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数学代写|线性规划作业代写Linear Programming代考|Generalized Phase-I

Posted on 2023年4月27日2023年4月27日 by statistics-lab

如果你也在怎样代写线性规划Linear Programming这个学科遇到相关的难题，请随时右上角联系我们的24/7代写客服。

线性规划，数学建模技术，其中一个线性函数在受到各种约束时被最大化或最小化。这种技术对于指导商业规划、工业工程中的定量决策非常有用，在较小的程度上也适用于社会和物理科学。

statistics-lab™ 为您的留学生涯保驾护航在代写线性规划Linear Programming方面已经树立了自己的口碑, 保证靠谱, 高质且原创的统计Statistics代写服务。我们的专家在代写线性规划Linear Programming代写方面经验极为丰富，各种代写线性规划Linear Programming相关的作业也就用不着说。

我们提供的线性规划Linear Programming及其相关学科的代写，服务范围广, 其中包括但不限于:

Statistical Inference 统计推断
Statistical Computing 统计计算
Advanced Probability Theory 高等概率论
Advanced Mathematical Statistics 高等数理统计学
(Generalized) Linear Models 广义线性模型
Statistical Machine Learning 统计机器学习
Longitudinal Data Analysis 纵向数据分析
Foundations of Data Science 数据科学基础

数学代写|线性规划作业代写Linear Programming代考|Generalized Phase-I

Assume that $B$ is the basis at current iteration, associated with basic solution $\bar{x}$. Introduce the following index sets:
$$
\begin{aligned}
I_1 & =\left{i=1, \ldots, m \mid \bar{x}{j_i}{j_i}\right}, \
I_2 & =\left{i=1, \ldots, m \mid \bar{x}{j_i}>u{j_i}\right}, \
I & ={1, \ldots, m} \backslash\left(I_1 \cup I_2\right) .
\end{aligned}
$$
If $I_1 \cup I_2$ is empty, then $\bar{x}$ is feasible. Assume that it is not the case.
Construct the following auxiliary problem:
$$
\begin{array}{ll}
\min & w=-\sum_{i \in I_1} x_{j_i}+\sum_{i \in I_2} x_{j_i}, \
\text { s.t. } & B x_B=b-N x_N, \
& l_I \leq x_I \leq u_I, \quad l_N \leq x_N \leq u_N,
\end{array}
$$
where the objective function is termed infeasible-sum. Then solution $\bar{x}$ is feasible to the preceding problem. From $\bar{x}$, one iteration of Algorithm 8.1.2 can be performed with its pivot rule slightly modified. The auxiliary problem is formed iteration by iteration with the change of $\bar{x}$, until achieving feasibility or detecting infeasibility.

数学代写|线性规划作业代写Linear Programming代考|Generalized Dual Simplex Algorithm: Tableau Form

The dual version of the generalized simplex method can be derived using the same simplex tableau. Assume that (8.1) is the simplex tableau, associated with $B$ and $N$ given by (8.5)

Let index sets $\Gamma$ and $\Pi$ be defined by (8.9). It is known that solution $\left(\bar{z}B=0, \bar{z}_N\right)$ is dual feasible (as well as complementary with the primal solution) if the following condition holds: $$ \bar{z}{\Gamma} \geq 0, \quad \bar{z}_{\Pi} \leq 0 .
$$

Since components of $l$ and $u$ are finite, it is always possible to set $\bar{x}N$ to fulfill the preceding condition. The associated $\bar{x}_B$ and objective value are then $$ \bar{x}_B=\bar{b}-\bar{N} \bar{x}_N, \quad \bar{f}=c^{\mathrm{T}} \bar{x} . $$ If $l_B \leq x_B \leq u_B$ also holds, then $(\bar{x}, \bar{z})$ are a pair of primal and dual optimal basic solutions. Introduce bound-violation quantity below: $$ \rho_i=\left{\begin{array}{ll} l{j_i}-\bar{x}{j_i}, & \text { If } \bar{x}{j_i}{j_i}, & \text { If } \bar{x}{j_i}>u_{j_i}, \
0, & \text { If } l_{j_i} \leq \bar{x}{j_i} \leq u{j_i},
\end{array} \quad i=1, \ldots, m,\right.
$$
and determine row index $p$ by the following rule:
$$
p \in \arg \max \left{\left|\rho_i\right| \mid i=1, \ldots, m\right}
$$
It is clear that optimality is achieved if $\rho_p=0$. Now assume that $\rho_p \neq 0$ : then $\rho_p>0$ indicates that $\bar{x}p$ violates the lower bound while $\rho_p<0$ indicates violation of the upper bound. Introduce index set $$ J=\left{j \in \Gamma \mid \operatorname{sign}\left(\rho_p\right) \bar{a}{p j}<0\right} \cup\left{j \in \Pi \mid \operatorname{sign}\left(\rho_p\right) \bar{a}{p j}>0\right} . $$ It is not difficult to show that the original problem is infeasible if $J=\emptyset$; else, a column index $q$ and $\beta$ can be determined such that $$ \beta=-\bar{z}_q /\left(\operatorname{sign}\left(\rho_p\right) \bar{a}{p q}\right)=\min {j \in J}-\bar{z}_j /\left(\operatorname{sign}\left(\rho_p\right) \bar{a}{p j}\right) \geq 0,
$$
which is the maximum possible stepsize in $y$-space to maintain dual feasibility (also see Sect. 8.3).

线性规划代写

数学代写|线性规划作业代写Linear Programming代考|Generalized Phase-I

假使，假设 $B$ 是当前迭代的基础，与基本解决方案相关联 $\bar{x}$. 引入以下索引集:
如果 $I_1 \cup I_2$ 是空的，那么 $\bar{x}$ 是可行的。假设情况并非如此。
构造如下辅助问题:
$\min w=-\sum_{i \in I_1} x_{j_i}+\sum_{i \in I_2} x_{j_i}$, s.t. $\quad B x_B=b-N x_N, \quad l_I \leq x_I \leq u_I, \quad l_N \leq x_N$
其中目标函数称为不可行和。然后解决 $\bar{x}$ 对前面的问题是可行的。从 $\bar{x}$, 算法 8.1.2 的一次迭代可以在其主元规则略有修改的情况下执行。辅助问题是随着 $\bar{x}$ ，直到实现可行性或检测不可行性。

数学代写|线性规划作业代写Linear Programming代考|Generalized Dual Simplex Algorithm: Tableau Form

可以使用相同的单纯形图导出广义单纯形法的对偶版本。假设 (8.1) 是单纯形画面，与 $B$ 和 $N$ 由 (8.5) 给出原始解决方案互补）：
$$
\bar{z} \Gamma \geq 0, \quad \bar{z}{\Pi} \leq 0 $$ 由于组件 $l$ 和 $u$ 是有限的，总是可以设置 $\bar{x} N$ 以达成前述条件。相关的 $\bar{x}_B$ 和目标价值然后 $$ \bar{x}_B=\bar{b}-\bar{N} \bar{x}_N, \quad \bar{f}=c^{\mathrm{T}} \bar{x} . $$ 如果 $l_B \leq x_B \leq u_B$ 也成立，那么 $(\bar{x}, \bar{z})$ 是一对原始和对偶最优基本解。下面引入越界量： $\$ \$$ lrho_i= lleft { $$ l j_i-\bar{x} j_i, \quad \text { If } \bar{x} j_i j_i, \quad \text { If } \bar{x} j_i>u{j_i}, 0, \quad \text { If } l_{j_i} \leq \bar{x} j_i \leq u j_i
$$
Iquad $i=1, \backslash$ ldots, $m$, 、对。
anddeterminerowindex $\$ p \$$ bythe followingrule :
Itisclearthatoptimalityisachievedif $\$ \rho_p=0 \$$. Nowassumethat $\$ \rho_p \neq 0 \$:$ then $\$ \rho_p>$
$\mathrm{J}=\backslash$ left ${j \backslash i n \backslash G a m m a \backslash m i d ~ l o p e r a t o r n a m e{s i g n} \backslash$ left(\rho_p $\backslash r i g h t) \backslash b a r{a}{p j}<0 \backslash r i g h t} \backslash \backslash u p \backslash l e f t{j \backslash i n$
Itisnotdifficulttoshowthattheoriginalproblemisinfeasibleif $\$ J=\emptyset \$ ;$ else, acolumni 步
长 $y$-保持双重可行性的空间 (另见第 8.3 节)。

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金融工程代写

金融工程是使用数学技术来解决金融问题。金融工程使用计算机科学、统计学、经济学和应用数学领域的工具和知识来解决当前的金融问题，以及设计新的和创新的金融产品。

非参数统计代写

非参数统计指的是一种统计方法，其中不假设数据来自于由少数参数决定的规定模型；这种模型的例子包括正态分布模型和线性回归模型。

广义线性模型代考

广义线性模型（GLM）归属统计学领域，是一种应用灵活的线性回归模型。该模型允许因变量的偏差分布有除了正态分布之外的其它分布。

术语广义线性模型（GLM）通常是指给定连续和/或分类预测因素的连续响应变量的常规线性回归模型。它包括多元线性回归，以及方差分析和方差分析（仅含固定效应）。

有限元方法代写

有限元方法（FEM）是一种流行的方法，用于数值解决工程和数学建模中出现的微分方程。典型的问题领域包括结构分析、传热、流体流动、质量运输和电磁势等传统领域。

有限元是一种通用的数值方法，用于解决两个或三个空间变量的偏微分方程（即一些边界值问题）。为了解决一个问题，有限元将一个大系统细分为更小、更简单的部分，称为有限元。这是通过在空间维度上的特定空间离散化来实现的，它是通过构建对象的网格来实现的：用于求解的数值域，它有有限数量的点。边界值问题的有限元方法表述最终导致一个代数方程组。该方法在域上对未知函数进行逼近。[1] 然后将模拟这些有限元的简单方程组合成一个更大的方程系统，以模拟整个问题。然后，有限元通过变化微积分使相关的误差函数最小化来逼近一个解决方案。

tatistics-lab作为专业的留学生服务机构，多年来已为美国、英国、加拿大、澳洲等留学热门地的学生提供专业的学术服务，包括但不限于Essay代写，Assignment代写，Dissertation代写，Report代写，小组作业代写，Proposal代写，Paper代写，Presentation代写，计算机作业代写，论文修改和润色，网课代做，exam代考等等。写作范围涵盖高中，本科，研究生等海外留学全阶段，辐射金融，经济学，会计学，审计学，管理学等全球99%专业科目。写作团队既有专业英语母语作者，也有海外名校硕博留学生，每位写作老师都拥有过硬的语言能力，专业的学科背景和学术写作经验。我们承诺100%原创，100%专业，100%准时，100%满意。

随机分析代写

随机微积分是数学的一个分支，对随机过程进行操作。它允许为随机过程的积分定义一个关于随机过程的一致的积分理论。这个领域是由日本数学家伊藤清在第二次世界大战期间创建并开始的。

时间序列分析代写

随机过程，是依赖于参数的一组随机变量的全体，参数通常是时间。随机变量是随机现象的数量表现，其时间序列是一组按照时间发生先后顺序进行排列的数据点序列。通常一组时间序列的时间间隔为一恒定值（如1秒，5分钟，12小时，7天，1年），因此时间序列可以作为离散时间数据进行分析处理。研究时间序列数据的意义在于现实中，往往需要研究某个事物其随时间发展变化的规律。这就需要通过研究该事物过去发展的历史记录，以得到其自身发展的规律。

回归分析代写

多元回归分析渐进（Multiple Regression Analysis Asymptotics）属于计量经济学领域，主要是一种数学上的统计分析方法，可以分析复杂情况下各影响因素的数学关系，在自然科学、社会和经济学等多个领域内应用广泛。

MATLAB代写

MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中，其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括：数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发，包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统，其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题，尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题，而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问，这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展，得到了许多用户的投入。在大学环境中，它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域，MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要，工具箱允许您学习和应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数（M 文件）的综合集合，可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。

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数学代写|线性规划作业代写Linear Programming代考|Generalized Simplex Method

Posted on 2023年4月27日2023年4月27日 by statistics-lab

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数学代写|线性规划作业代写Linear Programming代考|Generalized Simplex Method

There are various problems from practice, and all can be put into the following general form:
$$
\begin{array}{ll}
\min & f=c^{\mathrm{T}} x \
\text { s.t. } & a \leq A x \leq b \
& l \leq x \leq u
\end{array}
$$
where $A \in \mathcal{R}^{m \times n}, c, l, u \in \mathcal{R}^n, a, b \in \mathcal{R}^m, m<n$, rank $A=m$, and $a, b, l, u$ are given vectors. Such types of problems not only have upper and lower bounds on variables, but also ranges of $A x$.

Ranges involved in the problems can be eliminated by introducing new variables. Setting $w=A x$, the preceding problem can be converted to
$$
\begin{array}{ll}
\min & f=c^{\mathrm{T}} x \
\text { s.t. } & A x-w=0 \
& l \leq x \leq u \
& a \leq w \leq b
\end{array}
$$
Components of $x$ are said to be structural variables, whereas those of $w$ be logical variables.

Therefore, practical LP problems boil down to the following so-called boundedvariable problem:
$$
\begin{aligned}
& \min f=c^{\mathrm{T}} x, \
& \text { s.t. } A x=b, \quad l \leq x \leq u,
\end{aligned}
$$
where $A \in \mathcal{R}^{m \times n}, c, l, u \in \mathcal{R}^n, b \in \mathcal{R}^m$, rank $A=m, m<n$. Unless indicated otherwise, it is assumed that $l, u$ are finite, and $l_j<u_j$. Infinite upper or lower bounds can be represented by sufficiently large/small reals.

数学代写|线性规划作业代写Linear Programming代考|Generalized Simplex Algorithm

Almost all terms for standard LP problems apply to bounded-variable problems. Similarly, a solution to $A x=b$ is said to be basic if its nonbasic components attain one of the associated upper/lower bounds. Therefore, a basic solution is not necessarily unique, just as the basic solution in the standard LP context.
In the sequel, we state results without proof.
Lemma 8.1.1 If there exists a feasible solution to the bounded-variable problem, so does a feasible basic solution; if there exists an optimal solution to it, so does an optimal basic solution.

Therefore, it is possible to find an optimal basic solution in the feasible region. Let $\bar{x}$ be a feasible basic solution, associated with $B$, i.e.,
$$
\begin{gathered}
\bar{x}_j=l_j \text { or } u_j, \quad j \in N, \
l_B \leq \bar{x}_B=B^{-1} b-B^{-1} N \bar{x}_N \leq u_B .
\end{gathered}
$$
The reduced costs and objective value are then
$$
\bar{z}_N=c_N-N^{\mathrm{T}} B^{-T} c_B, \quad \bar{f}=c_B^{\mathrm{T}} B^{-1} b+\bar{z}_N^{\mathrm{T}} \bar{x}_N .
$$
Define the index set
$$
\Gamma=\left{j \in N \mid \bar{x}_j=l_j\right}, \quad \Pi=\left{j \in N \mid \bar{x}_j=u_j\right} .
$$

Then it holds that
$$
\Gamma \cup \Pi=N, \quad \Gamma \cap \Pi=\emptyset
$$
Without confusion, $\Gamma$ and $\Pi$ also denote submatrices consisting of corresponding columns.

线性规划代写

数学代写|线性规划作业代写Linear Programming代考|Generalized Simplex Method

实践中出现的各种问题，都可以归结为以下一般形式:
$$
\min f=c^{\mathrm{T}} x \text { s.t. } \quad a \leq A x \leq b \quad l \leq x \leq u
$$
在哪里 $A \in \mathcal{R}^{m \times n}, c, l, u \in \mathcal{R}^n, a, b \in \mathcal{R}^m, m<n$ ，等级 $A=m$ ，和 $a, b, l, u$ 给定向量。这类问题不仅有变量的上下界，还有 $A x$.
问题中涉及的范围可以通过引入新的变量来消除。环境 $w=A x$ ，前面的问题可以转化为
$$
\min f=c^{\mathrm{T}} x \text { s.t. } \quad A x-w=0 \quad l \leq x \leq u \quad a \leq w \leq b
$$
的组成部分 $x$ 被称为结构变量，而那些 $w$ 是逻辑变量。
因此，实际的 LP 问题归结为以下所谓的有界变量问题:
$$
\min f=c^{\mathrm{T}} x, \quad \text { s.t. } A x=b, \quad l \leq x \leq u
$$
在哪里 $A \in \mathcal{R}^{m \times n}, c, l, u \in \mathcal{R}^n, b \in \mathcal{R}^m$ ，等级 $A=m, m<n$. 除非另有说明，否则假定 $l, u$ 是有限的，并且 $l_j<u_j$. 无限上界或下界可以用足够大/小的实数表示。

数学代写|线性规划作业代写Linear Programming代考|Generalized Simplex Algorithm

几乎所有标准 LP 问题的术语都适用于有界变量问题。同样，一个解决方案 $A x=b$ 如果其非基本组件达到关联的上限/下限之一，则称其为基本的。因此，一个基本解不一定是唯一的，就像标准 LP 上下文中的基本解一样。
在续集中，我们在没有证据的情况下陈述结果。
引理 8.1.1 如果有界变量问题存在可行解，则存在可行的基本解；如果存在最优解，则存在最优基本解。
因此，可以在可行域内找到最优的基本解。让 $\bar{x}$ 是一个可行的基本解决方案，与 $B$ ，那是，
$$
\bar{x}_j=l_j \text { or } u_j, \quad j \in N, l_B \leq \bar{x}_B=B^{-1} b-B^{-1} N \bar{x}_N \leq u_B
$$
降低的成本和目标价值是
$$
\bar{z}_N=c_N-N^{\mathrm{T}} B^{-T} c_B, \quad \bar{f}=c_B^{\mathrm{T}} B^{-1} b+\bar{z}_N^{\mathrm{T}} \bar{x}_N .
$$
定义孛引集
那么它认为
$$
\Gamma \cup \Pi=N, \quad \Gamma \cap \Pi=\emptyset
$$

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金融工程代写

非参数统计代写

非参数统计指的是一种统计方法，其中不假设数据来自于由少数参数决定的规定模型；这种模型的例子包括正态分布模型和线性回归模型。

广义线性模型代考

广义线性模型（GLM）归属统计学领域，是一种应用灵活的线性回归模型。该模型允许因变量的偏差分布有除了正态分布之外的其它分布。

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数学代写|线性规划作业代写Linear Programming代考|Complementarity and Solution Rank of SDP

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(Generalized) Linear Models 广义线性模型
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数学代写|线性规划作业代写Linear Programming代考|Complementarity and Solution Rank of SDP

In linear programming, since $\mathbf{x} \geq \mathbf{0}$ and $\mathbf{s} \geq \mathbf{0}$,
$$
0=\mathbf{x} \bullet \mathbf{s}=\mathbf{x}^T \mathbf{s}=\sum_{j=1}^n x_j s_j
$$
implies that $x_j s_j=0$ for all $j=1, \ldots, n$. This property is often called complementarity. Thus, besides feasibility, and optimal linear programming solution pair must satisfy complementarity.

Now consider semidefinite cone $\mathcal{S}_{+}^n$. Since $\mathbf{X} \succeq \mathbf{0}$ and $\mathbf{S} \succeq \mathbf{0}, 0=\mathbf{X} \bullet \mathbf{S}$ implies $\mathbf{X S}=\mathbf{0}$, that is, the regular matrix product of the two is a zero matrix. In other words, every column (or row) of $\mathbf{X}$ is orthogonal to every column (or row) of $\mathbf{S}$. We also call such property complementarity. Thus, besides feasibility, an optimal semidefinite programming solution pair must satisfy complementarity.
Proposition 1 Let $\mathbf{X}^$ and $\left(\mathbf{y}^, \mathbf{S}^\right)$ be any optimal SDP solution pair with zero-duality gap. Then complementarity of $\mathbf{X}^$ and $\mathbf{S}^$ implies $$ \operatorname{rank}\left(\mathbf{X}^\right)+\operatorname{rank}\left(\mathbf{S}^\right) \leq n $$ Furthermore, is there an optimal (dual) $\mathbf{S}^$ such that $\operatorname{rank}\left(\mathbf{S}^\right) \geq d$, then the rank of any optimal (primal) $\mathbf{X}^$ is bounded above by $n-d$, where integer $0 \leq d \leq n$; and the converse is also true.
In certain SDP problems, one may be interested in finding an optimal solution whose rank is minimal, while the interior-point algorithm for SDP (developed later) typically generates solution whose rank is maximal for primal and dual, respectively. Thus, a rank reduction method sometimes is necessary to achieve this goal. For linear programming in the standard form, it is known that if there is an optimal solution, then there is an optimal basic solution $\mathbf{x}^*$ whose positive entries have at most $m$ many. Is there a similar structural fact for semidefinite programming? In deed, we have

Proposition 2 If there is an optimal solution for SDP, then there is an optimal solution of SDP whose rank $r$ satisfies $\frac{r(r+1)}{2} \leq m$.

数学代写|线性规划作业代写Linear Programming代考|Null-Space Rank Reduction

Let $\mathbf{X}^$ be an optimal solution of SDP with rank $r$. If $r(r+1) / 2>m$, we orthonormally factorize $\mathbf{X}^$
$$
\mathbf{X}^=\left(\mathbf{V}^\right)^T \mathbf{V}^, \quad \mathbf{V}^ \in E^{r \times n}
$$
Then we consider a related SDP problem
$$
\begin{aligned}
& \text { minimize } \mathbf{V}^* \mathbf{C}\left(\mathbf{V}^\right)^T \bullet \mathbf{U} \ & \text { subject to } \mathbf{V}^ \mathbf{A}i\left(\mathbf{V}^\right)^T \bullet \mathbf{U}=b_i, i=1, \ldots, m \ & \mathbf{U} \in \mathcal{S}{+}^r
\end{aligned}
$$
Note that, for any feasible solution of (6.12) one can construct a feasible solution for original SDP using
$$
\mathbf{X}(\mathbf{U})=\left(\mathbf{V}^\right)^T \mathbf{U V}^* \text { and } \mathbf{C} \bullet \mathbf{X}(\mathbf{U})=\mathbf{V}^* \mathbf{C}\left(\mathbf{V}^\right)^T \bullet \mathbf{U} $$ Thus, the minimal value of (6.12) is also $z^$, and in particular $\mathbf{U}=\mathbf{I}$ (the identity matrix) is a minimizer of $(6.12)$, since
$$
\mathbf{V}^* \mathbf{C}\left(\mathbf{V}^\right)^T \bullet \mathbf{I}=\mathbf{C} \bullet\left(\mathbf{V}^\right)^T \mathbf{V}^=\mathbf{C} \bullet \mathbf{X}^=z^*
$$
Also, one can show that any feasible solution $\mathbf{U}$ of (6.12) is its minimizer, so that $\mathbf{X}(\mathbf{U})$ is a minimizer of original SDP.
Consider the system of homogeneous linear equations:
$$
\mathbf{V}^* \mathbf{A}_i\left(\mathbf{V}^*\right)^T \bullet \mathbf{W}=0, i=1, \ldots, m .
$$
where $\mathbf{W} \in \mathcal{S}^r$ (i.e., a $r \times r$ symmetric matrix that does not need to be semidefinite). This system has $r(r+1) / 2$ real variables and $m$ equations. Thus, as long as $r(r+1) / 2>m$, we must be able to find a symmetric matrix $\mathbf{W} \neq \mathbf{0}$ to satisfy all the $m$ equations. Without loss of generality, let $\mathbf{W}$ be either indefinite or negative semidefinite (if it is positive semidefinite, we take $-\mathbf{W}$ as $\mathbf{W}$ ), that is, $\mathbf{W}$ have at least one negative eigenvalue. Then we consider
$$
\mathbf{U}(\alpha)=\mathbf{I}+\alpha \mathbf{W} .
$$

线性规划代写

数学代写|线性规划作业代写Linear Programming代考|Complementarity and Solution Rank of SDP

在线性规划中，由于 $\mathbf{x} \geq \mathbf{0}$ 和 $\mathbf{x} \geq \mathbf{0}$ ，
$$
0=\mathbf{x} \bullet \mathbf{s}=\mathbf{x}^T \mathbf{s}=\sum_{j=1}^n x_j s_j
$$
暗示 $x_j s_j=0$ 对全部 $j=1, \ldots, n$. 此属性通常称为互补性。因此，除了可行性之外，最优线性规划解对还必须满足互补性。
现在考虑半定锥 $S_{+}^n$. 自从 $\mathbf{X} \succeq \mathbf{0}$ 和 $\mathbf{S} \succeq \mathbf{0}, 0=\mathbf{X} \bullet \mathbf{S}$ 暗示 $\mathbf{X} \mathbf{S}=\mathbf{0}$ ，即两者的正则矩阵乘积为零矩阵。换句话说，每一列 (或行) 的 $\mathbf{X}$ 正交于每一列 (或行) $\mathbf{S}$. 我们也称这种性质互补。因此，除了可行性之外，最优半正定规划解对还必须满足互补性。
命题 1 让 \mathbf ${X}^{\wedge}$ 和 \left(\mathbf $\left.{y}^{\wedge}, \backslash m a t h b f{S}^{\wedge} \backslash r i g h t\right)$ 是具有零对偶间隙的任何最优 SDP 解决方案对。那么互补性 $\backslash$ mathbf ${X}^{\wedge}$ 和 $\backslash$ \mathbf ${S}^{\wedge}$ 暗示任何最优（原始) 的等级 $\backslash$ \mathbf ${X}^{\wedge}$ 上面有界 $n-d$, 其中整数 $0 \leq d \leq n$; 反之亦然。
在某些 SDP 问题中，人们可能对寻找秩最小的最优解感兴趣，而 SDP 的内点算法 (后来开发的) 通常分别生成秩为最大的原始解和对偶解。因此，为了达到这个目标，有时需要降阶方法。对于标准形式的线性规划，已知如果存在最优解，则存在最优基本解 $\mathbf{x}^*$ 其正面条目最多 $m$ 许多。半定规划是否有类似的结构事实？实际上，我们有
命题 2 如果 SDP 存在最优解，则 SDP 存在一个最优解其秩 $r$ 满足 $\frac{r(r+1)}{2} \leq m$.

数学代写|线性规划作业代写Linear Programming代考|Null-Space Rank Reduction

让 $\backslash$ ไmathbf ${X}^{\wedge}$ 是具有秩的 SDP 的最优解 $r$. 如果 $r(r+1) / 2>m$, 我们正交分解 $\backslash$ Imathbf ${X}^{\wedge}$
然后我们考虑一个相关的SDP问题
请注意，对于 (6.12) 的任何可行解，可以使用以下方法为原始 SDP 构造一个可行解
因此，（6.12) 的最小值也是 $\mathbf{z}^{\wedge} ，$ 特别是 $\mathbf{U}=\mathbf{I}$ (单位矩阵) 是(6.12)，自从
此外，可以证明任何可行的解决方案 $\mathbf{U}(6.12)$ 的是它的最小值，所以 $\mathbf{X}(\mathbf{U})$ 是原始 SDP 的最小化。考虑齐次线性方程组:
$$
\mathbf{V}^* \mathbf{A}_i\left(\mathbf{V}^*\right)^T \bullet \mathbf{W}=0, i=1, \ldots, m
$$
在哪里 $\mathbf{W} \in \mathcal{S}^r$ (即，一个 $r \times r$ 不需要半定的对称矩阵) 。这个系统有 $r(r+1) / 2$ 实变量和 $m$ 方程式。这样，只要 $r(r+1) / 2>m$ ，我们必须能够找到一个对称矩阵 $\mathbf{W} \neq \mathbf{0}$ 满足所有 $m$ 方程式。不失一般性，令 $\mathbf{W}$ 是不确定的或负半定的（如果它是正半定的，我们取 $-\mathbf{W}$ 作为 $\mathbf{W}$ ），那是， $\mathbf{W}$ 至少有一个负特征值。然后我们考虑
$$
\mathbf{U}(\alpha)=\mathbf{I}+\alpha \mathbf{W}
$$

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非参数统计指的是一种统计方法，其中不假设数据来自于由少数参数决定的规定模型；这种模型的例子包括正态分布模型和线性回归模型。

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数学代写|线性规划作业代写Linear Programming代考|Farkas’ Lemma for Conic Linear Programming

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数学代写|线性规划作业代写Linear Programming代考|Farkas’ Lemma for Conic Linear Programming

We first introduce the notion of “interior” of cones.
Definition 1 We call $\mathbf{X}$ an interior point of cone $K$ if and only if, for any point $\mathbf{Y} \in K^*, \mathbf{Y} \bullet \mathbf{X}=0$ implies $\mathbf{Y}=\mathbf{0}$.
The set of interior points of $K$ is denoted by $\stackrel{\circ}{K}$.
Theorem 1 The interior of the following convex cones are given as:

The interior of the nonnegative orthant cone is the set of all vectors where every entry is positive.
The interior of the positive semidefinite cone is the set of all positive definite matrices.
The interior of $p$-order cone is the set of $\left{(u ; \mathbf{x}) \in E^{n+1}: u>|\mathbf{x}|_p\right}$.
We give a sketch of the proof for the second-order cone, i.e., $p=2$. Let $(\bar{u} ; \overline{\mathbf{x}}) \neq$ 0 be any second-order cone point but $\bar{u}=|\overline{\mathbf{x}}|$. Then, we can choose a dual cone (also the second-order cone) point $(v ; \mathbf{y})$ such that
$$
v=\alpha \bar{u}, \mathbf{y}=-\alpha \overline{\mathbf{x}}
$$
for a positive $\alpha$. Note that
$$
(\bar{u} ; \overline{\mathbf{x}}) \bullet(v ; \mathbf{y})=\alpha \bar{v}^2-\alpha|\overline{\mathbf{x}}|^2=0
$$
Then, one can let $\alpha>0$ so that $(v ; \mathbf{y})$ cannot be zero.
Now let $(\bar{u} ; \overline{\mathbf{x}})$ be any given second-order cone point with $\bar{u}>|\overline{\mathbf{x}}|$. We like to prove that, for any dual cone (also the second-order cone) point $(v ; \mathbf{y})$,
$$
(\bar{u} ; \overline{\mathbf{x}}) \bullet(v ; \mathbf{y})=0
$$
implies that $(v ; \mathbf{y})$ is zero. Note that
$$
0=(\bar{u} ; \overline{\mathbf{x}}) \bullet(v ; \mathbf{y})=\bar{u} v+\overline{\mathbf{x}} \bullet \mathbf{y}
$$
or
$$
\bar{u} v \leq-\overline{\mathbf{x}} \bullet \mathbf{y} \leq|\overline{\mathbf{x}}||\mathbf{y}|
$$

数学代写|线性规划作业代写Linear Programming代考|Conic Linear Programming Duality

Because conic linear programming is an extension of classical linear programming, it would seem that there is a natural dual to the primal problem, and that this dual is itself a conic linear program. This is indeed the case, and it is related to the primal in much the same way as primal and dual linear programs are related. Furthermore, the primal and dual together lead to the formation a primal-dual solution method, which is discussed later in this chapter.
The dual of the (primal) CLP (6.1) is
$$
\begin{array}{ll}
\text { (CLD) maximize } \mathbf{y}^T \mathbf{b} \
& \text { subject to } \sum_i^m y_i \mathbf{A}_i+\mathbf{S}=\mathbf{C}^T, \mathbf{S} \in K^*
\end{array}
$$
On written in a compact form:
$$
\begin{array}{ll}
\text { (CLD) } & \text { maximize } \mathbf{y}^T \mathbf{b} \
& \text { subject to } \mathbf{y}^T \mathcal{A}+\mathbf{S}=\mathbf{C}^T, \mathbf{S} \in K^* .
\end{array}
$$
Notice that $\mathbf{S}$ represents a slack matrix, and hence the problem can alternatively be expressed as
$$
\begin{aligned}
& \text { maximize } \mathbf{y}^T \mathbf{b} \
& \text { subject to } \sum_i^m y_i \mathbf{A}_i \preceq K^* \mathbf{C}^T .
\end{aligned}
$$
Recall that conic inequality $\mathbf{Q} \preceq K \mathbf{P}$ means $\mathbf{P}-\mathbf{Q} \in K$.
Again, just like linear programming, the dual of (CLD) will be (CLP), and they form a primal and dual pair. Whichever is the primal, then the other will be the dual. We would see more primal and dual relations later.

线性规划代写

数学代写|线性规划作业代写Linear Programming代考|Farkas’ Lemma for Conic Linear Programming

我们首先介绍视雉细胞“内部”的概念。
定义 1 我们称 $\mathbf{X}$ 圆雉的一个内点 $K$ 当且仅当，对于任何一点 $\mathbf{Y} \in K^*, \mathbf{Y} \bullet \mathbf{X}=0$ 暗示 $\mathbf{Y}=\mathbf{0}$. 的内部点集 $K$ 表示为 $K$.
定理 1 以下凸锥的内部为:

非负正交雉的内部是所有向量的集合，其中每个条目都是正的。
半正定雉的内部是所有正定矩阵的集合。
的内部 $p$-阶锥是 $\backslash$ left $\left{(u ; \backslash m a t h b f{x}) \backslash\right.$ in $\left.E^{\wedge}{n+1}: u>|\backslash m a t h b f{x}| _p \backslash r i g h t\right}$.
我们给出了二阶锥的证明草图，即， $p=2$. 让 $(\bar{u} ; \overline{\mathbf{x}}) \neq 0$ 是任何二阶锥点但 $\bar{u}=|\overline{\mathbf{x}}|$.然后，我们可以选择一个双雉 (也就是二阶锥) 点 $(v ; \mathbf{y})$ 这样
$$
v=\alpha \bar{u}, \mathbf{y}=-\alpha \overline{\mathbf{x}}
$$
对于一个积极的 $\alpha$. . 注意
$$
(\bar{u} ; \overline{\mathbf{x}}) \bullet(v ; \mathbf{y})=\alpha \bar{v}^2-\alpha|\overline{\mathbf{x}}|^2=0
$$
那么，可以让 $\alpha>0$ 以便 $(v ; \mathbf{y})$ 不能为零。
现在让 $(\bar{u} ; \overline{\mathbf{x}})$ 是任何给定的二阶锥点 $\bar{u}>|\overline{\mathbf{x}}|$. 我们想证明，对于任何双锥（也是二阶锥）点 $(v ; \mathbf{y})$ ，
$$
(\bar{u} ; \overline{\mathbf{x}}) \bullet(v ; \mathbf{y})=0
$$
暗示 $(v ; \mathbf{y})$ 为零。注意
$$
0=(\bar{u} ; \overline{\mathbf{x}}) \bullet(v ; \mathbf{y})=\bar{u} v+\overline{\mathbf{x}} \bullet \mathbf{y}
$$
或者
$$
\bar{u} v \leq-\overline{\mathbf{x}} \bullet \mathbf{y} \leq|\overline{\mathbf{x}}||\mathbf{y}|
$$

数学代写|线性规划作业代写Linear Programming代考|Conic Linear Programming Duality

因为圆锥线性规划是经典线性规划的扩展，所以看起来原始问题有一个自然的对偶，而这个对偶本身就是一个圆锥线性规划。确实如此，它与原始程序的关系与原始程序和对偶线性程序的相关性大致相同。此外，原始和对偶一起导致形成原始对偶求解方法，这将在本章后面讨论。
(原始) CLP (6.1) 的对偶是
$(\mathrm{CLD})$ maximize $\mathbf{y}^T \mathbf{b} \quad$ subject to $\sum_i^m y_i \mathbf{A}_i+\mathbf{S}=\mathbf{C}^T, \mathbf{S} \in K^$ 以紧凑的形式写成: (CLD) maximize $\mathbf{y}^T \mathbf{b} \quad$ subject to $\mathbf{y}^T \mathcal{A}+\mathbf{S}=\mathbf{C}^T, \mathbf{S} \in K^$.
请注意 $\mathbf{S}$ 表示松驰矩阵，因此该问题也可以表示为
$$
\text { maximize } \mathbf{y}^T \mathbf{b} \quad \text { subject to } \sum_i^m y_i \mathbf{A}_i \preceq K^* \mathbf{C}^T \text {. }
$$
回想一下圆雉不等式 $\mathbf{Q} \preceq K \mathbf{P}$ 方法 $\mathbf{P}-\mathbf{Q} \in K$.
同样，就像线性规划一样，(CLD) 的对偶将是 (CLP)，它们形成原始对偶对。无论哪个是原始的，那么另一个将是双重的。稍后我们会看到更多的原始关系和对偶关系。

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数学代写|线性规划作业代写Linear Programming代考|Dual LP Problem

Now call the standard LP problem (1.8), i.e.,
(P) $\quad \min f=c^{\mathrm{T}} x$ s.t. $A x=b, \quad x \geq 0$
primal problem, and the following problem
(D) $\quad \max g=b^{\mathrm{T}} y$
$$
\text { s.t. } A^{\mathrm{T}} y+z=c, \quad z \geq 0,
$$
dual problem. There is 1-1 correspondence between their variables/constraints.

$(y, z)$ satisfying $A^{\mathrm{T}} y+z=c$ is called dual feasible solution. The set
$$
D=\left{(y, z) \in \mathcal{R}^m \times \mathcal{R}^n \mid A^{\mathrm{T}} y+z=c, z \geq 0\right}
$$
is called dual feasible region, which includes all dual feasible solutions.
Given basis $B$, setting $z_B=0$ in $B^{\mathrm{T}} y+z_B=c_B$ gives
$$
\bar{y}=B^{-T} c_B, \quad \bar{z}_B=0, \quad \bar{z}_N=c_N-N^{\mathrm{T}} \bar{y},
$$
called dual basic solution. $\bar{z}$ is just the reduced costs; and $\bar{y}$ the simplex multiplier. If $\bar{z}_N \geq 0,(\bar{y}, \bar{z})$ is a dual feasible basic solution, corresponding to a vertex in $D$. For simplicity, thereafter $\bar{z}_N$ alone is often said to be dual basic solution. In particular, $(\bar{y}=0, \bar{z}=c)$ is a dual feasible solution if $c \geq 0$.
The following equivalent form of dual problem (5.2)
$$
\begin{array}{r}
\text { (D) } \quad \max g=b^{\mathrm{T}} y, \
\text { s.t. } A^{\mathrm{T}} y \leq c
\end{array}
$$
is useful. Problems (5.2) and (5.4) will be regarded as the same.
As it can be converted into a standard one, any LP problem corresponds to a dual problem. By introducing slack variables $u \geq 0$, e.g., the problem
$$
\begin{aligned}
& \max c^{\mathrm{T}} x \
& \text { s.t. } A x \leq b, \quad x \geq 0
\end{aligned}
$$
can be turned to the standard problem
$$
\begin{aligned}
& \min -c^{\mathrm{T}} x \
& \text { s.t. } A x+u=b, \quad x, u \geq 0
\end{aligned}
$$
and the dual problem of which is
$$
\begin{aligned}
& \max b^{\mathrm{T}} y^{\prime} \
& \text { s.t. } \quad\left(\begin{array}{c}
A^{\mathrm{T}} \
I
\end{array}\right) y^{\prime} \leq\left(\begin{array}{c}
-c \
0
\end{array}\right) .
\end{aligned}
$$

数学代写|线性规划作业代写Linear Programming代考|Duality Theorem

This section only focuses on the nonsymmetric duality of (P) and (D), as obtained results are valid for the general case.

Theorem 5.2.1 (Symmetry) The dual problem of the dual problem is the primal problem.

Proof Introduce the slack variable vector $u \geq 0$ to the dual problem (D), and make the variable transformation $y=y_1-y_2$ to convert it into
$$
\begin{aligned}
& \max b^{\mathrm{T}}\left(y_1-y_2\right) \
& \text { s.t. } A^{\mathrm{T}}\left(y_1-y_2\right)+u=c, \quad y_1, y_2 ; u \geq 0
\end{aligned}
$$
or equivalently,
$$
\begin{aligned}
& \min \left(-b^{\mathrm{T}}, b^{\mathrm{T}}, 0\right)\left(y_1^{\mathrm{T}}, y_2^{\mathrm{T}}, u^{\mathrm{T}}\right)^{\mathrm{T}} \
& \text { s.t. }\left(A^{\mathrm{T}}\left|-A^{\mathrm{T}}\right| I\right)\left(y_1^{\mathrm{T}}, y_2^{\mathrm{T}}, u^{\mathrm{T}}\right)^{\mathrm{T}}=c, \quad y_1, y_2, u \geq 0 .
\end{aligned}
$$
The dual problem of the preceding is
$$
\begin{aligned}
& \max c^{\mathrm{T}} x^{\prime} \
& \text { s.t. }\left(\begin{array}{r}
A \
-A \
I
\end{array}\right) x^{\prime} \leq\left(\begin{array}{r}
-b \
b \
0
\end{array}\right),
\end{aligned}
$$
that is,
$$
\begin{aligned}
& \max c^{\mathrm{T}} x^{\prime} \
& \text { s.t. } A x^{\prime}=-b, \quad x^{\prime} \leq 0,
\end{aligned}
$$
which becomes $(\mathrm{P})$ by setting $x^{\prime}=-x$.

线性规划代写

数学代写|线性规划作业代写Linear Programming代考|Dual LP Problem

现在调用标准的 LP 问题 (1.8)，即
(P) $\min f=c^{\mathrm{T}} x$ 英石 $A x=b, \quad x \geq 0$
原始问题和以下问题
(D) $\max g=b^{\mathrm{T}} y$
$$
\text { s.t. } A^{\mathrm{T}} y+z=c, \quad z \geq 0
$$
双重问题。它们的变量/约束之间存在1-1的对应关系。
$(y, z)$ 令人满意 $A^{\mathrm{T}} y+z=c$ 称为对偶可行解。套装
$\mathrm{D}=\backslash \operatorname{left}\left{(y, z) \backslash\right.$ in \mathcal${R}^{\wedge} m \backslash t i m e s \backslash m a t h c a l{R}^{\wedge} \backslash \backslash m i d ~ A \wedge{\backslash m a t h r m{T}} y+z=c, z \backslash g e q$ O 正确的 $}$
称为对偶可行域，包括所有对偶可行解。
给定基础 $B$ ，环境 $z_B=0$ 在 $B^{\mathrm{T}} y+z_B=c_B$ 给
$$
\bar{y}=B^{-T} c_B, \quad \bar{z}_B=0, \quad \bar{z}_N=c_N-N^{\mathrm{T}} \bar{y}
$$
称为对偶基本解。 $\bar{z}$ 只是降低的成本；和 $\bar{y}$ 单纯形乘数。如果 $\bar{z}_N \geq 0,(\bar{y}, \bar{z})$ 是一个对偶可行的基本解，对应于中的一个顶点 $D$. 为简单起见，此后 $\bar{z}_N$ 单独通常被称为对偶基本解决方案。尤其， $(\bar{y}=0, \bar{z}=c)$ 是对偶可行解，如果 $c \geq 0$.
以下等价形式的对偶问题 (5.2)
(D) $\max g=b^{\mathrm{T}} y$, s.t. $A^{\mathrm{T}} y \leq c$
很有用。问题 (5.2) 和 (5.4) 将被视为相同。
由于可以转换为标准问题，因此任何LP问题都对应一个对偶问题。通过引入松弛变量 $u \geq 0$ ，例如，问题
$$
\max c^{\mathrm{T}} x \quad \text { s.t. } A x \leq b, \quad x \geq 0
$$
可以转化为标准问题
$$
\min -c^{\mathrm{T}} x \quad \text { s.t. } A x+u=b, \quad x, u \geq 0
$$
其中的对偶问题是
$$
\max b^{\mathrm{T}} y^{\prime} \quad \text { s.t. } \quad\left(A^{\mathrm{T}} I\right) y^{\prime} \leq(-c 0) \text {. }
$$

数学代写|线性规划作业代写Linear Programming代考|Duality Theorem

本节仅关注 $(P)$ 和 ( $D)$ 的非对称对偶性，因为所得结果对一般情况有效。
定理5.2.1 (对称性) 对偶问题的对偶问题是原问题。
证明引入松弛变量向量 $u \geq 0$ 对偶问题 (D)，进行变量变换 $y=y_1-y_2$ 把它转换成
$$
\max b^{\mathrm{T}}\left(y_1-y_2\right) \quad \text { s.t. } A^{\mathrm{T}}\left(y_1-y_2\right)+u=c, \quad y_1, y_2 ; u \geq 0
$$
或者等价地，
$$
\min \left(-b^{\mathrm{T}}, b^{\mathrm{T}}, 0\right)\left(y_1^{\mathrm{T}}, y_2^{\mathrm{T}}, u^{\mathrm{T}}\right)^{\mathrm{T}} \quad \text { s.t. }\left(A^{\mathrm{T}}\left|-A^{\mathrm{T}}\right| I\right)\left(y_1^{\mathrm{T}}, y_2^{\mathrm{T}}, u^{\mathrm{T}}\right)^{\mathrm{T}}=c, \quad y_1, y_2, u \geq 0
$$
前面的对偶问题是
$$
\max c^{\mathrm{T}} x^{\prime} \quad \text { s.t. }(A-A I) x^{\prime} \leq(-b b 0)
$$
那是，
$$
\max c^{\mathrm{T}} x^{\prime} \quad \text { s.t. } A x^{\prime}=-b, \quad x^{\prime} \leq 0
$$
这变成 $(\mathrm{P})$ 通过设置 $x^{\prime}=-x$.

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数学代写|线性规划作业代写Linear Programming代考|The Simplex Tableau Method

Often there is a basis to a linear program that is not feasible for the primal problem, but its multiplier vector is feasible for the dual. That is, $\mathbf{y}^T=\mathbf{c}{\mathbf{B}}^T \mathbf{B}^{-1}$ and $\mathbf{r}{\mathbf{D}}^T=$ $\mathbf{c}{\mathbf{D}}^T-\mathbf{y}^T \mathbf{D} \geq \mathbf{0}$. If the dual basic feasible solution is nondegenerate, the inequality holds strictly component-wise. Then we can apply the dual simplex method moving from the current solution to a new dual basic feasible solution with a better objective value. The dual simplex method is actually commonly implemented in practice. As usual, for simplicity let us assume that basis B consists of the first $m$ columns of A. Then, using the same block notations, the dual problem can be rewritten as Define a new dual variable vector $\mathbf{y}^{\prime}$ via an affine transformation such that $$ \mathbf{y}^{\prime T}=\mathbf{y}^T \mathbf{B}-\mathbf{c}{\mathbf{B}}^T, \quad \text { or } \quad \mathbf{y}^T=\left(\mathbf{y}^{\prime}+\mathbf{c}_{\mathbf{B}}\right)^T \mathbf{B}^{-1}
$$ and substitute $\mathbf{y}$ in the dual by $\mathbf{y}^{\prime}$, we derive an equivalent dual problem
$$
\begin{aligned}
& \operatorname{maximize} \mathbf{y}^{\prime T} \mathbf{B}^{-1} \mathbf{b}+\mathbf{c}{\mathbf{B}}^T \mathbf{B}^{-1} \mathbf{b} \quad \operatorname{maximize} \mathbf{y}^{\prime T} \overline{\mathbf{a}}_0+z_0 \ & \text { subject to } \mathbf{y}^{\prime T} \leqslant \mathbf{0}, \quad \Leftrightarrow \text { subject to } \mathbf{y}^{\prime T} \leqslant \mathbf{0} \text {, } \ & \mathbf{y}^{\prime T} \mathbf{B}^{-1} \mathbf{D} \leqslant \mathbf{c}{\mathbf{D}}^T-\mathbf{c}{\mathbf{B}}^T \mathbf{B}^{-1} \mathbf{D} . \quad \mathbf{y}^{\prime T} \mathbf{B}^{-1} \mathbf{D} \leqslant \mathbf{r}{\mathbf{D}}^T, \
&
\end{aligned}
$$
where the current primal basic solution $\overline{\mathbf{a}}^0$, objective value $z_0$, and reduced cost coefficients $\mathbf{r}{\mathbf{D}}$ are given as the same as in the last section. In the transformed dual (4.16), $\mathbf{y}^{\prime}=\mathbf{0}$ is a basic feasible solution. Moreover, if $\overline{\mathbf{a}}_0 \geq \mathbf{0}$, that is, the primal basic solution is also feasible, then $\mathbf{y}^{\prime T}=\mathbf{0}$ is optimal. This implies that $\mathbf{y}^T=$ $\mathbf{c}{\mathbf{B}}^T \mathbf{B}^{-1}$ is optimal to the original dual. Vector $\overline{\mathbf{a}}_0$ can be viewed as the scaled gradient vector of the dual objective function at basis $\mathbf{B}$.

Therefore, if one entry of $\overline{\mathbf{a}}0$, say the $o$ th entry $\overline{\mathbf{a}}{o 0}<0$, then one can decrease variable $\mathbf{y}o^{\prime}$ to some $-\varepsilon$ while keep others at 0 ‘s. The new $\mathbf{y}^{\prime}$ remains feasible under nondegeneracy assumption $\left(\mathbf{r}{\mathbf{D}}>\mathbf{0}\right)$, but its objective value would increase linearly in $\varepsilon$. Note that, as $\mathbf{y}o^{\prime}$ decreases to $-\varepsilon$, the first block of constraints in the transformed dual (4.16) would always be satisfied as $\varepsilon$ increases, and the second block of constraints in (4.16) becomes $$ \varepsilon \cdot \mathbf{e}_o^T \mathbf{B}^{-1} \mathbf{D} \leq \mathbf{r}{\mathbf{D}}^T \quad \text { or } \quad-\varepsilon \cdot \overline{\mathbf{a}}^o \leq \mathbf{r}_{\mathbf{D}}^T,
$$
where $\mathbf{e}_o \in E^m$ is the $o$ th unit vector with 1 for the $o$ th component and 0 for all others, and $\overline{\mathbf{a}}^o=\mathbf{e}_o^T \mathbf{B}^{-1} \mathbf{D}$ is the $o$ th row vector of matrix $\mathbf{B}^{-1} \mathbf{D}$. To keep dual feasibility, we only need to choose $\varepsilon$ such that this vector constraint is satisfied component-wise.

数学代写|线性规划作业代写Linear Programming代考|The Primal–Dual Algorithm

In previous sections, the theory, computation procedure, and indeed much of the technique, necessary for the detailed implementation of the simplex method have been established. In this section, we show how this procedure could be presented in a more intuitive and visible way, which is called the simplex method in tableau form.

As usual, let us assume that $\mathbf{B}$ consists of the first $m$ columns of $\mathbf{A}$. Then, the initial simplex tableau takes the form
$$
\left[\begin{array}{c:c}
\mathbf{A} & \mathbf{b} \
\hdashline- & — \
\mathbf{c}^T & 0
\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c:c:c}
\mathbf{B} & \mathbf{D} & \mathbf{b} \
\hdashline- & – & – \
\hdashline \mathbf{c}{\mathbf{B}}^T & \mathbf{c}{\mathbf{D}}^T & 0
\end{array}\right]
$$
If the matrix $\mathbf{B}$ is used as a basis, then the corresponding tableau can be equivalently rewritten as
$$
\mathbf{T}=\left[\begin{array}{c:c:c}
\mathbf{I} & \mathbf{B}^{-1} \mathbf{D} & \mathbf{B}^{-1} \mathbf{b} \
\hdashline- & —\mathbf{c}{\mathbf{B}} \ \mathbf{0} & \mathbf{c}{\mathbf{D}}^T-\mathbf{c}{\mathbf{B}}^T \mathbf{B}^{-1} \mathbf{D} & -\mathbf{c}{\mathbf{B}}^T \mathbf{B}^{-1} \mathbf{b}
\end{array}\right]
$$
which is called the simplex canonical form corresponding to basis matrix $\mathbf{B}$. This transformation can be viewed as: (1) left-multiplying $\mathbf{B}^{-1}$ to the top blocks of the right original tableau, (2) then left-multiplying $\mathbf{c}_{\mathbf{B}}^T$ to the resulting top blocks and subtracting them from the bottom row. In this canonical form, the constraint matrix corresponding to the current basis becomes the $m \times m$ identity matrix, where the column corresponding to current nonbasic variable $j$ becomes $\overline{\mathbf{a}}_j=\mathbf{B}^{-1} \mathbf{a}_j$ (defined in (4.4)), and the far-right column becomes $\overline{\mathbf{a}}_0=\mathbf{B}^{-1} \mathbf{b}$ (defined in (4.3)). Furthermore, the row at the bottom consists of the relative cost coefficients and the negative of the current objective cost.

In this section we assume that we begin with a basic feasible solution and that the tableau corresponding to $\mathbf{A x}=\mathbf{b}$ is in the canonical form for this solution. Methods for obtaining this first basic feasible solution, when one is not obvious,are described in the next section. Thus, if we assume the basic variables are (in order) $x_1, x_2, \ldots, x_m$, the simplex tableau takes the initial form shown in Fig. 4.2. The simplex tableau method is to perform the Pivot operation (presented in Sect. C.2) on this tableau, corresponding to a basic feasible solution, and create a new tableau corresponding to an adjacent basic feasible solution, with a strictly improved objective function value (under nondegeneracy assumption).

线性规划代写

数学代写|线性规划作业代写Linear Programming代考|The Simplex Tableau Method

通常有一个线性规划的基础对于原始问题不可行，但它的乘数向量对于对偶问题是可行的。那是， $\mathbf{y}^T=\mathbf{c B}^T \mathbf{B}^{-1}$ 和 $\mathbf{r} \mathbf{D}^T=\mathbf{c D}^T-\mathbf{y}^T \mathbf{D} \geq \mathbf{0}$. 如果对偶基本可行解是非退化的，则不等式在分量方面严格成立。然后我们可以应用对偶单纯形法从当前解移动到具有更好目标值的新对偶基本可行解。对偶单纯形法实际上在实践中很普遍。像往常一样，为简单起见，我们假设基础 $\mathrm{B}$ 由第一个 $m \mathrm{~A}$ 的列。然后，使用相同的块符号，对偶问题可以重写为定义一个新的对偶变量向量 $\mathbf{y}^{\prime}$ 通过仿射变换使得
$$
\mathbf{y}^{\prime T}=\mathbf{y}^T \mathbf{B}-\mathbf{c B}^T, \quad \text { or } \quad \mathbf{y}^T=\left(\mathbf{y}^{\prime}+\mathbf{c}{\mathbf{B}}\right)^T \mathbf{B}^{-1} $$ 并替代 $\mathbf{y}$ 在双 $\mathbf{y}^{\prime}$ ，我们推导出一个等价的对偶问题 $\operatorname{maximize} \mathbf{y}^T \mathbf{B}^{-1} \mathbf{b}+\mathbf{c} \mathbf{B}^T \mathbf{B}^{-1} \mathbf{b} \quad$ maximize $\mathbf{y}^{\prime T} \overline{\mathbf{a}}_0+z_0 \quad$ subject to $\mathbf{y}^{\prime T} \leqslant \mathbf{0}, \quad \Leftrightarrow$ subje 当前原始基本解决方案在哪里 $\overline{\mathbf{a}}^0$ ，客观价值 $z_0$ ，和降低的成本系数 $\mathbf{r D}$ 与上一节相同。在转换后的对偶 (4.16) 中， $\mathbf{y}^{\prime}=\mathbf{0}$ 是基本可行解。此外，如果 $\overline{\mathbf{a}}_0 \geq \mathbf{0}$ ，即原基本解也是可行的，则 $\mathbf{y}^{\prime T}=\mathbf{0}$ 是最优的。这意味着 $\mathbf{y}^T=\mathbf{c B}^T \mathbf{B}^{-1}$ 对原始对偶是最优的。向量 $\overline{\mathbf{a}}_0$ 可以看作是基础上对偶目标函数的缩放梯度向量 B. 因此，如果一个条目 $\overline{\mathbf{a}} 0$ ，说 $o$ 第一个条目 $\overline{\mathbf{a}} o 0<0$, 然后可以减少变量 $\mathbf{y} o^{\prime}$ 对一些 $-\varepsilon$ 而让其他人保持在 0 的。新的 $\mathbf{y}^{\prime}$ 在非退化假设下仍然可行 $(\mathbf{r D}>\mathbf{0})$ ，但它的目标值会线性增加 $\varepsilon$. 请注意，作为 $\mathbf{y} o^{\prime}$ 减少到 $-\varepsilon$ ，变换后的对偶 (4.16) 中的第一个约束块总是满足ع增加，并且 (4.16) 中的第二个约束块变为 $$ \varepsilon \cdot \mathbf{e}_o^T \mathbf{B}^{-1} \mathbf{D} \leq \mathbf{r} \mathbf{D}^T \quad \text { or } \quad-\varepsilon \cdot \overline{\mathbf{a}}^o \leq \mathbf{r}{\mathbf{D}}^T
$$
在哪里 $\mathbf{e}_o \in E^m$ 是个 $o$ 第 1 个单位向量 $o$ 第一个分量，所有其他分量为 0 ，以及 $\overline{\mathbf{a}}^o=\mathbf{e}_o^T \mathbf{B}^{-1} \mathbf{D}$ 是个 $o$ 矩阵的第行向量 $\mathbf{B}^{-1} \mathbf{D}$. 为了保持对偶可行性，我们只需要选择 $\varepsilon$ 使得这个向量约束在组件方面得到满足。

数学代写|线性规划作业代写Linear Programming代考|The Primal–Dual Algorithm

在前面的章节中，已经建立了详细实施单纯形法所必需的理论、计算过程，实际上还有很多技术。在本节中，我们将展示如何以更直观和可见的方式呈现此过程，这在画面形式中称为单纯形法。
像往常一样，让我们假设 $\mathbf{B}$ 由第一个组成 $m$ 列的 $\mathbf{A}$. 然后，初始单纯形画面采用以下形式
如果矩阵B用作基础，则相应的画面可以等效地改写为
$\backslash m a t h b f{T}=\backslash$ left $\backslash$ begin ${a r r a y}{c: c: c} \backslash m a t h b f{{} \& \mid m a t h b f{B} \wedge{-1} \backslash m a t h b f{D} \& \backslash m a t h b f{B} \wedge{-1} \backslash m a t h b f{b} \backslash \backslash h$
称为基矩阵对应的单纯形规范形式B. 这种变换可以看作：（1) 左乘 $\mathbf{B}^{-1}$ 到右边原始画面的顶部块，（2) 然后左乘 $\mathbf{c}_{\mathbf{B}}^T$ 到生成的顶部块并从底部行中减去它们。在这种规范形式中，对应于当前基的约束矩阵变为 $m \times m$ 单位矩阵，其中对应于当前非基本变量的列 $j$ 成为 $\overline{\mathbf{a}}_j=\mathbf{B}^{-1} \mathbf{a}_j$ (在 (4.4) 中定义)，最右边的列变为 $\overline{\mathbf{a}}_0=\mathbf{B}^{-1} \mathbf{b}$ (在 (4.3) 中定义) 。此外，底部的行由相对成本系数和当前目标成本的负数组成。
在本节中，我们假设我们从一个基本可行的解决方案开始，并且对应于 $\mathbf{A} \mathbf{x}=\mathbf{b}$ 是此解决方案的规范形式。获得第一个基本可行解的方法（如果不是很明显）将在下一节中介绍。因此，如果我们假设基本变量是 (按顺序) $x_1, x_2, \ldots, x_m$ ，单纯形图采用图 4.2 所示的初始形式。单纯形图法是对这张图进行Pivot 操作 (见C.2节)，对应一个基本可行解，创建一个新的图对应一个相邻的基本可行解，目标函数值严格改进（在非退化假设下）。

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非参数统计代写

非参数统计指的是一种统计方法，其中不假设数据来自于由少数参数决定的规定模型；这种模型的例子包括正态分布模型和线性回归模型。

广义线性模型代考

广义线性模型（GLM）归属统计学领域，是一种应用灵活的线性回归模型。该模型允许因变量的偏差分布有除了正态分布之外的其它分布。

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数学代写|线性规划作业代写Linear Programming代考|MAT2200

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数学代写|线性规划作业代写Linear Programming代考|MAT2200

数学代写|线性规划作业代写Linear Programming代考|The Dual Simplex Method

数学代写|线性规划作业代写Linear Programming代考|The Primal–Dual Algorithm

In this subsection a procedure is described for solving linear programming problems by working simultaneously on the primal and the dual problems. The procedure begins with a feasible solution to the dual that is improved at each step by optimizing an associated restricted primal problem. As the method progresses it can be regarded as striving to achieve the complementary slackness conditions for optimality. Originally, the primal-dual method was developed for solving a special kind of linear program arising in network flow problems, and it continues to be the most efficient procedure for these problems. (For general linear programs the dual simplex method is most frequently used). In this section we describe the generalized version of the algorithm and point out an interesting economic interpretation of it. We consider the program pair
$$
\begin{aligned}
& \text { minimize } \mathbf{c}^T \mathbf{x} \
& \text { subject to } \mathbf{A x}=\mathbf{b}, \mathbf{x} \geqslant \mathbf{0}
\end{aligned} \text { and } \begin{aligned}
& \text { maximize } \mathbf{y}^T \mathbf{b} \
& \text { subject to } \mathbf{y}^T \mathbf{A} \leqslant \mathbf{c}^T .
\end{aligned}
$$
Given a feasible solution $\mathbf{y}$, not necessarily basic, to the dual, define the subset $P$ of indexes ${1,2, \ldots, n}$ by $j \in P$ if $\mathbf{y}^T \mathbf{a}_j=c_j$ where $\mathbf{a}_j$ is the $j$ th column of A. Thus, since $\mathbf{y}$ is dual feasible, it follows that for all $j \notin P$ implies $\mathbf{y}^T \mathbf{a}_j<c_j$. Now corresponding to $\mathbf{y}$ and index set $P$, we define the associated restricted primal problem
$$
\begin{array}{ll}
\operatorname{minimize} & 1^T \mathbf{u} \
\text { subject to } & \mathbf{A x}+\mathbf{u}=\mathbf{b} \
& \mathbf{x} \geqslant \mathbf{0}, \quad x_j=0 \text { for } j \notin P \
& \mathbf{u} \geqslant \mathbf{0},
\end{array}
$$
where $\mathbf{1}$ denotes the $m$-vector $(1,1, \ldots, 1)$.

线性规划代写

数学代写|线性规划作业代写Linear Programming代考|The Dual Simplex Method

通常有一个线性规划的基础对于原始问题不可行，但它的乘数向量对于对偶问题是可行的。那是， $\mathbf{y}^T=\mathbf{c B}^T \mathbf{B}^{-1}$ 和 $\mathbf{r} \mathbf{D}^T=\mathbf{c} \mathbf{D}^T-\mathbf{y}^T \mathbf{D} \geq \mathbf{0}$. 如果对偶基本可行解是非退化的，则不等式在分量方面严格成立。然后我们可以应用对偶单纯形法从当前解移动到具有更好目标值的新对偶基本可行解。对偶单纯形法实际上在实践中很普遍。像往常一样，为简单起见，我们假设基础 $B$ 由第一个 $m A$ 的列。然后，使用相同的块符号，对偶问题可以重写为定义一个新的对偶变量向量 $\mathbf{y}^{\prime}$ 通过仿射变换使得
$$
\mathbf{y}^{\prime T}=\mathbf{y}^T \mathbf{B}-\mathbf{c B}^T, \quad \text { or } \quad \mathbf{y}^T=\left(\mathbf{y}^{\prime}+\mathbf{c}{\mathbf{B}}\right)^T \mathbf{B}^{-1} $$ 并替代 $\mathbf{y}$ 在双 $\mathbf{y}^{\prime}$ ，我们推导出一个等价的对偶问题 $$ \operatorname{maximize} \mathbf{y}^{\prime T} \mathbf{B}^{-1} \mathbf{b}+\mathbf{c} \mathbf{B}^T \mathbf{B}^{-1} \mathbf{b} \quad \text { maximize } \mathbf{y}^{\prime T} \overline{\mathbf{a}}_0+z_0 \quad \text { subject to } \mathbf{y}^{\prime T} \leqslant \mathbf{0}, \quad \Leftrightarrow \text { subj } $$ 当前原始基本解决方案在哪里 $\overline{\mathbf{a}}^0$ ，客观价值 $z_0$ ，和降低的成本系数 $\mathbf{r D}$ 与上一节相同。在转换后的对偶 (4.16) 中， $\mathbf{y}^{\prime}=\mathbf{0}$ 是基本可行解。此外，如果 $\overline{\mathbf{a}}_0 \geq \mathbf{0}$ ，即原基本解也是可行的，则 $\mathbf{y}^{\prime T}=\mathbf{0}$ 是最优的。这意味着 $\mathbf{y}^T=\mathbf{c B}^T \mathbf{B}^{-1}$ 对原始对偶是最优的。向量 $\overline{\mathbf{a}}_0$ 可以看作是基础上对偶目标函数的缩放梯度向量 B. 因此，如果一个条目 $\overline{\mathbf{a}} 0$ ，说 $o$ 第一个条目 $\overline{\mathbf{a}} o 0<0$, 然后可以减少变量 $\mathbf{y} o^{\prime}$ 对一些 $-\varepsilon$ 而让其他人保持在 0 的。新的 $\mathbf{y}^{\prime}$ 在非退化假设下仍然可行 $(\mathbf{r D}>\mathbf{0})$ ，但它的目标值会线性增加 $\varepsilon$. 请注意，作为 $\mathbf{y} o^{\prime}$ 减少到 $-\varepsilon$ ，变换后的对偶 (4.16) 中的第一个约束块总是满足 $\varepsilon$ 增加，并且 (4.16) 中的第二个约束块变为 $$ \varepsilon \cdot \mathbf{e}_o^T \mathbf{B}^{-1} \mathbf{D} \leq \mathbf{r} \mathbf{D}^T \quad \text { or } \quad-\varepsilon \cdot \overline{\mathbf{a}}^o \leq \mathbf{r}{\mathbf{D}}^T,
$$
在哪里 $\mathbf{e}_o \in E^m$ 是个 $o$ 第 1 个单位向量 $o$ 第一个分量，所有其他分量为 0 ，以及 $\overline{\mathbf{a}}^o=\mathbf{e}_o^T \mathbf{B}^{-1} \mathbf{D}$ 是个 $o$ 矩阵的第行向量 $\mathbf{B}^{-1} \mathbf{D}$. 为了保持对偶可行性，我们只需要选择 $\varepsilon$ 使得这个向量约束在组件方面得到满足。

数学代写|线性规划作业代写Linear Programming代考|The Primal–Dual Algorithm

在本小节中，描述了通过同时处理原始问题和对偶问题来解决线性规划问题的过程。该过程从对偶的可行解开始，该解在每一步都通过优化相关的受限原始问题得到改进。随着方法的进展，它可以被视为努力实现最优的互补松弛条件。最初，原始对偶方法是为解决网络流量问题中出现的一种特殊线性规划而开发的，并且它仍然是解决这些问题的最有效方法。（对于一般的线性规划，最常使用对偶单纯形法）。在本节中，我们将描述该算法的通用版本，并指出一个有趣的经济解释。我们考虑程序对 $\operatorname{minimize} \mathbf{c}^T \mathbf{x} \quad$ subject to $\mathbf{A} \mathbf{x}=\mathbf{b}, \mathbf{x} \geqslant \mathbf{0}$ and $\operatorname{maximize} \mathbf{y}^T \mathbf{b} \quad$ subject to $\mathbf{y}^T \mathbf{A}$
给出一个可行的解决方案 $\mathbf{y}$ ，不一定是基本的，对偶，定义子集 $P$ 指数 $1,2, \ldots, n$ 经过 $j \in P$ 如果 $\mathbf{y}^T \mathbf{a}_j=c_j$ 在哪里 $\mathbf{a}_j$ 是个 $j \mathrm{~A}$ 的第列。因此，由于 $\mathbf{y}$ 是对偶可行的，因此对于所有 $j \notin P$ 暗示 $\mathbf{y}^T \mathbf{a}_j<c_j$. 现在对应于 $\mathbf{y}$ 和索引集 $P$ ，我们定义相关的受限原始问题
$$
\text { minimize } 1^T \mathbf{u} \text { subject to } \quad \mathbf{A x}+\mathbf{u}=\mathbf{b} \quad \mathbf{x} \geqslant \mathbf{0}, \quad x_j=0 \text { for } j \notin P \quad \mathbf{u} \geqslant \mathbf{0},
$$
在哪里 $\mathbf{1}$ 表示 $m$-向量 $(1,1, \ldots, 1)$.

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非参数统计代写

非参数统计指的是一种统计方法，其中不假设数据来自于由少数参数决定的规定模型；这种模型的例子包括正态分布模型和线性回归模型。

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广义线性模型（GLM）归属统计学领域，是一种应用灵活的线性回归模型。该模型允许因变量的偏差分布有除了正态分布之外的其它分布。

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时间序列分析代写

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STATA代写	机器学习/统计学习代写
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数学代写|线性规划作业代写Linear Programming代考|MATH3202

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Statistical Inference 统计推断
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Longitudinal Data Analysis 纵向数据分析
Foundations of Data Science 数据科学基础

数学代写|线性规划作业代写Linear Programming代考|MATH3202

数学代写|线性规划作业代写Linear Programming代考|Conic Combination Interpretations

This basis transformation, as illustrated in Sect. 3.3, can be interpreted as in requirements space, the space where the columns of $\mathbf{A}$ and $\mathbf{b}$ are represented. The fundamental relation is
$$
\mathbf{a}_1 x_1+\mathbf{a}_2 x_2+\cdots+\mathbf{a}_n x_n=\mathbf{b} .
$$
An example for $m=2, n=4$ is shown in Fig. $4.1$.
A feasible solution defines a representation of $\mathbf{b}$ as a conic combination of the $\mathbf{a}_i$ ‘s. A basic feasible solution will use only $m$ positive weights. In the figure a basic feasible solution can be constructed with positive weights on $\mathbf{a}_1$ and $\mathbf{a}_2$ because $\mathbf{b}$ lies between them. A basic feasible solution cannot be constructed with positive weights on $\mathbf{a}_1$ and $\mathbf{a}_4$. Suppose we start with $\mathbf{a}_1$ and $\mathbf{a}_2$ as the initial basis. Then an adjacent basis is found by bringing in some other vector. If $\mathbf{a}_3$ is brought in, then clearly $\mathbf{a}_2$ must go out. On the other hand, if $\mathbf{a}_4$ is brought in, $\mathbf{a}_1$ must go out. In summary, we have deduced that, given a basic feasible solution and an arbitrary vector $\mathbf{a}_e$, there is either a new basic feasible solution having $\mathbf{a}_e$ in its basis and one of the original vectors removed, or the set of feasible solutions is unbounded.

Of course, another interpretation is in activity space, the space where $\mathbf{x}$ is represented. This is perhaps the most natural space to consider, especially with only inequality constraints. Here the feasible region is shown directly as a convex set, and basic feasible solutions are extreme points. Adjacent extreme points are points that lie on a common edge.

Example 1 (Basis Change Illustration) Consider the equality constraints of Example 1 of Sect. 3.3:
$$
\begin{array}{r}
3 x_1+x_2-2 x_3+x_4=2 \
x_1+3 x_2-x_4=2 .
\end{array}
$$

Suppose we start with $\mathbf{a}_1$ and $\mathbf{a}_2$ as the initial basis and select $\mathbf{a}_3$ as the incoming column. Then
$$
\mathbf{B}=\left(\begin{array}{ll}
3 & 1 \
1 & 3
\end{array}\right), \mathbf{B}^{-1}=\left(\begin{array}{cc}
3 / 8 & 1 / 8 \
-1 / 8 & 3 / 8
\end{array}\right), \overline{\mathbf{a}}_0=\mathbf{B}^{-1} \mathbf{b}=\left(\begin{array}{l}
1 / 2 \
1 / 2
\end{array}\right), \overline{\mathbf{a}}_3=\mathbf{B}^{-1} \mathbf{a}_3=\left(\begin{array}{c}
-3 / 4 \
1 / 4
\end{array}\right) .
$$
From (4.5), $\varepsilon=2$ and $\mathbf{a}_2$ is the outgoing column so that the new basis is formed by $\mathbf{a}_1$ and $\mathbf{a}_3$.

Now suppose we start with $\mathbf{a}_1$ and $\mathbf{a}_3$ as the initial basis and select $\mathbf{a}_4$ as the incoming column. Then
$$
\mathbf{B}=\left(\begin{array}{cc}
3 & 1 \
-2 & 0
\end{array}\right), \mathbf{B}^{-1}=\left(\begin{array}{cc}
0 & 1 \
-1 / 2 & 3 / 2
\end{array}\right), \overline{\mathbf{a}}_0=\mathbf{B}^{-1} \mathbf{b}=\left(\begin{array}{l}
2 \
2
\end{array}\right), \overline{\mathbf{a}}_4=\mathbf{B}^{-1} \mathbf{a}_4=\left(\begin{array}{l}
-1 \
-2
\end{array}\right) .
$$
Since the entries of the incoming column $\overline{\mathbf{a}}_4$ are all negative, $\varepsilon$ in (4.5) can go to $\infty$, indicating that the feasible region is unbounded.

数学代写|线性规划作业代写Linear Programming代考|Finding an Initial Basic Feasible Solution

The simplex procedure needs to start from a basic feasible solution. A basic feasible solution is sometimes immediately available for linear programs. For example, in resource-allocation/production problems with constraints of the form
$$
\mathbf{A x} \leqslant \mathbf{b}, \quad \mathbf{x} \geqslant \mathbf{0}
$$
with $\mathbf{b} \geqslant \mathbf{0}$, a basic feasible solution to the corresponding standard form of the problem is provided by the slack variables. This provides a means for initiating the simplex procedure. The example in the last section was of this type. An initial basic feasible solution is not always apparent for other types of linear programs, however, and it is necessary to develop a means for determining one so that the simplex method can be initiated. Interestingly (and fortunately), an auxiliary linear program and corresponding application of the simplex method can be used to determine the required initial solution.

By elementary straightforward operations the constraints of a linear programming problem can always be expressed in the so-called Phase I form
$$
\mathbf{A x}=\mathbf{b}, \quad \mathbf{x} \geqslant \mathbf{0}
$$ with $\mathbf{b} \geqslant \mathbf{0}$. Generally, in order to find a solution to (4.13) consider the artificial minimization problem (commonly called the Phase One linear program).
$$
\begin{array}{ll}
\operatorname{minimize} & \sum_{i=1}^m u_j \
\text { subject to } & \mathbf{A x}+\mathbf{u}=\mathbf{b} \
& \mathbf{x} \geqslant \mathbf{0}, \mathbf{u} \geqslant \mathbf{0},
\end{array}
$$
where $\mathbf{u}=\left(u_1, u_2, \ldots, u_m\right)$ is a vector of artificial variables. If there is a feasible solution to (4.13), then it is clear that (4.14) has a minimum value of zero with $\mathbf{u}=\mathbf{0}$. If (4.13) has no feasible solution, then the minimum value of (4.14) is greater than zero.

Now (4.14) is itself a linear program in the variables $\mathbf{x}, \mathbf{u}$, and the system is already in canonical form with basic feasible solution $\mathbf{u}=\mathbf{b}$. If (4.14) is solved using the simplex technique, a basic feasible solution is obtained at each step. If the minimum value of (4.14) is zero, then the final basic solution will have all $u_j=0$, and hence barring degeneracy, the final solution will have no $u_j$ variables basic. If in the final solution some $u_j$ are both zero and basic, indicating a degenerate solution, these basic variables can be exchanged for nonbasic $x_j$ variables (again at zero level) to yield a basic feasible solution involving $x$ variables only. Then one can proceed to minimize the original objective called Phase II.

线性规划代写

数学代写|线性规划作业代写Linear Programming代考|Conic Combination Interpretations

这种基础转变，如第 1 节所示。3.3、可以理解为在requirements space中，列所在的空间 $\mathbf{A}$ 和 $\mathbf{b}$ 有代表。基本关系是
$$
\mathbf{a}_1 x_1+\mathbf{a}_2 x_2+\cdots+\mathbf{a}_n x_n=\mathbf{b} .
$$
一个例子 $m=2, n=4$ 如图所示 $4.1$.
一个可行的解决方案定义了一个表示 $\mathbf{b}$ 作为圆雉曲线的组合 $\mathbf{a}_i$ 的。一个基本可行的解决方案将只使用 $m$ 正权重。在图中，可以构造一个基本可行的解决方案，其中权重为正 $\mathbf{a}_1$ 和 $\mathbf{a}_2$ 因为 $\mathbf{b}$ 位于他们之间。不能用正权重构造基本可行解 $\mathbf{a}_1$ 和 $\mathbf{a}_4$. 假设我们开始 $\mathbf{a}_1$ 和 $\mathbf{a}_2$ 作为初始依据。然后通过引入一些其他向量来找到相邻的基础。如果 $\mathbf{a}_3$ 被带进来，那么很明显 $\mathbf{a}_2$ 必须出去。另一方面，如果 $\mathbf{a}_4$ 被带进来， $\mathbf{a}_1$ 必须出去。总之，我们推导出，给定一个基本可行解和一个任意向量 $\mathbf{a}_e$ ，要么有一个新的基本可行解 $\mathbf{a}_e$ 在它的基础上，删除了一个原始向量，或者可行解集是无界的。
当然，另一种解释是在活动空间，空间 $\mathbf{x}$ 被代表。这可能是最自然要考虑的空间，尤其是在只有不平等约束的情况下。这里可行域直接表示为凸集，基本可行解为极值点。相邻极值点是位于公共边上的点。
示例 1 (基础变化说明) 考虑第 1 节示例 1 的等式约束。 $3.3$ :
$$
3 x_1+x_2-2 x_3+x_4=2 x_1+3 x_2-x_4=2 .
$$
假设我们开始 $\mathbf{a}_1$ 和 $\mathbf{a}_2$ 作为初始依据并选择 $\mathbf{a}_3$ 作为传入列。然后
从 (4.5), $\varepsilon=2$ 和 $\mathbf{a}_2$ 是输出列，因此新基础由 $\mathbf{a}_1$ 和 $\mathbf{a}_3$.
现在假设我们开始 $\mathbf{a}_1$ 和 $\mathbf{a}_3$ 作为初始依据并选择 $\mathbf{a}_4$ 作为传入列。然后
由于传入列的条目 $\overline{\mathbf{a}}_4$ 都是负面的， $\varepsilon$ 在 (4.5) 中可以转到 $\infty$ ，表明可行域是无界的。

数学代写|线性规划作业代写Linear Programming代考|Finding an Initial Basic Feasible Solution

单纯形法需要从一个基本可行解开始。对于线性规划，有时可以立即获得基本可行解。例如，在具有形式约束的资源分配/生产问题中
$$
\mathbf{A} \mathbf{x} \leqslant \mathbf{b}, \quad \mathbf{x} \geqslant \mathbf{0}
$$
和 $\mathbf{b} \geqslant \mathbf{0}$ ，松他变量提供了问题相应标准形式的基本可行解。这提供了一种启动单纯形程序的方法。上一节中的示例就是这种类型。然而，对于其他类型的线性规划，初始基本可行解并不总是显而易见的，因此有必要开发一种方法来确定一个，以便可以启动单纯形法。有趣的是（幸运的是）辅助线性程序和单纯形法的相应应用可用于确定所需的初始解。
通过基本的直接操作，线性规划问题的约束总是可以用所谓的阶段 I 形式表示
$$
\mathbf{A} \mathbf{x}=\mathbf{b}, \quad \mathbf{x} \geqslant \mathbf{0}
$$
和 $\mathbf{b} \geqslant \mathbf{0}$. 通常，为了找到 (4.13) 的解，考虑人工最小化问题（通常称为第一阶段线性规划) 。
$$
\operatorname{minimize} \quad \sum_{i=1}^m u_j \text { subject to } \quad \mathbf{A x}+\mathbf{u}=\mathbf{b} \quad \mathbf{x} \geqslant \mathbf{0}, \mathbf{u} \geqslant \mathbf{0}
$$
在哪里 $\mathbf{u}=\left(u_1, u_2, \ldots, u_m\right)$ 是人工变量的向量。如果 (4.13) 有可行解，则很明显 (4.14) 的最小值为零 $\mathbf{u}=\mathbf{0}$. 如果 (4.13) 没有可行解，则 (4.14) 的最小值大于零。
现在 (4.14) 本身是变量中的线性程序 $\mathbf{x}, \mathbf{u}$, 并且系统已经是具有基本可行解的规范形式 $\mathbf{u}=\mathbf{b}$. 如果使用单纯形法求解 (4.14)，则在每一步都会得到一个基本可行解。如果 (4.14) 的最小值为零，那么最终的基本解将有所有 $u_j=0$ ，因此除非退化，最终的解决方案将没有 $u_j$ 变量基本。如果在最终解决方案中一些 $u_j$ 既是零又是基数，表示退化解，这些基数变量可以换成非基数 $x_j$ 变量（再次为零水平）以产生一个基本可行的解决方案，包括 $x$ 只有变量。然后可以继续最小化称为第二阶段的原始目标。

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非参数统计指的是一种统计方法，其中不假设数据来自于由少数参数决定的规定模型；这种模型的例子包括正态分布模型和线性回归模型。

广义线性模型代考

广义线性模型（GLM）归属统计学领域，是一种应用灵活的线性回归模型。该模型允许因变量的偏差分布有除了正态分布之外的其它分布。

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数学代写|线性规划作业代写Linear Programming代考|MAT2200

Posted on 2023年2月16日2023年2月16日 by statistics-lab

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数学代写|线性规划作业代写Linear Programming代考|Basis and Feasible Basic Solution

The standard LP problem (1.8) involves the linear system of equations, $A x=b$, as equality constraint. Note that it is a so-called underdetermined system, as the number of equations is less than that of unknowns.

The set of all solutions is called solution set of the system. Systems are equivalent if they have the same solution set. There are two basic types of equivalent transformations into systems. In this respect, the validity of the following propositions is evident.

Proposition 1.5.1 A system, resulting from multiplying any equation of it by a nonzero, is equivalent to the original.

Proposition 1.5.2 A system, resulting from adding a multiple of any equation to another, is equivalent to the original.

Any of the preceding operations is called elementary (row) transformation. The second type of elementary transformation is especially important since it can eliminate a nonzero entry of $A$. Using a series of such kinds of transformations, e.g., the Gauss-Jordan elimination, converts a linear system into a so-called canonical form that is readily solvable.
Let us bring up an example of $3 \times 5$ standard LP problem:
$$
\begin{aligned}
& \min f=x_1+2 x_2-x_4+x_5 \
& \text { s.t. } 2 x_1+x_2+3 x_3+2 x_4=5 \
& x_1-x_2+2 x_3-x_4+3 x_5=1 \
& x_1-2 x_3-2 x_5=-1 \
& x_j \geq 0, j=1, \ldots, 5 .
\end{aligned}
$$
For convenience, we strip the augmented coefficient matrix from the linear system and put it into the following tableau:
\begin{tabular}{ccccc|c}
\hline$x_1$ & $x_2$ & $x_3$ & $x_4$ & $x_5$ & RHS \
\hline 2 & 1 & 3 & 2 & & 5 \
1 & $-1$ & 2 & $-1$ & 3 & 1 \
1 & & $-2$ & & $-2$ & $-1$ \
\hline
\end{tabular}
where empty cells stand for value 0 (the same below).

数学代写|线性规划作业代写Linear Programming代考|Feasible Region as Polyhedral Convex Set

For any given two points $x, y \in \mathcal{R}^n$, the set
$$
S={\alpha x+(1-\alpha) y \mid \alpha \in \mathcal{R}}
$$
is a (straight) line through them. If $0<\alpha<1$, it is an open segment with endpoints $x$ and $y$, denoted by $(x, y)$; if $0 \leq \alpha \leq 1$, it is a closed segment, denoted by $[x, y]$. Hereafter, a so-called segment will be a closed one, unless indicated otherwise.
Definition 2.1.1 $\Pi$ is an affine set if it includes the whole line through any two points whenever it includes them. The affine hull of a set is the smallest affine set that includes the set.

Lines in $\mathcal{R}^2$ and planes in $\mathcal{R}^3$ are instances of affine sets. The whole space $\mathcal{R}^n$ is an affine set. An empty set and a single point set are viewed as affine sets. It is clear that the intersection of several affine sets is an affine set.
For any given $\alpha_i, i=1, \ldots, k$ satisfying $\sum_{i=1}^k \alpha_i=1$, the point
$$
x=\sum_{i=1}^k \alpha_i x^i
$$
is called an affine combination of $x^1, \ldots, x^k$. It is easy to show that the set all such affine combinations, i.e.,
$$
\left{\sum_{i=1}^k \alpha_k x^i \mid \sum_{i=1}^k \alpha_i=1, \alpha_i \in \mathcal{R}, i=1, \ldots, k\right},
$$
is an affine set, called affine hull of these points. The two points in Definition 2.1.1 can be replaced by multiple points: it is easy to show that $\Pi$ is an affine set if and only if the affine hull of any finitely many points within $\Pi$ belongs to $\Pi$.

The set $L$ is a subspace of $\mathcal{R}^n$ if it is closed for all linear operations, that is, for any $x, y \in L$ and $\alpha, \beta \in \mathcal{R}$, it holds that $\alpha x+\beta y \in L$.

线性规划代写

数学代写|线性规划作业代写Linear Programming代考|Basis and Feasible Basic Solution

标准 LP 问题 (1.8) 涉及线性方程组， $A x=b$ ，作为等式约束。请注意，这是一个所谓的欠定系统，因为方程的数量少于末知数。
所有解的集合称为系统的解集。如果系统具有相同的解集，则它们是等价的。有两种基本类型的系统等价变换。在这方面，以下命题的有效性是显而易见的。
命题 1.5.1一个系统，由它的任何方程乘以一个非零值得到，与原系统等价。
命题 $1.5 .2$ 将任何方程的倍数与另一个方程相加得到的系统等价于原方程。
前面的任何操作都称为基本 (行) 转换。第二种基本变换特别重要，因为它可以消除非零项 $A$. 使用一系列这样的变换，例如 Gauss-Jordan 消去法，可以将线性系统转换为易于求解的所谓规范形式。让我们举一个例子 $3 \times 5$ 标准 LP 问题:
$$
\min f=x_1+2 x_2-x_4+x_5 \quad \text { s.t. } 2 x_1+x_2+3 x_3+2 x_4=5 x_1-x_2+2 x_3-x_4
$$
为方便起见，我们从线性系统中剥离增广系数矩阵，并将其放入下表中:
其中空单元格代表值 0 (下同)。

数学代写|线性规划作业代写Linear Programming代考|Feasible Region as Polyhedral Convex Set

对于任何给定的两点 $x, y \in \mathcal{R}^n$ ，集合
$$
S=\alpha x+(1-\alpha) y \mid \alpha \in \mathcal{R}
$$
是穿过它们的 (直线) 线。如果 $0<\alpha<1$, 它是一个有端点的开放段 $x$ 和 $y$, 表示为 $(x, y)$; 如果 $0 \leq \alpha \leq 1$ ，它是一个封闭的段，表示为 $[x, y]$. 此后，除非另有说明，否则所谓的段将是封闭段。定义 2.1.1П是一个仿射集，如果它包含通过任何两点的整条线，只要它包含它们。一个集合的仿射包是包含该集合的最小仿射集合。
线路在 $\mathcal{R}^2$ 和飞机在 $\mathcal{R}^3$ 是仿射集的实例。整个空间 $\mathcal{R}^n$ 是一个仿射集。空集和单点集被视为仿射集。很明显，多个仿射集的交集是一个仿射集。
对于任何给定的 $\alpha_i, i=1, \ldots, k$ 令人满意 $\sum_{i=1}^k \alpha_i=1$ ，点
$$
x=\sum_{i=1}^k \alpha_i x^i
$$
称为仿射组合 $x^1, \ldots, x^k$. 很容易证明集合所有这样的仿射组合，即
是一个仿射集，称为这些点的仿射包。定义 $2.1 .1$ 中的两点可以用多点代替：很容易证明П是一个仿射
套装 $L$ 是一个子空间 $\mathcal{R}^n$ 如果它对所有线性操作都是封闭的，也就是说，对于任何 $x, y \in L$ 和 $\alpha, \beta \in \mathcal{R}$, 它认为 $\alpha x+\beta y \in L$.

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金融工程代写

非参数统计代写

非参数统计指的是一种统计方法，其中不假设数据来自于由少数参数决定的规定模型；这种模型的例子包括正态分布模型和线性回归模型。

广义线性模型代考

广义线性模型（GLM）归属统计学领域，是一种应用灵活的线性回归模型。该模型允许因变量的偏差分布有除了正态分布之外的其它分布。

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数学代写|线性规划作业代写Linear Programming代考|MATH3202

Posted on 2023年2月16日2023年2月16日 by statistics-lab

如果你也在怎样代写线性规划Linear Programming这个学科遇到相关的难题，请随时右上角联系我们的24/7代写客服。

我们提供的线性规划Linear Programming及其相关学科的代写，服务范围广, 其中包括但不限于:

Statistical Inference 统计推断
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数学代写|线性规划作业代写Linear Programming代考|Illustrative Applications

LP has a very wide range of applications, touching upon almost all fields related to decision making and management. This section only brings up a few illustrative instances. Strictly speaking, some of these instances involve variables of nonnegative integer values and hence belong to the so-called integer/mixed-integer LP models, although the latter requirement is ignored here for simplicity.

Example 1.3.1 (Production Planning) A factory produces furniture A, B, C. Each furniture production goes through 3 procedures: component processing, electroplating, and assembling. The production capacity of each procedure per day is converted into effective working hours. Below are the required effective working hours and getatable profit for each piece of the furniture.

Now how can the factory achieve the highest profit?
Answer Let $x_1, x_2$, and $x_3$ be yields of furniture A,B,C, respectively, and let $f$ be the total profit. To gain the highest profit, construct the following model:
$$
\begin{gathered}
\max f=1.25 x_1+1.5 x_2+2.25 x_3 \
\text { s.t. } 0.025 x_1+0.05 x_2+0.3 x_3 \leq 400 \
0.20 x_1+0.05 x_2+0.1 x_3 \leq 900 \
0.04 x_1+0.02 x_2+0.20 x_3 \leq 600 \
x_1, x_2, x_3 \geq 0 .
\end{gathered}
$$
An optimal solution obtained by the simplex method is
$$
x_1=2860, x_2=6570, x_3=0,
$$
and the associated objective function value is $f=13430$. That is to say, the factory should produce 2860 pieces of product A, 6570 pieces of product B, and no product C, achieving the highest profit 13430 dollars.

Example 1.3.2 (Transportation) A company has 8800,7200, and 5700 containers at ports A, B, C, respectively. These containers should be transported to plants 1 , $2,3,4,5$, whose working ability is $3200,5300,4100,6200$, and 2900 containers,respectively. The following table lists the freight rate (dollars/container) of transport service from the ports to the plants.

数学代写|线性规划作业代写Linear Programming代考|Standard LP Problem

Some of LP problems in the previous section seek for maximizing the objective function, while others seek for minimizing it. Besides, some of their constraints are equalities, while others are inequalities of ” $\geq$ ” or ” $\leq$.” For convenience, we introduce the following problem in a so-called standard form:
$$
\begin{aligned}
& \min f=c_1 x_1+c_2 x_2+\cdots+c_n x_n \
& \text { s.t. } a_{11} x_1+a_{12} x_2+\cdots+a_{1 n} x_n=b_1 \
& a_{21} x_1+a_{22} x_2+\cdots+a_{2 n} x_n \quad=b_2 \
& \vdots \
& a_{m 1} x_1+a_{m 2} x_1+\cdots+a_{m n} x_n=b_m \
& x_j \geq 0, j=1, \ldots, n \text {. } \
&
\end{aligned}
$$

All kinds of LP problems can be transformed into standard forms:

Any maximization problem can be transformed into a minimization problem by introducing the negative objective function instead.
Using $f=-f^{\prime}$, e.g., the objective
$$
\max f^{\prime}=c_1 x_1+c_2 x_2+\cdots+c_n x_n
$$
can be replaced by
$$
\min f=-c_1 x_1-c_2 x_2-\cdots-c_n x_n .
$$
It is clear that this does not matter to the optimal solution but changes the sign of the optimal objective value only.
Any inequality can be transformed into equality by introducing an extra nonnegative variable.
Introducing a so-called slack variable $x_{k+1} \geq 0$, e.g., the ” $\leq$ ” type of inequality
$$
\alpha_1 x_1+\alpha_2 x_2+\cdots+\alpha_k x_k \leq \beta
$$
can be transformed into equality
$$
\alpha_1 x_1+\alpha_2 x_2+\cdots+\alpha_k x_k+x_{k+1}=\beta,
$$
and the ” $\geq$ ” type of inequality
$$
\alpha_1 x_1+\alpha_2 x_2+\cdots+\alpha_k x_k \geq \beta
$$
can be transformed into the equality
$$
\alpha_1 x_1+\alpha_2 x_2+\cdots+\alpha_k x_k-x_{k+1}=\beta .
$$

线性规划代写

数学代写|线性规划作业代写Linear Programming代考|Illustrative Applications

$\mathrm{LP}$ 的应用非常广泛，几乎涉及与决策和管理相关的所有领域。本节仅提出几个说明性实例。严格来说，其中一些实例涉及非负整数值的变量，因此属于所谓的整数/混合整数 LP 模型，尽管为简单起见，后一种要求在这里被忽略。
例1.3.1 (生产计划) 某工厂生产家具A、B、C，每件家具生产都要经过3道工序：零件加工、电镀、组装。每道工序每天的生产能力换算成有效工时。以下是每件家具所需的有效工作时间和可获得的利润。
现在工厂如何才能获得最高的利润呢?
回答让 $x_1, x_2$ ，和 $x_3$ 分别为家具 $A 、 B 、 C$ 的产量，令 $f$ 成为总利润。为了获得最高利润，构建以下模型:
$$
\max f=1.25 x_1+1.5 x_2+2.25 x_3 \text { s.t. } 0.025 x_1+0.05 x_2+0.3 x_3 \leq 4000.20 x_1+0.05 x_2
$$
通过单纯形法得到的最优解为
$$
x_1=2860, x_2=6570, x_3=0,
$$
相关的目标函数值为 $f=13430$. 也就是说，工厂应该生产 2860 件产品 $A ， 6570$ 件产品 $B$ ，没有产品 C，实现最高利润13430美元。
示例 1.3.2 (运输) 某公司在 A、B、C 港口分别有 $8800 、 7200$ 和 5700 个集装箱。这些容器应运往工厂 $1,2,3,4,5$ ，其工作能力为 $3200,5300,4100,6200$ ，和 2900 个集装箱。下表列出了从港口到工厂的运输服务的运价（美元/集装箱）。

数学代写|线性规划作业代写Linear Programming代考|Standard LP Problem

上一节中的一些 LP 问题寻求最大化目标函数，而另一些则寻求最小化目标函数。此外，它们的一些约束是等式的，而另一些是不等式的” $\geq$ ” 或者” $\leq “$ 为方便起见，我们以所谓的标准形式引入以下问题:
$$
\min f=c_1 x_1+c_2 x_2+\cdots+c_n x_n \quad \text { s.t. } a_{11} x_1+a_{12} x_2+\cdots+a_{1 n} x_n=b_1 a_{21} x_1+a_{22}
$$
各种LP问题都可以转化为标准形式：

通过引入负目标函数，任何最大化问题都可以转化为最小化问题。使用 $f=-f^{\prime}$ ，例如，目标
$$
\max f^{\prime}=c_1 x_1+c_2 x_2+\cdots+c_n x_n
$$
可以替换为
$$
\min f=-c_1 x_1-c_2 x_2-\cdots-c_n x_n .
$$
很明显，这对最优解无关紧要，只是改变了最优目标值的符号。
通过引入一个额外的非负变量，任何不平等都可以转化为平等。引入所谓的松她变量 $x_{k+1} \geq 0$ ，例如， ” $\leq$ ” 类型的不平等
$$
\alpha_1 x_1+\alpha_2 x_2+\cdots+\alpha_k x_k \leq \beta
$$
可以转化为平等
$$
\alpha_1 x_1+\alpha_2 x_2+\cdots+\alpha_k x_k+x_{k+1}=\beta,
$$
和 $\geq$ ” 类型的不平等
$$
\alpha_1 x_1+\alpha_2 x_2+\cdots+\alpha_k x_k \geq \beta
$$
可以转化为等式
$$
\alpha_1 x_1+\alpha_2 x_2+\cdots+\alpha_k x_k-x_{k+1}=\beta .
$$

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