如果你也在 怎样代写信息论information theory这个学科遇到相关的难题，请随时右上角联系我们的24/7代写客服。信息论information theory的一个关键衡量标准是熵。熵量化了随机变量的值或随机过程的结果中所涉及的不确定性的数量。例如，确定一个公平的抛硬币的结果（有两个同样可能的结果）比确定一个掷骰子的结果（有六个同样可能的结果）提供的信息要少（熵值较低）。

信息理论是对数字信息的量化、存储和通信的科学研究。该领域从根本上是由哈里-奈奎斯特和拉尔夫-哈特利在20世纪20年代以及克劳德-香农在20世纪40年代的作品所确立的。该领域处于概率论、统计学、计算机科学、统计力学、信息工程和电气工程的交叉点。

statistics-lab™ 为您的留学生涯保驾护航 在代写信息论information theory方面已经树立了自己的口碑, 保证靠谱, 高质且原创的统计Statistics代写服务。我们的专家在代写信息论information theory代写方面经验极为丰富，各种代写信息论information theory相关的作业也就用不着说。

数学代写|信息论代写information theory代考|CHERNOFF INFORMATION

We have considered the problem of hypothesis testing in the classical setting, in which we treat the two probabilities of error separately. In the derivation of the Chernoff-Stein lemma, we set $\alpha_n \leq \epsilon$ and achieved $\beta_n \doteq 2^{-n D}$. But this approach lacks symmetry. Instead, we can follow a Bayesian approach, in which we assign prior probabilities to both hypotheses. In this case we wish to minimize the overall probability of error given by the weighted sum of the individual probabilities of error. The resulting error exponent is the Chernoff information.

The setup is as follows: $X_1, X_2, \ldots, X_n$ i.i.d. $\sim Q$. We have two hypotheses: $Q=P_1$ with prior probability $\pi_1$ and $Q=P_2$ with prior probability $\pi_2$. The overall probability of error is
$$
P_e^{(n)}=\pi_1 \alpha_n+\pi_2 \beta_n .
$$
Let
$$
D^=\lim {n \rightarrow \infty}-\frac{1}{n} \log \min {A_n \subseteq \mathcal{X}^n} P_e^{(n)}
$$
Theorem 11.9.1 (Chernoff) The best achievable exponent in the Bayesian probability of error is $D^$, where
$$
D^=D\left(P_{\lambda^} | P_1\right)=D\left(P_{\lambda^} | P_2\right), $$ with $$ P_\lambda=\frac{P_1^\lambda(x) P_2^{1-\lambda}(x)}{\sum_{a \in \mathcal{X}} P_1^\lambda(a) P_2^{1-\lambda}(a)}, $$ and $\lambda^$ the value of $\lambda$ such that
$$
D\left(P_{\lambda^} | P_1\right)=D\left(P_{\lambda^} | P_2\right) .
$$

数学代写|信息论代写information theory代考|FISHER INFORMATION AND THE CRAMER–RAO ´INEQUALITY

A standard problem in statistical estimation is to determine the parameters of a distribution from a sample of data drawn from that distribution. For example, let $X_1, X_2, \ldots, X_n$ be drawn i.i.d. $\sim \mathcal{N}(\theta, 1)$. Suppose that we wish to estimate $\theta$ from a sample of size $n$. There are a number of functions of the data that we can use to estimate $\theta$. For example, we can use the first sample $X_1$. Although the expected value of $X_1$ is $\theta$, it is clear that we can do better by using more of the data. We guess that the best estimate of $\theta$ is the sample mean $\bar{X}_n=\frac{1}{n} \sum X_i$. Indeed, it can be shown that $\bar{X}_n$ is the minimum mean-squared-error unbiased estimator.

We begin with a few definitions. Let ${f(x ; \theta)}, \theta \in \Theta$, denote an indexed family of densities, $f(x ; \theta) \geq 0, \int f(x ; \theta) d x=1$ for all $\theta \in \Theta$. Here $\Theta$ is called the parameter set.

Definition An estimator for $\theta$ for sample size $n$ is a function $T$ : $\mathcal{X}^n \rightarrow \Theta$.

An estimator is meant to approximate the value of the parameter. It is therefore desirable to have some idea of the goodness of the approximation. We will call the difference $T-\theta$ the error of the estimator. The error is a random variable.

Definition The bias of an estimator $T\left(X_1, X_2, \ldots, X_n\right)$ for the parameter $\theta$ is the expected value of the error of the estimator [i.e., the bias is $\left.E_\theta T\left(x_1, x_2, \ldots, x_n\right)-\theta\right]$. The subscript $\theta$ means that the expectation is with respect to the density $f(\cdot ; \theta)$. The estimator is said to be unbiased if the bias is zero for all $\theta \in \Theta$ (i.e., the expected value of the estimator is equal to the parameter).

Example 11.10.1 Let $X_1, X_2, \ldots, X_n$ drawn i.i.d. $\sim f(x)=(1 / \lambda)$ $e^{-x / \lambda}, x \geq 0$ be a sequence of exponentially distributed random variables. Estimators of $\lambda$ include $X_1$ and $\bar{X}_n$. Both estimators are unbiased.

信息论代写

数学代写|信息论代写information theory代考|CHERNOFF INFORMATION

我们考虑了经典环境下的假设检验问题，其中我们分别处理两个误差概率。在推导Chernoff-Stein引理时，我们设$\alpha_n \leq \epsilon$，得到$\beta_n \doteq 2^{-n D}$。但这种方法缺乏对称性。相反，我们可以遵循贝叶斯方法，其中我们为两个假设分配先验概率。在这种情况下，我们希望最小化由单个错误概率的加权和给出的总体错误概率。得到的误差指数是切尔诺夫信息。

设置如下:$X_1, X_2, \ldots, X_n$ i.i.d $\sim Q$。我们有两个假设:$Q=P_1$有先验概率$\pi_1$和$Q=P_2$有先验概率$\pi_2$。总的误差概率为
$$
P_e^{(n)}=\pi_1 \alpha_n+\pi_2 \beta_n .
$$
让
$$
D^=\lim {n \rightarrow \infty}-\frac{1}{n} \log \min {A_n \subseteq \mathcal{X}^n} P_e^{(n)}
$$
定理11.9.1 (Chernoff)贝叶斯误差概率中可实现的最佳指数为$D^$，其中
$$
D^=D\left(P_{\lambda^} | P_1\right)=D\left(P_{\lambda^} | P_2\right), $$与$$ P_\lambda=\frac{P_1^\lambda(x) P_2^{1-\lambda}(x)}{\sum_{a \in \mathcal{X}} P_1^\lambda(a) P_2^{1-\lambda}(a)}, $$和$\lambda^$的值$\lambda$，这样
$$
D\left(P_{\lambda^} | P_1\right)=D\left(P_{\lambda^} | P_2\right) .
$$

数学代写|信息论代写information theory代考|FISHER INFORMATION AND THE CRAMER–RAO ´INEQUALITY

统计估计中的一个标准问题是根据从该分布中抽取的数据样本确定该分布的参数。例如，将$X_1, X_2, \ldots, X_n$绘制为id为$\sim \mathcal{N}(\theta, 1)$。假设我们希望从一个大小为$n$的样本中估计$\theta$。我们可以使用数据的许多函数来估计$\theta$。例如，我们可以使用第一个示例$X_1$。虽然$X_1$的期望值是$\theta$，但很明显，我们可以通过使用更多的数据来做得更好。我们猜测$\theta$的最佳估计值是样本均值$\bar{X}_n=\frac{1}{n} \sum X_i$。的确，可以证明$\bar{X}_n$是最小均方误差无偏估计量。

我们从几个定义开始。设${f(x ; \theta)}, \theta \in \Theta$表示一个索引密度族，对于所有$\theta \in \Theta$表示$f(x ; \theta) \geq 0, \int f(x ; \theta) d x=1$。这里$\Theta$被称为参数集。

样本大小$n$的$\theta$估计量是一个函数$T$: $\mathcal{X}^n \rightarrow \Theta$。

估计器是用来近似参数值的。因此，对近似的优点有一些概念是可取的。我们称这个差$T-\theta$为估计器的误差。误差是一个随机变量。

参数$\theta$的估计器$T\left(X_1, X_2, \ldots, X_n\right)$的偏差是估计器误差的期望值[即偏差为$\left.E_\theta T\left(x_1, x_2, \ldots, x_n\right)-\theta\right]$]。下标$\theta$表示期望是关于密度的$f(\cdot ; \theta)$。如果对所有$\theta \in \Theta$的偏差为零(即，估计量的期望值等于参数)，则称估计量无偏。

例11.10.1设$X_1, X_2, \ldots, X_n$绘制i.i.d $\sim f(x)=(1 / \lambda)$$e^{-x / \lambda}, x \geq 0$为指数分布的随机变量序列。$\lambda$的估计值包括$X_1$和$\bar{X}_n$。两个估计量都是无偏的。

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金融工程代写

金融工程是使用数学技术来解决金融问题。金融工程使用计算机科学、统计学、经济学和应用数学领域的工具和知识来解决当前的金融问题，以及设计新的和创新的金融产品。

非参数统计代写

非参数统计指的是一种统计方法，其中不假设数据来自于由少数参数决定的规定模型；这种模型的例子包括正态分布模型和线性回归模型。

广义线性模型代考

广义线性模型（GLM）归属统计学领域，是一种应用灵活的线性回归模型。该模型允许因变量的偏差分布有除了正态分布之外的其它分布。

术语 广义线性模型（GLM）通常是指给定连续和/或分类预测因素的连续响应变量的常规线性回归模型。它包括多元线性回归，以及方差分析和方差分析（仅含固定效应）。

有限元方法代写

有限元方法（FEM）是一种流行的方法，用于数值解决工程和数学建模中出现的微分方程。典型的问题领域包括结构分析、传热、流体流动、质量运输和电磁势等传统领域。

有限元是一种通用的数值方法，用于解决两个或三个空间变量的偏微分方程（即一些边界值问题）。为了解决一个问题，有限元将一个大系统细分为更小、更简单的部分，称为有限元。这是通过在空间维度上的特定空间离散化来实现的，它是通过构建对象的网格来实现的：用于求解的数值域，它有有限数量的点。边界值问题的有限元方法表述最终导致一个代数方程组。该方法在域上对未知函数进行逼近。[1] 然后将模拟这些有限元的简单方程组合成一个更大的方程系统，以模拟整个问题。然后，有限元通过变化微积分使相关的误差函数最小化来逼近一个解决方案。

tatistics-lab作为专业的留学生服务机构，多年来已为美国、英国、加拿大、澳洲等留学热门地的学生提供专业的学术服务，包括但不限于Essay代写，Assignment代写，Dissertation代写，Report代写，小组作业代写，Proposal代写，Paper代写，Presentation代写，计算机作业代写，论文修改和润色，网课代做，exam代考等等。写作范围涵盖高中，本科，研究生等海外留学全阶段，辐射金融，经济学，会计学，审计学，管理学等全球99%专业科目。写作团队既有专业英语母语作者，也有海外名校硕博留学生，每位写作老师都拥有过硬的语言能力，专业的学科背景和学术写作经验。我们承诺100%原创，100%专业，100%准时，100%满意。

随机分析代写

随机微积分是数学的一个分支，对随机过程进行操作。它允许为随机过程的积分定义一个关于随机过程的一致的积分理论。这个领域是由日本数学家伊藤清在第二次世界大战期间创建并开始的。

时间序列分析代写

随机过程，是依赖于参数的一组随机变量的全体，参数通常是时间。 随机变量是随机现象的数量表现，其时间序列是一组按照时间发生先后顺序进行排列的数据点序列。通常一组时间序列的时间间隔为一恒定值（如1秒，5分钟，12小时，7天，1年），因此时间序列可以作为离散时间数据进行分析处理。研究时间序列数据的意义在于现实中，往往需要研究某个事物其随时间发展变化的规律。这就需要通过研究该事物过去发展的历史记录，以得到其自身发展的规律。

回归分析代写

多元回归分析渐进（Multiple Regression Analysis Asymptotics）属于计量经济学领域，主要是一种数学上的统计分析方法，可以分析复杂情况下各影响因素的数学关系，在自然科学、社会和经济学等多个领域内应用广泛。

MATLAB代写

MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中，其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括：数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发，包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统，其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题，尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题，而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问，这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展，得到了许多用户的投入。在大学环境中，它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域，MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要，工具箱允许您学习和应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数（M 文件）的综合集合，可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。

R语言代写	问卷设计与分析代写
PYTHON代写	回归分析与线性模型代写
MATLAB代写	方差分析与试验设计代写
STATA代写	机器学习/统计学习代写
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信息理论是对数字信息的量化、存储和通信的科学研究。该领域从根本上是由哈里-奈奎斯特和拉尔夫-哈特利在20世纪20年代以及克劳德-香农在20世纪40年代的作品所确立的。该领域处于概率论、统计学、计算机科学、统计力学、信息工程和电气工程的交叉点。

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数学代写|信息论代写information theory代考|UNIVERSAL SOURCE CODING

Huffman coding compresses an i.i.d. source with a known distribution $p(x)$ to its entropy limit $H(X)$. However, if the code is designed for some incorrect distribution $q(x)$, a penalty of $D(p | q)$ is incurred. Thus, Huffman coding is sensitive to the assumed distribution.

What compression can be achieved if the true distribution $p(x)$ is unknown? Is there a universal code of rate $R$, say, that suffices to describe every i.i.d. source with entropy $H(X)<R$ ? The surprising answer is yes. The idea is based on the method of types. There are $2^{n H(P)}$ sequences of type $P$. Since there are only a polynomial number of types with denominator $n$, an enumeration of all sequences $x^n$ with type $P_{x^n}$ such that $H\left(P_{x^n}\right)<R$ will require roughly $n R$ bits. Thus, by describing all such sequences, we are prepared to describe any sequence that is likely to arise from any distribution $Q$ having entropy $H(Q)<R$. We begin with a definition.

Definition A fixed-rate block code of rate $R$ for a source $X_1, X_2, \ldots$, $X_n$ which has an unknown distribution $Q$ consists of two mappings: the encoder,
$$
f_n: \mathcal{X}^n \rightarrow\left{1,2, \ldots, 2^{n R}\right}
$$

and the decoder,
$$
\phi_n:\left{1,2, \ldots, 2^{n R}\right} \rightarrow \mathcal{X}^n .
$$
Here $R$ is called the rate of the code. The probability of error for the code with respect to the distribution $Q$ is
$$
P_e^{(n)}=Q^n\left(X^n: \phi_n\left(f_n\left(X^n\right)\right) \neq X^n\right)
$$

数学代写|信息论代写information theory代考|LARGE DEVIATION THEORY

The subject of large deviation theory can be illustrated by an example. What is the probability that $\frac{1}{n} \sum X_i$ is near $\frac{1}{3}$ if $X_1, X_2, \ldots, X_n$ are drawn i.i.d. Bernoulli $\left(\frac{1}{3}\right)$ ? This is a small deviation (from the expected outcome) and the probability is near 1 . Now what is the probability that $\frac{1}{n} \sum X_i$ is greater than $\frac{3}{4}$ given that $X_1, X_2, \ldots, X_n$ are Bernoulli $\left(\frac{1}{3}\right)$ ? This is a large deviation, and the probability is exponentially small. We might estimate the exponent using the central limit theorem, but this is a poor approximation for more than a few standard deviations. We note that $\frac{1}{n} \sum X_i=\frac{3}{4}$ is equivalent to $P_{\mathbf{x}}=\left(\frac{1}{4}, \frac{3}{4}\right)$. Thus, the probability that $\bar{X}_n$ is near $\frac{3}{4}$ is the probability that type $P_X$ is near $\left(\frac{3}{4}, \frac{1}{4}\right)$. The probability of this large deviation will turn out to be $\approx 2^{-n D\left(\left(\frac{3}{4}, \frac{1}{4}\right) |\left(\frac{1}{3}, \frac{2}{3}\right)\right)}$. In this section we estimate the probability of a set of nontypical types.

Let $E$ be a subset of the set of probability mass functions. For example, $E$ may be the set of probability mass functions with mean $\mu$. With a slight abuse of notation, we write
$$
Q^n(E)=Q^n\left(E \cap \mathcal{P}n\right)=\sum{\mathbf{x}: P_{\mathbf{x}} \in E \cap \mathcal{P}_n} Q^n(\mathbf{x})
$$
If $E$ contains a relative entropy neighborhood of $Q$, then by the weak law of large numbers (Theorem 11.2.1), $Q^n(E) \rightarrow 1$. On the other hand, if $E$ does not contain $Q$ or a neighborhood of $Q$, then by the weak law of large numbers, $Q^n(E) \rightarrow 0$ exponentially fast. We will use the method of types to calculate the exponent.

Let us first give some examples of the kinds of sets $E$ that we are considering. For example, assume that by observation we find that the sample average of $g(X)$ is greater than or equal to $\alpha$ [i.e., $\frac{1}{n} \sum_i g\left(x_i\right) \geq \alpha$ ]. This event is equivalent to the event $P_{\mathbf{X}} \in E \cap \mathcal{P}n$, where $$ E=\left{P: \sum{a \in \mathcal{X}} g(a) P(a) \geq \alpha\right},
$$
because
$$
\begin{aligned}
\frac{1}{n} \sum_{i=1}^n g\left(x_i\right) \geq \alpha & \Leftrightarrow \sum_{a \in \mathcal{X}} P_{\mathbf{X}}(a) g(a) \geq \alpha \
& \Leftrightarrow P_{\mathbf{X}} \in E \cap \mathcal{P}_n .
\end{aligned}
$$

信息论代写

数学代写|信息论代写information theory代考|UNIVERSAL SOURCE CODING

霍夫曼编码压缩一个已知分布的id源$p(x)$到它的熵极限$H(X)$。但是，如果代码是为某些不正确的发行版$q(x)$设计的，则会产生$D(p | q)$的惩罚。因此，霍夫曼编码对假设分布很敏感。

如果真实的分布$p(x)$是未知的，可以实现什么压缩?是否存在一个速率$R$的通用代码，比如说，足以描述每一个具有熵$H(X)<R$的i.i.d源?令人惊讶的答案是肯定的。这个想法是基于类型的方法。有$P$类型的$2^{n H(P)}$序列。由于分母为$n$的类型只有一个多项式数，因此对所有类型为$P_{x^n}$的序列$x^n$的枚举，使得$H\left(P_{x^n}\right)<R$大约需要$n R$位。因此，通过描述所有这样的序列，我们准备描述任何可能从具有熵$H(Q)<R$的任何分布$Q$产生的序列。我们从定义开始。

一个固定速率的块码速率为$R$的源$X_1, X_2, \ldots$, $X_n$有一个未知的分布$Q$包含两个映射:编码器，
$$
f_n: \mathcal{X}^n \rightarrow\left{1,2, \ldots, 2^{n R}\right}
$$

解码器，
$$
\phi_n:\left{1,2, \ldots, 2^{n R}\right} \rightarrow \mathcal{X}^n .
$$
这里$R$被称为代码的速率。代码相对于分布$Q$的错误概率为
$$
P_e^{(n)}=Q^n\left(X^n: \phi_n\left(f_n\left(X^n\right)\right) \neq X^n\right)
$$

数学代写|信息论代写information theory代考|LARGE DEVIATION THEORY

大偏差理论的主题可以用一个例子来说明。如果$X_1, X_2, \ldots, X_n$是伯努利$\left(\frac{1}{3}\right)$，那么$\frac{1}{n} \sum X_i$在$\frac{1}{3}$附近的概率是多少?这是一个很小的偏差(与预期结果)，概率接近1。现在$\frac{1}{n} \sum X_i$大于$\frac{3}{4}$的概率是多少假设$X_1, X_2, \ldots, X_n$是伯努利$\left(\frac{1}{3}\right)$ ?这是一个很大的偏差，而概率是指数级的小。我们可以用中心极限定理来估计指数，但这是一个糟糕的近似，超过几个标准差。我们注意到$\frac{1}{n} \sum X_i=\frac{3}{4}$相当于$P_{\mathbf{x}}=\left(\frac{1}{4}, \frac{3}{4}\right)$。因此，$\bar{X}_n$接近$\frac{3}{4}$的概率就是$P_X$接近$\left(\frac{3}{4}, \frac{1}{4}\right)$的概率。这种大偏差的概率将会是$\approx 2^{-n D\left(\left(\frac{3}{4}, \frac{1}{4}\right) |\left(\frac{1}{3}, \frac{2}{3}\right)\right)}$。在本节中，我们估计一组非典型类型的概率。

设$E$为概率质量函数集合的一个子集。例如，$E$可能是均值为$\mu$的概率质量函数集。稍微滥用一下符号，我们写
$$
Q^n(E)=Q^n\left(E \cap \mathcal{P}n\right)=\sum{\mathbf{x}: P_{\mathbf{x}} \in E \cap \mathcal{P}_n} Q^n(\mathbf{x})
$$
如果$E$包含相对熵邻域$Q$，则根据弱大数定律(定理11.2.1)，$Q^n(E) \rightarrow 1$。另一方面，如果$E$不包含$Q$或$Q$的邻域，则根据弱大数定律，$Q^n(E) \rightarrow 0$呈指数级快。我们将使用类型的方法来计算指数。

让我们首先给出一些我们正在考虑的集合$E$的例子。例如，假设通过观察我们发现$g(X)$的样本平均值大于等于$\alpha$[即$\frac{1}{n} \sum_i g\left(x_i\right) \geq \alpha$]。此事件相当于事件$P_{\mathbf{X}} \in E \cap \mathcal{P}n$，其中$$ E=\left{P: \sum{a \in \mathcal{X}} g(a) P(a) \geq \alpha\right},
$$
因为
$$
\begin{aligned}
\frac{1}{n} \sum_{i=1}^n g\left(x_i\right) \geq \alpha & \Leftrightarrow \sum_{a \in \mathcal{X}} P_{\mathbf{X}}(a) g(a) \geq \alpha \
& \Leftrightarrow P_{\mathbf{X}} \in E \cap \mathcal{P}_n .
\end{aligned}
$$

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金融工程代写

金融工程是使用数学技术来解决金融问题。金融工程使用计算机科学、统计学、经济学和应用数学领域的工具和知识来解决当前的金融问题，以及设计新的和创新的金融产品。

非参数统计代写

非参数统计指的是一种统计方法，其中不假设数据来自于由少数参数决定的规定模型；这种模型的例子包括正态分布模型和线性回归模型。

广义线性模型代考

广义线性模型（GLM）归属统计学领域，是一种应用灵活的线性回归模型。该模型允许因变量的偏差分布有除了正态分布之外的其它分布。

术语 广义线性模型（GLM）通常是指给定连续和/或分类预测因素的连续响应变量的常规线性回归模型。它包括多元线性回归，以及方差分析和方差分析（仅含固定效应）。

有限元方法代写

有限元方法（FEM）是一种流行的方法，用于数值解决工程和数学建模中出现的微分方程。典型的问题领域包括结构分析、传热、流体流动、质量运输和电磁势等传统领域。

有限元是一种通用的数值方法，用于解决两个或三个空间变量的偏微分方程（即一些边界值问题）。为了解决一个问题，有限元将一个大系统细分为更小、更简单的部分，称为有限元。这是通过在空间维度上的特定空间离散化来实现的，它是通过构建对象的网格来实现的：用于求解的数值域，它有有限数量的点。边界值问题的有限元方法表述最终导致一个代数方程组。该方法在域上对未知函数进行逼近。[1] 然后将模拟这些有限元的简单方程组合成一个更大的方程系统，以模拟整个问题。然后，有限元通过变化微积分使相关的误差函数最小化来逼近一个解决方案。

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随机微积分是数学的一个分支，对随机过程进行操作。它允许为随机过程的积分定义一个关于随机过程的一致的积分理论。这个领域是由日本数学家伊藤清在第二次世界大战期间创建并开始的。

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随机过程，是依赖于参数的一组随机变量的全体，参数通常是时间。 随机变量是随机现象的数量表现，其时间序列是一组按照时间发生先后顺序进行排列的数据点序列。通常一组时间序列的时间间隔为一恒定值（如1秒，5分钟，12小时，7天，1年），因此时间序列可以作为离散时间数据进行分析处理。研究时间序列数据的意义在于现实中，往往需要研究某个事物其随时间发展变化的规律。这就需要通过研究该事物过去发展的历史记录，以得到其自身发展的规律。

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MATLAB代写

MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中，其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括：数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发，包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统，其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题，尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题，而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问，这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展，得到了许多用户的投入。在大学环境中，它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域，MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要，工具箱允许您学习和应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数（M 文件）的综合集合，可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。

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信息理论是对数字信息的量化、存储和通信的科学研究。该领域从根本上是由哈里-奈奎斯特和拉尔夫-哈特利在20世纪20年代以及克劳德-香农在20世纪40年代的作品所确立的。该领域处于概率论、统计学、计算机科学、统计力学、信息工程和电气工程的交叉点。

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数学代写|信息论代写information theory代考|Simultaneous Description of Independent Gaussian Random Variables

Consider the case of representing $m$ independent (but not identically distributed) normal random sources $X_1, \ldots, X_m$, where $X_i$ are $\sim \mathcal{N}\left(0, \sigma_i^2\right)$, with squared-error distortion. Assume that we are given $R$ bits with which to represent this random vector. The question naturally arises as to how we should allot these bits to the various components to minimize the total distortion. Extending the definition of the information rate distortion function to the vector case, we have
$$
R(D)=\min {f\left(\hat{x}^m \mid x^m\right): \operatorname{Ed}\left(X^m, \hat{X}^m\right) \leq D} I\left(X^m ; \hat{X}^m\right), $$ where $d\left(x^m, \hat{x}^m\right)=\sum{i=1}^m\left(x_i-\hat{x}i\right)^2$. Now using the arguments in the preceding example, we have $$ \begin{aligned} I\left(X^m ; \hat{X}^m\right) & =h\left(X^m\right)-h\left(X^m \mid \hat{X}^m\right) \ & =\sum{i=1}^m h\left(X_i\right)-\sum_{i=1}^m h\left(X_i \mid X^{i-1}, \hat{X}^m\right) \
& \geq \sum_{i=1}^m h\left(X_i\right)-\sum_{i=1}^m h\left(X_i \mid \hat{X}i\right) \ & =\sum{i=1}^m I\left(X_i ; \hat{X}i\right) \ & \geq \sum{i=1}^m R\left(D_i\right) \
& =\sum_{i=1}^m\left(\frac{1}{2} \log \frac{\sigma_i^2}{D_i}\right)^{+}
\end{aligned}
$$
where $D_i=E\left(X_i-\hat{X}i\right)^2$ and (10.41) follows from the fact that conditioning reduces entropy. We can achieve equality in (10.41) by choosing $f\left(x^m \mid \hat{x}^m\right)=\prod{i=1}^m f\left(x_i \mid \hat{x}i\right)$ and in (10.43) by choosing the distribution of each $\hat{X}_i \sim \mathcal{N}\left(0, \sigma_i^2-D_i\right)$, as in the preceding example. Hence, the problem of finding the rate distortion function can be reduced to the following optimization (using nats for convenience): $$ R(D)=\min {\sum D_i=D} \sum_{i=1}^m \max \left{\frac{1}{2} \ln \frac{\sigma_i^2}{D_i}, 0\right}
$$

数学代写|信息论代写information theory代考|CONVERSE TO THE RATE DISTORTION THEOREM

In this section we prove the converse to Theorem 10.2 .1 by showing that we cannot achieve a distortion of less than $D$ if we describe $X$ at a rate less than $R(D)$, where
$$
R(D)=\min {p(\hat{x} \mid x): \sum{(x, \hat{x})}} \operatorname{mpx}_{(x) p(\hat{x} \mid x) d(x, \hat{x}) \leq D} I(X ; \hat{X}) .
$$

The minimization is over all conditional distributions $p(\hat{x} \mid x)$ for which the joint distribution $p(x, \hat{x})=p(x) p(\hat{x} \mid x)$ satisfies the expected distortion constraint. Before proving the converse, we establish some simple properties of the information rate distortion function.

Lemma 10.4.1 (Convexity of $R(D)$ ) The rate distortion function $R(D)$ given in (10.53) is a nonincreasing convex function of $D$.

Proof: $R(D)$ is the minimum of the mutual information over increasingly larger sets as $D$ increases. Thus, $R(D)$ is nonincreasing in $D$. To prove that $R(D)$ is convex, consider two rate distortion pairs, $\left(R_1, D_1\right)$ and $\left(R_2, D_2\right)$, which lie on the rate distortion curve. Let the joint distributions that achieve these pairs be $p_1(x, \hat{x})=p(x) p_1(\hat{x} \mid x)$ and $p_2(x, \hat{x})=$ $p(x) p_2(\hat{x} \mid x)$. Consider the distribution $p_\lambda=\lambda p_1+(1-\lambda) p_2$. Since the distortion is a linear function of the distribution, we have $D\left(p_\lambda\right)=\lambda D_1+$ $(1-\lambda) D_2$. Mutual information, on the other hand, is a convex function of the conditional distribution (Theorem 2.7.4), and hence
$$
I_{p_\lambda}(X ; \hat{X}) \leq \lambda I_{p_1}(X ; \hat{X})+(1-\lambda) I_{p_2}(X ; \hat{X}) .
$$
Hence, by the definition of the rate distortion function,
$$
\begin{aligned}
R\left(D_\lambda\right) & \leq I_{p_\lambda}(X ; \hat{X}) \
& \leq \lambda I_{p_1}(X ; \hat{X})+(1-\lambda) I_{p_2}(X ; \hat{X}) \
& =\lambda R\left(D_1\right)+(1-\lambda) R\left(D_2\right),
\end{aligned}
$$
which proves that $R(D)$ is a convex function of $D$.

信息论代写

数学代写|信息论代写information theory代考|Simultaneous Description of Independent Gaussian Random Variables

考虑表示$m$独立(但不相同分布)的正态随机源$X_1, \ldots, X_m$的情况，其中$X_i$为$\sim \mathcal{N}\left(0, \sigma_i^2\right)$，具有平方误差失真。假设我们有$R$位来表示这个随机向量。问题自然出现，我们应该如何分配这些比特的各个组成部分，以尽量减少总失真。将信息率失真函数的定义推广到向量情况下，得到
$$
R(D)=\min {f\left(\hat{x}^m \mid x^m\right): \operatorname{Ed}\left(X^m, \hat{X}^m\right) \leq D} I\left(X^m ; \hat{X}^m\right), $$哪里$d\left(x^m, \hat{x}^m\right)=\sum{i=1}^m\left(x_i-\hat{x}i\right)^2$。现在使用前面示例中的参数，我们得到$$ \begin{aligned} I\left(X^m ; \hat{X}^m\right) & =h\left(X^m\right)-h\left(X^m \mid \hat{X}^m\right) \ & =\sum{i=1}^m h\left(X_i\right)-\sum_{i=1}^m h\left(X_i \mid X^{i-1}, \hat{X}^m\right) \
& \geq \sum_{i=1}^m h\left(X_i\right)-\sum_{i=1}^m h\left(X_i \mid \hat{X}i\right) \ & =\sum{i=1}^m I\left(X_i ; \hat{X}i\right) \ & \geq \sum{i=1}^m R\left(D_i\right) \
& =\sum_{i=1}^m\left(\frac{1}{2} \log \frac{\sigma_i^2}{D_i}\right)^{+}
\end{aligned}
$$
其中$D_i=E\left(X_i-\hat{X}i\right)^2$和(10.41)是从条件作用减少熵的事实推导出来的。我们可以在(10.41)中通过选择$f\left(x^m \mid \hat{x}^m\right)=\prod{i=1}^m f\left(x_i \mid \hat{x}i\right)$和(10.43)中通过选择每个$\hat{X}i \sim \mathcal{N}\left(0, \sigma_i^2-D_i\right)$的分布来实现相等，如前面的示例所示。因此，寻找速率失真函数的问题可以简化为以下优化(为方便使用nats): $$ R(D)=\min {\sum D_i=D} \sum{i=1}^m \max \left{\frac{1}{2} \ln \frac{\sigma_i^2}{D_i}, 0\right}
$$

数学代写|信息论代写information theory代考|CONVERSE TO THE RATE DISTORTION THEOREM

在本节中，我们证明了定理10.2 .1的反面，证明了如果我们以小于$R(D)$的速率描述$X$，我们就不能得到小于$D$的失真，其中
$$
R(D)=\min {p(\hat{x} \mid x): \sum{(x, \hat{x})}} \operatorname{mpx}_{(x) p(\hat{x} \mid x) d(x, \hat{x}) \leq D} I(X ; \hat{X}) .
$$

最小化是在所有条件分布$p(\hat{x} \mid x)$上，其中联合分布$p(x, \hat{x})=p(x) p(\hat{x} \mid x)$满足预期的失真约束。在证明反命题之前，我们建立了信息率失真函数的一些简单性质。

引理10.4.1 ($R(D)$的凸性)式(10.53)给出的速率失真函数$R(D)$是$D$的非递增凸函数。

证明:随着$D$的增加，$R(D)$是越来越大的集合上相互信息的最小值。因此，$R(D)$在$D$中不增加。为了证明$R(D)$是凸的，考虑位于速率畸变曲线上的两个速率畸变对$\left(R_1, D_1\right)$和$\left(R_2, D_2\right)$。让实现这些对的联合分布为$p_1(x, \hat{x})=p(x) p_1(\hat{x} \mid x)$和$p_2(x, \hat{x})=$$p(x) p_2(\hat{x} \mid x)$。考虑发行版$p_\lambda=\lambda p_1+(1-\lambda) p_2$。由于畸变是分布的线性函数，我们有$D\left(p_\lambda\right)=\lambda D_1+$$(1-\lambda) D_2$。另一方面，互信息是条件分布的凸函数(定理2.7.4)，因此
$$
I_{p_\lambda}(X ; \hat{X}) \leq \lambda I_{p_1}(X ; \hat{X})+(1-\lambda) I_{p_2}(X ; \hat{X}) .
$$
因此，根据速率失真函数的定义，
$$
\begin{aligned}
R\left(D_\lambda\right) & \leq I_{p_\lambda}(X ; \hat{X}) \
& \leq \lambda I_{p_1}(X ; \hat{X})+(1-\lambda) I_{p_2}(X ; \hat{X}) \
& =\lambda R\left(D_1\right)+(1-\lambda) R\left(D_2\right),
\end{aligned}
$$
证明了$R(D)$是$D$的凸函数。

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金融工程代写

金融工程是使用数学技术来解决金融问题。金融工程使用计算机科学、统计学、经济学和应用数学领域的工具和知识来解决当前的金融问题，以及设计新的和创新的金融产品。

非参数统计代写

非参数统计指的是一种统计方法，其中不假设数据来自于由少数参数决定的规定模型；这种模型的例子包括正态分布模型和线性回归模型。

广义线性模型代考

广义线性模型（GLM）归属统计学领域，是一种应用灵活的线性回归模型。该模型允许因变量的偏差分布有除了正态分布之外的其它分布。

术语 广义线性模型（GLM）通常是指给定连续和/或分类预测因素的连续响应变量的常规线性回归模型。它包括多元线性回归，以及方差分析和方差分析（仅含固定效应）。

有限元方法代写

有限元方法（FEM）是一种流行的方法，用于数值解决工程和数学建模中出现的微分方程。典型的问题领域包括结构分析、传热、流体流动、质量运输和电磁势等传统领域。

有限元是一种通用的数值方法，用于解决两个或三个空间变量的偏微分方程（即一些边界值问题）。为了解决一个问题，有限元将一个大系统细分为更小、更简单的部分，称为有限元。这是通过在空间维度上的特定空间离散化来实现的，它是通过构建对象的网格来实现的：用于求解的数值域，它有有限数量的点。边界值问题的有限元方法表述最终导致一个代数方程组。该方法在域上对未知函数进行逼近。[1] 然后将模拟这些有限元的简单方程组合成一个更大的方程系统，以模拟整个问题。然后，有限元通过变化微积分使相关的误差函数最小化来逼近一个解决方案。

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随机分析代写

随机微积分是数学的一个分支，对随机过程进行操作。它允许为随机过程的积分定义一个关于随机过程的一致的积分理论。这个领域是由日本数学家伊藤清在第二次世界大战期间创建并开始的。

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随机过程，是依赖于参数的一组随机变量的全体，参数通常是时间。 随机变量是随机现象的数量表现，其时间序列是一组按照时间发生先后顺序进行排列的数据点序列。通常一组时间序列的时间间隔为一恒定值（如1秒，5分钟，12小时，7天，1年），因此时间序列可以作为离散时间数据进行分析处理。研究时间序列数据的意义在于现实中，往往需要研究某个事物其随时间发展变化的规律。这就需要通过研究该事物过去发展的历史记录，以得到其自身发展的规律。

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多元回归分析渐进（Multiple Regression Analysis Asymptotics）属于计量经济学领域，主要是一种数学上的统计分析方法，可以分析复杂情况下各影响因素的数学关系，在自然科学、社会和经济学等多个领域内应用广泛。

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信息理论是对数字信息的量化、存储和通信的科学研究。该领域从根本上是由哈里-奈奎斯特和拉尔夫-哈特利在20世纪20年代以及克劳德-香农在20世纪40年代的作品所确立的。该领域处于概率论、统计学、计算机科学、统计力学、信息工程和电气工程的交叉点。

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数学代写|信息论代写information theory代考|CHANNELS WITH COLORED GAUSSIAN NOISE

In Section 9.4, we considered the case of a set of parallel independent Gaussian channels in which the noise samples from different channels were independent. Now we will consider the case when the noise is dependent. This represents not only the case of parallel channels, but also the case when the channel has Gaussian noise with memory. For channels with memory, we can consider a block of $n$ consecutive uses of the channel as $n$ channels in parallel with dependent noise. As in Section 9.4, we will calculate only the information capacity for this channel.

Let $K_Z$ be the covariance matrix of the noise, and let $K_X$ be the input covariance matrix. The power constraint on the input can then be written as
$$
\frac{1}{n} \sum_i E X_i^2 \leq P,
$$
or equivalently,
$$
\frac{1}{n} \operatorname{tr}\left(K_X\right) \leq P .
$$
Unlike Section 9.4 , the power constraint here depends on $n$; the capacity will have to be calculated for each $n$.
Just as in the case of independent channels, we can write
$$
\begin{aligned}
I\left(X_1, X_2, \ldots, X_n ; Y_1, Y_2, \ldots, Y_n\right)= & h\left(Y_1, Y_2, \ldots, Y_n\right) \
& -h\left(Z_1, Z_2, \ldots, Z_n\right) .(9.81)
\end{aligned}
$$
Here $h\left(Z_1, Z_2, \ldots, Z_n\right)$ is determined only by the distribution of the noise and is not dependent on the choice of input distribution. So finding the capacity amounts to maximizing $h\left(Y_1, Y_2, \ldots, Y_n\right)$. The entropy of the output is maximized when $Y$ is normal, which is achieved when the input is normal. Since the input and the noise are independent, the covariance of the output $Y$ is $K_Y=K_X+K_Z$ and the entropy is
$$
h\left(Y_1, Y_2, \ldots, Y_n\right)=\frac{1}{2} \log \left((2 \pi e)^n\left|K_X+K_Z\right|\right)
$$

数学代写|信息论代写information theory代考|GAUSSIAN CHANNELS WITH FEEDBACK

However, for channels with memory, where the noise is correlated from time instant to time instant, feedback does increase capacity. The capacity without feedback can be calculated using water-filling, but we do not have a simple explicit characterization of the capacity with feedback. In this section we describe an expression for the capacity in terms of the covariance matrix of the noise $Z$. We prove a converse for this expression for capacity. We then derive a simple bound on the increase in capacity due to feedback.

The Gaussian channel with feedback is illustrated in Figure 9.6. The output of the channel $Y_i$ is
$$
Y_i=X_i+Z_i, \quad Z_i \sim \mathcal{N}\left(0, K_Z^{(n)}\right) .
$$

The feedback allows the input of the channel to depend on the past values of the output.

A $\left(2^{n R}, n\right)$ code for the Gaussian channel with feedback consists of a sequence of mappings $x_i\left(W, Y^{i-1}\right)$, where $W \in\left{1,2, \ldots, 2^{n R}\right}$ is the input message and $Y^{i-1}$ is the sequence of past values of the output. Thus, $x(W, \cdot)$ is a code function rather than a codeword. In addition, we require that the code satisfy a power constraint,
$$
E\left[\frac{1}{n} \sum_{i=1}^n x_i^2\left(w, Y^{i-1}\right)\right] \leq P, \quad w \in\left{1,2, \ldots, 2^{n R}\right},
$$
where the expectation is over all possible noise sequences.
We characterize the capacity of the Gaussian channel is terms of the covariance matrices of the input $X$ and the noise $Z$. Because of the feedback, $X^n$ and $Z^n$ are not independent; $X_i$ depends causally on the past values of $Z$. In the next section we prove a converse for the Gaussian channel with feedback and show that we achieve capacity if we take $X$ to be Gaussian.
We now state an informal characterization of the capacity of the channel with and without feedback.
With feedback. The capacity $C_{n, \mathrm{FB}}$ in bits per transmission of the time-varying Gaussian channel with feedback is
$$
C_{n, \mathrm{FB}}=\max {\frac{1}{n} \operatorname{tr}\left(K_X^{(n)}\right) \leq P} \frac{1}{2 n} \log \frac{\left|K{X+Z}^{(n)}\right|}{\left|K_Z^{(n)}\right|}
$$
where the maximization is taken over all $X^n$ of the form
$$
X_i=\sum_{j=1}^{i-1} b_{i j} Z_j+V_i, \quad i=1,2, \ldots, n,
$$
and $V^n$ is independent of $Z^n$. To verify that the maximization over (9.101) involves no loss of generality, note that the distribution on $X^n+Z^n$ achieving the maximum entropy is Gaussian. Since $Z^n$ is also Gaussian, it can be verified that a jointly Gaussian distribution on $\left(X^n, Z^n, X^n+Z^n\right)$ achieves the maximization in (9.100). But since $Z^n=Y^n-X^n$, the most general jointly normal causal dependence of $X^n$ on $Y^n$ is of the form (9.101), where $V^n$ plays the role of the innovations process. Recasting (9.100) and (9.101) using $X=B Z+V$ and $Y=X+Z$, we can write
$$
C_{n, \mathrm{FB}}=\max \frac{1}{2 n} \log \frac{\left|(B+I) K_Z^{(n)}(B+I)^t+K_V\right|}{\left|K_Z^{(n)}\right|},
$$
where the maximum is taken over all nonnegative definite $K_V$ and strictly lower triangular $B$ such that
$$
\operatorname{tr}\left(B K_Z^{(n)} B^t+K_V\right) \leq n P .
$$
Note that $B$ is 0 if feedback is not allowed.
Without feedback. The capacity $C_n$ of the time-varying Gaussian channel without feedback is given by
$$
C_n=\max {\frac{1}{n} \operatorname{tr}\left(K_X^{(n)}\right) \leq P} \frac{1}{2 n} \log \frac{\left|K_X^{(n)}+K_Z^{(n)}\right|}{\left|K_Z^{(n)}\right|} . $$ This reduces to water-filling on the eigenvalues $\left{\lambda_i^{(n)}\right}$ of $K_Z^{(n)}$. Thus, $$ C_n=\frac{1}{2 n} \sum{i=1}^n \log \left(1+\frac{\left(\lambda-\lambda_i^{(n)}\right)^{+}}{\lambda_i^{(n)}}\right),
$$
where $(y)^{+}=\max {y, 0}$ and where $\lambda$ is chosen so that
$$
\sum_{i=1}^n\left(\lambda-\lambda_i^{(n)}\right)^{+}=n P
$$
We now prove an upper bound for the capacity of the Gaussian channel with feedback. This bound is actually achievable [136], and is therefore the capacity, but we do not prove this here.

信息论代写

数学代写|信息论代写information theory代考|CHANNELS WITH COLORED GAUSSIAN NOISE

在第9.4节中，我们考虑了一组平行独立高斯通道的情况，其中来自不同通道的噪声样本是独立的。现在我们将考虑噪声是相关的情况。这不仅代表了并行信道的情况，而且也代表了信道具有高斯噪声的情况。对于具有内存的信道，我们可以考虑将一个$n$连续使用的信道块视为$n$信道，并并行处理相关噪声。和第9.4节一样，我们将只计算这个通道的信息容量。

设$K_Z$为噪声的协方差矩阵，$K_X$为输入协方差矩阵。输入上的功率约束可以写成
$$
\frac{1}{n} \sum_i E X_i^2 \leq P,
$$
或者等价地，
$$
\frac{1}{n} \operatorname{tr}\left(K_X\right) \leq P .
$$
与第9.4节不同，这里的权力约束取决于$n$;必须为每个$n$计算容量。
就像在独立通道的情况下，我们可以写
$$
\begin{aligned}
I\left(X_1, X_2, \ldots, X_n ; Y_1, Y_2, \ldots, Y_n\right)= & h\left(Y_1, Y_2, \ldots, Y_n\right) \
& -h\left(Z_1, Z_2, \ldots, Z_n\right) .(9.81)
\end{aligned}
$$
这里$h\left(Z_1, Z_2, \ldots, Z_n\right)$仅由噪声的分布决定，而不依赖于输入分布的选择。所以求容量等于使$h\left(Y_1, Y_2, \ldots, Y_n\right)$最大化。输出的熵在$Y$正常时达到最大值，在输入正常时达到最大值。由于输入和噪声是独立的，输出的协方差$Y$为$K_Y=K_X+K_Z$，熵为
$$
h\left(Y_1, Y_2, \ldots, Y_n\right)=\frac{1}{2} \log \left((2 \pi e)^n\left|K_X+K_Z\right|\right)
$$

数学代写|信息论代写information theory代考|GAUSSIAN CHANNELS WITH FEEDBACK

然而，对于具有内存的信道，其中噪声从一个时刻到另一个时刻是相关的，反馈确实增加了容量。无反馈时的容量可以用充水法计算，但有反馈时的容量没有简单明确的表征。在本节中，我们用噪声的协方差矩阵$Z$描述容量的表达式。我们证明了这个容量表达式的一个逆表达式。然后，我们推导了由于反馈导致的容量增加的简单界。

带反馈的高斯信道如图9.6所示。通道$Y_i$的输出为
$$
Y_i=X_i+Z_i, \quad Z_i \sim \mathcal{N}\left(0, K_Z^{(n)}\right) .
$$

反馈允许通道的输入依赖于过去的输出值。

带有反馈的高斯信道的$\left(2^{n R}, n\right)$代码由映射序列$x_i\left(W, Y^{i-1}\right)$组成，其中$W \in\left{1,2, \ldots, 2^{n R}\right}$是输入消息，$Y^{i-1}$是过去输出值的序列。因此，$x(W, \cdot)$是一个代码函数，而不是一个码字。此外，我们要求代码满足功率约束，
$$
E\left[\frac{1}{n} \sum_{i=1}^n x_i^2\left(w, Y^{i-1}\right)\right] \leq P, \quad w \in\left{1,2, \ldots, 2^{n R}\right},
$$
期望大于所有可能的噪声序列。
我们用输入$X$和噪声$Z$的协方差矩阵来描述高斯信道的容量。因为反馈，$X^n$和$Z^n$不是独立的;$X_i$依赖于$Z$过去的值。在下一节中，我们将证明具有反馈的高斯信道的一个逆命题，并表明如果我们取$X$为高斯信道，我们将获得容量。
现在我们对有反馈和没有反馈的信道容量进行非正式表征。
有反馈。带反馈的时变高斯信道的传输容量$C_{n, \mathrm{FB}}$为
$$
C_{n, \mathrm{FB}}=\max {\frac{1}{n} \operatorname{tr}\left(K_X^{(n)}\right) \leq P} \frac{1}{2 n} \log \frac{\left|K{X+Z}^{(n)}\right|}{\left|K_Z^{(n)}\right|}
$$
在哪里最大化是采取了所有$X^n$的形式
$$
X_i=\sum_{j=1}^{i-1} b_{i j} Z_j+V_i, \quad i=1,2, \ldots, n,
$$
$V^n$独立于$Z^n$。为了验证(9.101)上的最大化不涉及一般性的损失，请注意$X^n+Z^n$上实现最大熵的分布是高斯分布。由于$Z^n$也是高斯分布，因此可以验证$\left(X^n, Z^n, X^n+Z^n\right)$上的联合高斯分布在(9.100)处达到最大值。但从$Z^n=Y^n-X^n$开始，$X^n$对$Y^n$最一般的联合正态因果关系是(9.101)，其中$V^n$扮演创新过程的角色。使用$X=B Z+V$和$Y=X+Z$重铸(9.100)和(9.101)，我们可以写
$$
C_{n, \mathrm{FB}}=\max \frac{1}{2 n} \log \frac{\left|(B+I) K_Z^{(n)}(B+I)^t+K_V\right|}{\left|K_Z^{(n)}\right|},
$$
这里的最大值是所有非负定的$K_V$和严格的下三角形$B$，这样
$$
\operatorname{tr}\left(B K_Z^{(n)} B^t+K_V\right) \leq n P .
$$
注意，如果不允许反馈，$B$为0。
没有反馈。无反馈时变高斯信道的容量$C_n$由式给出
$$
C_n=\max {\frac{1}{n} \operatorname{tr}\left(K_X^{(n)}\right) \leq P} \frac{1}{2 n} \log \frac{\left|K_X^{(n)}+K_Z^{(n)}\right|}{\left|K_Z^{(n)}\right|} . $$这简化为在$K_Z^{(n)}$的特征值$\left{\lambda_i^{(n)}\right}$上充水。因此，$$ C_n=\frac{1}{2 n} \sum{i=1}^n \log \left(1+\frac{\left(\lambda-\lambda_i^{(n)}\right)^{+}}{\lambda_i^{(n)}}\right),
$$
哪里是$(y)^{+}=\max {y, 0}$，哪里是$\lambda$
$$
\sum_{i=1}^n\left(\lambda-\lambda_i^{(n)}\right)^{+}=n P
$$
我们现在证明了带反馈的高斯信道容量的上界。这个界限实际上是可以达到的[136]，因此是容量，但我们在这里不证明它。

统计代写请认准statistics-lab™. statistics-lab™为您的留学生涯保驾护航。

金融工程代写

金融工程是使用数学技术来解决金融问题。金融工程使用计算机科学、统计学、经济学和应用数学领域的工具和知识来解决当前的金融问题，以及设计新的和创新的金融产品。

非参数统计代写

非参数统计指的是一种统计方法，其中不假设数据来自于由少数参数决定的规定模型；这种模型的例子包括正态分布模型和线性回归模型。

广义线性模型代考

广义线性模型（GLM）归属统计学领域，是一种应用灵活的线性回归模型。该模型允许因变量的偏差分布有除了正态分布之外的其它分布。

术语 广义线性模型（GLM）通常是指给定连续和/或分类预测因素的连续响应变量的常规线性回归模型。它包括多元线性回归，以及方差分析和方差分析（仅含固定效应）。

有限元方法代写

有限元方法（FEM）是一种流行的方法，用于数值解决工程和数学建模中出现的微分方程。典型的问题领域包括结构分析、传热、流体流动、质量运输和电磁势等传统领域。

有限元是一种通用的数值方法，用于解决两个或三个空间变量的偏微分方程（即一些边界值问题）。为了解决一个问题，有限元将一个大系统细分为更小、更简单的部分，称为有限元。这是通过在空间维度上的特定空间离散化来实现的，它是通过构建对象的网格来实现的：用于求解的数值域，它有有限数量的点。边界值问题的有限元方法表述最终导致一个代数方程组。该方法在域上对未知函数进行逼近。[1] 然后将模拟这些有限元的简单方程组合成一个更大的方程系统，以模拟整个问题。然后，有限元通过变化微积分使相关的误差函数最小化来逼近一个解决方案。

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随机分析代写

随机微积分是数学的一个分支，对随机过程进行操作。它允许为随机过程的积分定义一个关于随机过程的一致的积分理论。这个领域是由日本数学家伊藤清在第二次世界大战期间创建并开始的。

时间序列分析代写

随机过程，是依赖于参数的一组随机变量的全体，参数通常是时间。 随机变量是随机现象的数量表现，其时间序列是一组按照时间发生先后顺序进行排列的数据点序列。通常一组时间序列的时间间隔为一恒定值（如1秒，5分钟，12小时，7天，1年），因此时间序列可以作为离散时间数据进行分析处理。研究时间序列数据的意义在于现实中，往往需要研究某个事物其随时间发展变化的规律。这就需要通过研究该事物过去发展的历史记录，以得到其自身发展的规律。

回归分析代写

多元回归分析渐进（Multiple Regression Analysis Asymptotics）属于计量经济学领域，主要是一种数学上的统计分析方法，可以分析复杂情况下各影响因素的数学关系，在自然科学、社会和经济学等多个领域内应用广泛。

MATLAB代写

MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中，其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括：数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发，包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统，其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题，尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题，而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问，这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展，得到了许多用户的投入。在大学环境中，它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域，MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要，工具箱允许您学习和应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数（M 文件）的综合集合，可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。

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如果你也在 怎样代写信息论information theory这个学科遇到相关的难题，请随时右上角联系我们的24/7代写客服。信息论information theory的一个关键衡量标准是熵。熵量化了随机变量的值或随机过程的结果中所涉及的不确定性的数量。例如，确定一个公平的抛硬币的结果（有两个同样可能的结果）比确定一个掷骰子的结果（有六个同样可能的结果）提供的信息要少（熵值较低）。

信息理论是对数字信息的量化、存储和通信的科学研究。该领域从根本上是由哈里-奈奎斯特和拉尔夫-哈特利在20世纪20年代以及克劳德-香农在20世纪40年代的作品所确立的。该领域处于概率论、统计学、计算机科学、统计力学、信息工程和电气工程的交叉点。

statistics-lab™ 为您的留学生涯保驾护航 在代写信息论information theory方面已经树立了自己的口碑, 保证靠谱, 高质且原创的统计Statistics代写服务。我们的专家在代写信息论information theory代写方面经验极为丰富，各种代写信息论information theory相关的作业也就用不着说。

数学代写|信息论代写information theory代考|JOINT AND CONDITIONAL DIFFERENTIAL ENTROPY

As in the discrete case, we can extend the definition of differential entropy of a single random variable to several random variables.

Definition The differential entropy of a set $X_1, X_2, \ldots, X_n$ of random variables with density $f\left(x_1, x_2, \ldots, x_n\right)$ is defined as
$$
h\left(X_1, X_2, \ldots, X_n\right)=-\int f\left(x^n\right) \log f\left(x^n\right) d x^n .
$$
Definition If $X, Y$ have a joint density function $f(x, y)$, we can define the conditional differential entropy $h(X \mid Y)$ as
$$
h(X \mid Y)=-\int f(x, y) \log f(x \mid y) d x d y
$$
Since in general $f(x \mid y)=f(x, y) / f(y)$, we can also write
$$
h(X \mid Y)=h(X, Y)-h(Y)
$$
But we must be careful if any of the differential entropies are infinite.
The next entropy evaluation is used frequently in the text.
Theorem 8.4.1 (Entropy of a multivariate normal distribution) Let $X_1, X_2, \ldots, X_n$ have a multivariate normal distribution with mean $\mu$ and covariance matrix $K$. Then
$$
h\left(X_1, X_2, \ldots, X_n\right)=h\left(\mathcal{N}_n(\mu, K)\right)=\frac{1}{2} \log (2 \pi e)^n|K| \quad \text { bits }
$$
where $|K|$ denotes the determinant of $K$.

Proof: The probability density function of $X_1, X_2, \ldots, X_n$ is
$$
f(\mathbf{x})=\frac{1}{(\sqrt{2 \pi})^n|K|^{\frac{1}{2}}} e^{-\frac{1}{2}(\mathbf{x}-\mu)^T K^{-1}(\mathbf{x}-\mu)} .
$$

数学代写|信息论代写information theory代考|RELATIVE ENTROPY AND MUTUAL INFORMATION

We now extend the definition of two familiar quantities, $D(f | g)$ and $I(X ; Y)$, to probability densities.

Definition The relative entropy (or Kullback-Leibler distance) $D(f | g)$ between two densities $f$ and $g$ is defined by
$$
D(f | g)=\int f \log \frac{f}{g} .
$$
Note that $D(f | g)$ is finite only if the support set of $f$ is contained in the support set of $g$. [Motivated by continuity, we set $0 \log \frac{0}{0}=0$.]

Definition The mutual information $I(X ; Y)$ between two random variables with joint density $f(x, y)$ is defined as
$$
I(X ; Y)=\int f(x, y) \log \frac{f(x, y)}{f(x) f(y)} d x d y .
$$
From the definition it is clear that
$$
I(X ; Y)=h(X)-h(X \mid Y)=h(Y)-h(Y \mid X)=h(X)+h(Y)-h(X, Y)
$$
and
$$
I(X ; Y)=D(f(x, y) | f(x) f(y)) .
$$
The properties of $D(f | g)$ and $I(X ; Y)$ are the same as in the discrete case. In particular, the mutual information between two random variables is the limit of the mutual information between their quantized versions, since
$$
\begin{aligned}
I\left(X^{\Delta} ; Y^{\Delta}\right) & =H\left(X^{\Delta}\right)-H\left(X^{\Delta} \mid Y^{\Delta}\right) \
& \approx h(X)-\log \Delta-(h(X \mid Y)-\log \Delta) \
& =I(X ; Y) .
\end{aligned}
$$
More generally, we can define mutual information in terms of finite partitions of the range of the random variable. Let $\mathcal{X}$ be the range of a random variable $X$. A partition $\mathcal{P}$ of $\mathcal{X}$ is a finite collection of disjoint sets $P_i$ such that $\cup_i P_i=\mathcal{X}$. The quantization of $X$ by $\mathcal{P}\left(\right.$ denoted $\left.[X]{\mathcal{P}}\right)$ is the discrete random variable defined by $$ \operatorname{Pr}\left([X]{\mathcal{P}}=i\right)=\operatorname{Pr}\left(X \in P_i\right)=\int_{P_i} d F(x) .
$$

信息论代写

数学代写|信息论代写information theory代考|JOINT AND CONDITIONAL DIFFERENTIAL ENTROPY

在离散情况下，我们可以将单个随机变量的微分熵的定义推广到多个随机变量。

定义密度为$f\left(x_1, x_2, \ldots, x_n\right)$的随机变量集$X_1, X_2, \ldots, X_n$的微分熵定义为
$$
h\left(X_1, X_2, \ldots, X_n\right)=-\int f\left(x^n\right) \log f\left(x^n\right) d x^n .
$$
如果$X, Y$有一个联合密度函数$f(x, y)$，我们可以定义条件微分熵$h(X \mid Y)$为
$$
h(X \mid Y)=-\int f(x, y) \log f(x \mid y) d x d y
$$
因为在一般情况下$f(x \mid y)=f(x, y) / f(y)$，我们也可以写
$$
h(X \mid Y)=h(X, Y)-h(Y)
$$
但是我们必须小心如果任何一个微分熵是无限的。
下一熵评价在本文中被频繁使用。
定理8.4.1(多元正态分布的熵)设$X_1, X_2, \ldots, X_n$有一个多元正态分布，其均值为$\mu$，协方差矩阵为$K$。然后
$$
h\left(X_1, X_2, \ldots, X_n\right)=h\left(\mathcal{N}_n(\mu, K)\right)=\frac{1}{2} \log (2 \pi e)^n|K| \quad \text { bits }
$$
式中$|K|$为$K$的行列式。

证明:$X_1, X_2, \ldots, X_n$的概率密度函数为
$$
f(\mathbf{x})=\frac{1}{(\sqrt{2 \pi})^n|K|^{\frac{1}{2}}} e^{-\frac{1}{2}(\mathbf{x}-\mu)^T K^{-1}(\mathbf{x}-\mu)} .
$$

数学代写|信息论代写information theory代考|RELATIVE ENTROPY AND MUTUAL INFORMATION

现在我们将两个熟悉的量$D(f | g)$和$I(X ; Y)$的定义扩展到概率密度。

两个密度$f$和$g$之间的相对熵(或Kullback-Leibler距离)$D(f | g)$定义为
$$
D(f | g)=\int f \log \frac{f}{g} .
$$
注意，只有当$f$的支持集包含在$g$的支持集中时，$D(f | g)$才是有限的。[出于连续性的考虑，我们设置了$0 \log \frac{0}{0}=0$。]

定义两个具有联合密度$f(x, y)$的随机变量之间的互信息$I(X ; Y)$为
$$
I(X ; Y)=\int f(x, y) \log \frac{f(x, y)}{f(x) f(y)} d x d y .
$$
从定义中可以清楚地看出
$$
I(X ; Y)=h(X)-h(X \mid Y)=h(Y)-h(Y \mid X)=h(X)+h(Y)-h(X, Y)
$$
和
$$
I(X ; Y)=D(f(x, y) | f(x) f(y)) .
$$
$D(f | g)$和$I(X ; Y)$的性质与离散情况下相同。特别地，两个随机变量之间的互信息是它们量子化版本之间互信息的极限，因为
$$
\begin{aligned}
I\left(X^{\Delta} ; Y^{\Delta}\right) & =H\left(X^{\Delta}\right)-H\left(X^{\Delta} \mid Y^{\Delta}\right) \
& \approx h(X)-\log \Delta-(h(X \mid Y)-\log \Delta) \
& =I(X ; Y) .
\end{aligned}
$$
更一般地说，我们可以根据随机变量范围的有限分区来定义互信息。设$\mathcal{X}$为随机变量$X$的取值范围。$\mathcal{X}$的分区$\mathcal{P}$是不相交集合$P_i$的有限集合，使得$\cup_i P_i=\mathcal{X}$。将$X$量化为$\mathcal{P}\left(\right.$，表示为$\left.[X]{\mathcal{P}}\right)$，是由定义的离散随机变量 $$ \operatorname{Pr}\left([X]{\mathcal{P}}=i\right)=\operatorname{Pr}\left(X \in P_i\right)=\int_{P_i} d F(x) .
$$

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金融工程代写

金融工程是使用数学技术来解决金融问题。金融工程使用计算机科学、统计学、经济学和应用数学领域的工具和知识来解决当前的金融问题，以及设计新的和创新的金融产品。

非参数统计代写

非参数统计指的是一种统计方法，其中不假设数据来自于由少数参数决定的规定模型；这种模型的例子包括正态分布模型和线性回归模型。

广义线性模型代考

广义线性模型（GLM）归属统计学领域，是一种应用灵活的线性回归模型。该模型允许因变量的偏差分布有除了正态分布之外的其它分布。

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有限元方法代写

有限元方法（FEM）是一种流行的方法，用于数值解决工程和数学建模中出现的微分方程。典型的问题领域包括结构分析、传热、流体流动、质量运输和电磁势等传统领域。

有限元是一种通用的数值方法，用于解决两个或三个空间变量的偏微分方程（即一些边界值问题）。为了解决一个问题，有限元将一个大系统细分为更小、更简单的部分，称为有限元。这是通过在空间维度上的特定空间离散化来实现的，它是通过构建对象的网格来实现的：用于求解的数值域，它有有限数量的点。边界值问题的有限元方法表述最终导致一个代数方程组。该方法在域上对未知函数进行逼近。[1] 然后将模拟这些有限元的简单方程组合成一个更大的方程系统，以模拟整个问题。然后，有限元通过变化微积分使相关的误差函数最小化来逼近一个解决方案。

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随机过程，是依赖于参数的一组随机变量的全体，参数通常是时间。 随机变量是随机现象的数量表现，其时间序列是一组按照时间发生先后顺序进行排列的数据点序列。通常一组时间序列的时间间隔为一恒定值（如1秒，5分钟，12小时，7天，1年），因此时间序列可以作为离散时间数据进行分析处理。研究时间序列数据的意义在于现实中，往往需要研究某个事物其随时间发展变化的规律。这就需要通过研究该事物过去发展的历史记录，以得到其自身发展的规律。

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MATLAB代写

MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中，其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括：数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发，包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统，其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题，尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题，而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问，这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展，得到了许多用户的投入。在大学环境中，它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域，MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要，工具箱允许您学习和应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数（M 文件）的综合集合，可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。

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数学代写|信息论代写information theory代考|JOINTLY TYPICAL SEQUENCES

Roughly speaking, we decode a channel output $Y^n$ as the $i$ th index if the codeword $X^n(i)$ is “jointly typical” with the received signal $Y^n$. We now define the important idea of joint typicality and find the probability of joint typicality when $X^n(i)$ is the true cause of $Y^n$ and when it is not.

Definition The set $A_\epsilon^{(n)}$ of jointly typical sequences $\left{\left(x^n, y^n\right)\right}$ with respect to the distribution $p(x, y)$ is the set of $n$-sequences with empirical entropies $\epsilon$-close to the true entropies:
$$
\begin{aligned}
A_\epsilon^{(n)}= & \left{\left(x^n, y^n\right) \in \mathcal{X}^n \times \mathcal{Y}^n:\right. \
& \left|-\frac{1}{n} \log p\left(x^n\right)-H(X)\right|<\epsilon,
\end{aligned}
$$

$$
\begin{aligned}
& \left|-\frac{1}{n} \log p\left(y^n\right)-H(Y)\right|<\epsilon, \
& \left.\left|-\frac{1}{n} \log p\left(x^n, y^n\right)-H(X, Y)\right|<\epsilon\right},
\end{aligned}
$$
where
$$
p\left(x^n, y^n\right)=\prod_{i=1}^n p\left(x_i, y_i\right)
$$
Theorem 7.6.1 (Joint AEP) Let $\left(X^n, Y^n\right)$ be sequences of length $n$ drawn i.i.d. according to $p\left(x^n, y^n\right)=\prod_{i=1}^n p\left(x_i, y_i\right)$. Then:

$\operatorname{Pr}\left(\left(X^n, Y^n\right) \in A_\epsilon^{(n)}\right) \rightarrow 1$ as $n \rightarrow \infty$.

$\left|A_\epsilon^{(n)}\right| \leq 2^{n(H(X, Y)+\epsilon)}$.

If $\left(\tilde{X}^n, \tilde{Y}^n\right) \sim p\left(x^n\right) p\left(y^n\right)$ [i.e., $\tilde{X}^n$ and $\tilde{Y}^n$ are independent with the same marginals as $\left.p\left(x^n, y^n\right)\right]$, then
$$
\operatorname{Pr}\left(\left(\tilde{X}^n, \tilde{Y}^n\right) \in A_\epsilon^{(n)}\right) \leq 2^{-n(I(X ; Y)-3 \epsilon)} .
$$
Also, for sufficiently large $n$,
$$
\operatorname{Pr}\left(\left(\tilde{X}^n, \tilde{Y}^n\right) \in A_\epsilon^{(n)}\right) \geq(1-\epsilon) 2^{-n(I(X ; Y)+3 \epsilon)}
$$

数学代写|信息论代写information theory代考|CHANNEL CODING THEOREM

We now prove what is perhaps the basic theorem of information theory, the achievability of channel capacity, first stated and essentially proved by Shannon in his original 1948 paper. The result is rather counterintuitive; if the channel introduces errors, how can one correct them all? Any correction process is also subject to error, ad infinitum.

Shannon used a number of new ideas to prove that information can be sent reliably over a channel at all rates up to the channel capacity. These ideas include:

Allowing an arbitrarily small but nonzero probability of error

Using the channel many times in succession, so that the law of large numbers comes into effect

Calculating the average of the probability of error over a random choice of codebooks, which symmetrizes the probability, and which can then be used to show the existence of at least one good code
Shannon’s outline of the proof was based on the idea of typical sequences, but the proof was not made rigorous until much later. The proof given below makes use of the properties of typical sequences and is probably the simplest of the proofs developed so far. As in all the proofs, we use the same essential ideas-random code selection, calculation of the average probability of error for a random choice of codewords, and so on. The main difference is in the decoding rule. In the proof, we decode by joint typicality; we look for a codeword that is jointly typical with the received sequence. If we find a unique codeword satisfying this property, we declare that word to be the transmitted codeword. By the properties of joint typicality stated previously, with high probability the transmitted codeword and the received sequence are jointly typical, since they are probabilistically related. Also, the probability that any other codeword looks jointly typical with the received sequence is $2^{-n I}$. Hence, if we have fewer then $2^{n I}$ codewords, then with high probability there will be no other codewords that can be confused with the transmitted codeword, and the probability of error is small.

Although jointly typical decoding is suboptimal, it is simple to analyze and still achieves all rates below capacity.

信息论代写

数学代写|信息论代写information theory代考|JOINTLY TYPICAL SEQUENCES

粗略地说，如果码字$X^n(i)$与接收信号$Y^n$“联合典型”，我们将信道输出$Y^n$解码为$i$第th索引。现在，我们定义了关节典型性的重要概念，并找出当$X^n(i)$是$Y^n$的真正原因时，以及当它不是的真正原因时，关节典型性的概率。

联合典型序列$\left{\left(x^n, y^n\right)\right}$相对于分布$p(x, y)$的集合$A_\epsilon^{(n)}$是$n$ -经验熵$\epsilon$ -接近真实熵的序列的集合:
$$
\begin{aligned}
A_\epsilon^{(n)}= & \left{\left(x^n, y^n\right) \in \mathcal{X}^n \times \mathcal{Y}^n:\right. \
& \left|-\frac{1}{n} \log p\left(x^n\right)-H(X)\right|<\epsilon,
\end{aligned}
$$

$$
\begin{aligned}
& \left|-\frac{1}{n} \log p\left(y^n\right)-H(Y)\right|<\epsilon, \
& \left.\left|-\frac{1}{n} \log p\left(x^n, y^n\right)-H(X, Y)\right|<\epsilon\right},
\end{aligned}
$$
在哪里
$$
p\left(x^n, y^n\right)=\prod_{i=1}^n p\left(x_i, y_i\right)
$$
定理7.6.1(联合AEP)设$\left(X^n, Y^n\right)$为根据$p\left(x^n, y^n\right)=\prod_{i=1}^n p\left(x_i, y_i\right)$绘制的长度为$n$的序列。然后:

$\operatorname{Pr}\left(\left(X^n, Y^n\right) \in A_\epsilon^{(n)}\right) \rightarrow 1$ 如$n \rightarrow \infty$。

$\left|A_\epsilon^{(n)}\right| \leq 2^{n(H(X, Y)+\epsilon)}$．

如果$\left(\tilde{X}^n, \tilde{Y}^n\right) \sim p\left(x^n\right) p\left(y^n\right)$[即$\tilde{X}^n$和$\tilde{Y}^n$是独立的，并且与$\left.p\left(x^n, y^n\right)\right]$具有相同的边缘，则
$$
\operatorname{Pr}\left(\left(\tilde{X}^n, \tilde{Y}^n\right) \in A_\epsilon^{(n)}\right) \leq 2^{-n(I(X ; Y)-3 \epsilon)} .
$$
同样，对于足够大的$n$，
$$
\operatorname{Pr}\left(\left(\tilde{X}^n, \tilde{Y}^n\right) \in A_\epsilon^{(n)}\right) \geq(1-\epsilon) 2^{-n(I(X ; Y)+3 \epsilon)}
$$

数学代写|信息论代写information theory代考|CHANNEL CODING THEOREM

我们现在证明的可能是信息论的基本定理，即信道容量的可实现性，这是香农在他1948年的论文中首次提出并证明的。结果是相当违反直觉的;如果信道引入了错误，人们如何纠正它们呢?任何修正过程都可能出现错误，而且是无限的。

香农使用了一些新的想法来证明信息可以在信道上以所有速率可靠地发送，直至信道容量。这些想法包括:

允许任意小但非零的错误概率

连续多次使用通道，使大数定律生效

在随机选择的码本上计算错误概率的平均值，使概率对称，然后可以用来显示至少存在一个好的代码
香农的证明大纲是基于典型数列的思想，但直到很久以后，这个证明才变得严谨起来。下面给出的证明利用了典型数列的性质，可能是迄今为止最简单的证明。在所有的证明中，我们使用相同的基本思想——随机选择代码，计算随机选择码字的平均错误概率，等等。主要区别在于解码规则。在证明中，我们通过联合典型性进行解码;我们寻找与接收到的序列共同典型的码字。如果我们发现一个唯一的码字满足这个属性，我们就声明这个字是传输的码字。根据前面所述的联合典型性的性质，发送的码字和接收的序列大概率是联合典型的，因为它们是概率相关的。另外，任何其他码字与接收到的序列看起来都很典型的概率是$2^{-n I}$。因此，如果我们的码字少于$2^{n I}$，那么很有可能没有其他码字可以与传输的码字混淆，错误的概率很小。

虽然联合典型解码是次优的，但分析起来很简单，仍然可以达到低于容量的所有速率。

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金融工程代写

金融工程是使用数学技术来解决金融问题。金融工程使用计算机科学、统计学、经济学和应用数学领域的工具和知识来解决当前的金融问题，以及设计新的和创新的金融产品。

非参数统计代写

非参数统计指的是一种统计方法，其中不假设数据来自于由少数参数决定的规定模型；这种模型的例子包括正态分布模型和线性回归模型。

广义线性模型代考

广义线性模型（GLM）归属统计学领域，是一种应用灵活的线性回归模型。该模型允许因变量的偏差分布有除了正态分布之外的其它分布。

术语 广义线性模型（GLM）通常是指给定连续和/或分类预测因素的连续响应变量的常规线性回归模型。它包括多元线性回归，以及方差分析和方差分析（仅含固定效应）。

有限元方法代写

有限元方法（FEM）是一种流行的方法，用于数值解决工程和数学建模中出现的微分方程。典型的问题领域包括结构分析、传热、流体流动、质量运输和电磁势等传统领域。

有限元是一种通用的数值方法，用于解决两个或三个空间变量的偏微分方程（即一些边界值问题）。为了解决一个问题，有限元将一个大系统细分为更小、更简单的部分，称为有限元。这是通过在空间维度上的特定空间离散化来实现的，它是通过构建对象的网格来实现的：用于求解的数值域，它有有限数量的点。边界值问题的有限元方法表述最终导致一个代数方程组。该方法在域上对未知函数进行逼近。[1] 然后将模拟这些有限元的简单方程组合成一个更大的方程系统，以模拟整个问题。然后，有限元通过变化微积分使相关的误差函数最小化来逼近一个解决方案。

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随机分析代写

随机微积分是数学的一个分支，对随机过程进行操作。它允许为随机过程的积分定义一个关于随机过程的一致的积分理论。这个领域是由日本数学家伊藤清在第二次世界大战期间创建并开始的。

时间序列分析代写

随机过程，是依赖于参数的一组随机变量的全体，参数通常是时间。 随机变量是随机现象的数量表现，其时间序列是一组按照时间发生先后顺序进行排列的数据点序列。通常一组时间序列的时间间隔为一恒定值（如1秒，5分钟，12小时，7天，1年），因此时间序列可以作为离散时间数据进行分析处理。研究时间序列数据的意义在于现实中，往往需要研究某个事物其随时间发展变化的规律。这就需要通过研究该事物过去发展的历史记录，以得到其自身发展的规律。

回归分析代写

多元回归分析渐进（Multiple Regression Analysis Asymptotics）属于计量经济学领域，主要是一种数学上的统计分析方法，可以分析复杂情况下各影响因素的数学关系，在自然科学、社会和经济学等多个领域内应用广泛。

MATLAB代写

MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中，其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括：数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发，包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统，其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题，尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题，而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问，这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展，得到了许多用户的投入。在大学环境中，它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域，MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要，工具箱允许您学习和应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数（M 文件）的综合集合，可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。

R语言代写	问卷设计与分析代写
PYTHON代写	回归分析与线性模型代写
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如果你也在 怎样代写信息论information theory这个学科遇到相关的难题，请随时右上角联系我们的24/7代写客服。信息论information theory的一个关键衡量标准是熵。熵量化了随机变量的值或随机过程的结果中所涉及的不确定性的数量。例如，确定一个公平的抛硬币的结果（有两个同样可能的结果）比确定一个掷骰子的结果（有六个同样可能的结果）提供的信息要少（熵值较低）。

信息理论是对数字信息的量化、存储和通信的科学研究。该领域从根本上是由哈里-奈奎斯特和拉尔夫-哈特利在20世纪20年代以及克劳德-香农在20世纪40年代的作品所确立的。该领域处于概率论、统计学、计算机科学、统计力学、信息工程和电气工程的交叉点。

statistics-lab™ 为您的留学生涯保驾护航 在代写信息论information theory方面已经树立了自己的口碑, 保证靠谱, 高质且原创的统计Statistics代写服务。我们的专家在代写信息论information theory代写方面经验极为丰富，各种代写信息论information theory相关的作业也就用不着说。

数学代写|信息论作业代写information theory代考|GAMBLING AND SIDE INFORMATION

Suppose the gambler has some information that is relevant to the outcome of the gamble. For example, the gambler may have some information about the performance of the horses in previous races. What is the value of this side information?

One definition of the financial value of such information is the increase in wealth that results from that information. In the setting described in Section 6.1 the measure of the value of information is the increase in the doubling rate due to that information. We will now derive a connection between mutual information and the increase in the doubling rate.

To formalize the notion, let horse $X \in{1,2, \ldots, m}$ win the race with probability $p(x)$ and pay odds of $o(x)$ for 1 . Let $(X, Y)$ have joint probability mass function $p(x, y)$. Let $b(x \mid y) \geq 0, \sum_x b(x \mid y)=1$ be an arbitrary conditional betting strategy depending on the side information $Y$, where $b(x \mid y)$ is the proportion of wealth bet on horse $x$ when $y$ is observed. As before, let $b(x) \geq 0, \sum b(x)=1$ denote the unconditional betting scheme.
Let the unconditional and the conditional doubling rates be
$$
W^(X)=\max {\mathbf{b}(x)} \sum_x p(x) \log b(x) o(x), $$ $$ W^(X \mid Y)=\max {\mathbf{b}(x \mid y)} \sum_{x, y} p(x, y) \log b(x \mid y) o(x)
$$
and let
$$
\Delta W=W^(X \mid Y)-W^(X)
$$
We observe that for $\left(X_i, Y_i\right)$ i.i.d. horse races, wealth grows like $2^{n W^(X \mid Y)}$ with side information and like $2^{n W^(X)}$ without side information.

数学代写|信息论作业代写information theory代考|DEPENDENT HORSE RACES AND ENTROPY RATE

The most common example of side information for a horse race is the past performance of the horses. If the horse races are independent, this information will be useless. If we assume that there is dependence among the races, we can calculate the effective doubling rate if we are allowed to use the results of previous races to determine the strategy for the next race.

Suppose that the sequence $\left{X_k\right}$ of horse race outcomes forms a stochastic process. Let the strategy for each race depend on the results of previous races. In this case, the optimal doubling rate for uniform fair odds is
$$
\begin{aligned}
W^( & \left.X_k \mid X_{k-1}, X_{k-2}, \ldots, X_1\right) \ & =E\left[\max {\mathbf{b}\left(\cdot \mid X{k-1}, X_{\left.k-2, \ldots, X_1\right)}\right.} E\left[\log S\left(X_k\right) \mid X_{k-1}, X_{k-2}, \ldots, X_1\right]\right] \
& =\log m-H\left(X_k \mid X_{k-1}, X_{k-2}, \ldots, X_1\right),
\end{aligned}
$$
which is achieved by $b^\left(x_k \mid x_{k-1}, \ldots, x_1\right)=p\left(x_k \mid x_{k-1}, \ldots, x_1\right)$. At the end of $n$ races, the gambler’s wealth is
$$
S_n=\prod_{i=1}^n S\left(X_i\right),
$$
and the exponent in the growth rate (assuming $m$ for 1 odds) is
$$
\begin{aligned}
\frac{1}{n} E \log S_n & =\frac{1}{n} \sum E \log S\left(X_i\right) \
& =\frac{1}{n} \sum\left(\log m-H\left(X_i \mid X_{i-1}, X_{i-2}, \ldots, X_1\right)\right) \
& =\log m-\frac{H\left(X_1, X_2, \ldots, X_n\right)}{n} .
\end{aligned}
$$

信息论代写

数学代写|信息论作业代写information theory代考|GAMBLING AND SIDE INFORMATION

假设赌徒有一些与赌博结果相关的信息。例如，赌徒可能有一些关于马在以前比赛中的表现的信息。这条边信息的价值是什么?

这类信息的金融价值的一个定义是，这些信息带来的财富增加。在第6.1节中描述的设置中，信息价值的度量是由于该信息而增加的加倍率。现在我们将推导出相互信息和翻倍率增加之间的联系。

为了形式化这个概念，让马$X \in{1,2, \ldots, m}$以$p(x)$的概率赢得比赛，并为1支付$o(x)$的赔率。设$(X, Y)$有联合概率质量函数$p(x, y)$。假设$b(x \mid y) \geq 0, \sum_x b(x \mid y)=1$是一个任意的有条件的投注策略，它取决于侧面信息$Y$，其中$b(x \mid y)$是在观察到$y$时投注在马$x$上的财富比例。和前面一样，让$b(x) \geq 0, \sum b(x)=1$表示无条件投注方案。
让无条件加倍率和有条件加倍率不变
$$
W^(X)=\max {\mathbf{b}(x)} \sum_x p(x) \log b(x) o(x), $$$$ W^(X \mid Y)=\max {\mathbf{b}(x \mid y)} \sum_{x, y} p(x, y) \log b(x \mid y) o(x)
$$
让
$$
\Delta W=W^(X \mid Y)-W^(X)
$$
我们观察到，对于$\left(X_i, Y_i\right)$ i.i.d赛马，财富的增长像$2^{n W^(X \mid Y)}$一样有附带信息，像$2^{n W^(X)}$一样没有附带信息。

数学代写|信息论作业代写information theory代考|DEPENDENT HORSE RACES AND ENTROPY RATE

赛马最常见的附带信息是马匹过去的表现。如果赛马是独立的，这个信息将是无用的。如果我们假设比赛之间存在依赖关系，那么如果允许我们使用前一场比赛的结果来确定下一场比赛的策略，我们就可以计算出有效的加倍率。

假设赛马结果序列$\left{X_k\right}$形成一个随机过程。让每场比赛的策略取决于之前比赛的结果。在这种情况下，均匀公平赔率的最佳加倍率为
$$
\begin{aligned}
W^( & \left.X_k \mid X_{k-1}, X_{k-2}, \ldots, X_1\right) \ & =E\left[\max {\mathbf{b}\left(\cdot \mid X{k-1}, X_{\left.k-2, \ldots, X_1\right)}\right.} E\left[\log S\left(X_k\right) \mid X_{k-1}, X_{k-2}, \ldots, X_1\right]\right] \
& =\log m-H\left(X_k \mid X_{k-1}, X_{k-2}, \ldots, X_1\right),
\end{aligned}
$$
通过$b^\left(x_k \mid x_{k-1}, \ldots, x_1\right)=p\left(x_k \mid x_{k-1}, \ldots, x_1\right)$实现。在$n$比赛结束时，赌徒的财富是
$$
S_n=\prod_{i=1}^n S\left(X_i\right),
$$
增长率的指数(假设$m$为1)是
$$
\begin{aligned}
\frac{1}{n} E \log S_n & =\frac{1}{n} \sum E \log S\left(X_i\right) \
& =\frac{1}{n} \sum\left(\log m-H\left(X_i \mid X_{i-1}, X_{i-2}, \ldots, X_1\right)\right) \
& =\log m-\frac{H\left(X_1, X_2, \ldots, X_n\right)}{n} .
\end{aligned}
$$

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金融工程代写

金融工程是使用数学技术来解决金融问题。金融工程使用计算机科学、统计学、经济学和应用数学领域的工具和知识来解决当前的金融问题，以及设计新的和创新的金融产品。

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有限元方法代写

有限元方法（FEM）是一种流行的方法，用于数值解决工程和数学建模中出现的微分方程。典型的问题领域包括结构分析、传热、流体流动、质量运输和电磁势等传统领域。

有限元是一种通用的数值方法，用于解决两个或三个空间变量的偏微分方程（即一些边界值问题）。为了解决一个问题，有限元将一个大系统细分为更小、更简单的部分，称为有限元。这是通过在空间维度上的特定空间离散化来实现的，它是通过构建对象的网格来实现的：用于求解的数值域，它有有限数量的点。边界值问题的有限元方法表述最终导致一个代数方程组。该方法在域上对未知函数进行逼近。[1] 然后将模拟这些有限元的简单方程组合成一个更大的方程系统，以模拟整个问题。然后，有限元通过变化微积分使相关的误差函数最小化来逼近一个解决方案。

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随机过程，是依赖于参数的一组随机变量的全体，参数通常是时间。 随机变量是随机现象的数量表现，其时间序列是一组按照时间发生先后顺序进行排列的数据点序列。通常一组时间序列的时间间隔为一恒定值（如1秒，5分钟，12小时，7天，1年），因此时间序列可以作为离散时间数据进行分析处理。研究时间序列数据的意义在于现实中，往往需要研究某个事物其随时间发展变化的规律。这就需要通过研究该事物过去发展的历史记录，以得到其自身发展的规律。

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MATLAB代写

MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中，其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括：数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发，包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统，其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题，尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题，而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问，这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展，得到了许多用户的投入。在大学环境中，它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域，MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要，工具箱允许您学习和应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数（M 文件）的综合集合，可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。

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信息理论是对数字信息的量化、存储和通信的科学研究。该领域从根本上是由哈里-奈奎斯特和拉尔夫-哈特利在20世纪20年代以及克劳德-香农在20世纪40年代的作品所确立的。该领域处于概率论、统计学、计算机科学、统计力学、信息工程和电气工程的交叉点。

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数学代写|信息论作业代写information theory代考|BOUNDS ON THE OPTIMAL CODE LENGTH

We now demonstrate a code that achieves an expected description length $L$ within 1 bit of the lower bound; that is,
$$
H(X) \leq L<H(X)+1
$$
Recall the setup of Section 5.3: We wish to minimize $L=\sum p_i l_i$ subject to the constraint that $l_1, l_2, \ldots, l_m$ are integers and $\sum D^{-l_i} \leq 1$. We proved that the optimal codeword lengths can be found by finding the $D$-adic probability distribution closest to the distribution of $X$ in relative entropy, that is, by finding the $D$-adic $\mathbf{r}\left(r_i=D^{-l_i} / \sum_j D^{-l_j}\right)$ minimizing
$$
L-H_D=D(\mathbf{p} | \mathbf{r})-\log \left(\sum D^{-l_i}\right) \geq 0
$$
The choice of word lengths $l_i=\log _D \frac{1}{p_i}$ yields $L=H$. Since $\log _D \frac{1}{p_i}$ may not equal an integer, we round it up to give integer word-length assignments,
$$
l_i=\left\lceil\log _D \frac{1}{p_i}\right\rceil,
$$

where $\lceil x\rceil$ is the smallest integer $\geq x$. These lengths satisfy the Kraft inequality since
$$
\sum D^{-\left\lceil\log \frac{1}{p_i}\right\rceil} \leq \sum D^{-\log \frac{1}{p_i}}=\sum p_i=1
$$
This choice of codeword lengths satisfies
$$
\log _D \frac{1}{p_i} \leq l_i<\log _D \frac{1}{p_i}+1 .
$$
Multiplying by $p_i$ and summing over $i$, we obtain
$$
H_D(X) \leq L<H_D(X)+1
$$
Since an optimal code can only be better than this code, we have the following theorem.

数学代写|信息论作业代写information theory代考|KRAFT INEQUALITY FOR UNIQUELY DECODABLE CODES

We have proved that any instantaneous code must satisfy the Kraft inequality. The class of uniquely decodable codes is larger than the class of instantaneous codes, so one expects to achieve a lower expected codeword length if $L$ is minimized over all uniquely decodable codes. In this section we prove that the class of uniquely decodable codes does not offer any further possibilities for the set of codeword lengths than do instantaneous codes. We now give Karush’s elegant proof of the following theorem.
Theorem 5.5.1 (McMillan) The codeword lengths of any uniquely decodable D-ary code must satisfy the Kraft inequality
$$
\sum D^{-l_i} \leq 1
$$
Conversely, given a set of codeword lengths that satisfy this inequality, it is possible to construct a uniquely decodable code with these codeword lengths.

Proof: Consider $C^k$, the $k$ th extension of the code (i.e., the code formed by the concatenation of $k$ repetitions of the given uniquely decodable code $C)$. By the definition of unique decodability, the $k$ th extension of the code is nonsingular. Since there are only $D^n$ different $D$-ary strings of length $n$, unique decodability implies that the number of code sequences of length $n$ in the $k$ th extension of the code must be no greater than $D^n$. We now use this observation to prove the Kraft inequality.

Let the codeword lengths of the symbols $x \in \mathcal{X}$ be denoted by $l(x)$. For the extension code, the length of the code sequence is
$$
l\left(x_1, x_2, \ldots, x_k\right)=\sum_{i=1}^k l\left(x_i\right) .
$$
The inequality that we wish to prove is
$$
\sum_{x \in \mathcal{X}} D^{-l(x)} \leq 1
$$

信息论代写

数学代写|信息论作业代写information theory代考|BOUNDS ON THE OPTIMAL CODE LENGTH

我们现在演示了一个代码，它在下限的1位内实现了预期的描述长度$L$;也就是说，
$$
H(X) \leq L<H(X)+1
$$
回想一下第5.3节的设置:我们希望最小化$L=\sum p_i l_i$，但要遵守$l_1, l_2, \ldots, l_m$是整数和$\sum D^{-l_i} \leq 1$的约束。我们证明了最优码字长度可以通过找到相对熵中最接近$X$分布的$D$ -adic概率分布，即通过找到$D$ -adic $\mathbf{r}\left(r_i=D^{-l_i} / \sum_j D^{-l_j}\right)$最小值来找到
$$
L-H_D=D(\mathbf{p} | \mathbf{r})-\log \left(\sum D^{-l_i}\right) \geq 0
$$
选择单词长度$l_i=\log _D \frac{1}{p_i}$产生$L=H$。由于$\log _D \frac{1}{p_i}$可能不等于整数，我们将其四舍五入以给出整型字长赋值，
$$
l_i=\left\lceil\log _D \frac{1}{p_i}\right\rceil,
$$

其中$\lceil x\rceil$是最小的整数$\geq x$。这些长度满足卡夫不等式
$$
\sum D^{-\left\lceil\log \frac{1}{p_i}\right\rceil} \leq \sum D^{-\log \frac{1}{p_i}}=\sum p_i=1
$$
这种码字长度的选择满足
$$
\log _D \frac{1}{p_i} \leq l_i<\log _D \frac{1}{p_i}+1 .
$$
乘以$p_i$对$i$求和，得到
$$
H_D(X) \leq L<H_D(X)+1
$$
因为最优代码只能比这个代码更好，所以我们有以下定理。

数学代写|信息论作业代写information theory代考|KRAFT INEQUALITY FOR UNIQUELY DECODABLE CODES

我们证明了任何瞬时码都必须满足卡夫不等式。唯一可解码码的类别比瞬时码的类别大，所以如果在所有唯一可解码码上最小化$L$，则期望获得更低的期望码字长度。在本节中，我们证明了唯一可解码码的类别并不比瞬时码提供码字长度集的任何进一步的可能性。现在我们给出Karush对下面定理的优雅证明。
定理5.5.1 (McMillan)任何唯一可解码的D-ary码的码字长度必须满足Kraft不等式
$$
\sum D^{-l_i} \leq 1
$$
相反，给定一组满足这个不等式的码字长度，则可以用这些码字长度构造一个唯一的可解码代码。

证明:考虑$C^k$，这是代码的$k$次扩展(即，由给定的唯一可解码代码$C)$的$k$次重复串接而成的代码)。根据唯一可解码性的定义，$k$码的扩展是非奇异的。由于只有$D^n$不同的$D$ -ary长度为$n$的字符串，唯一的可解码性意味着在代码的$k$扩展中长度为$n$的代码序列的数量必须不大于$D^n$。我们现在用这个观察结果来证明卡夫不等式。

让符号$x \in \mathcal{X}$的码字长度用$l(x)$表示。对于扩展码，码序列的长度为
$$
l\left(x_1, x_2, \ldots, x_k\right)=\sum_{i=1}^k l\left(x_i\right) .
$$
我们要证明的不等式是
$$
\sum_{x \in \mathcal{X}} D^{-l(x)} \leq 1
$$

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广义线性模型代考

广义线性模型（GLM）归属统计学领域，是一种应用灵活的线性回归模型。该模型允许因变量的偏差分布有除了正态分布之外的其它分布。

术语 广义线性模型（GLM）通常是指给定连续和/或分类预测因素的连续响应变量的常规线性回归模型。它包括多元线性回归，以及方差分析和方差分析（仅含固定效应）。

有限元方法代写

有限元方法（FEM）是一种流行的方法，用于数值解决工程和数学建模中出现的微分方程。典型的问题领域包括结构分析、传热、流体流动、质量运输和电磁势等传统领域。

有限元是一种通用的数值方法，用于解决两个或三个空间变量的偏微分方程（即一些边界值问题）。为了解决一个问题，有限元将一个大系统细分为更小、更简单的部分，称为有限元。这是通过在空间维度上的特定空间离散化来实现的，它是通过构建对象的网格来实现的：用于求解的数值域，它有有限数量的点。边界值问题的有限元方法表述最终导致一个代数方程组。该方法在域上对未知函数进行逼近。[1] 然后将模拟这些有限元的简单方程组合成一个更大的方程系统，以模拟整个问题。然后，有限元通过变化微积分使相关的误差函数最小化来逼近一个解决方案。

tatistics-lab作为专业的留学生服务机构，多年来已为美国、英国、加拿大、澳洲等留学热门地的学生提供专业的学术服务，包括但不限于Essay代写，Assignment代写，Dissertation代写，Report代写，小组作业代写，Proposal代写，Paper代写，Presentation代写，计算机作业代写，论文修改和润色，网课代做，exam代考等等。写作范围涵盖高中，本科，研究生等海外留学全阶段，辐射金融，经济学，会计学，审计学，管理学等全球99%专业科目。写作团队既有专业英语母语作者，也有海外名校硕博留学生，每位写作老师都拥有过硬的语言能力，专业的学科背景和学术写作经验。我们承诺100%原创，100%专业，100%准时，100%满意。

随机分析代写

随机微积分是数学的一个分支，对随机过程进行操作。它允许为随机过程的积分定义一个关于随机过程的一致的积分理论。这个领域是由日本数学家伊藤清在第二次世界大战期间创建并开始的。

时间序列分析代写

随机过程，是依赖于参数的一组随机变量的全体，参数通常是时间。 随机变量是随机现象的数量表现，其时间序列是一组按照时间发生先后顺序进行排列的数据点序列。通常一组时间序列的时间间隔为一恒定值（如1秒，5分钟，12小时，7天，1年），因此时间序列可以作为离散时间数据进行分析处理。研究时间序列数据的意义在于现实中，往往需要研究某个事物其随时间发展变化的规律。这就需要通过研究该事物过去发展的历史记录，以得到其自身发展的规律。

回归分析代写

多元回归分析渐进（Multiple Regression Analysis Asymptotics）属于计量经济学领域，主要是一种数学上的统计分析方法，可以分析复杂情况下各影响因素的数学关系，在自然科学、社会和经济学等多个领域内应用广泛。

MATLAB代写

MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中，其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括：数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发，包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统，其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题，尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题，而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问，这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展，得到了许多用户的投入。在大学环境中，它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域，MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要，工具箱允许您学习和应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数（M 文件）的综合集合，可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。

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如果你也在 怎样代写信息论information theory这个学科遇到相关的难题，请随时右上角联系我们的24/7代写客服。信息论information theory的一个关键衡量标准是熵。熵量化了随机变量的值或随机过程的结果中所涉及的不确定性的数量。例如，确定一个公平的抛硬币的结果（有两个同样可能的结果）比确定一个掷骰子的结果（有六个同样可能的结果）提供的信息要少（熵值较低）。

信息理论是对数字信息的量化、存储和通信的科学研究。该领域从根本上是由哈里-奈奎斯特和拉尔夫-哈特利在20世纪20年代以及克劳德-香农在20世纪40年代的作品所确立的。该领域处于概率论、统计学、计算机科学、统计力学、信息工程和电气工程的交叉点。

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数学代写|信息论作业代写information theory代考|HIGH-PROBABILITY SETS AND THE TYPICAL SET

From the definition of $A_\epsilon^{(n)}$, it is clear that $A_\epsilon^{(n)}$ is a fairly small set that contains most of the probability. But from the definition, it is not clear whether it is the smallest such set. We will prove that the typical set has essentially the same number of elements as the smallest set, to first order in the exponent.

Definition For each $n=1,2, \ldots$, let $B_\delta^{(n)} \subset \mathcal{X}^n$ be the smallest set with
$$
\operatorname{Pr}\left{B_\delta^{(n)}\right} \geq 1-\delta
$$

We argue that $B_\delta^{(n)}$ must have significant intersection with $A_\epsilon^{(n)}$ and therefore must have about as many elements. In Problem 3.3.11, we outline the proof of the following theorem.

Theorem 3.3.1 Let $X_1, X_2, \ldots, X_n$ be i.i.d. $\sim p(x)$. For $\delta<\frac{1}{2}$ and any $\delta^{\prime}>0$, if $\operatorname{Pr}\left{B_\delta^{(n)}\right}>1-\delta$, then
$$
\frac{1}{n} \log \left|B_\delta^{(n)}\right|>H-\delta^{\prime} \quad \text { for } n \text { sufficiently large. }
$$
Thus, $B_\delta^{(n)}$ must have at least $2^{n H}$ elements, to first order in the exponent. But $A_\epsilon^{(n)}$ has $2^{n(H \pm \epsilon)}$ elements. Therefore, $A_\epsilon^{(n)}$ is about the same size as the smallest high-probability set.

We will now define some new notation to express equality to first order in the exponent.

数学代写|信息论作业代写information theory代考|MARKOV CHAINS

A stochastic process $\left{X_i\right}$ is an indexed sequence of random variables. In general, there can be an arbitrary dependence among the random variables. The process is characterized by the joint probability mass functions $\operatorname{Pr}\left{\left(X_1, X_2, \ldots, X_n\right)=\left(x_1, x_2, \ldots, x_n\right)\right}=p\left(x_1, x_2, \ldots, x_n\right),\left(x_1, x_2, \ldots\right.$, $\left.x_n\right) \in \mathcal{X}^n$ for $n=1,2, \ldots$.

Definition A stochastic process is said to be stationary if the joint distribution of any subset of the sequence of random variables is invariant with respect to shifts in the time index; that is,
$$
\begin{aligned}
& \operatorname{Pr}\left{X_1=x_1, X_2=x_2, \ldots, X_n=x_n\right} \
& \quad=\operatorname{Pr}\left{X_{1+l}=x_1, X_{2+l}=x_2, \ldots, X_{n+l}=x_n\right}
\end{aligned}
$$
for every $n$ and every shift $l$ and for all $x_1, x_2, \ldots, x_n \in \mathcal{X}$.

A simple example of a stochastic process with dependence is one in which each random variable depends only on the one preceding it and is conditionally independent of all the other preceding random variables. Such a process is said to be Markov.

Definition A discrete stochastic process $X_1, X_2, \ldots$ is said to be a Markov chain or a Markov process if for $n=1,2, \ldots$,
$$
\begin{aligned}
\operatorname{Pr}\left(X_{n+1}\right. & \left.=x_{n+1} \mid X_n=x_n, X_{n-1}=x_{n-1}, \ldots, X_1=x_1\right) \
& =\operatorname{Pr}\left(X_{n+1}=x_{n+1} \mid X_n=x_n\right)
\end{aligned}
$$
for all $x_1, x_2, \ldots, x_n, x_{n+1} \in \mathcal{X}$.
In this case, the joint probability mass function of the random variables can be written as
$$
p\left(x_1, x_2, \ldots, x_n\right)=p\left(x_1\right) p\left(x_2 \mid x_1\right) p\left(x_3 \mid x_2\right) \cdots p\left(x_n \mid x_{n-1}\right)
$$

信息论代写

数学代写|信息论作业代写information theory代考|HIGH-PROBABILITY SETS AND THE TYPICAL SET

从$A_\epsilon^{(n)}$的定义可以清楚地看出，$A_\epsilon^{(n)}$是一个相当小的集合，它包含了大部分的概率。但从定义来看，它是否是最小的这样的集合并不清楚。我们将证明典型集合与最小集合具有相同数量的元素，在指数上是一阶的。

定义对于每个$n=1,2, \ldots$，设$B_\delta^{(n)} \subset \mathcal{X}^n$为具有的最小集合
$$
\operatorname{Pr}\left{B_\delta^{(n)}\right} \geq 1-\delta
$$

我们认为$B_\delta^{(n)}$必须与$A_\epsilon^{(n)}$有重要的交集，因此必须有同样多的元素。在问题3.3.11中，我们概述了以下定理的证明。

定理3.3.1设$X_1, X_2, \ldots, X_n$为i.i.d $\sim p(x)$。对于$\delta<\frac{1}{2}$和任何$\delta^{\prime}>0$，如果$\operatorname{Pr}\left{B_\delta^{(n)}\right}>1-\delta$，那么
$$
\frac{1}{n} \log \left|B_\delta^{(n)}\right|>H-\delta^{\prime} \quad \text { for } n \text { sufficiently large. }
$$
因此，$B_\delta^{(n)}$必须至少有$2^{n H}$个元素，这是指数的第一阶。但是$A_\epsilon^{(n)}$有$2^{n(H \pm \epsilon)}$元素。因此，$A_\epsilon^{(n)}$与最小的高概率集大小大致相同。

现在我们将定义一些新的符号来表示指数中的一阶等式。

数学代写|信息论作业代写information theory代考|MARKOV CHAINS

随机过程$\left{X_i\right}$是随机变量的索引序列。一般来说，随机变量之间可能存在任意的依赖关系。该过程的特征是联合概率质量函数$\operatorname{Pr}\left{\left(X_1, X_2, \ldots, X_n\right)=\left(x_1, x_2, \ldots, x_n\right)\right}=p\left(x_1, x_2, \ldots, x_n\right),\left(x_1, x_2, \ldots\right.$, $n=1,2, \ldots$为$\left.x_n\right) \in \mathcal{X}^n$。

如果随机变量序列的任意子集的联合分布相对于时间指标的位移不变，则称随机过程是平稳的;也就是说，
$$
\begin{aligned}
& \operatorname{Pr}\left{X_1=x_1, X_2=x_2, \ldots, X_n=x_n\right} \
& \quad=\operatorname{Pr}\left{X_{1+l}=x_1, X_{2+l}=x_2, \ldots, X_{n+l}=x_n\right}
\end{aligned}
$$
对于每个$n$和每个班次$l$和所有$x_1, x_2, \ldots, x_n \in \mathcal{X}$。

有依赖关系的随机过程的一个简单例子是，其中每个随机变量只依赖于它前面的一个随机变量，并且有条件地独立于所有其他前面的随机变量。这样的过程被称为马尔可夫过程。

定义离散随机过程$X_1, X_2, \ldots$被称为马尔可夫链或马尔可夫过程，如果对于$n=1,2, \ldots$，
$$
\begin{aligned}
\operatorname{Pr}\left(X_{n+1}\right. & \left.=x_{n+1} \mid X_n=x_n, X_{n-1}=x_{n-1}, \ldots, X_1=x_1\right) \
& =\operatorname{Pr}\left(X_{n+1}=x_{n+1} \mid X_n=x_n\right)
\end{aligned}
$$
对于所有$x_1, x_2, \ldots, x_n, x_{n+1} \in \mathcal{X}$。
在这种情况下，随机变量的联合概率质量函数可以写成
$$
p\left(x_1, x_2, \ldots, x_n\right)=p\left(x_1\right) p\left(x_2 \mid x_1\right) p\left(x_3 \mid x_2\right) \cdots p\left(x_n \mid x_{n-1}\right)
$$

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金融工程代写

金融工程是使用数学技术来解决金融问题。金融工程使用计算机科学、统计学、经济学和应用数学领域的工具和知识来解决当前的金融问题，以及设计新的和创新的金融产品。

非参数统计代写

非参数统计指的是一种统计方法，其中不假设数据来自于由少数参数决定的规定模型；这种模型的例子包括正态分布模型和线性回归模型。

广义线性模型代考

广义线性模型（GLM）归属统计学领域，是一种应用灵活的线性回归模型。该模型允许因变量的偏差分布有除了正态分布之外的其它分布。

术语 广义线性模型（GLM）通常是指给定连续和/或分类预测因素的连续响应变量的常规线性回归模型。它包括多元线性回归，以及方差分析和方差分析（仅含固定效应）。

有限元方法代写

有限元方法（FEM）是一种流行的方法，用于数值解决工程和数学建模中出现的微分方程。典型的问题领域包括结构分析、传热、流体流动、质量运输和电磁势等传统领域。

有限元是一种通用的数值方法，用于解决两个或三个空间变量的偏微分方程（即一些边界值问题）。为了解决一个问题，有限元将一个大系统细分为更小、更简单的部分，称为有限元。这是通过在空间维度上的特定空间离散化来实现的，它是通过构建对象的网格来实现的：用于求解的数值域，它有有限数量的点。边界值问题的有限元方法表述最终导致一个代数方程组。该方法在域上对未知函数进行逼近。[1] 然后将模拟这些有限元的简单方程组合成一个更大的方程系统，以模拟整个问题。然后，有限元通过变化微积分使相关的误差函数最小化来逼近一个解决方案。

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随机分析代写

随机微积分是数学的一个分支，对随机过程进行操作。它允许为随机过程的积分定义一个关于随机过程的一致的积分理论。这个领域是由日本数学家伊藤清在第二次世界大战期间创建并开始的。

时间序列分析代写

随机过程，是依赖于参数的一组随机变量的全体，参数通常是时间。 随机变量是随机现象的数量表现，其时间序列是一组按照时间发生先后顺序进行排列的数据点序列。通常一组时间序列的时间间隔为一恒定值（如1秒，5分钟，12小时，7天，1年），因此时间序列可以作为离散时间数据进行分析处理。研究时间序列数据的意义在于现实中，往往需要研究某个事物其随时间发展变化的规律。这就需要通过研究该事物过去发展的历史记录，以得到其自身发展的规律。

回归分析代写

多元回归分析渐进（Multiple Regression Analysis Asymptotics）属于计量经济学领域，主要是一种数学上的统计分析方法，可以分析复杂情况下各影响因素的数学关系，在自然科学、社会和经济学等多个领域内应用广泛。

MATLAB代写

MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中，其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括：数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发，包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统，其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题，尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题，而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问，这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展，得到了许多用户的投入。在大学环境中，它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域，MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要，工具箱允许您学习和应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数（M 文件）的综合集合，可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。

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