统计代写|金融统计代写Mathematics with Statistics for Finance代考|NORMAL DISTRIBUTION
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统计代写|金融统计代写Mathematics with Statistics for Finance代考|NORMAL DISTRIBUTION
The normal distribution is probably the most widely used distribution in statistics, and is extremely popular in finance. The normal distribution occurs in a large number of settings, and is extremely easy to work with.
In popular literature, the normal distribution is often referred to as the bell curve because of the shape of its probability density function.
The probability density function of the normal distribution is symmetrical, with the mean and median coinciding with the highest point of the PDF. Because it is symmetrical, the skew of a normal distribution is always zero. The kurtosis of a normal distribution is always 3 . By definition, the excess kurtosis of a normal distribution is zero.
In some fields it is more common to refer to the normal distribution as the Gaussian distribution, after the famous German mathematician Johann Gauss, who is credited with some of the earliest work with the distribution. It is not the case that one name is more precise than the other as with mean and average. Both normal distribution and Gaussian distribution are acceptable terms.
For a random variable $X$, the probability density function for the normal distribution is:
$$
f(x)=\frac{1}{\sigma \sqrt{2 \pi}} e^{-\frac{1}{2}\left(\frac{x-\beta}{\sigma}\right)^{2}}
$$
The distribution is described by two parameters, $\mu$ and $\sigma ; \mu$ is the mean of the distribution and $\sigma$ is the standard deviation. We leave the proofs of these statements for the exercises at the end of the chapter.
Rather than writing out the entire density function, when a variable is normally distributed it is the convention to write:
$$
X \sim N\left(\mu, \sigma^{2}\right)
$$
This would be read ” $X$ is normally distributed with a mean of $\mu$ and variance of $\sigma^{2}$ “
One reason that normal distributions are easy to work with is that any linear combination of independent normal variables is also normal. If we have two normally distributed variables, $X$ and $Y$, and two constants, $a$ and $b$, then $Z$ is also normally distributed:
$$
Z=a X+b Y \text { s.t. } Z \sim N\left(a \mu_{X}+b \mu_{Y}, a^{2} \sigma_{X}^{2}+b^{2} \sigma_{Y}^{2}\right)
$$
This is very convenient. For example, if the log returns of individual stocks are normally distributed, then the average return of those stocks will also be normally distributed.
When a normal distribution has a mean of zero and a standard deviation of one, it is referred to as a standard normal distribution.
$$
\phi=\frac{1}{\sqrt{2 \pi}} e^{-\frac{1}{2} x^{2}}
$$
It is the convention to denote the standard normal PDF by $\phi$, and the cumulative standard normal distribution by $\Phi$.
Because a linear combination of normal distributions is also normal, standard normal distributions are the building blocks of many financial models. To get a normal variable with a standard deviation of $\sigma$ and a mean of $\mu$, we simply multiply the standard normal variable by $\sigma$ and add $\mu$.
$$
X=\mu+\sigma \phi \Rightarrow X \sim N\left(\mu, \sigma^{2}\right)
$$
To create two correlated normal variables, we can combine three independent standard normal variables, $X_{1}, X_{2}$, and $X_{3}$, as follows:
$$
\begin{aligned}
&X_{A}=\sqrt{\rho} X_{1}+\sqrt{1-\rho} X_{2} \
&X_{B}=\sqrt{\rho} X_{1}+\sqrt{1-\rho} X_{3}
\end{aligned}
$$
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It’s natural to ask: if we assume that log returns are normally distributed, then how are standard returns distributed? To put it another way: rather than modeling log returns with a normal distribution, can we use another distribution and model standard returns directly?
The answer to these questions lies in the lognormal distribution, whose density function is given by:
$$
f(x)=\frac{1}{x \sigma \sqrt{2 \pi}} e^{-\frac{1}{2}\left(\frac{h x-\mu}{\sigma}\right)^{2}}
$$
If a variable has a lognormal distribution, then the log of that variable has a normal distribution. So, if log returns are assumed to be normally distributed, then one plus the standard return will be lognormally distributed.
Unlike the normal distribution, which ranges from negative infinity to positive infinity, the lognormal distribution is undefined, or zero, for negative values. Given an asset with a standard return, $R$, if we model $(1+R)$ using the lognormal distribution, then $R$ will have a minimum value of $-100 \%$. As mentioned in Chapter 1 , this feature, which we associate with limited liability, is common to most financial assets. Using the lognormal distribution provides an easy way to ensure that we avoid returns less than $-100 \%$. The probability density function for a lognormal distribution is shown in Figure 4.6.
Equation $4.18$ looks almost exactly like the equation for the normal distribution, Equation $4.12$, with $x$ replaced by $\ln (x)$. Be careful, though, as there is also the $x$ in the denominator of the leading fraction. At first it might not be clear what the $x$ is doing there. By carefully rearranging Equation 4.18, we can get something that, while slightly longer, looks more like the normal distribution in form:
While not as pretty, this starts to hint at what we’ve actually done. Rather than being symmetrical around $\mu$, as in the normal distribution, the lognormal distribution is asymmetrical and peaks at $\exp \left(\mu-\sigma^{2}\right)$.
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Assume we have an index made up of a large number of equities, or a bond portfolio that contains a large number of similar bonds. In these situations and many more, it is often convenient to assume that the constituent elements-the equities or bonds-are made up of statistically identical random variables, and that these variables are uncorrelated with each other. As mentioned previously, in statistics we term these variables independent and identically distributed (i.i.d.). If the constituent elements are i.i.d., it turns out we can say a lot about the distribution of the population, even if the distribution of the individual elements is unknown.
We already know that if we add two i.i.d. normal distributions together we get a normal distribution, but what happens if we add two i.i.d. uniform variables together? Looking at the graph of the uniform distribution (Figure 4.1), you might think that we would get another uniform distribution, but this isn’t the case. In fact, the probability density function resembles a triangle.
Assume we have two defaulted bonds, each with a face value of $\$ 100$. The recovery rate for each bond is assumed to be uniform, between $\$ 0$ and $\$ 100$. At best we recover the full face value of the bond; at worst we get nothing. Further, assume the recovery rate for each bond is independent of the other. In other words, the bonds are i.i.d. uniform, between $\$ 0$ and $\$ 100$. What is the distribution for the portfolio of the two bonds? In the worstcase scenario, we recover $\$ 0$ from both bonds, and the total recovery is $\$ 0$. In the best-case scenario, we recover the full amount for both bonds, $\$ 200$ for the portfolio. Because the bonds are independent, these extremes are actually very unlikely. The most likely scenario is right in the middle, where we recover $\$ 100$. This could happen if we recover $\$ 40$ from the first bond and $\$ 60$ from the second, $\$ 90$ from the first and $\$ 10$ from the second, or any of an infinite number of combinations. Figure $4.7$ shows the distribution of values for the portfolio of two i.i.d. bonds.
金融统计代写
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正态分布可能是统计学中使用最广泛的分布，并且在金融中非常流行。正态分布出现在大量设置中，并且非常易于使用。
在流行的文献中，正态分布通常被称为钟形曲线，因为它的概率密度函数的形状。
正态分布的概率密度函数是对称的，均值和中值与 PDF 的最高点重合。因为它是对称的，所以正态分布的偏斜始终为零。正态分布的峰度始终为 3 。根据定义，正态分布的超峰度为零。
在某些领域，更常见的是将正态分布称为高斯分布，以著名的德国数学家约翰·高斯（Johann Gauss）的名字命名，他被认为是该分布的一些最早工作。并不是一个名字比另一个名字更精确，就像平均值和平均值一样。正态分布和高斯分布都是可接受的术语。
对于随机变量X，正态分布的概率密度函数为：
F(X)=1σ2圆周率和−12(X−bσ)2
分布由两个参数描述，μ和σ;μ是分布的平均值，并且σ是标准差。我们将这些陈述的证明留给本章末尾的练习。
当一个变量是正态分布时，不是写出整个密度函数，而是写成：
X∼ñ(μ,σ2)
这将被阅读”X正态分布，均值为μ和方差σ2 “
正态分布易于使用的一个原因是独立正态变量的任何线性组合也是正态的。如果我们有两个正态分布的变量，X和是, 和两个常数,一种和b， 然后从也是正态分布的：
从=一种X+b是 英石 从∼ñ(一种μX+bμ是,一种2σX2+b2σ是2)
这非常方便。例如，如果个股的对数收益呈正态分布，那么这些股票的平均收益也将呈正态分布。
当正态分布的均值为零且标准差为 1 时，称为标准正态分布。
φ=12圆周率和−12X2
将标准普通 PDF 表示为惯例φ，累积标准正态分布为披.
因为正态分布的线性组合也是正态的，所以标准正态分布是许多金融模型的组成部分。得到一个标准差为的正态变量σ和一个平均值μ，我们只需将标准正态变量乘以σ并添加μ.
X=μ+σφ⇒X∼ñ(μ,σ2)
要创建两个相关的正态变量，我们可以组合三个独立的标准正态变量，X1,X2， 和X3， 如下：
X一种=ρX1+1−ρX2 X乙=ρX1+1−ρX3
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很自然地要问：如果我们假设对数收益是正态分布的，那么标准收益是如何分布的？换句话说：不是用正态分布建模对数收益，我们可以使用另一种分布并直接对标准收益建模吗？
这些问题的答案在于对数正态分布，其密度函数由下式给出：
F(X)=1Xσ2圆周率和−12(HX−μσ)2
如果变量具有对数正态分布，则该变量的对数具有正态分布。因此，如果假设对数回报是正态分布的，那么一加标准回报将是对数正态分布的。
与范围从负无穷到正无穷的正态分布不同，对数正态分布对于负值是未定义的或为零。给定具有标准收益的资产，R，如果我们建模(1+R)使用对数正态分布，然后R将有一个最小值−100%. 如第 1 章所述，我们与有限责任相关的这一特征对大多数金融资产都很常见。使用对数正态分布提供了一种简单的方法来确保我们避免收益小于−100%. 对数正态分布的概率密度函数如图 4.6 所示。
方程4.18看起来几乎完全像正态分布的方程，方程4.12， 和X取而代之ln(X). 不过要小心，因为还有X在前导分数的分母中。一开始可能不清楚是什么X正在那里做。通过仔细重新排列方程 4.18，我们可以得到一些东西，虽然稍长一些，但看起来更像是形式上的正态分布：
虽然不那么漂亮，但这开始暗示我们实际上做了什么。而不是左右对称μ，与正态分布一样，对数正态分布是不对称的，峰值在经验(μ−σ2).
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假设我们有一个由大量股票组成的指数，或者一个包含大量类似债券的债券投资组合。在这些情况以及更多情况下，通常可以方便地假设构成要素（股票或债券）由统计上相同的随机变量组成，并且这些变量彼此不相关。如前所述，在统计学中，我们将这些变量称为独立同分布 (iid)。如果构成元素是独立同分布的，那么即使单个元素的分布是未知的，我们也可以说很多关于总体分布的信息。
我们已经知道，如果我们将两个 iid 正态分布相加，我们会得到一个正态分布，但是如果我们将两个 iid 均匀变量相加会发生什么呢？查看均匀分布图（图 4.1），您可能会认为我们会得到另一个均匀分布，但事实并非如此。事实上，概率密度函数类似于三角形。
假设我们有两个违约债券，每个债券的面值为$100. 假设每个债券的回收率是一致的，在$0和$100. 充其量我们可以收回债券的全部面值；在最坏的情况下，我们什么也得不到。此外，假设每个债券的回收率相互独立。换句话说，键是独立同分布的，在$0和$100. 两种债券的投资组合分布如何？在最坏的情况下，我们恢复$0从这两种债券中，总回收率为$0. 在最好的情况下，我们收回这两种债券的全部金额，$200为投资组合。因为债券是独立的，所以这些极端情况实际上是不太可能的。最有可能的情况就在中间，我们恢复$100. 如果我们恢复，这可能会发生$40从第一个键和$60从第二个开始，$90从第一和$10从第二个或无数种组合中的任何一种。数字4.7显示了两个 iid 债券投资组合的价值分布。
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随机过程代考
在概率论概念中，随机过程是随机变量的集合。 若一随机系统的样本点是随机函数，则称此函数为样本函数，这一随机系统全部样本函数的集合是一个随机过程。 实际应用中，样本函数的一般定义在时间域或者空间域。 随机过程的实例如股票和汇率的波动、语音信号、视频信号、体温的变化，随机运动如布朗运动、随机徘徊等等。
贝叶斯方法代考
贝叶斯统计概念及数据分析表示使用概率陈述回答有关未知参数的研究问题以及统计范式。后验分布包括关于参数的先验分布，和基于观测数据提供关于参数的信息似然模型。根据选择的先验分布和似然模型，后验分布可以解析或近似，例如，马尔科夫链蒙特卡罗 (MCMC) 方法之一。贝叶斯统计概念及数据分析使用后验分布来形成模型参数的各种摘要，包括点估计，如后验平均值、中位数、百分位数和称为可信区间的区间估计。此外，所有关于模型参数的统计检验都可以表示为基于估计后验分布的概率报表。
广义线性模型代考
广义线性模型（GLM）归属统计学领域，是一种应用灵活的线性回归模型。该模型允许因变量的偏差分布有除了正态分布之外的其它分布。
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机器学习代写
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多元统计分析代考
基础数据: $N$ 个样本， $P$ 个变量数的单样本，组成的横列的数据表
变量定性: 分类和顺序；变量定量：数值
数学公式的角度分为: 因变量与自变量
时间序列分析代写
随机过程，是依赖于参数的一组随机变量的全体，参数通常是时间。 随机变量是随机现象的数量表现，其时间序列是一组按照时间发生先后顺序进行排列的数据点序列。通常一组时间序列的时间间隔为一恒定值（如1秒，5分钟，12小时，7天，1年），因此时间序列可以作为离散时间数据进行分析处理。研究时间序列数据的意义在于现实中，往往需要研究某个事物其随时间发展变化的规律。这就需要通过研究该事物过去发展的历史记录，以得到其自身发展的规律。
回归分析代写
多元回归分析渐进（Multiple Regression Analysis Asymptotics）属于计量经济学领域，主要是一种数学上的统计分析方法，可以分析复杂情况下各影响因素的数学关系，在自然科学、社会和经济学等多个领域内应用广泛。
MATLAB代写
MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中，其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括：数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发，包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统，其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题，尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题，而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问，这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展，得到了许多用户的投入。在大学环境中，它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域，MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要，工具箱允许您学习和应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数（M 文件）的综合集合，可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。
