### 数学代写|随机过程统计代写Stochastic process statistics代考|MTH7090

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• Longitudinal Data Analysis 纵向数据分析
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## 数学代写|随机过程统计代写Stochastic process statistics代考|Integrals and Expectation

In this section, we recall the definitions and some basic results for the Bochner integral and the Pettis integral. We omit the proofs and refer the readers to $[74,143]$. Let us fix a $\sigma$-finite measure space $(\Omega, \mathcal{F}, \mu)$, a probability space $(\Omega, \mathcal{F}, \mathbb{P})$ and a Banach space $H$.

Let $f(\cdot)$ be an ( $H$-valued) $\mathcal{F}$-simple function in the form (2.2). We call $f(\cdot)$ Bochner integrable if $\mu\left(E_{i}\right)<\infty$ for each $i=1, \cdots, k$. In this case, for any $E \in \mathcal{F}$, the Bochner integral of $f(\cdot)$ over $E$ is defined by
$$\int_{E} f(s) d \mu=\sum_{i=1}^{k} \mu\left(E \cap E_{i}\right) h_{i} .$$
In general, we have the following notion.
Definition 2.14. A strongly $\mathcal{F}$-measurable function $f(\cdot): \Omega \rightarrow H$ is said to be Bochner integrable (w.r.t. $\mu)$ if there exists a sequence of Bochner integrable $\mathcal{F}{\text {-simple functions }}\left{f{i}(\cdot)\right}_{i=1}^{\infty}$ converging strongly to $f(\cdot), \mu$-a.e. in $\Omega$, so that
$$\lim {i, j \rightarrow \infty} \int{\Omega}\left|f_{i}(s)-f_{j}(s)\right|_{H} d \mu=0 .$$

## 数学代写|随机过程统计代写Stochastic process statistics代考|Signed Measures

Let us begin with the following notion.
Definition 2.28. A function $\mu: \mathcal{F} \rightarrow[-\infty,+\infty]$ is called a signed measure on $(\Omega, \mathcal{F})$ if
1) $\mu(\emptyset)=0$;
2) $\mu\left(\bigcup_{j=1}^{\infty} A_{j}\right)=\sum_{j=1}^{\infty} \mu\left(A_{j}\right)$ for any sequence $\left{A_{j}\right}$ of mutually disjoint sets from $\mathcal{F}$; and
3) $\mu$ assumes at most one of the values $+\infty$ and $-\infty$.
Example 2.29. Let $\nu$ be a measure on $(\Omega, \mathcal{F})$ and $f$ be a real valued integrable function defined on $(\Omega, \mathcal{F}, \nu)$. Then
$$\mu(A)=\int_{A} f d \nu, \quad \forall A \in \mathcal{F},$$
defines a signed measure in $(\Omega, \mathcal{F})$. More generally, the above $\mu$ is still a signed measure if $f$ is a measurable function on $(\Omega, \mathcal{F})$, and one of $f^{+}$and $f^{-}$, the positive and negative parts of $f$, is integrable on $(\Omega, \mathcal{F}, \nu)$.

If $\mu$ is a signed measure on $(\Omega, \mathcal{F})$, we call a set $E \subset \Omega$ positive (resp. negative) (w.r.t. $\mu$ ) if for every $F \in \mathcal{F}, E \cap F$ is measurable, and $\mu(E \cap F) \geq 0$ (resp. $\mu(E \cap F) \leq 0)$.

## 数学代写|随机过程统计代写Stochastic process statistics代考|Integrals and Expectation

$$\int_{E} f(s) d \mu=\sum_{i=1}^{k} \mu\left(E \cap E_{i}\right) h_{i} .$$

$$\lim i, j \rightarrow \infty \int \Omega\left|f_{i}(s)-f_{j}(s)\right|_{H} d \mu=0 .$$

## 数学代写|随机过程统计代写Stochastic process statistics代考|Signed Measures

1) $\mu(\emptyset)=0$;
2) $\mu\left(\bigcup_{j=1}^{\infty} A_{j}\right)=\sum_{j=1}^{\infty} \mu\left(A_{j}\right)$ 对于任何序列 \left{A_{j}\right} 互不相交的集合 $\mathcal{F}$; 和
3) $\mu$ 最多假设其中一个值 $+\infty$ 和 $-\infty$.

$$\mu(A)=\int_{A} f d \nu, \quad \forall A \in \mathcal{F},$$

## 有限元方法代写

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## MATLAB代写

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