### 数学代写|随机过程统计代写Stochastic process statistics代考|STAT3921

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## 数学代写|随机过程统计代写Stochastic process statistics代考|Brownian Motion in Rd

We will now show that $B_t=\left(B_t^1, \ldots, B_t^d\right)$ is a BM ${ }^d$ if, and only if, its coordinate processes $B_t^j$ are independent one-dimensional Brownian motions. We call two stochastic processes $\left(X_t\right){t \geqslant 0}$ and $\left(Y_t\right){t \geqslant 0}$ (defined on the same probability space) independent, if the $\sigma$-algebras generated by these processes are independent:
$$\mathcal{F}{\infty}^X \Perp \mathcal{F}{\infty}^Y$$
where
$$\mathcal{F}{\infty}^X:=\sigma\left(\bigcup{n \geqslant 1} \bigcup_{0 \leqslant t_1<\cdots<t_n<\infty} \sigma\left(X\left(t_j\right), \ldots, X\left(t_n\right)\right)\right) .$$
Note that the family of sets $\bigcup_n \bigcup_{t_1, \ldots, t_n} \sigma\left(X\left(t_1\right), \ldots, X\left(t_n\right)\right)$ is stable under finite intersections. Therefore, (2.15) follows already if
$$\left(X\left(s_1\right), \ldots, X\left(s_n\right)\right) \Perp\left(Y\left(t_1\right), \ldots, Y\left(t_m\right)\right)$$
for all $m, n \geqslant 1, s_1<\cdots<s_m$ and $t_1<\cdots<t_n$. Without loss of generality we can even assume that $m=n$ and $s_j=t_j$ for all $j$. This follows easily if we take the common refinement of the $s_j$ and $t_j$.

The following simple characterization of $d$-dimensional Brownian motion will be very useful for our purposes.

## 数学代写|随机过程统计代写Stochastic process statistics代考|The Lévy–Ciesielski construction

This approach goes back to Lévy [120, pp. 492-494] but it got its definitive form in the hands of Ciesielski, cf. $[26,27]$. The idea is to write the paths $[0,1] \ni t \mapsto B_t(\omega)$ for (almost) every $\omega$ as a random series with respect to a complete orthonormal system (ONS) in the Hilbert space $L^2(d t)=L^2([0,1], d t)$ with canonical scalar product $\langle f, g\rangle_{L^2}=\int_0^1 f(t) g(t) d t$. Assume that $\left(\phi_n\right){n \geqslant 0}$ is any complete ONS and let $\left(G_n\right){n \geqslant 0}$ be a sequence of real-valued iid Gaussian $N(0,1)$-random variables on the probability space $(\Omega, \mathcal{A}, \mathbb{P})$. Set
\begin{aligned} W_N(t) &:=\sum_{n=0}^{N-1} G_n\left\langle\mathbb{1}{[0, t)}, \phi_n\right\rangle{L^2} \ &=\sum_{n=0}^{N-1} G_n \int_0^t \phi_n(s) d s . \end{aligned}
We want to show that $\lim {N \rightarrow \infty} W_N(t)$ defines a Brownian motion on $[0,1]$. 3.1 Lemma. The limit $W(t):=\lim {N \rightarrow \infty} W_N(t)$ exists for every $t \in[0,1]$ in $L^2(\mathbb{P})$ and the process $W(t)$ satisfies (B0)-(B3).

Proof. Using the independence of the $G_n \sim \mathrm{N}(0,1)$ and Parseval’s identity we get for every $t \in[0.1]$
\begin{aligned} \mathbb{E}\left(W_N(t)^2\right) &=\mathbb{E}\left[\sum_{m, n=0}^{N-1} G_n G_m\left\langle\mathbb{1}{[0, t)}, \phi_m\right\rangle{L^2}\left\langle\mathbb{1}{[0, t)}, \phi_n\right\rangle{L^2}\right] \ &=\sum_{m, n=1}^{N-1} \underbrace{\mathbb{E}\left(G_n G_m\right)}{=0(n \neq m), \text { or }=1(n=m)}\left\langle\mathbb{1}{[0, t)}, \phi_m\right\rangle_{L^2}\left\langle\mathbb{1}{[0, t)}, \phi_n\right\rangle{L^2} \ &=\sum_{n=1}^{N-1}\left\langle\mathbb{1}{[0, t)}, \phi_n\right\rangle{L^2}^2 \underset{N \rightarrow \infty}{ }\left\langle\mathbb{1}{[0, t)}, \mathbb{1}{[0, t)}\right\rangle_{L^2}=t . \end{aligned}
This shows that $W(t)=L^2-\lim {N \rightarrow \infty} W_N(t)$ exists. An analogous calculation yields for \$s{n=0}^{\infty}\left\langle\mathbb{1}{[0, t)}-\mathbb{1}{[0, s)}, \phi_n\right\rangle_{L^2}\left\langle\mathbb{1}{[0, v)}-\mathbb{1}{[0, u)}, \phi_n\right\rangle_{L^2} \
&=\left\langle\mathbb{1}{[s, t)}, \mathbb{1}{[u, v)}\right\rangle_{L^2}= \begin{cases}t-s, & {[s, t)=[u, v) ;} \
0, & {[s, t) \cap[u, v)=\emptyset} \
(v \wedge t-u \vee s)^{+}, & \text {in general. }\end{cases}
\end{aligned}
$$## 随机过程统计代考 ## 数学代写|随机过程统计代写Stochastic process statistics代考|Brownian Motion in Rd 我们现在将证明 B_t=\left(B_t^1, \ldots, B_t^d\right) 是一个BM { }^d 当且仅当其协调过程 B_t^j 是独立的一维布朗运动。我们称两个随 机过程 \left(X_t\right) t \geqslant 0 和 \left(Y_t\right) t \geqslant 0 (在相同的概率空间上定义) 独立的，如果 \sigma-这些过程生成的代数是独立的:$$
\mathcal{F} \infty^X \backslash \operatorname{Perp} \mathcal{F} \infty^Y
$$在哪里$$
\mathcal{F} \infty^X:=\sigma\left(\bigcup n \geqslant 1 \bigcup_{0 \leqslant t_1<\cdots<t_n<\infty} \sigma\left(X\left(t_j\right), \ldots, X\left(t_n\right)\right)\right)
$$注意集合族 \bigcup_n \bigcup_{t_1, \ldots, t_n} \sigma\left(X\left(t_1\right), \ldots, X\left(t_n\right)\right) 在有限的交点下是稳定的。因此，(2.15) 已经成立，如果 \left(X\left(s_1\right), \ldots, X\left(s_n\right)\right) \backslash \operatorname{Perp}\left(Y\left(t_1\right), \ldots, Y\left(t_m\right)\right) 对所有人 m, n \geqslant 1, s_1<\cdots<s_m 和 t_1<\cdots<t_n. 不失一般性，我们甚至可以假设 m=n 和 s_j=t_j 对所 有人j. 如果我们对 s_j 和 t_j. 以下简单表征 d 维布朗运动对我们的目的非常有用。 ## 数学代写|随机过程统计代写Stochastic process statistics代考|The Lévy–Ciesielski construction 这种方法可以追溯到 Lévy [120, pp. 492-494]，但它在 Ciesielski 手中得到了确定的形式，参见。[26, 27]. 这个 想法是写路径 [0,1] \ni t \mapsto B_t(\omega) 对于 (几平) 每个 \omega 作为关于希尔伯特空间中完整正交系统 (ONS) 的随机序列 L^2(d t)=L^2([0,1], d t) 具有规范标量积 \langle f, g\rangle_{L^2}=\int_0^1 f(t) g(t) d t. 假使，假设 \left(\phi_n\right) n \geqslant 0 是任何完整的 ONS 并且让 \left(G_n\right) n \geqslant 0 是一个实值独立同分布高斯序列 N(0,1)-概率空间上的随机变量 (\Omega, \mathcal{A}, \mathbb{P}). 放$$
W_N(t):=\sum_{n=0}^{N-1} G_n\left\langle 1[0, t), \phi_n\right\rangle L^2=\sum_{n=0}^{N-1} G_n \int_0^t \phi_n(s) d s .
$$我们想证明 \lim N \rightarrow \infty W_N(t) 定义了一个布朗运动 [0,1] .3 .1 引理。极限 W(t):=\lim N \rightarrow \infty W_N(t) 存在 于每个 t \in[0,1] 在 L^2(\mathbb{P}) 和过程 W(t) 满足 (B0)-(B3)。 证明。利用独立性 G_n \sim \mathrm{N}(0,1) 和 Parseval 的身份，我们得到每个 t \in[0.1] 这表明 W(t)=L^2-\lim N \rightarrow \infty W_N(t) 存在。类似的计算产生 \$$

## 有限元方法代写

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## MATLAB代写

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