统计代写|随机过程代写stochastic process代考|MTH7090

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统计代写|随机过程代写stochastic process代考|MTH7090

统计代写|随机过程代写stochastic process代考|Rotation, Stretching, Translation and Standardization

In two dimensions, rotating a Poisson-binomial process is equivalent to rotating its underlying lattice attached to the index space. Rotating the points has the same effect as rotating the lattice locations, because $F$ (the distribution attached to the points) belongs to a family of location-scale distributions [Wiki]. For instance, a $\pi / 4$ rotation will turn the square lattice into a centered-square lattice [Wiki], but it won’t change the main properties of the point process. Both processes, the original one and the rotated one, may be indistinguishable for all practical purposes unless the scaling factor $s$ is small, creating model identifiability [Wiki] issues. For instance, the theoretical correlation between the point coordinates $\left(X_h, Y_k\right)$ or the underlying lattice point coordinates $(h / \lambda, k / \lambda)$, measured on all points, remains equal to zero after rotation, because the number of points is infinite (this may not be the case if you observe points through a small window, because of boundary effects). Thus, a Poisson-binomial process has a point distribution invariant under rotations, on a macro-scale. This property is called anisotropy [Wiki]. On a micro-scale, a few changes occur though: for instance the twodimensional version of Theorem $4.1$ no longer applies, and the distance between the projection of two neighbor points on the $\mathrm{X}$ or $\mathrm{Y}$ axis, shrinks after the rotation.

Applying a translation to the points of the process, or to the underlying lattice points, results in a shifted point process. It becomes interesting when multiple shifted processes, with different translation vectors, are combined together as in Section 1.5.3. Theorem $4.1$ may not apply to the shifted process, though it can easily be adapted to handle this situation. One of the problems is to retrieve the underlying lattice space of the shifted process. This is useful for model fitting purposes, as it is easier to compare two processes once they have been standardized (after removing translations and rescaling). Estimation techniques to identify the shift are discussed in Section 3.4.

By a standardized Poisson-binomial point process, I mean one in its canonical form, with intensity $\lambda=1$, scaling factor $s=1$, and free of shifts or rotations. Once two processes are standardized, it is easier to compare them, assess if they are Poisson-binomial, or perform various machine learning procedures on observed data, such as testing, computing confidence intervals, cross-validation, or model fitting. In some way, this is similar to transforming and detrending time series to make them more amenable to statistical inference. There is also some analogy between the period or quasi-period of a time series, and the inverse of the intensity $\lambda$ of a Poisson-binomial process: in fact, $1 / \lambda$ is the fixed increment between the underlying lattice points in the lattice space, and can be viewed as the period of the process.

Finally, a two dimensional process is said to be stretched if a different intensity is used for each coordinate for all the points of the process. It turns the underlying square lattice space into a rectangular lattice, and the homogeneous process into a non-homogeneous one, because the intensity varies locally. Observed data points can be standardized using the Mahalanobis transformation [Wiki], to remove stretching (so that variances are identical for both coordinates) and to decorrelate the two coordinates, when correlation is present.

统计代写|随机过程代写stochastic process代考|Superimposition and Mixing

Here we are working with two-dimensional processes. When the points of $m$ independent point processes with same distribution $F$ and same index space $\mathbb{Z}^2$ are bundled together, we say that the processes are superimposed. These processes are no longer Poisson-binomial, see Exercise 14. Indeed, if the scaling factor $s$ is small and $m>1$ is not too small, they exhibit clustering around each lattice location in the lattice space. Also, the intensities or scaling factors of each individual point process may be different, and the resulting combined process may not be homogeneous. Superimposed point processes also called interlaced processes.
A mixture of $m$ point processes, denoted as $M$, is defined as follows:

  • We have $m$ independent point processes $M_1, \ldots, M_m$ with same distribution $F$ and same index space $\mathbb{Z}^2$,
  • The intensity and scaling factor attached to $M_i$ are denoted respectively as $\lambda_i$ and $s_i(i=1, \ldots, m)$,
  • The points of $M_i(i=1, \ldots, m)$ are denoted as $\left(X_{i h}, Y_{i k}\right)$; the index space consists of the $(h, k)$ ‘s,
  • The point $\left(X_h, Y_k\right)$ of the mixture process $M$ is equal to $\left(X_{i h}, Y_{i k}\right)$ with probability $\pi_i>0, i=1, \ldots, m$.
    While mixing or superimposing Poisson-binomial processes seem like the same operation, which is true for stationary Poisson processes, in the case of Poisson-binomial processes, these are distinct operations resulting in significant differences when the scaling factors are very small (see Exercise 18). The difference is most striking when $s=0$. In particular, superimposed processes are less random than mixtures. This is due to the discrete nature of the underlying lattice space. However, with larger scaling factors, the behavior of mixed and superimposed processes tend to be similar.

Several of the concepts discussed in Section $1.5$ are illustrated in Figure 2, representing a realization of $m$ superimposed shifted stretched Poisson-binomial processes, called $m$-interlacing. For each individual process $M_i, i=1, \ldots, m$, the distribution attached to the point $\left(X_{i h}, X_{i k}\right)$ (with $h, k \in \mathbb{Z}$ ) is
$$
P\left(X_{i h}<x, Y_{i k}<y\right)=F\left(\frac{x-\mu_i-h / \lambda}{s}\right) F\left(\frac{y-\mu_i^{\prime}-k / \lambda^{\prime}}{s}\right), \quad i=1, \ldots, m
$$
This generalizes Formula (2). The parameters used for the model pictured in Figure 2 are:

  • Number of superimposed processes: $m=4$; each one displayed with a different color,
  • Color: red for $M_1$, blue for $M_2$, orange for $M_3$, black for $M_4$,
  • scaling factor: $s=0$ (left plot) and $s=5$ (right plot),
  • Intensity: $\lambda=1 / 3$ ( $\mathrm{X}$-axis) and $\lambda^{\prime}=\sqrt{3} / 3$ ( $\mathrm{Y}$-axis),
  • Shift vector, $\mathrm{X}$-coordinate: $\mu_1=0, \mu_2=1 / 2, \mu_3=2, \mu_4=3 / 2$,
  • Shift vector, Y-coordinate: $\mu_1^{\prime}=0, \mu_2^{\prime}=\sqrt{3} / 2, \mu_3^{\prime}=0, \mu_4^{\prime}=\sqrt{3} / 2$,
  • $F$ distribution: standard centered logistic with zero mean and variance $\pi^2 / 3$.
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随机过程代考

统计代写|随机过程代写stochastic process代考|Rotation, Stretching, Translation and Standardization

在二维中,旋转泊松二项式过程等同于旋转其连接到索引空间的底层格子。旋转点与旋转晶格位置具有相同的效果,因为F(附加到点的分布)属于位置尺度分布 [Wiki]。例如,一个π/4旋转会将正方形格子变成中心正方形格子 [Wiki],但它不会改变点过程的主要属性。除非比例因子秒很小,创建模型可识别性 [Wiki] 问题。例如,点坐标之间的理论相关性(XH,是k)或底层格点坐标(H/升,k/升),在所有点上测量,在旋转后保持等于零,因为点的数量是无限的(如果你通过小窗口观察点,情况可能不是这样,因为边界效应)。因此,泊松二项式过程在宏观尺度上具有在旋转下不变的点分布。此属性称为各向异性 [Wiki]。在微观尺度上,虽然发生了一些变化:例如定理的二维版本4.1不再适用,并且两个相邻点在X要么是轴,旋转后收缩。

将平移应用于过程的点或底层的格点,会导致移动的点过程。如第 1.5.3 节所示,当具有不同翻译向量的多个移位过程组合在一起时,它变得很有趣。定理4.1可能不适用于转移的过程,尽管它可以很容易地适应处理这种情况。问题之一是检索移位过程的底层格空间。这对于模型拟合目的很有用,因为一旦标准化(删除平移和重新缩放之后),比较两个过程就更容易了。3.4 节讨论了识别偏移的估计技术。

通过标准化的泊松二项式点过程,我的意思是它的规范形式,具有强度升=1, 比例因子秒=1,并且没有轮班或轮换。一旦两个过程被标准化,就可以更容易地比较它们、评估它们是否符合泊松二项式,或对观察到的数据执行各种机器学习程序,例如测试、计算置信区间、交叉验证或模型拟合。在某种程度上,这类似于对时间序列进行转换和去除趋势,使它们更适合统计推断。时间序列的周期或准周期与强度的倒数之间也有一些类比升泊松二项式过程:事实上,1/升是格空间中底层格点之间的固定增量,可以看作是过程的周期。

最后,如果对过程的所有点的每个坐标使用不同的强度,则称二维过程被拉伸。它将底层的正方形格子空间变成了矩形格子,并且均匀过程变成了非均匀过程,因为强度局部变化。可以使用马氏变换 [Wiki] 对观察到的数据点进行标准化,以消除拉伸(以便两个坐标的方差相同)并在存在相关性时对两个坐标进行去相关。

统计代写|随机过程代写stochastic process代考|Superimposition and Mixing

在这里,我们正在处理二维过程。当点数 $m$ 具有相同分布的独立点过程 $F$ 和相同的索引空间 $\mathbb{Z}^2$ 捆绑在一 起,我们说过程是剧加的。这些过程不再是泊松二项式的,参见练习 14。事实上,如果比例因子 $s$ 很小 而且 $m>1$ 不是太小,它们在晶格空间中的每个晶格位置周围表现出聚集。此外,每个单独的点过程的 强度或比例因子可能不同,并且由此产生的组合过程可能不均匀。詚加点过程也称为交错过程。 的混合物 $m$ 点过程,表示为 $M$ ,定义如下:

  • 我们有 $m$ 独立点过程 $M_1, \ldots, M_m$ 具有相同的分布 $F$ 和相同的索引空间 $\mathbb{Z}^2$ ,
  • 附加的强度和比例因子 $M_i$ 分别记为 $\lambda_i$ 和 $s_i(i=1, \ldots, m)$,
  • 的要点 $M_i(i=1, \ldots, m)$ 表示为 $\left(X_{i h}, Y_{i k}\right)$ ;索引空间由 $(h, k)$ 的,
  • 重点 $\left(X_h, Y_k\right)$ 混合过程 $M$ 等于 $\left(X_{i h}, Y_{i k}\right)$ 有概率 $\pi_i>0, i=1, \ldots, m$. 虽然混合或諿加泊松二项式过程看起来像是相同的操作,对于平稳泊松过程也是如此,但在泊松二 项式过程的情况下,这些是不同的操作,当缩放因子非常小时会导致显着差异 (参见练习 18). 当 $s=0$. 特别是,咺加过程的随机性低于混合过程。这是由于底层晶格空间的离散性质。然而,对 于较大的比例因子,混合过程和䝁加过程的行为往往相似。
    本节中讨论的几个概念 $1.5$ 如图 2 所示,代表了一种实现 $m$ 呾加的偏移拉伸泊松二项式过程,称为 $m$ – 交 错。对于每个单独的过程 $M_i, i=1, \ldots, m$, 分布附加到点 $\left(X_{i h}, X_{i k}\right.$ ) (和 $h, k \in \mathbb{Z}$ ) 是
    $$
    P\left(X_{i h}<x, Y_{i k}<y\right)=F\left(\frac{x-\mu_i-h / \lambda}{s}\right) F\left(\frac{y-\mu_i^{\prime}-k / \lambda^{\prime}}{s}\right), \quad i=1, \ldots, m
    $$
    这推广了公式 (2)。用于图 2 中所示模型的参数是:
  • 㠬加进程数: $m=4$; 每一个都以不同的颜色显示,
  • 颜色: 红色为 $M_1$ ,蓝色为 $M_2$ ,橙色为 $M_3$ ,黑色为 $M_4$ ,
  • 比例因子: $s=0$ (左图) 和 $s=5$ (右图),
  • 强度: $\lambda=1 / 3$ ( $\mathrm{X}$-轴) 和 $\lambda^{\prime}=\sqrt{3} / 3$ (Y-轴),
  • 移位向量, $\mathrm{X}$-协调: $\mu_1=0, \mu_2=1 / 2, \mu_3=2, \mu_4=3 / 2$,
  • 移位向量, Y坐标: $\mu_1^{\prime}=0, \mu_2^{\prime}=\sqrt{3} / 2, \mu_3^{\prime}=0, \mu_4^{\prime}=\sqrt{3} / 2$,
  • $F$ 分布: 均值和方差为零的标准中心逻辑 $\pi^2 / 3$.
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金融工程代写

金融工程是使用数学技术来解决金融问题。金融工程使用计算机科学、统计学、经济学和应用数学领域的工具和知识来解决当前的金融问题,以及设计新的和创新的金融产品。

非参数统计代写

非参数统计指的是一种统计方法,其中不假设数据来自于由少数参数决定的规定模型;这种模型的例子包括正态分布模型和线性回归模型。

广义线性模型代考

广义线性模型(GLM)归属统计学领域,是一种应用灵活的线性回归模型。该模型允许因变量的偏差分布有除了正态分布之外的其它分布。

术语 广义线性模型(GLM)通常是指给定连续和/或分类预测因素的连续响应变量的常规线性回归模型。它包括多元线性回归,以及方差分析和方差分析(仅含固定效应)。

有限元方法代写

有限元方法(FEM)是一种流行的方法,用于数值解决工程和数学建模中出现的微分方程。典型的问题领域包括结构分析、传热、流体流动、质量运输和电磁势等传统领域。

有限元是一种通用的数值方法,用于解决两个或三个空间变量的偏微分方程(即一些边界值问题)。为了解决一个问题,有限元将一个大系统细分为更小、更简单的部分,称为有限元。这是通过在空间维度上的特定空间离散化来实现的,它是通过构建对象的网格来实现的:用于求解的数值域,它有有限数量的点。边界值问题的有限元方法表述最终导致一个代数方程组。该方法在域上对未知函数进行逼近。[1] 然后将模拟这些有限元的简单方程组合成一个更大的方程系统,以模拟整个问题。然后,有限元通过变化微积分使相关的误差函数最小化来逼近一个解决方案。

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随机分析代写


随机微积分是数学的一个分支,对随机过程进行操作。它允许为随机过程的积分定义一个关于随机过程的一致的积分理论。这个领域是由日本数学家伊藤清在第二次世界大战期间创建并开始的。

时间序列分析代写

随机过程,是依赖于参数的一组随机变量的全体,参数通常是时间。 随机变量是随机现象的数量表现,其时间序列是一组按照时间发生先后顺序进行排列的数据点序列。通常一组时间序列的时间间隔为一恒定值(如1秒,5分钟,12小时,7天,1年),因此时间序列可以作为离散时间数据进行分析处理。研究时间序列数据的意义在于现实中,往往需要研究某个事物其随时间发展变化的规律。这就需要通过研究该事物过去发展的历史记录,以得到其自身发展的规律。

回归分析代写

多元回归分析渐进(Multiple Regression Analysis Asymptotics)属于计量经济学领域,主要是一种数学上的统计分析方法,可以分析复杂情况下各影响因素的数学关系,在自然科学、社会和经济学等多个领域内应用广泛。

MATLAB代写

MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中,其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括:数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发,包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统,其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题,尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题,而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问,这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展,得到了许多用户的投入。在大学环境中,它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域,MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要,工具箱允许您学习应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数(M 文件)的综合集合,可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。

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