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资本资产定价模型–或称CAPM–是一个计算资产或投资的预期回报率的金融模型。
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金融代写|波动率模型代写Market Volatility Modelling代考|The Arrow-Pratt Approximation
In the previous section, we defined the risk premium and certainty equivalent implicitly, as the solutions to equations (1.14) and (1.18). A famous analysis due to Arrow (1971) and Pratt (1964) shows that when risk is small, it is possible to derive approximate closedform solutions to these equations.
Consider a zero-mean risk $\tilde{y}=k \widetilde{x}$, where $k$ is a scale factor. Write the risk premium as a function of $k, g(k)=\pi\left(W_0, u, k \widetilde{x}\right)$. From the definition of the risk premium, we have
$$
\mathrm{E} u\left(W_0+k \widetilde{x}\right)=u\left(W_0-g(k)\right) .
$$
Note that $g(0)=0$, because you would pay nothing to avoid a risk with zero variability.
We now use the trick of repeated differentiation, in this case with respect to $k$, that was introduced in the previous subsection. Differentiating (1.20), we have
$$
\mathrm{E}\left[\tilde{x} u^{\prime}\left(W_0+k \tilde{x}\right)\right]=-g^{\prime}(k) u^{\prime}\left(W_0-g(k)\right) \text {. }
$$
At $k=0$, the left-hand side of (1.21) becomes $\mathrm{E}\left[\tilde{x} u^{\prime}\left(W_0\right)\right]=\mathrm{E}[\widetilde{x}] u^{\prime}\left(W_0\right)$, where we can bring $u^{\prime}\left(W_0\right)$ outside the expectations operator because it is deterministic. Since $\mathrm{E}[\tilde{x}]=0$, the left-hand side of (1.21) is zero when $k=0$, so the right-hand side must also be zero, which implies that $g^{\prime}(0)=0$.
We now differentiate with respect to $k$ a second time to get
$$
\mathrm{E}^{-2} u^{\prime \prime}\left(w_o+k \bar{x}\right)=g^{\prime}(k)^2 u^{\prime \prime}\left(W_0-g(k)\right)-g^{\prime \prime}(k) u^{\prime}\left(W_0-g(k)\right) \text {, }
$$
which implies that
$$
g^{\prime \prime}(0)=\frac{-u^{\prime \prime}\left(W_0\right)}{u^{\prime}\left(W_0\right)} \mathrm{E} \widetilde{x}^2=A\left(W_0\right) \mathrm{E} \widetilde{x}^2
$$
金融代写|波动率模型代写Market Volatility Modelling代考|Tractable Utility Functions
Almost all applied theory and empirical work in finance uses some member of the class of utility functions known as linear risk tolerance (LRT) or hyperbolic absolute risk aversion (HARA). Continuing to use wealth as the argument of the utility function, the HARA class of utility functions can be written as
$$
u(W)=a+b\left(\eta+\frac{W}{\gamma}\right)^{1-\gamma}
$$
defined for levels of wealth $W$ such that $\eta+W / \gamma>0$. The parameter $a$ and the magnitude of the parameter $b$ do not affect choices but can be set freely to deliver convenient representations of utility in special cases.
For these utility functions, risk tolerance-the reciprocal of absolute risk aversion-is given by
$$
T(W)=\frac{1}{A(W)}=\eta+\frac{W}{\gamma},
$$
which is linear in $W$. Absolute risk aversion itself is then hyperbolic in $W$ :
$$
A(W)=\left(\eta+\frac{W}{\gamma}\right)^{-1}
$$
Relative risk aversion is, of course,
$$
R(W)=W\left(\eta+\frac{W}{\gamma}\right)^{-1}
$$
There are several important special cases of HARA utility.
Quadratic utility has $\gamma=-1$. This implies that risk tolerance declines in wealth from (1.30), and absolute risk aversion increases in wealth from (1.31). In addition, the quadratic utility function has a “bliss point” at which $u^{\prime}=0$. These are important disadvantages, although quadratic utility is tractable in models with additive risk and has even been used in macroeconomic models with growth, where trending preference parameters are used to keep the bliss point well above levels of wealth or consumption observed in the data.
波动率模型代考
金融代写|波动率模型代写Market Volatility Modelling代考|The Arrow-Pratt Approximation
在上一节中，我们隐含地定义了风险溢价和确定性等价物，作为等式 (1.14) 和 (1.18) 的解。Arrow (1971) 和 Pratt (1964) 的一项著名分析表明，当风险较小时，可以推导出这些方程的近似封闭形式解。
考虑零均值风险 $\tilde{y}=k \tilde{x}$ ，在哪里 $k$ 是比例因子。将风险溢价写为函数 $k, g(k)=\pi\left(W_0, u, k \tilde{x}\right)$. 根据风 险溢价的定义，我们有
$$
\mathrm{E} u\left(W_0+k \tilde{x}\right)=u\left(W_0-g(k)\right) .
$$
注意 $g(0)=0$ ，因为您无需支付任何费用来避免零可变性的风险。
我们现在使用重复微分的技巧，在这种情况下是关于 $k$ ，这在上一节中介绍过。微分 (1.20)，我们有
$$
\mathrm{E}\left[\tilde{x} u^{\prime}\left(W_0+k \tilde{x}\right)\right]=-g^{\prime}(k) u^{\prime}\left(W_0-g(k)\right) \text {. }
$$
在 $k=0 ，(1.21)$ 的左边变为 $\mathrm{E}\left[\tilde{x} u^{\prime}\left(W_0\right)\right]=\mathrm{E}[\tilde{x}] u^{\prime}\left(W_0\right)$ ，我们可以在哪里带来 $u^{\prime}\left(W_0\right)$ 在期望运算 符之外，因为它是确定性的。自从 $\mathrm{E}[\tilde{x}]=0$ ，当 (1.21) 的左边为零 $k=0$ ，所以右边也必须为零，这意味 着 $g^{\prime}(0)=0$.
我们现在区分 $k$ 第二次得到
$$
\mathrm{E}^{-2} u^{\prime \prime}\left(w_o+k \bar{x}\right)=g^{\prime}(k)^2 u^{\prime \prime}\left(W_0-g(k)\right)-g^{\prime \prime}(k) u^{\prime}\left(W_0-g(k)\right),
$$
这意味着
$$
g^{\prime \prime}(0)=\frac{-u^{\prime \prime}\left(W_0\right)}{u^{\prime}\left(W_0\right)} \mathrm{E} \tilde{x}^2=A\left(W_0\right) \mathrm{E} \tilde{x}^2
$$
金融代写|波动率模型代写Market Volatility Modelling代考|Tractable Utility Functions
几乎所有金融领域的应用理论和实证工作都使用称为线性风险承受能力 (LRT) 或双曲线绝对风险规避
(HARA) 的效用函数类别中的某些成员。继续使用财富作为效用函数的参数，HARA类效用函数可以写成
$$
u(W)=a+b\left(\eta+\frac{W}{\gamma}\right)^{1-\gamma}
$$
定义为财富水平 $W$ 这样 $\eta+W / \gamma>0$. 参数 $a$ 和参数的大小 $b$ 不影响选择，但可以自由设置以在特殊情况 下提供方便的效用表示。
对于这些效用函数，风险容忍度-
绝对风险规避的倒数一一由下式给出
$$
T(W)=\frac{1}{A(W)}=\eta+\frac{W}{\gamma}
$$
这是线性的 $W$. 绝对风险规避本身是双曲线的 $W$ :
$$
A(W)=\left(\eta+\frac{W}{\gamma}\right)^{-1}
$$
当然，相对风险规避是
$$
R(W)=W\left(\eta+\frac{W}{\gamma}\right)^{-1}
$$
HARA 实用程序有几个重要的特例。
二次效用有 $\gamma=-1$. 这意味着财富的风险承受能力从 (1.30) 开始下降，绝对风险厌恶程度从 (1.31) 开始 增加。此外，二次效用函数有一个”极乐点” $u^{\prime}=0$. 这些都是重要的缺点，尽管二次效用在具有附加风险 的模型中很容易处理，甚至被用于增长的宏观经济模型，其中趋势偏好参数用于使幸福点远高于数据中观 察到的财富或消费水平。
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金融工程代写
金融工程是使用数学技术来解决金融问题。金融工程使用计算机科学、统计学、经济学和应用数学领域的工具和知识来解决当前的金融问题，以及设计新的和创新的金融产品。
非参数统计代写
非参数统计指的是一种统计方法，其中不假设数据来自于由少数参数决定的规定模型；这种模型的例子包括正态分布模型和线性回归模型。
广义线性模型代考
广义线性模型（GLM）归属统计学领域，是一种应用灵活的线性回归模型。该模型允许因变量的偏差分布有除了正态分布之外的其它分布。
术语 广义线性模型（GLM）通常是指给定连续和/或分类预测因素的连续响应变量的常规线性回归模型。它包括多元线性回归，以及方差分析和方差分析（仅含固定效应）。
有限元方法代写
有限元方法（FEM）是一种流行的方法，用于数值解决工程和数学建模中出现的微分方程。典型的问题领域包括结构分析、传热、流体流动、质量运输和电磁势等传统领域。
有限元是一种通用的数值方法，用于解决两个或三个空间变量的偏微分方程（即一些边界值问题）。为了解决一个问题，有限元将一个大系统细分为更小、更简单的部分，称为有限元。这是通过在空间维度上的特定空间离散化来实现的，它是通过构建对象的网格来实现的：用于求解的数值域，它有有限数量的点。边界值问题的有限元方法表述最终导致一个代数方程组。该方法在域上对未知函数进行逼近。[1] 然后将模拟这些有限元的简单方程组合成一个更大的方程系统，以模拟整个问题。然后，有限元通过变化微积分使相关的误差函数最小化来逼近一个解决方案。
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随机分析代写
随机微积分是数学的一个分支，对随机过程进行操作。它允许为随机过程的积分定义一个关于随机过程的一致的积分理论。这个领域是由日本数学家伊藤清在第二次世界大战期间创建并开始的。
时间序列分析代写
随机过程，是依赖于参数的一组随机变量的全体，参数通常是时间。 随机变量是随机现象的数量表现，其时间序列是一组按照时间发生先后顺序进行排列的数据点序列。通常一组时间序列的时间间隔为一恒定值（如1秒，5分钟，12小时，7天，1年），因此时间序列可以作为离散时间数据进行分析处理。研究时间序列数据的意义在于现实中，往往需要研究某个事物其随时间发展变化的规律。这就需要通过研究该事物过去发展的历史记录，以得到其自身发展的规律。
回归分析代写
多元回归分析渐进（Multiple Regression Analysis Asymptotics）属于计量经济学领域，主要是一种数学上的统计分析方法，可以分析复杂情况下各影响因素的数学关系，在自然科学、社会和经济学等多个领域内应用广泛。
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