \leq K(m) 2^{n m},
$$
where $K(m)$ denotes a number depending only on $m$, which need not be the same on each occurrence. Consider then the r.v.
$$
Y_n=\max \left{\left|X_s-X_t\right| ;(s, t) \in U_n\right},
$$
so that (and since $G_{n-1} \subset G_n$ ) for each $u$,
$$
\left|X_{\pi_n(u)}-X_{\pi_{n-1}(u)}\right| \leq Y_n .
$$

统计代写|随机过程代写stochastic process代考|Chaining in a Metric Space: Dudley’s Bound

Suppose now that we want to study the uniform convergence on $[0,1]$ of a random Fourier series $X_t=\sum_{k \geq 1} a_k g_k \cos (2 \pi i k t)$ where $a_k$ are numbers and $\left(g_k\right)$ are independent standard Gaussian r.v.s. The Euclidean structure of $[0,1]$ is not intrinsic to the problem. Far more relevant is the distance $d$ given by
$$
d(s, t)^2=\mathrm{E}\left(X_s-X_t\right)^2=\sum_k a_k^2(\cos (2 i \pi k s)-\cos (2 i \pi k t))^2 .
$$
This simple idea took a very long time to emerge. Once one thinks about the distance $d$, then in turn the fact that the index set $T$ is $[0,1]$ is no longer very relevant because this particular structure does not connect very well with the distance $d$. One is then led to consider Gaussian processes indexed by an abstract set $T .{ }^4 \mathrm{We}$ say that $\left(X_I\right){I \in T}$ is a Gaussian process when the family $\left(X_I\right){I \in T}$ is jointly Gaussian and centered. ${ }^5$ Then, just as in (1.16), the process induces a canonical distance $d$ on $T$ given by $d(s, t)=\left(\mathrm{E}\left(X_s-X_t\right)^2\right)^{1 / 2}$. We will express that Gaussian r.v.s have small tails by the inequality
$$
\forall s, t \in T, \mathrm{E} \varphi\left(\frac{\left|X_s-X_t\right|}{d(s, t)}\right) \leq 1,
$$
where $\varphi(x)=\exp \left(x^2 / 4\right)-1$. This inequality holds because if $g$ is a standard Gaussian r.v., then $E \exp \left(g^2 / 4\right) \leq 2 .^6$

To perform chaining for such a process, in the absence of further structure on our metric space $(T, d)$, how do we choose the approximating sets $T_n$ ? Thinking back to the Kolmogorov conditions, it is very natural to introduce the following definition:

Definition 1.4.1 For $\epsilon>0$, the covering number $N(T, d, \epsilon)$ of a metric space $(T, d)$ is the smallest integer $N$ such that $T$ can be covered by $N$ balls of radius $\epsilon .^7$
Equivalently, $N(T, d, \epsilon)$ is the smallest number $N$ such that there exists a set $V \subset T$ with card $V \leq N$ and such that each point of $T$ is within distance $\epsilon$ of $V$.

Let us denote by $\Delta(T)=\sup _{s, t \in T} d(s, t)$ the diameter of $T$ and observe that $N(T, d, \Delta(T))=1$. We construct our approximating sets $T_n$ as follows: Consider the largest integer $n_0$ with $\Delta(T) \leq 2^{-n_0}$. For $n \geq n_0$, consider a set $T_n \subset T$ with card $T_n=N\left(T, d, 2^{-n}\right)$ such that each point of $T$ is within distance $2^{-n}$ of a point of $T_n .{ }^8$ In particular $T_0$ consists of a single point.

统计代写|随机过程代写stochastic process代考|MATH3801

随机过程代考

统计代写|随机过程代写stochastic process代考|The Kolmogorov Conditions

Kolmogorov 陈述了“Kolmogorov 条件”,它有力地确保了由一个子集索引的随机过程的良好行为 $\mathbb{R}^m$. 这 些条件在任何高级概率课程中都有研究。如果你上过这样的课程,本节将刷新你对这些条件的记忆,接 下来的几节将展示链接方法在抽象度量空间中的自然推广,正如 1970 年人们所理解的那样。学习现在只 有当你已经听说过这些历史发展的细节时才有意义,因为第 1 章中介绍的现代链接方法。2,在某种意义 上远比经典方法简单。出于这个原因,材料高达教派。1.4包括在内的是针对已经精通概率论的读者。另 一方面,如果您从末听说过这些东西,并且觉得这些材料太难,则应该直接从第 1 章开始。2,它的详细 程度要高得多,并且假定您对基本概率论的了解最少。
我们说一个过程 $\left(X_t\right){t \in T}$ , 在哪里 $T=[0,1]^m$ ,满足 Kolmogorov 条件,如果 $$ \forall s, t \in[0,1]^m, \mathrm{E}\left|X_s-X_t\right|^p \leq d(s, t)^\alpha . $$ 在哪里 $d(s, t)$ 表示欧几里得距离和 $p>0, \alpha>m$. 这里表示数学期望。在我们的符号中,运算符E适 用于放在它后面的任何表达式,因此 $\mathrm{E}|Y|^p$ 代表 $\mathrm{E}\left(|Y|^p\right)$ 而不是为了 $(\mathrm{E}|Y|)^p$. 该约定在整本书中都有效。 让我们将链接的想法应用于满足 Kolmogorov 条件的过程。近似集最明显的候选者 $T_n$ 是集合 $G_n$ 点数 $x$ 在 $\left[0,1\left[^m\right.\right.$ 这样的坐标 $2^n x$ 是正整数。 ${ }^1$ 于是,卡 $G_n=2^{n m}$. 选择是完全自然的 $\pi_n(u) \in G_n$ 尽可能接近 $u$ 尽可能,这样 $d\left(u, \pi_n(u)\right) \leq \sqrt{m} 2^{-n}$ 和 $d\left(\pi_n(u), \pi{n-1}(u)\right) \leq d\left(\pi_n(u), u\right)+$ $d\left(u, \pi_{n-1}(u)\right) \leq 3 \sqrt{m} 2^{-n}$
为了 $n \geq 1$, 然后让我们定义
$U_{-} n=\backslash l f t\left{(s, t) ; s \backslash\right.$ in G_n, $\left.t \backslash i n G_{-} n, d(s, t) \backslash e q 3 \backslash s q r t{m} 2^{\wedge}{-n} \backslash r i g h t\right}$.
鉴于 $s=\left(s_1, \ldots, s_m\right) \in G_n$ ,点数 $t=\left(t_1, \ldots, t_m\right) \in G_n$ 和 $d(s, t) \leq 3 \sqrt{m} 2^{-n}$ 独立于 $s$ 和 $n$ 因为 $\left|t_i-s_i\right| \leq d(s, t)$ 每个 $i \leq m$, 这样我们就有了关键的属性
$$
\operatorname{card} U_n \leq K(m) 2^{n m}
$$
在哪里 $K(m)$ 表示一个数字只取决于 $m$ ,不必在每次出现时都相同。然后考虑房车
$Y_{-} n=\backslash \max \backslash$ \eft $\left{\right.$ \eft $\mid X_{-} s-X_{-} \backslash \backslash$ ight $\left.\mid:(s, t) \backslash i n U_{-} n \backslash r i g h t\right}$,
这样 (并且自从 $G_{n-1} \subset G_n$ ) 对于每个 $u$ ,
$$
\left|X_{\pi_n(u)}-X_{\pi_{n-1}(u)}\right| \leq Y_n .
$$

统计代写|随机过程代写stochastic process代考|Chaining in a Metric Space: Dudley’s Bound

假设现在我们要研究均匀收敛 $[0,1]$ 随机傅里叶级数 $X_t=\sum_{k \geq 1} a_k g_k \cos (2 \pi i k t)$ 在哪里 $a_k$ 是数字和 $\left(g_k\right)$ 是独立的标准高斯 rvs 的欧氏结构 $[0,1]$ 不是问题的本质。更重要的是距离 $d$ 由
$$
d(s, t)^2=\mathrm{E}\left(X_s-X_t\right)^2=\sum_k a_k^2(\cos (2 i \pi k s)-\cos (2 i \pi k t))^2 .
$$
这个简单的想法花了很长时间才出现。一想到距离 $d$, 然后又是索引集的事实 $T$ 是 $[0,1]$ 不再非常相关,因 为这个特殊结构与距离的连接不是很好 $d$. 然后会导致考虑由抽象集索引的高斯过程 $T$. ${ }^4 \mathrm{We}$ et吅说 $\left(X_I\right) I \in T$ 是一个高斯过程,当家庭 $\left(X_I\right) I \in T$ 是联合高斯和居中的。 ${ }^5$ 然后,就像在 (1.16) 中一 样,该过程导出一个规范距离 $d$ 在 $T$ 由 $d(s, t)=\left(\mathrm{E}\left(X_s-X_t\right)^2\right)^{1 / 2}$. 我们将通过不等式表示高斯 rvs 有小尾巴
$$
\forall s, t \in T, \mathrm{E} \varphi\left(\frac{\left|X_s-X_t\right|}{d(s, t)}\right) \leq 1
$$
在哪里 $\varphi(x)=\exp \left(x^2 / 4\right)-1$. 这种不等式成立是因为如果 $g$ 是一个标准的高斯 rv,那么 $E \exp \left(g^2 / 4\right) \leq 26^6$
在我们的度量空间上没有进一步结构的情况下,为这样的过程执行链接 $(T, d)$ ,我们如何选择近似集 $T_n$ ? 回想 Kolmogorov 条件,很自然地引入以下定义:
定义 1.4.1 对于 $\epsilon>0$ ,覆盖数 $N(T, d, \epsilon)$ 度量空间的 $(T, d)$ 是最小的整数 $N$ 这样 $T$ 可以覆盖 $N$ 半径球 $\epsilon .^7$ 等价地, $N(T, d, \epsilon)$ 是最小的数 $N$ 使得存在一个集合 $V \subset T$ 带卡 $V \leq N$ 这样每个点 $T$ 在距离之内 $\epsilon$ 的 $V$
让我们用 $\Delta(T)=\sup _{s, t \in T} d(s, t)$ 的直径 $T$ 并观察到 $N(T, d, \Delta(T))=1$. 我们构造我们的近似集 $T_n$ 如下: 考虑最大的整数 $n_0$ 和 $\Delta(T) \leq 2^{-n_0}$. 为了 $n \geq n_0$ ,考虑一组 $T_n \subset T$ 带卡 $T_n=N\left(T, d, 2^{-n}\right)$ 这样每个点 $T$ 在距离之内 $2^{-n}$ 的一点 $T_n \cdot{ }^8$ 特别是 $T_0$ 由一个点组成。

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金融工程代写

金融工程是使用数学技术来解决金融问题。金融工程使用计算机科学、统计学、经济学和应用数学领域的工具和知识来解决当前的金融问题,以及设计新的和创新的金融产品。

非参数统计代写

非参数统计指的是一种统计方法,其中不假设数据来自于由少数参数决定的规定模型;这种模型的例子包括正态分布模型和线性回归模型。

广义线性模型代考

广义线性模型(GLM)归属统计学领域,是一种应用灵活的线性回归模型。该模型允许因变量的偏差分布有除了正态分布之外的其它分布。

术语 广义线性模型(GLM)通常是指给定连续和/或分类预测因素的连续响应变量的常规线性回归模型。它包括多元线性回归,以及方差分析和方差分析(仅含固定效应)。

有限元方法代写

有限元方法(FEM)是一种流行的方法,用于数值解决工程和数学建模中出现的微分方程。典型的问题领域包括结构分析、传热、流体流动、质量运输和电磁势等传统领域。

有限元是一种通用的数值方法,用于解决两个或三个空间变量的偏微分方程(即一些边界值问题)。为了解决一个问题,有限元将一个大系统细分为更小、更简单的部分,称为有限元。这是通过在空间维度上的特定空间离散化来实现的,它是通过构建对象的网格来实现的:用于求解的数值域,它有有限数量的点。边界值问题的有限元方法表述最终导致一个代数方程组。该方法在域上对未知函数进行逼近。[1] 然后将模拟这些有限元的简单方程组合成一个更大的方程系统,以模拟整个问题。然后,有限元通过变化微积分使相关的误差函数最小化来逼近一个解决方案。

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随机分析代写


随机微积分是数学的一个分支,对随机过程进行操作。它允许为随机过程的积分定义一个关于随机过程的一致的积分理论。这个领域是由日本数学家伊藤清在第二次世界大战期间创建并开始的。

时间序列分析代写

随机过程,是依赖于参数的一组随机变量的全体,参数通常是时间。 随机变量是随机现象的数量表现,其时间序列是一组按照时间发生先后顺序进行排列的数据点序列。通常一组时间序列的时间间隔为一恒定值(如1秒,5分钟,12小时,7天,1年),因此时间序列可以作为离散时间数据进行分析处理。研究时间序列数据的意义在于现实中,往往需要研究某个事物其随时间发展变化的规律。这就需要通过研究该事物过去发展的历史记录,以得到其自身发展的规律。

回归分析代写

多元回归分析渐进(Multiple Regression Analysis Asymptotics)属于计量经济学领域,主要是一种数学上的统计分析方法,可以分析复杂情况下各影响因素的数学关系,在自然科学、社会和经济学等多个领域内应用广泛。

MATLAB代写

MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中,其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括:数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发,包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统,其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题,尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题,而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问,这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展,得到了许多用户的投入。在大学环境中,它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域,MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要,工具箱允许您学习应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数(M 文件)的综合集合,可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。

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